Az ábra területe egy határozott integrál. Az y=f(x), x=g(y) egyenesekkel határolt ábra területének megkeresése

BAN BEN előző szakasz egy határozott integrál geometriai jelentésének elemzésére szentelve számos képletet kaptunk a görbe vonalú trapéz területének kiszámításához:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x folytonos és nem negatív y = f (x) függvényre az [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x y = f (x) folytonos és nem pozitív függvényre az [ a ; b ] .

Ezek a képletek viszonylag egyszerű feladatok megoldására alkalmazhatók. A valóságban gyakran bonyolultabb figurákkal kell dolgoznunk. Ebben a tekintetben ezt a részt az olyan ábrák területének kiszámítására szolgáló algoritmusok elemzésének szenteljük, amelyeket a függvények explicit formában korlátoznak, pl. mint például y = f(x) vagy x = g(y).

Legyen az y = f 1 (x) és y = f 2 (x) függvény definiált és folytonos az [ a ; b ] , és f 1 (x) ≤ f 2 (x) bármely x értékre [a ; b ] . Ekkor az x = a, x = b, y = f 1 (x) és y = f 2 (x) egyenesekkel határolt G ábra területének kiszámítására szolgáló képlet így fog kinézni: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Hasonló képlet alkalmazható az y = c, y = d, x = g 1 (y) és x = g 2 (y) egyenesekkel határolt alakzat területére is: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Bizonyíték

Nézzünk meg három olyan esetet, amelyekre a képlet érvényes lesz.

Az első esetben, figyelembe véve a terület additivitásának tulajdonságát, az eredeti G ábra és a görbe vonalú G 1 trapéz területének összege megegyezik a G 2 ábra területével. Ez azt jelenti

Ezért S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Az utolsó átmenetet a határozott integrál harmadik tulajdonságával tudjuk végrehajtani.

A második esetben az egyenlőség igaz: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Ha mindkét függvény nem pozitív, akkor a következőt kapjuk: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Térjünk át arra az általános esetre, amikor y = f 1 (x) és y = f 2 (x) metszi az O x tengelyt.

A metszéspontokat x i, i = 1, 2, -vel jelöljük. . . , n - 1 . Ezek a pontok felosztják a szakaszt [a; b ] n részre x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, ahol α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ennélfogva,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Az utolsó átmenetet a határozott integrál ötödik tulajdonságával végezhetjük el.

Illusztráljuk az általános esetet a grafikonon.

Az S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x képlet bizonyítottnak tekinthető.

Most menjünk tovább az y = f (x) és x = g (y) egyenesek által határolt ábrák területének kiszámítására vonatkozó példák elemzésére.

A példák bármelyikének vizsgálatát egy gráf felépítésével kezdjük. A kép lehetővé teszi számunkra, hogy bonyolult formákat egyszerűbb formák uniójaként ábrázoljunk. Ha Önnek nehézséget okoz a grafikonok és ábrák elkészítése, tanulmányozhatja az alapvető elemi függvényekről, a függvénygráfok geometriai transzformációjáról szóló részt, valamint a függvény tanulmányozása közben a grafikonok szerkesztését.

1. példa

Meg kell határozni az ábra területét, amelyet az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola és az y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 egyenesek korlátoznak.

Megoldás

Rajzoljuk meg a grafikonon a vonalakat a derékszögű koordinátarendszerben.

A szakaszon [ 1 ; 4 ] az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola grafikonja az y = - 1 3 x - 1 2 egyenes felett helyezkedik el. Ebben a tekintetben a válasz megszerzéséhez a korábban kapott képletet, valamint a határozott integrál kiszámításának módszerét használjuk a Newton-Leibniz képlet segítségével:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Válasz: S(G) = 13

Nézzünk egy összetettebb példát.

2. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x + 2, y = x, x = 7 vonalak határolnak.

Megoldás

Ebben az esetben csak egyetlen egyenesünk van, amely párhuzamos az x tengellyel. Ez x = 7. Ez megköveteli, hogy magunk találjuk meg az integráció második határát.

Építsünk gráfot, és ábrázoljuk rajta a feladatmeghatározásban megadott egyeneseket.

Ha a grafikon a szemünk előtt van, könnyen megállapíthatjuk, hogy az integráció alsó határa az y = x egyenes és az y = x + 2 félparabola grafikonja metszéspontjának abszcisszája lesz. Az abszcissza meghatározásához az egyenlőségeket használjuk:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Kiderül, hogy a metszéspont abszcisszája x = 2.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy in általános példa a rajzon az y = x + 2, y = x egyenesek a (2; 2) pontban metszik egymást, így ezek részletes számításokat szükségtelennek tűnhet. Ezt hoztuk ide részletes megoldás csak mert többen vannak nehéz esetek a megoldás nem biztos, hogy olyan nyilvánvaló. Ez azt jelenti, hogy mindig jobb az egyenesek metszéspontjának koordinátáit analitikusan kiszámítani.

Az intervallumon [ 2 ; 7] az y = x függvény grafikonja az y = x + 2 függvény grafikonja felett helyezkedik el. Alkalmazzuk a képletet a terület kiszámításához:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Válasz: S (G) = 59 6

3. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = 1 x és y = - x 2 + 4 x - 2 függvények grafikonjai korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a vonalakat a grafikonon.

Határozzuk meg az integráció határait. Ehhez az 1 x és - x 2 + 4 x - 2 kifejezések egyenlővé tételével határozzuk meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit. Feltéve, hogy x nem nulla, az 1 x = - x 2 + 4 x - 2 egyenlőség ekvivalenssé válik a harmadfokú - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 egyenlettel egész együtthatókkal. Az ilyen egyenletek megoldására szolgáló algoritmus emlékezetének felfrissítéséhez olvassa el a „Köbös egyenletek megoldása” című részt.

Ennek az egyenletnek a gyöke x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Az - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 kifejezést elosztva az x - 1 binomiálissal, a következőt kapjuk: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

A maradék gyököket az x 2 - 3 x - 1 = 0 egyenletből találhatjuk meg:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Megtaláltuk az x ∈ 1 intervallumot; 3 + 13 2, amelyben a G ábra a kék felett és a piros vonal alatt található. Ez segít meghatározni az ábra területét:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Válasz: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x 3, y = - log 2 x + 1 görbék és az abszcissza tengely korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a grafikonon az összes vonalat. Az y = log 2 x grafikonból megkaphatjuk az y = - log 2 x + 1 függvény grafikonját, ha szimmetrikusan pozícionáljuk az x tengelyre, és egy egységgel feljebb mozgatjuk. Az x tengely egyenlete y = 0.

Jelöljük az egyenesek metszéspontjait.

Amint az ábrán látható, az y = x 3 és y = 0 függvények grafikonjai a (0; 0) pontban metszik egymást. Ez azért történik, mert az x = 0 az x 3 = 0 egyenlet egyetlen valódi gyöke.

x = 2 a - log 2 x + 1 = 0 egyenlet egyetlen gyöke, tehát az y = - log 2 x + 1 és y = 0 függvények grafikonjai a (2; 0) pontban metszik egymást.

x = 1 az x 3 = - log 2 x + 1 egyenlet egyetlen gyöke. Ebben a tekintetben az y = x 3 és y = - log 2 x + 1 függvények grafikonjai az (1; 1) pontban metszik egymást. Lehet, hogy az utolsó állítás nem nyilvánvaló, de az x 3 = - log 2 x + 1 egyenletnek nem lehet több gyöke, mivel az y = x 3 függvény szigorúan növekvő, az y = - log 2 x + 1 függvény pedig szigorúan csökken.

A további megoldás több lehetőséget is magában foglal.

1.opció

A G ábrát elképzelhetjük két, az x tengely felett elhelyezkedő görbe vonalú trapéz összegeként, amelyek közül az első az x ∈ 0 szakaszon a középvonal alatt helyezkedik el; 1, a második pedig a piros vonal alatt van az x ∈ 1 szakaszon; 2. Ez azt jelenti, hogy a terület egyenlő lesz S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

2. lehetőség

A G ábra két ábra különbségeként ábrázolható, amelyek közül az első az x tengely felett és a kék vonal alatt található az x ∈ 0 szakaszon; 2, a második pedig az x ∈ 1 szakasz piros és kék vonalai között; 2. Ez lehetővé teszi, hogy a következőképpen találjuk meg a területet:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Ebben az esetben a terület megtalálásához egy S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y képletet kell használnia. Valójában az ábrát határoló vonalak az y argumentum függvényeiként ábrázolhatók.

Oldjuk meg az y = x 3 és - log 2 x + 1 egyenleteket x vonatkozásában:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Megkapjuk a szükséges területet:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Válasz: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 vonalak korlátoznak.

Megoldás

Piros vonallal ábrázoljuk az y = x függvény által meghatározott egyenest. Az y = - 1 2 x + 4 vonalat kékkel, az y = 2 3 x - 3 vonalat feketével húzzuk.

Jelöljük meg a metszéspontokat.

Keressük meg az y = x és y = - 1 2 x + 4 függvények grafikonjainak metszéspontjait:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Ellenőrizze: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nem az x 2 = egyenlet megoldása 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 a ⇒ (4; 2) egyenlet megoldása i y = x és y = - 1 2 x metszéspont + 4

Keressük meg az y = x és y = 2 3 x - 3 függvények grafikonjainak metszéspontját:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Ellenőrizze: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 a ⇒ (9 ; 3) egyenlet megoldása, pont a s y = x és y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Az egyenletnek nincs megoldása

Keressük meg az y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3 egyenesek metszéspontját:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) metszéspont y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3

1. számú módszer

Képzeljük el a kívánt ábra területét az egyes figurák területének összegeként.

Ekkor az ábra területe:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

2. számú módszer

Az eredeti ábra területe két másik ábra összegeként is ábrázolható.

Ezután megoldjuk az x-hez viszonyított egyenes egyenletét, és csak ezután alkalmazzuk az ábra területének kiszámításának képletét.

y = x ⇒ x = y 2 piros vonal y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 fekete vonal y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Tehát a terület:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 év + 9 2 - - 2 év + 8 n y + ∫ 2 3 3 2 év + 9 2 - y 2 n y = = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 n y + ∫ 3 3 2 év + 9 2 - y 2 nap y = = 7 4 év 2 - 7 4 év 1 2 + - y 3 3 + 3 év 2 4 + 9 2 év 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Mint látható, az értékek ugyanazok.

Válasz: S (G) = 11 3

Ahhoz, hogy megtaláljuk egy alakzat azon területét, amelyet adott vonalak határolnak, vonalakat kell megszerkesztenünk egy síkon, meg kell találnunk a metszéspontjaikat, és a képlet segítségével meg kell találnunk a területet. BAN BEN ez a szekció Megnéztük a problémák leggyakoribb változatait.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Legyen a függvény nemnegatív és folytonos az intervallumon. Ekkor egy meghatározott integrál geometriai jelentése szerint egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet felül ennek a függvénynek a grafikonja, alul a tengely, balról és jobbról egyenesek határolnak, és (lásd 2. ábra) képlettel számítjuk ki

9. példa Keresse meg egy vonal által határolt alakzat területét és tengely.

Megoldás. Függvénygrafikon egy parabola, amelynek ágai lefelé irányulnak. Építsük meg (3. ábra). Az integrálás határainak meghatározásához megkeressük az egyenes (parabola) és a tengellyel (egyenes) metszéspontokat. Ehhez megoldjuk az egyenletrendszert

Kapunk: , ahol , ; ennélfogva, , .

Rizs. 3

Az (5) képlet segítségével megtaláljuk az ábra területét:

Ha a függvény nem pozitív és folytonos a szakaszon, akkor a görbe vonalú trapéz területét, amelyet alul ennek a függvénynek a grafikonja, felül a tengellyel, bal és jobb oldalon egyenesek és , határol a képlet

. (6)

Ha a függvény egy szakaszon folytonos és véges számú ponton változtat előjelet, akkor az árnyékolt ábra területe (4. ábra) egyenlő algebrai összeg megfelelő határozott integrálok:

Rizs. 4

10. példa Számítsa ki a függvény tengelye és grafikonja által határolt ábra területét a pontban!

Rizs. 5

Megoldás. Készítsünk rajzot (5. ábra). A szükséges terület a területek és a területek összege. Keressük meg ezeket a területeket. Először a rendszer megoldásával határozzuk meg az integráció határait Kapunk , . Ennélfogva:

;

.

Így az árnyékolt ábra területe:

(nm egység).

Rizs. 6

Végül a görbe vonalú trapéz felett és alatt legyen határos a függvények grafikonjaival, amelyek a szakaszon folytonosak, és
és a bal és a jobb oldalon - egyenes vonalak és (6. ábra). Ezután a területét a képlet alapján számítjuk ki

. (8)

11. példa Keresse meg az ábra és a vonalak által határolt területét.

Megoldás. Ez az ábra az ábrán látható. 7. Számítsuk ki a területét a (8) képlet segítségével! Az egyenletrendszer megoldása során azt találjuk, ; ennélfogva, , . A szegmensen a következők találhatók: . Ez azt jelenti, hogy a (8) képletben mint x, minőségben pedig – . Kapunk:

(nm egység).

A területek kiszámításának bonyolultabb problémáit úgy oldják meg, hogy az ábrát nem átfedő részekre osztják, és a teljes ábra területét ezen részek területének összegeként számítják ki.

Rizs. 7

12. példa Keresse meg az ábra azon területét, amelyet a , , vonalak határolnak.

Megoldás. Készítsünk rajzot (8. ábra). Ez az ábra görbe vonalú trapéznek tekinthető, amelyet alulról a tengely határol, balról és jobbról - egyenesek, felülről - függvénygrafikonok és. Mivel az ábrát felülről két függvény grafikonja korlátozza, a területének kiszámításához ezt az egyenes alakzatot két részre osztjuk (1 az és az egyenesek metszéspontjának abszcissza). Ezen részek területét a (4) képlet segítségével határozzuk meg:

(nm. egység); (nm egység). Ennélfogva:

(nm egység).

Rizs. 8

Rizs. 9

Végezetül megjegyezzük, hogy ha egy görbe vonalú trapézt egyenesek és , tengely és folytonos határolnak a görbén (9. ábra), akkor területét a képlet határozza meg.

Egy forgástest térfogata

Forogjon a tengely körül egy görbe vonalú trapéz, amelyet egy szakaszon folytonos függvény grafikonja határol, egy tengely, és egyenesek (10. ábra). Ezután a képlettel számítjuk ki a kapott forgástest térfogatát

. (9)

13. példa Számítsa ki a hiperbolával, egyenesekkel és tengellyel határolt görbe vonalú trapéz tengelye körüli elforgatásával kapott test térfogatát.

Megoldás. Készítsünk rajzot (11. ábra).

A probléma feltételeiből az következik, hogy . A (9) képletből azt kapjuk

.

Rizs. 10

Rizs. tizenegy

Tengely körüli elforgatással kapott test térfogata OU görbe vonalú trapéz, amelyet egyenesek határolnak y = cÉs y = d, tengely OUés egy szegmensen folytonos függvény grafikonja (12. ábra), amelyet a képlet határoz meg

. (10)

Rizs. 12

14. példa. Számítsa ki a tengely körüli elforgatással kapott test térfogatát! OU vonalakkal határolt görbe vonalú trapéz x 2 = 4nál nél, y = 4, x = 0 (13. ábra).

Megoldás. A feladat feltételeinek megfelelően megtaláljuk az integráció határait: , . A (10) képlet segítségével megkapjuk:

Rizs. 13

Síkgörbe ívhossza

Legyen a síkban az egyenlet által adott görbe, ahol , (14. ábra).

Rizs. 14

Meghatározás. Egy ív hosszán azt a határt értjük, amelyre az ebbe az ívbe írt szaggatott vonal hossza hajlik, amikor a szaggatott vonal láncszemeinek száma a végtelenbe, a legnagyobb láncszem hossza pedig nulla felé tart.

Ha egy függvény és deriváltja folytonos a szakaszon, akkor a görbe ívhosszát a képlet számítja ki

. (11)

15. példa. Számítsa ki a görbe ívhosszát azon pontok közé, amelyekre .

Megoldás. A problémás körülményeinkből . A (11) képlet segítségével megkapjuk:

.

4. Nem megfelelő integrálok
az integráció végtelen korlátaival

A határozott integrál fogalmának bevezetésekor azt feltételeztük, hogy a következő két feltétel teljesül:

a) az integráció határai Aés végesek;

b) az integrandus az intervallumra korlátos.

Ha e feltételek közül legalább egy nem teljesül, akkor az integrált meghívjuk nem a sajátod.

Tekintsük először a végtelen integrálási határokkal rendelkező helytelen integrálokat.

Meghatározás. Legyen tehát a függvény definiált és folytonos az intervallumon jobb oldalon pedig korlátlan (15. ábra).

Ha a nem megfelelő integrál konvergál, akkor ez a terület véges; ha a nem megfelelő integrál divergál, akkor ez a terület végtelen.

Rizs. 15

A végtelen alsó integrációs határral rendelkező helytelen integrált hasonlóképpen határozzuk meg:

. (13)

Ez az integrál akkor konvergál, ha a (13) egyenlőség jobb oldalán a határ létezik és véges; különben az integrált divergensnek mondjuk.

A két végtelen integrációs korláttal rendelkező nem megfelelő integrált a következőképpen határozzuk meg:

, (14)

ahol с az intervallum bármely pontja. Az integrál csak akkor konvergál, ha a (14) egyenlőség jobb oldalán lévő mindkét integrál konvergál.

G) = [válasszon ki egy teljes négyzetet a nevezőben: ] = [csere:

] =

Ez azt jelenti, hogy a nem megfelelő integrál konvergál, és értéke egyenlő .

Hogyan kell beilleszteni matematikai képletek a weboldalra?

Ha valaha egy vagy két matematikai képletet kell hozzáadnia egy weboldalhoz, akkor ezt a cikkben leírtak szerint teheti meg a legegyszerűbben: a matematikai képleteket könnyen beillesztheti az oldalra képek formájában, amelyeket a Wolfram Alpha automatikusan generál. . Az egyszerűség mellett ez az univerzális módszer segít javítani a webhely láthatóságát kereső motorok. Régóta működik (és szerintem örökké működni fog), de már erkölcsileg elavult.

Ha folyamatosan matematikai képleteket használ a webhelyén, akkor azt javaslom, hogy használja a MathJaxot - egy speciális JavaScript-könyvtárat, amely megjeleníti matematikai jelölés MathML, LaTeX vagy ASCIIMathML jelölést használó webböngészőkben.

A MathJax használatának két módja van: (1) egy egyszerű kód segítségével gyorsan csatlakoztathat egy MathJax szkriptet a webhelyéhez, amely a megfelelő időben automatikusan betöltődik egy távoli szerverről (szerverek listája); (2) töltse le a MathJax szkriptet egy távoli szerverről a szerverére, és csatlakoztassa webhelye összes oldalához. A második módszer – bonyolultabb és időigényesebb – felgyorsítja az oldalad oldalainak betöltését, és ha a szülő MathJax szerver valamilyen okból átmenetileg elérhetetlenné válik, az semmilyen módon nem érinti a saját oldaladat. Ezen előnyök ellenére az első módszert választottam, mivel az egyszerűbb, gyorsabb és nem igényel technikai ismereteket. Kövesse a példámat, és mindössze 5 percen belül a MathJax összes funkcióját használhatja webhelyén.

A MathJax könyvtár szkriptjét távoli kiszolgálóról csatlakoztathatja a MathJax fő webhelyéről vagy a dokumentációs oldalon található két kódopció használatával:

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan követi és betölti legújabb verziói MathJax. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, a LaTeX és az ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és készen áll arra, hogy matematikai képleteket szúrjon be webhelye weboldalaiba.

Bármely fraktál egy bizonyos szabály szerint készül, amelyet következetesen korlátlan számú alkalommal alkalmaznak. Minden ilyen időt iterációnak nevezünk.

A Menger-szivacs elkészítésének iteratív algoritmusa meglehetősen egyszerű: az 1-es oldalú eredeti kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. Egy központi kockát és a lapok mentén szomszédos 6 kockát eltávolítanak róla. Az eredmény egy készlet, amely a maradék 20 kisebb kockából áll. Minden egyes kockával ugyanezt megtéve egy 400 kisebb kockából álló készletet kapunk. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatva egy Menger szivacsot kapunk.

Ebből a cikkből megtudhatja, hogyan találhatja meg egy vonallal határolt ábra területét integrálszámítások segítségével. Ilyen probléma megfogalmazásával először középiskolában találkozunk, amikor éppen befejeztük a határozott integrálok tanulmányozását, és itt az ideje, hogy a gyakorlatban elkezdjük a megszerzett tudás geometriai értelmezését.

Tehát mi szükséges ahhoz, hogy sikeresen megoldjuk az ábra területének integrálok segítségével történő megtalálását:

• Képes hozzáértő rajzok készítésére;
• Határozott integrál megoldásának képessége használatával híres képlet Newton-Leibniz;
• A jövedelmezőbb megoldási lehetőség „látásának” képessége - pl. megérti, hogyan lesz kényelmesebb az integráció végrehajtása egyik vagy másik esetben? Az x tengely (OX) vagy az y tengely (OY) mentén?
• Nos, hol lennénk helyes számítások nélkül?) Ez magában foglalja a más típusú integrálok megoldásának megértését és a helyes numerikus számításokat.

Algoritmus egy vonallal határolt ábra területének kiszámításának problémájának megoldására:

1. Rajzot készítünk. Célszerű ezt kockás papírlapon, nagy méretben megtenni. Minden grafikon felett ceruzával írjuk alá ennek a függvénynek a nevét. A grafikonok aláírása kizárólag a további számítások kényelmét szolgálja. Miután megkaptuk a kívánt ábra grafikonját, a legtöbb esetben azonnal világossá válik, hogy az integráció mely korlátait fogják használni. Így a feladatot grafikusan oldjuk meg. Előfordul azonban, hogy a határértékek töredékesek vagy irracionálisak. Ezért megteheti további számítások, menjünk tovább a második lépésre.

2. Ha az integráció határai nincsenek kifejezetten megadva, akkor megkeressük a gráfok metszéspontjait egymással, és megnézzük, hogy grafikus megoldásunk egybeesik-e az analitikus megoldással.

3. Ezután elemeznie kell a rajzot. A függvénygrafikonok elrendezésétől függően különböző megközelítések léteznek az ábra területének megkeresésére. Mérlegeljük különböző példák egy ábra területének megtalálásáról integrálok segítségével.

3.1. A probléma legklasszikusabb és legegyszerűbb változata az, amikor meg kell találnia egy ívelt trapéz területét. Mi az ívelt trapéz? Ez egy lapos ábra, amelyet az x tengely (y = 0), az x = a, x = b egyenesek és az a-tól b-ig terjedő intervallumban folytonos görbék korlátoznak. Ráadásul ez az ábra nem negatív, és nem az x tengely alatt található. Ebben az esetben a görbe vonalú trapéz területe számszerűen megegyezik egy bizonyos integrállal, amelyet a Newton-Leibniz képlet alapján számítanak ki:

1. példa y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Milyen vonalak határolják az ábrát? Van egy y = x2 - 3x + 3 parabolánk, ami az OX tengely felett helyezkedik el, nem negatív, mert ennek a parabolának minden pontja rendelkezik pozitív értékeket. Ezután megadjuk az x = 1 és x = 3 egyeneseket, amelyek párhuzamosan futnak a műveleti erősítő tengelyével, és a bal és jobb oldali ábra határvonalai. Nos, y = 0, ami egyben az x tengely is, ami alulról határolja az ábrát. A kapott ábra árnyékolt, amint az a bal oldali ábrán látható. Ebben az esetben azonnal megkezdheti a probléma megoldását. Előttünk áll egy egyszerű példa egy görbe trapézre, amelyet aztán a Newton-Leibniz képlet segítségével oldunk meg.

3.2. Az előző 3.1. bekezdésben azt az esetet vizsgáltuk, amikor egy ívelt trapéz helyezkedik el az x tengely felett. Tekintsük most azt az esetet, amikor a probléma feltételei azonosak, kivéve, hogy a függvény az x tengely alatt van. A standard Newton-Leibniz képlethez mínusz kerül. Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan lehet megoldani egy ilyen problémát.

2. példa. Számítsa ki az ábra területét, amelyet az y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 egyenesek határolnak.

BAN BEN ebben a példában van egy y = x2 + 6x + 2 parabolánk, amely az OX tengely alól ered, egyenesek x = -4, x = -1, y = 0. Itt y = 0 korlátozza a kívánt számot felülről. Az x = -4 és x = -1 egyenesek azok a határok, amelyeken belül a határozott integrált számítani kell. Az ábra területének megkeresésére vonatkozó probléma megoldásának elve szinte teljesen egybeesik az 1. számú példával. Az egyetlen különbség az, hogy adott funkciót nem pozitív, és továbbra is folytonos az intervallumon [-4; -1] . Mit értesz azon, hogy nem pozitív? Amint az ábrán látható, az adott x-eken belüli alaknak kizárólag „negatív” koordinátái vannak, amit látnunk kell és emlékeznünk kell a feladat megoldása során. Az ábra területét a Newton-Leibniz képlet segítségével keressük, csak mínuszjellel az elején.

A cikk nincs befejezve.

Térjünk át az integrálszámítás alkalmazásaira. Ebben a leckében megvizsgáljuk a síkfigura területének meghatározott integrál segítségével történő kiszámításának tipikus és leggyakoribb problémáját. Végül, hadd találják meg mindazok, akik értelmet keresnek a magasabb matematikában. Sose tudhatod. Közelebb kell hoznunk az életben vidéki nyaralóövezet elemi függvényeket, és egy határozott integrál segítségével keresse meg a területét.

Az anyag sikeres elsajátításához a következőket kell tennie:

1) Értse a határozatlan integrált legalább középszinten. Így a bábuknak először meg kell ismerkedniük az Ő leckével.

2) Legyen képes a Newton-Leibniz képlet alkalmazására és a határozott integrál kiszámítására. Melegen állítsa be baráti kapcsolatokat határozott integrálokkal a Határozott integrál oldalon találhatók. Példák megoldásokra. A „Számítsd ki a területet határozott integrál segítségével” feladat mindig rajz elkészítését jelenti, így a tudásod és a rajzkészséged is fontos kérdés lesz. Legalább tudnod kell egyenest, parabolát és hiperbolát alkotni.

Kezdjük egy ívelt trapézzel. Az ívelt trapéz egy lapos alak, amelyet valamilyen függvény grafikonja határol y = f(x), tengely ÖKÖRés vonalak x = a; x = b.

A görbe vonalú trapéz területe numerikusan egyenlő egy határozott integrállal

Minden határozott integrálnak (ami létezik) nagyon jó geometriai jelentése van. A Határozott integrál leckében. Példák megoldásokra azt mondtuk, hogy a határozott integrál egy szám. És most itt az ideje, hogy kijelentsünk még egyet hasznos tény. Geometria szempontjából a határozott integrál a TERÜLET. Vagyis egy bizonyos integrál (ha létezik) geometriailag megfelel egy bizonyos ábra területének. Tekintsük a határozott integrált

Integrand

definiál egy görbét a síkon (szükség esetén megrajzolható), és maga a határozott integrál numerikus területtel egyenlő megfelelő ívelt trapéz.

1. példa

, , , .

Ez egy tipikus hozzárendelési nyilatkozat. A legfontosabb pont megoldások - rajz. Ezenkívül a rajzot MEGFELELŐEN kell elkészíteni.

A rajz készítésekor a következő sorrendet javaslom: először célszerű az összes egyenest (ha van ilyen) megszerkeszteni, és csak ezután - parabolákat, hiperbolákat és egyéb függvények grafikonjait. A pontszerű szerkesztés technikája az Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai című referenciaanyagban található. Ott nagyon hasznos anyagokat is találhat leckénkhez - hogyan építsünk gyorsan egy parabolát.

Ebben a problémában a megoldás így nézhet ki.

Végezzük el a rajzot (figyeljük meg, hogy az egyenlet y= 0 adja meg a tengelyt ÖKÖR):

Egy ívelt trapézt nem árnyékolunk, itt nyilvánvaló, hogy melyik terület arról beszélünk. A megoldás így folytatódik:

A szakaszon [-2; 1] függvénygrafikon y = x 2 + 2 a tengely felett található ÖKÖR, Ezért:

Válasz: .

Akinek nehézségei vannak a határozott integrál kiszámításával és a Newton-Leibniz formula alkalmazásával

,

Lásd a Határozott integrál című előadást. Példák megoldásokra. A feladat elvégzése után mindig hasznos megnézni a rajzot, és rájönni, hogy a válasz valódi-e. Ebben az esetben „szemmel” számoljuk a rajz celláinak számát - nos, körülbelül 9 lesz, úgy tűnik, igaz. Teljesen egyértelmű, hogy ha mondjuk azt a választ kaptuk: 20 négyzetegység, akkor nyilvánvaló, hogy valahol hiba történt - 20 cella nyilván nem fér bele a kérdéses ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.

2. példa

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! xy = 4, x = 2, x= 4 és tengely ÖKÖR.

Ez egy példa erre önálló döntés. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Mi a teendő, ha ívelt trapéz található a tengely alatt ÖKÖR?

3. példa

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! y = volt, x= 1 és koordinátatengelyek.

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Ha egy ívelt trapéz teljesen a tengely alatt helyezkedik el ÖKÖR, akkor a területe a következő képlettel kereshető:

Ebben az esetben:

.

Figyelem! A két feladattípust nem szabad összekeverni:

1) Ha egyszerűen egy határozott integrált kell megoldani, geometriai jelentés nélkül, akkor az negatív lehet.

2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént tárgyalt képletben.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkon is elhelyezkedik, ezért a legegyszerűbb iskolai feladatoktól áttérünk az értelmesebb példákra.

4. példa

Keresse meg egy síkidom vonallal határolt területét y = 2x – x 2 , y = -x.

Megoldás: Először rajzot kell készítenie. Területi feladatokban rajz készítésekor leginkább az egyenesek metszéspontjaira vagyunk kíváncsiak. Keressük meg a parabola metszéspontjait y = 2x – x 2 és egyenes y = -x. Ezt kétféleképpen lehet megtenni. Az első módszer analitikus. Megoldjuk az egyenletet:

Eszközök, alsó határ integráció a= 0, az integráció felső határa b= 3. Gyakran kifizetődőbb és gyorsabb pontról pontra építeni az egyeneseket, és az integráció határai „önmaguktól” válnak egyértelművé. Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például a gráf elég nagy, vagy a részletes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális). Térjünk vissza a feladatunkhoz: racionálisabb először egyenest, majd csak utána parabolát szerkeszteni. Készítsük el a rajzot:

Ismételjük meg, hogy pontszerű konstrukciónál az integráció határait legtöbbször „automatikusan” határozzák meg.

És most munkaképlet:

Ha a szegmensen [ a; b] valamilyen folytonos függvény f(x) nagyobb vagy egyenlő, mint valamilyen folytonos függvény g(x), akkor a megfelelő ábra területét a következő képlet segítségével találhatja meg:

Itt már nem azon kell gondolkodni, hogy hol található az ábra - a tengely felett vagy a tengely alatt, hanem az a fontos, hogy melyik grafikon van MAGASABBAN (egy másik grafikonhoz viszonyítva) és melyik ALATT.

A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, és ezért a 2. x – x 2-t ki kell vonni – x.

A kész megoldás így nézhet ki:

A kívánt számot egy parabola korlátozza y = 2x – x 2 felül és egyenesen y = -x lent.

A 2. szegmensben x – x 2 ≥ -x. A megfelelő képlet szerint:

Válasz: .

Valójában a görbe vonalú trapéz területére vonatkozó iskolai képlet az alsó félsíkban (lásd a 3. példát) a képlet speciális esete

.

Mert a tengely ÖKÖR egyenlet adja meg y= 0, és a függvény grafikonja g(x) a tengely alatt található ÖKÖR, Azt

.

És most néhány példa a saját megoldásodhoz

5. példa

6. példa

Keresse meg egy alakzat vonallal határolt területét

Területszámítási feladatok határozott integrál használatával történő megoldása során néha előfordul vicces eset. A rajz helyesen készült, a számítások helyesek voltak, de figyelmetlenség miatt... rossz figura területét találták.

7. példa

Először készítsünk egy rajzot:

Az a figura, amelynek a területét meg kell találnunk, kék árnyalatú (figyelmesen nézze meg a feltételt - hogyan korlátozott a figura!). A gyakorlatban azonban a figyelmetlenség miatt gyakran úgy döntenek, hogy meg kell találniuk az alak árnyékolt területét zöld!

Ez a példa azért is hasznos, mert egy ábra területét két határozott integrál segítségével számítja ki. Igazán:

1) A szakaszon [-1; 1] a tengely felett ÖKÖR a grafikon egyenesen helyezkedik el y = x+1;

2) A tengely feletti szakaszon ÖKÖR egy hiperbola gráfja található y = (2/x).

Teljesen nyilvánvaló, hogy a területeket hozzá lehet (és kell) hozzáadni, ezért:

Válasz:

8. példa

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét!

Mutassuk be az egyenleteket „iskola” formában

és készíts pontról pontra rajzot:

A rajzból jól látszik, hogy a felső határunk „jó”: b = 1.

De mi az alsó határ?! Világos, hogy ez nem egész szám, de mi ez?

Lehet, a=(-1/3)? De hol a garancia arra, hogy a rajz tökéletes pontossággal készül, könnyen kiderülhet a=(-1/4). Mi van, ha rosszul építjük fel a gráfot?

Ilyen esetekben több időt kell fordítani, és analitikusan tisztázni kell az integráció határait.

Keressük meg a grafikonok metszéspontjait

Ehhez megoldjuk a következő egyenletet:

.

Ennélfogva, a=(-1/3).

A további megoldás triviális. A lényeg az, hogy ne keveredjünk össze a cserékben és a jelekben. A számítások itt nem a legegyszerűbbek. A szegmensen

, ,

a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

A lecke zárásaként nézzünk meg két nehezebb feladatot.

9. példa

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét!

Megoldás: Ábrázoljuk ezt az ábrát a rajzon.

Pontos rajz rajzolásához tudnia kell kinézet szinuszoidok. Általában hasznos ismerni az összes elemi függvény grafikonját, valamint néhány szinuszértéket. Ezek az értéktáblázatban találhatók trigonometrikus függvények. Egyes esetekben (például ebben az esetben) lehet vázlatos rajzot készíteni, amelyen alapvetően helyesen kell megjeleníteni az integráció grafikonjait és határait.

Az integráció korlátaival itt nincs probléma, ezek közvetlenül a feltételből következnek:

– „x” nulláról „pi”-re változik. Hozzunk egy további döntést:

Szegmensen egy függvény grafikonja y= bűn 3 x tengelye felett helyezkedik el ÖKÖR, Ezért:

(1) A trigonometrikus függvények integráljai című leckében láthatja, hogyan integrálódnak a szinuszok és koszinuszok páratlan hatványokba. Csípjük le az egyik sinusot.

(2) Az űrlapban a fő trigonometrikus azonosságot használjuk

(3) Változtassuk meg a változót t=cos x, akkor: a tengely felett helyezkedik el, ezért:

.

.

Megjegyzés: ügyeljen arra, hogyan veszi a kocka érintőjének integrálját, itt a fő következményét használjuk trigonometrikus azonosság

.