함수의 가장 큰 값을 찾는다는 것은 무엇을 의미합니까? 함수의 최대값과 최소값

이 서비스를 이용하면 다음과 같은 일을 할 수 있습니다. 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 찾기 Word 형식의 솔루션을 사용하는 하나의 변수 f(x). 따라서 함수 f(x,y)가 주어지면 두 변수 함수의 극값을 찾는 것이 필요합니다. 함수의 증가 및 감소 간격을 찾을 수도 있습니다.

기능 입력 규칙:

한 변수의 함수의 극한에 대한 필요 조건

한 변수의 함수의 극값에 대한 충분조건

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

그러면 x * 지점은 함수의 로컬(전역) 최소 지점입니다.

x * 지점에서 조건이 충족되면:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

그러면 점 x *는 지역(전역) 최대값입니다.

예 1. 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.
해결책.

임계점은 1 x 1 = 2(f'(x)=0)입니다. 이 지점은 세그먼트에 속합니다. (0∉이므로 x=0 지점은 중요하지 않습니다.)
세그먼트 끝과 임계점에서 함수 값을 계산합니다.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
답: x=2에서 f min = 5 / 2; x=1에서 f 최대 =9

예 2. 고차 도함수를 사용하여 함수 y=x-2sin(x) 의 극값을 구합니다.
해결책.
함수의 도함수를 구합니다: y'=1-2cos(x) . 임계점을 찾아봅시다: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y''=2sin(x)를 찾아 계산합니다. 이는 x= π / 3 +2πk를 의미하며, k∈Z는 함수의 최소 점입니다. , 이는 x=- π / 3 +2πk를 의미하며, k∈Z는 함수의 최대 점입니다.

예 번호 3. x=0 지점 근처에서 극한 함수를 조사합니다.
해결책. 여기서 함수의 극값을 찾는 것이 필요합니다. 극한값 x=0이면 해당 유형(최소값 또는 최대값)을 알아보세요. 발견된 점 중에 x = 0이 없으면 함수 f(x=0)의 값을 계산합니다.
주어진 점의 양쪽에 있는 도함수가 그 부호를 바꾸지 않을 때, 미분 가능한 함수에 대해서도 가능한 상황이 소진되지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 점 x 0의 한쪽에 있는 임의의 작은 이웃에 대해 발생할 수 있습니다. 양쪽에서 미분 변경 기호가 표시됩니다. 이 시점에서는 극한의 기능을 연구하기 위해 다른 방법을 사용할 필요가 있습니다.

함수의 최대값과 최소값

함수의 가장 큰 값은 가장 큰 값이고, 가장 작은 값은 모든 값 중에서 가장 작은 값입니다.

함수에는 가장 큰 값과 가장 작은 값이 하나씩만 있을 수도 있고 전혀 없을 수도 있습니다. 연속 함수의 최대값과 최소값을 찾는 것은 이러한 함수의 다음 속성을 기반으로 합니다.

1) 특정 구간(유한 또는 무한)에서 함수 y=f(x)가 연속이고 극값이 하나만 있고 이것이 최대(최소)인 경우 함수의 가장 큰(최소) 값이 됩니다. 이 간격에.

2) 함수 f(x)가 특정 세그먼트에서 연속적이면 반드시 이 세그먼트에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 갖습니다. 이 값은 세그먼트 내부에 있는 극점이나 이 세그먼트의 경계에서 도달됩니다.

세그먼트에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으려면 다음 구성표를 사용하는 것이 좋습니다.

1. 파생상품을 찾아보세요.

2. =0 또는 존재하지 않는 함수의 임계점을 찾습니다.

3. 임계점과 세그먼트 끝에서 함수 값을 찾아 그 중에서 가장 큰 f max와 가장 작은 f max를 선택합니다.

적용된 문제, 특히 최적화 문제를 해결할 때 간격 X에서 함수의 최대값과 최소값(전역 최대값 및 전역 최소값)을 찾는 문제가 중요합니다. 이러한 문제를 해결하려면 조건을 기반으로 해야 합니다. , 독립변수를 선택하고 이 변수를 통해 연구중인 값을 표현합니다. 그런 다음 결과 함수의 원하는 최대값 또는 최소값을 찾습니다. 이 경우 유한하거나 무한할 수 있는 독립변수의 변화 간격도 문제의 조건에 따라 결정된다.

예.상단이 개방되어 있고 하단이 정사각형이고 직육면체 모양인 탱크는 내부에 주석을 입혀야 합니다. 용량이 108 리터인 경우 탱크의 크기는 얼마입니까? 주석 도금 비용이 최소화되도록 물을 사용합니까?

해결책.주어진 용량에 대해 표면적이 최소화되면 주석으로 탱크를 코팅하는 비용이 최소화됩니다. 베이스의 측면을 adm, 탱크의 높이를 bdm으로 표시하겠습니다. 그러면 표면의 면적 S는 다음과 같습니다.

그리고

결과 관계는 저장소 S의 표면적(함수)과 밑면 a(인수) 사이의 관계를 설정합니다. 극값에 대한 함수 S를 살펴보겠습니다. 1차 도함수를 찾아 이를 0과 동일시하고 결과 방정식을 풀어보겠습니다.

따라서 a = 6입니다. (a) > 0(a > 6인 경우), (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

예. 함수의 최대값과 최소값 찾기 간격에.

해결책: 지정된 기능수직선 전체에서 연속이다. 함수의 파생

에 대한 파생어 및 . 다음 지점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다.

.

주어진 간격의 끝 부분에 있는 함수의 값은 동일합니다. 따라서, 가장 높은 가치함수는 at 과 같고, 함수의 가장 작은 값은 at 과 같습니다.

자가 테스트 질문

1. 형태의 불확실성을 드러내는 로피탈의 법칙을 공식화합니다. 목록 다양한 방식로피탈의 법칙을 사용할 수 있는 불확실성.

2. 함수의 증가 및 감소 기호를 공식화합니다.

3. 함수의 최대값과 최소값을 정의합니다.

4. 극한의 존재에 필요한 조건을 공식화하십시오.

5. 논증의 어떤 가치(어떤 점)를 비판적이라고 부르나요? 이 포인트를 찾는 방법은 무엇입니까?

6. 함수의 극값이 존재한다는 충분한 신호는 무엇입니까? 1차 도함수를 사용하여 극값에서 함수를 연구하는 방식을 개략적으로 설명합니다.

7. 2차 도함수를 사용하여 극값에서 함수를 연구하는 방식을 개략적으로 설명합니다.

8. 곡선의 볼록함과 오목함을 정의합니다.

9. 함수 그래프의 변곡점을 무엇이라고 하나요? 이러한 점을 찾는 방법을 나타냅니다.

10. 주어진 세그먼트에서 곡선의 볼록함과 오목함의 필요하고 충분한 표시를 공식화합니다.

11. 곡선의 점근선을 정의합니다. 함수 그래프의 수직, 수평 및 경사 점근선을 찾는 방법은 무엇입니까?

12. 개요 일반적인 계획함수를 연구하고 그래프를 구성합니다.

13. 주어진 구간에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 규칙을 공식화합니다.

이 기사에서 나는 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 알고리즘기능, 최소 및 최대 포인트.

이론상으로는 확실히 우리에게 유용할 것입니다. 파생 테이블그리고 차별화 규칙. 이 접시에 모든 것이 있습니다:

가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 알고리즘입니다.

설명하기가 더 편하네요 구체적인 예. 고려하다:

예:세그먼트 [–4;0]에서 함수 y=x^5+20x^3–65x의 가장 큰 값을 찾습니다.

1 단계.우리는 파생물을 취합니다.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 단계.극한점 찾기.

극점함수가 최대값 또는 최소값에 도달하는 지점을 호출합니다.

극점을 찾으려면 함수의 도함수를 0(y" = 0)과 동일시해야 합니다.

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

이제 이 bi를 해결해 봅시다. 이차 방정식발견된 뿌리는 우리의 극점입니다.

나는 t = x^2, 5t^2 + 60t - 65 = 0을 대체하여 이러한 방정식을 푼다.

방정식을 5만큼 줄이면 다음과 같은 결과를 얻습니다: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

x^2 = t를 역으로 변경합니다.

X_(1 및 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 및 4) = ±sqrt(-13) (제외합니다. 음수, 물론 복소수에 대해 이야기하지 않는 한)

합계: x_(1) = 1 및 x_(2) = -1 - 이것이 극점입니다.

3단계.가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정합니다.

대체 방법.

조건에서는 세그먼트 [b][–4;0]이 주어졌습니다. x=1 점은 이 세그먼트에 포함되지 않습니다. 그래서 우리는 그것을 고려하고 있지 않습니다. 그러나 점 x=-1 외에도 세그먼트의 왼쪽 및 오른쪽 경계, 즉 점 -4와 0도 고려해야 합니다. 이를 위해 이 세 점을 모두 원래 함수로 대체합니다. 원래의 것은 조건(y=x^5+20x^3–65x)에 주어진 것입니다. 어떤 사람들은 그것을 도함수로 대체하기 시작합니다...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

이는 함수의 가장 큰 값이 [b]44이고 세그먼트 [-4에서 함수의 최대 지점이라고 불리는 지점 [b]-1에서 달성됨을 의미합니다. 0].

우리는 답변을 결정하고 받았습니다. 훌륭합니다. 안심하셔도 됩니다. 하지만 그만해! y(-4)를 계산하는 것이 어쩐지 너무 어렵다고 생각하지 않나요? 시간이 제한된 상황에서는 다른 방법을 사용하는 것이 더 좋습니다. 저는 이를 다음과 같이 부릅니다.

부호 불변성의 간격을 통해.

이 간격은 함수의 미분, 즉 이차 방정식에 대해 발견됩니다.

나는 이렇게한다. 방향이 있는 부분을 그립니다. 나는 점을 -4, -1, 0, 1로 배치합니다. 주어진 세그먼트에 1이 포함되지 않는다는 사실에도 불구하고 부호의 불변성 간격을 올바르게 결정하려면 이를 기록해야 합니다. 1보다 몇 배 더 큰 숫자, 예를 들어 100을 선택하고 이를 2차 방정식 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65로 정신적으로 대체해 보겠습니다. 아무것도 계산하지 않더라도 지점 100에서 함수에는 더하기 기호가 있습니다. 이는 1부터 100까지의 간격에 더하기 기호가 있음을 의미합니다. 1을 통과할 때(오른쪽에서 왼쪽으로 이동) 함수는 부호를 마이너스로 변경합니다. 지점 0을 통과할 때 함수는 해당 부호를 유지합니다. 이는 방정식의 근이 아니라 세그먼트의 경계일 뿐이기 때문입니다. -1을 통과하면 함수는 부호를 다시 플러스로 변경합니다.

이론을 통해 우리는 함수의 도함수가 어디에 있는지 알고 있습니다. (그리고 우리는 이를 위해 이것을 정확하게 그렸습니다.) 부호를 플러스에서 마이너스로 변경 (우리의 경우 포인트 -1)기능 도달 지역 최대값 (y(-1)=44, 앞에서 계산한 대로)이 세그먼트에서 (이것은 논리적으로 매우 이해하기 쉽습니다. 함수가 최대 값에 도달하고 감소하기 시작했기 때문에 증가가 중지되었습니다).

따라서, 함수의 도함수는 부호를 마이너스에서 플러스로 변경, 성취됐다 함수의 국소 최소값. 예, 예, 우리는 또한 지역 최소점이 1이고 y(1)이 세그먼트에 있는 함수의 최소값(예: -1에서 +)이라는 것을 발견했습니다. 지불 하십시요 큰 관심, 이는 LOCAL MINIMUM, 즉 특정 세그먼트의 최소값일 뿐입니다. 함수의 실제(전역) 최소값은 -무한대 어딘가에 도달하기 때문입니다.

제 생각에는 첫 번째 방법이 이론적으로 더 간단하고 두 번째 방법이 산술 연산의 관점에서는 더 간단하지만 이론의 관점에서는 훨씬 더 복잡합니다. 결국 함수가 방정식의 근을 통과할 때 부호가 변경되지 않는 경우가 있으며 일반적으로 이러한 로컬, 전역 최대값 및 최소값과 혼동될 수 있습니다. 기술 대학에 입학할 계획입니다(그리고 왜 프로필 통합 상태 시험에 응시하고 이 문제를 해결해야 하는지). 그러나 연습과 연습만이 그러한 문제를 완전히 해결하는 방법을 가르쳐 줄 것입니다. 그리고 저희 웹사이트에서 훈련하실 수 있습니다. 여기 .

궁금한 점이 있거나 불분명한 부분이 있으면 반드시 물어보세요. 기꺼이 답변해 드리며 기사를 변경하고 추가하겠습니다. 우리가 이 사이트를 함께 만들고 있다는 것을 기억하세요!

그리고 그것을 해결하려면 주제에 대한 최소한의 지식이 필요합니다. 다음편이 끝나요 학년, 모두가 휴가를 가고 싶어합니다. 이 순간을 더 가깝게 만들기 위해 바로 요점을 말씀드리겠습니다.

지역부터 시작해 보겠습니다. 조건에 언급된 지역은 제한된 닫은 평면의 점 집합입니다. 예를 들어 전체 삼각형을 포함하여 삼각형으로 둘러싸인 점 집합 (만약에 국경적어도 한 지점을 "찔러내면" 해당 영역이 더 이상 닫히지 않습니다). 실제로는 직사각형, 원형, 약간 더 큰 영역도 있습니다. 복잡한 모양. 수학적 분석 이론에서는 엄격한 정의가 제공된다는 점에 유의해야 합니다. 한계, 고립, 경계 등, 그러나 나는 모든 사람들이 이러한 개념을 직관적인 수준에서 알고 있다고 생각하며 이제 더 이상 필요하지 않습니다.

평평한 지역은 표준적으로 문자로 표시되며 일반적으로 여러 방정식으로 분석적으로 지정됩니다. (반드시 선형일 필요는 없음); 불평등이 덜 자주 발생합니다. 일반적인 표현: “폐쇄 구역, 선으로 경계 ».

고려 중인 작업의 필수적인 부분은 도면에 영역을 구성하는 것입니다. 어떻게 하나요? 나열된 모든 선을 그려야 합니다(이 경우 3 똑바로) 무슨 일이 일어났는지 분석해 보세요. 검색된 영역은 일반적으로 밝은 음영으로 표시되며 해당 영역의 경계는 두꺼운 선으로 표시됩니다.


동일한 영역을 설정할 수도 있습니다. 선형 부등식: , 어떤 이유로든 목록이 아닌 열거 목록으로 작성되는 경우가 많습니다. 체계.
경계는 지역에 속하므로 모든 불평등은 물론 느슨한.

그리고 이제 작업의 본질입니다. 축이 원점에서 사용자를 향해 직선으로 나온다고 상상해 보세요. 다음과 같은 기능을 고려해보세요. 마디 없는 각지역 포인트. 이 함수의 그래프는 일부를 나타냅니다. 표면, 그리고 작은 행복은 오늘날의 문제를 해결하기 위해 이 표면이 어떻게 생겼는지 알 필요가 없다는 것입니다. 더 높거나 더 낮거나 평면과 교차할 수 있습니다. 이 모든 것은 중요하지 않습니다. 그리고 다음이 중요합니다. Weierstrass의 정리, 마디 없는 V 제한된 폐쇄함수가 가장 큰 값에 도달하는 영역 (최고")그리고 최소한 (가장 낮은")찾아야 할 가치. 그러한 가치가 달성됩니다 또는 V 고정점, 지역에 속하는디 , 또는이 지역의 경계에 있는 지점에서. 이는 간단하고 투명한 솔루션 알고리즘으로 이어집니다.

실시예 1

제한적으로 폐쇄된 공간

해결책: 우선 도면에 해당 영역을 묘사해야 합니다. 불행하게도 문제에 대한 대화형 모델을 만드는 것은 기술적으로 어렵기 때문에 연구 중에 발견된 모든 "의심스러운" 점을 보여주는 최종 그림을 즉시 제시하겠습니다. 일반적으로 발견된 대로 차례로 나열됩니다.

전문에 기초하여 결정은 편리하게 두 가지 사항으로 나눌 수 있습니다.

I) 고정점을 찾습니다. 이것은 우리가 수업 시간에 반복적으로 수행한 표준 동작입니다. 여러 변수의 극값에 대해:

정지점 발견 속한다지역: (그림에 표시해 두세요), 이는 주어진 지점에서 함수의 값을 계산해야 함을 의미합니다.

- 기사에서처럼 세그먼트에 대한 함수의 최대값과 최소값, 중요한 결과는 굵은 글씨로 강조하겠습니다. 연필로 노트에 따라 그리는 것이 편리합니다.

우리의 두 번째 행복에 주목하세요. 확인할 필요가 없습니다. 극한의 충분조건. 왜? 예를 들어 특정 지점에서 기능이 도달하더라도 지역 최소값, 결과 값이 다음과 같다는 의미는 아닙니다. 최소한의지역 전반에 걸쳐 (수업 시작 부분 참조 무조건적인 극단에 대해) .

정지점이 해당 영역에 속하지 않는 경우 어떻게 해야 합니까? 거의 아무것도! 이 점에 유의하고 다음 사항으로 넘어가야 합니다.

II) 우리는 지역의 경계를 탐색합니다.

경계는 삼각형의 변으로 구성되므로 연구를 3개의 하위 섹션으로 나누는 것이 편리합니다. 하지만 어쨌든 하지 않는 것이 좋습니다. 내 관점에서는 먼저 좌표축에 평행한 세그먼트와 우선 축 자체에 있는 세그먼트를 고려하는 것이 더 유리합니다. 행동의 전체 순서와 논리를 파악하려면 "한숨에"결말을 연구해보십시오.

1) 삼각형의 밑변을 다루겠습니다. 이렇게 하려면 함수에 직접 대체하십시오.

또는 다음과 같이 할 수도 있습니다.

기하학적으로 이는 좌표 평면을 의미합니다. (이는 방정식으로도 제공됩니다)"조각" 표면"공간적" 포물선, 그 꼭대기가 즉시 의심을 받습니다. 알아 보자 그 사람은 어디에 있어?:

– 결과 값이 해당 영역에 "떨어졌고" 그 시점에서 그 결과가 나올 수도 있습니다. (그림에 표시되어 있음)함수는 전체 영역에서 가장 큰 값 또는 가장 작은 값에 도달합니다. 어떤 식으로든 계산을 해보겠습니다.

물론 다른 "후보"는 세그먼트의 끝입니다. 포인트에서 함수의 값을 계산해 봅시다 (그림에 표시되어 있음):

그런데 여기서는 "스트립다운(stripped-down)" 버전을 사용하여 구두 미니 검사를 수행할 수 있습니다.

2) 연구용 오른쪽우리는 함수에 삼각형을 대입하고 "정리"합니다.

여기에서는 이미 처리된 세그먼트 끝을 "벨 울리는" 대략적인 검사를 즉시 수행합니다.
, 엄청난.

기하학적 상황은 이전 요점과 관련이 있습니다.

– 결과 값도 "우리 관심 영역에 들어왔습니다." 즉, 나타난 지점의 함수가 다음과 같은지 계산해야 함을 의미합니다.

세그먼트의 두 번째 끝을 살펴보겠습니다.

기능 사용 , 제어 확인을 수행해 보겠습니다.

3) 아마도 나머지 부분을 탐색하는 방법은 누구나 추측할 수 있을 것입니다. 이를 함수로 대체하고 단순화를 수행합니다.

세그먼트의 끝 이미 연구되었지만 초안에서는 함수를 올바르게 찾았는지 확인합니다. :
– 첫 번째 하위 단락의 결과와 일치합니다.
– 두 번째 하위 단락의 결과와 일치합니다.

세그먼트 내부에 흥미로운 것이 있는지 알아내는 것이 남아 있습니다.

- 있어요! 방정식에 직선을 대입하면 이 "흥미로움"의 세로 좌표를 얻습니다.

도면에 한 점을 표시하고 해당 함수 값을 찾습니다.

"예산" 버전을 사용하여 계산을 확인해 보겠습니다. :
, 주문하다.

그리고 마지막 단계: 우리는 모든 "굵은" 숫자를 주의 깊게 살펴봅니다. 초보자는 단일 목록도 만드는 것이 좋습니다.

그 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다. 답변찾기 문제의 스타일로 적어보자 세그먼트에 대한 함수의 최대값과 최소값:

만일을 대비하여 결과의 ​​기하학적 의미에 대해 다시 한 번 설명하겠습니다.
– 이곳은 해당 지역의 표면에서 가장 높은 지점입니다.
– 이곳은 해당 지역의 표면에서 가장 낮은 지점입니다.

분석된 작업에서 우리는 7개의 "의심스러운" 지점을 식별했지만 그 수는 작업마다 다릅니다. 삼각형 영역의 경우 최소 "연구 세트"는 세 개의 점으로 구성됩니다. 예를 들어 함수가 다음을 지정할 때 이런 일이 발생합니다. 비행기– 고정된 점이 없으며 함수는 삼각형의 꼭지점에서만 최대/최소 값에 도달할 수 있다는 것이 완전히 명확합니다. 그러나 유사한 예는 한두 개뿐입니다. 일반적으로 몇 가지를 처리해야 합니다. 2차 표면.

그런 문제를 조금만 해결하면 삼각형이 머리를 핑핑 돌게 만들 수 있기 때문에 정사각형으로 만들 수 있는 특이한 예를 준비했습니다 :))

실시예 2

함수의 최대값과 최소값 찾기 선으로 둘러싸인 폐쇄된 공간에서

실시예 3

제한된 닫힌 영역에서 함수의 최대값과 최소값을 찾습니다.

특별한 관심지역 경계를 연구하는 합리적인 순서와 기술뿐만 아니라 계산 오류를 거의 완전히 피할 수 있는 중간 점검 체인에도 주의를 기울이십시오. 일반적으로 말하면 원하는 방식으로 해결할 수 있지만 예 2와 같은 일부 문제에서는 인생을 훨씬 더 어렵게 만들 가능성이 있습니다. 수업이 끝나면 최종 과제의 대략적인 샘플입니다.

솔루션 알고리즘을 체계화해 보겠습니다. 그렇지 않으면 거미로서의 부지런함으로 인해 첫 번째 예의 긴 주석 스레드에서 어떻게든 길을 잃었습니다.

– 첫 번째 단계에서는 영역을 구축하고 영역을 음영 처리하고 굵은 선으로 테두리를 강조 표시하는 것이 좋습니다. 해결하는 동안 도면에 표시해야 할 점이 나타납니다.

– 고정점을 찾고 함수 값을 계산합니다. 그 중에만해당 지역에 속하는 것입니다. 텍스트에서 결과 값을 강조 표시합니다(예: 연필로 동그라미 표시). 정지 지점이 해당 지역에 속하지 않는 경우 이 사실을 아이콘으로 표시하거나 구두로 표시합니다. 고정점이 전혀 없다면, 고정점이 없다는 서면 결론을 도출합니다. 어쨌든 이 점은 건너뛸 수 없습니다!

– 우리는 지역의 경계를 탐색하고 있습니다. 첫째, 좌표축에 평행한 직선을 이해하는 것이 유익합니다. (아무것도 있다면). 또한 "의심스러운" 지점에서 계산된 함수 값을 강조 표시합니다. 솔루션 기술에 대해 위에서 많은 내용이 언급되었으며 아래에서 다른 내용이 언급될 것입니다. 읽고, 다시 읽고, 자세히 살펴보세요!

– 선택한 숫자 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택하고 답하세요. 때로는 함수가 한 번에 여러 지점에서 이러한 값에 도달하는 경우가 있습니다. 이 경우 이러한 모든 지점이 답변에 반영되어야 합니다. 예를 들어, 그리고 이것이 가장 작은 값이라는 것이 밝혀졌습니다. 그럼 그걸 적어보자

최종 예제는 다른 사용자에게 헌정되었습니다. 유용한 아이디어이는 실제로 유용할 것입니다:

실시예 4

닫힌 영역에서 함수의 최대값과 최소값 찾기 .

나는 면적이 이중 부등식의 형태로 주어진 저자의 공식을 유지했습니다. 이 조건은 동등한 시스템으로 작성되거나 이 문제에 대한 보다 전통적인 형식으로 작성될 수 있습니다.

나는 당신에게 그것을 상기시켜줍니다 비선형우리는 불평등에 직면했습니다. 표기법의 기하학적 의미를 이해하지 못한다면 지체하지 말고 지금 당장 상황을 명확히하십시오.-)

해결책언제나 그렇듯, 일종의 "단독"을 나타내는 영역을 구성하는 것으로 시작됩니다.

흠, 가끔은 과학이라는 화강암도 씹어먹어야 할 때가 있지...

I) 고정점 찾기:

시스템은 바보의 꿈입니다 :)

정지점은 지역에 속합니다. 즉, 지역의 경계에 있습니다.

그래서 괜찮아요... 수업은 잘 진행됐어요. 이것이 바로 차를 마신다는 뜻이에요 =)

II) 우리는 지역의 경계를 탐색합니다. 더 이상 고민하지 말고 x축부터 시작해 보겠습니다.

1) 그렇다면

포물선의 꼭지점이 어디에 있는지 찾아봅시다:
– 그러한 순간에 감사하십시오. – 모든 것이 이미 명확해지는 지점까지 바로 "적중"했습니다. 하지만 우리는 여전히 다음 사항을 확인하는 것을 잊지 않습니다.

세그먼트 끝의 함수 값을 계산해 보겠습니다.

2) "한 번에" "단일"의 아래쪽 부분을 다루겠습니다. 복합체 없이 이를 함수로 대체하고 해당 세그먼트에만 관심을 갖습니다.

제어:

이것은 이미 널링 트랙을 따라 단조로운 운전에 약간의 흥분을 가져옵니다. 중요한 점을 찾아봅시다:

결정하자 이차 방정식, 이것에 대해 또 기억나는 게 있나요? ...그러나 물론 기억하세요. 그렇지 않으면 이 줄을 읽지 못할 것입니다. =) 앞의 두 예에서 계산이 소수(그건 그렇고 드물지만) 일반적인 것들이 여기서 우리를 기다리고 있습니다 공통 분수. 우리는 "X" 근을 찾고 방정식을 사용하여 "후보" 지점의 해당 "게임" 좌표를 결정합니다.


찾은 지점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다.

기능을 직접 확인해 보세요.

이제 우리는 우승 트로피를주의 깊게 연구하고 적습니다 답변:

이들은 "후보자"이고 이들은 "후보자"입니다!

스스로 해결하려면:

실시예 5

함수의 최소값과 최대값 찾기 폐쇄된 공간에서

중괄호가 있는 항목은 다음과 같습니다. "a set of points such that."

때때로 그러한 예에서 그들은 다음을 사용합니다. 라그랑주 승수법, 그러나 실제로 사용할 필요는 없을 것 같습니다. 예를 들어, 동일한 면적 "de"를 가진 함수가 주어지면 그 함수로 대체한 후 파생물을 사용하면 어려움이 없습니다. 또한 위쪽 및 아래쪽 반원을 별도로 고려할 필요 없이 모든 것이 "한 줄"(기호 포함)로 작성됩니다. 그러나 물론 더 많은 것이 있습니다 복잡한 사례, 라그랑주 함수가 없는 경우 (예를 들어 는 원의 방정식과 같습니다)푹 쉬지 않고는 살기 힘든 것처럼 살기도 어렵습니다!

모두들 즐거운 시간 보내시고 다음 시즌에 곧 만나요!

솔루션 및 답변:

예 2: 해결책: 그림에 해당 영역을 묘사해 보겠습니다.

함수의 가장 큰(최소) 값은 고려된 구간에서 허용되는 세로 좌표의 가장 큰(최소) 값입니다.

함수의 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 특정 세그먼트에 어떤 고정점이 포함되어 있는지 확인하세요.
2. 세그먼트의 끝과 위치에서 함수의 값을 계산합니다. 고정점포인트 3부터
3. 얻은 결과에서 가장 큰 값 또는 가장 작은 값을 선택합니다.

최대 또는 최소 포인트를 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 함수 $f"(x)$의 도함수를 구합니다.
2. $f"(x)=0$ 방정식을 풀어 고정점을 찾습니다.
3. 함수의 도함수를 인수분해합니다.
4. 좌표선을 그리고 그 위에 고정점을 배치한 다음 3단계의 표기법을 사용하여 결과 간격에서 도함수의 부호를 결정합니다.
5. 규칙에 따라 최대 또는 최소 점을 찾습니다. 한 점에서 미분 기호가 플러스에서 마이너스로 변경되면 이것이 최대 점이 됩니다(마이너스에서 플러스로이면 이것이 최소 점이 됩니다). 실제로는 간격에 따라 화살표 이미지를 사용하는 것이 편리합니다. 도함수가 양수인 간격에서는 화살표가 위쪽으로 그려지고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

일부 기본 함수의 파생물 표:

차별화의 기본 규칙

1. 합과 차의 도함수는 각 항의 도함수와 같습니다.

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

함수 $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$의 도함수를 구합니다.

합과 차의 도함수는 각 항의 도함수와 같습니다.

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. 제품의 파생물.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

도함수 구하기 $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. 몫의 미분

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

도함수 구하기 $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. 파생상품 복잡한 기능파생 상품의 곱과 같습니다. 외부 기능내부 함수의 미분으로

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - 죄(5x)∙5= -5sin(5x)$

함수 $y=2x-ln⁡(x+11)+4$의 최소점을 찾습니다.

1. 함수의 ODZ를 찾습니다: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ 함수의 도함수를 구합니다.

3. 도함수를 0으로 동일시하여 고정점을 찾습니다.

$(2x+21)/(x+11)=0$

분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.

$2x+21=0; x≠-11$

4. 좌표선을 그리고 그 위에 고정점을 배치하고 결과 간격에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다. 이렇게 하려면 가장 오른쪽 영역의 숫자를 도함수(예: 0)로 대체합니다.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. 최소점에서 미분의 부호는 마이너스에서 플러스로 바뀌므로 $-10.5$ 점이 최소점입니다.

답변: $-10.5$

$[-5;1]$ 세그먼트에서 $y=6x^5-90x^3-5$ 함수의 가장 큰 값을 찾습니다.

1. $y′=30x^4-270x^2$ 함수의 도함수를 구합니다.

2. 도함수를 0과 동일시하고 고정점을 찾습니다.

$30x^4-270x^2=0$

괄호에서 총 인수 $30x^2$를 빼봅시다.

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

각 요소를 0으로 동일시합시다

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. 주어진 세그먼트 $[-5;1]$에 속하는 정지점을 선택합니다.

고정점 $x=0$ 및 $x=-3$가 적합합니다.

4. 세그먼트 끝과 3단계의 정지 지점에서 함수 값을 계산합니다.