온라인에서 미분법을 사용하여 주어진 함수를 탐색해 보세요. 나의 숙련된 여행 노트

이 페이지에서 우리는 함수 연구에 대한 가장 완전한 정보를 수집하려고 노력했습니다. 더 이상 인터넷 검색을 하지 마세요! 읽고, 연구하고, 다운로드하고, 선택한 링크를 따라가세요.

연구의 일반적인 설계

그것은 무엇을 위한 것입니까?이 연구에서 가장 정교한 기능을 위해 구축될 서비스가 많이 있는지 묻습니다. 주어진 함수의 속성과 특징을 알아내기 위해: 무한대에서 함수가 어떻게 동작하는지, 부호가 얼마나 빨리 변하는지, 얼마나 부드럽거나 급격하게 증가하거나 감소하는지, 볼록성의 "혹"이 어디로 향하는지, 값이 어디에 있는지 등이 정의되지 않았습니다.

그리고 이러한 "기능"을 기반으로 그래프의 레이아웃이 구성됩니다. 이는 실제로 부차적인 그림입니다(교육 목적으로는 중요하고 결정의 정확성을 확인하지만).

물론 시작합시다. 계획. 기능 연구 - 체적 문제(아마도 그림을 포함하여 일반적으로 2~4페이지에 달하는 전통적인 고등 수학 과정 중 가장 방대할 것임) 따라서 수행할 작업을 어떤 순서로 잊지 않기 위해 아래 설명된 사항을 따릅니다.

연산

정의 영역을 찾아보세요. 특수 지점(중단 지점)을 선택합니다.
불연속점과 정의 영역의 경계에 수직 점근선이 있는지 확인합니다.
좌표축과의 교차점을 찾습니다.
함수가 짝수인지 홀수인지 확인합니다.
함수가 주기적인지 여부를 결정합니다. 삼각함수).
극점과 단조성 간격을 찾습니다.
변곡점과 볼록-오목 간격을 찾아보세요.
경사 점근선을 찾습니다. 무한대의 행동을 조사합니다.
추가 점을 선택하고 해당 좌표를 계산합니다.
그래프와 점근선을 구성합니다.

안에 다양한 소스(교과서, 매뉴얼, 선생님의 강의) 목록의 형식은 이 목록과 다를 수 있습니다. 일부 항목은 교체되거나, 다른 항목과 결합되거나, 단축되거나 제거됩니다. 결정을 내릴 때 교사의 요구 사항/선호도를 고려하십시오.

PDF 형식의 연구 다이어그램: 다운로드.

온라인 전체 예제 솔루션

지휘하다 완전한 연구그리고 $$ y(x)=\frac(x^2+8)(1-x) 함수를 플로팅합니다. $$

1) 함수의 영역. 함수는 분수이므로 분모의 0을 찾아야 합니다. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ 함수 정의 영역에서 유일한 점 $x=1$을 제외하고 다음을 얻습니다. $$ D(y)=(-\ infty; 1) \컵 (1;+\infty). $$

2) 불연속점 부근에서 함수의 거동을 연구해 보자. 일방적인 한계를 찾아봅시다:

극한이 무한대이므로 점 $x=1$은 제2종 불연속점이고 직선 $x=1$은 수직 점근선입니다.

3) 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 결정합니다.

$x=0$과 동일시되는 세로축 $Oy$와의 교차점을 찾아보겠습니다.

따라서 $Oy$ 축과의 교차점은 $(0;8)$ 좌표를 갖습니다.

$y=0$을 설정한 가로축 $Ox$와의 교차점을 찾아보겠습니다.

방정식에는 근이 없으므로 $Ox$ 축과 교차점이 없습니다.

$x$에 대해 $x^2+8>0$에 유의하세요. 따라서 $x \in (-\infty; 1)$에 대해 $y>0$ 함수는 ( 양수 값, 그래프는 가로좌표 위에 있습니다), $x \in (1; +\infty)$에서 $y\lt 0$ 함수(음수 값을 취하고, 그래프는 가로좌표 아래에 있습니다).

4) 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

5) 주기성에 대한 함수를 검토합니다. 이 함수는 분수 유리함수이므로 주기적이지 않습니다.

6) 극한성과 단조성에 대한 함수를 조사합니다. 이를 위해 함수의 1차 도함수를 찾습니다.

1차 도함수를 0과 동일시하고 다음을 구해 보겠습니다. 고정점($y"=0$):

우리는 세 가지 중요한 점을 얻었습니다: $x=-2, x=1, x=4$. 함수 정의의 전체 영역을 이러한 점을 사용하여 간격으로 나누고 각 간격에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다.

$x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$의 경우 도함수 $y" \lt 0$이므로 함수는 이 간격에서 감소합니다.

$x \in (-2; 1), (1;4)$ 도함수 $y" >0$일 때 함수는 이 간격에서 증가합니다.

이 경우 $x=-2$는 지역 최소점(함수는 감소했다가 증가함)이고, $x=4$는 지역 최대점(함수가 증가했다가 감소함)입니다.

다음 지점에서 함수의 값을 찾아 보겠습니다.

따라서 최소 포인트는 $(-2;4)$이고 최대 포인트는 $(4;-8)$입니다.

7) 꼬임과 볼록함에 대한 기능을 조사합니다. 함수의 2차 도함수를 찾아보겠습니다.

2차 도함수를 0과 동일시해 보겠습니다.

결과 방정식에는 근이 없으므로 변곡점이 없습니다. 게다가 $x \in (-\infty; 1)$이 $y"" \gt 0$을 만족할 때, 즉 함수는 오목함수이고, $x \in (1;+\infty)$가 $를 만족할 때 y"" \ lt 0$, 즉 함수는 볼록합니다.

8) 무한대, 즉 에서 함수의 동작을 살펴보겠습니다.

극한이 무한하기 때문에 수평 점근선은 없습니다.

$y=kx+b$ 형식의 경사 점근선을 구해 봅시다. 알려진 공식을 사용하여 $k, b$의 값을 계산합니다.

우리는 함수에 하나의 경사 점근선 $y=-x-1$이 있다는 것을 발견했습니다.

9) 추가 포인트. 그래프를 보다 정확하게 구성하기 위해 다른 지점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다.

$$y(-5)=5.5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9.5. $$

10) 얻은 데이터를 바탕으로 그래프를 구성하고 점근선 $x=1$(파란색), $y=-x-1$(녹색)으로 보완하고 특징점(세로축과 보라색 교차점, 주황색 극값, 검정색 추가 포인트):

함수 탐색 솔루션의 예

다양한 함수(다항식, 로그, 분수)가 연구 중 자체 특성(불연속, 점근선, 극값 수, 제한된 지역정의) 따라서 여기서는 가장 일반적인 유형의 기능을 연구하기 위한 테스트 예제를 수집하려고 했습니다. 재미있게 배워보세요!

작업 1.미분법을 사용하여 함수를 조사하고 그래프를 구성합니다.

$$y=\frac(e^x)(x).$$

작업 2.함수를 탐색하고 그래프를 구성합니다.

$$y=-\frac(1)(4)(x^3-3x^2+4).$$

작업 3.함수의 도함수를 사용하여 함수를 탐색하고 그래프를 그립니다.

$$y=\ln \frac(x+1)(x+2).$$

작업 4.함수에 대한 완전한 연구를 수행하고 그래프를 그립니다.

$$y=\frac(x)(\sqrt(x^2+x)).$$

작업 5.미분법을 사용하여 함수를 조사하고 그래프를 구성합니다.

$$y=\frac(x^3-1)(4x^2).$$

작업 6.극값, 단조성, 볼록성에 대한 함수를 조사하고 그래프를 구성합니다.

$$y=\frac(x^3)(x^2-1).$$

작업 7.그래프를 그려 함수에 대한 연구를 수행합니다.

$$y=\frac(x^3)(2(x+5)^2).$$

온라인으로 차트를 작성하는 방법은 무엇입니까?

선생님이 과제 제출을 요구하더라도 손으로 쓴, 상자 안의 종이에 그림을 그리면 솔루션의 진행 상황을 확인하고 모양을 비교하기 위해 결정하는 동안 특별 프로그램(또는 서비스)에서 그래프를 작성하는 것이 매우 유용할 것입니다. 수동으로 얻은 결과를 사용하여 계산에서 오류를 찾을 수도 있습니다(그래프가 확실히 다르게 동작하는 경우).

아래에는 거의 모든 기능을 위한 편리하고 빠르며 아름다운 무료 그래픽을 구축할 수 있는 사이트에 대한 여러 링크가 있습니다. 실제로 그러한 서비스가 더 많이 있지만 최고의 서비스를 선택했는지 살펴볼 가치가 있습니까?

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영어로 된 공식 지침, 예제 및 비디오 지침은 여기에서 찾을 수 있습니다: Desmos 배우기.

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멋지고 오래된 대중 과학 영화 "수학. 함수 및 그래프". 문자 그대로의 기본적인 설명을 손끝에서 바로 확인할 수 있습니다.

$y= \frac(x^3)(1-x) $ 함수를 연구하고 그래프를 만들어 봅시다.

1. 정의의 범위.
유리 함수(분수)의 정의 영역은 다음과 같습니다. 분모는 0이 아닙니다. 즉 $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. 도메인 $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. 기능 중단점 및 분류.
함수에는 하나의 중단점이 있습니다. x = 1
x= 1인 점을 조사해 봅시다. 불연속점의 오른쪽과 왼쪽, 오른쪽으로 $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ 및 점의 왼쪽 $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ 이 는 두 번째 종류의 불연속점이므로 단측 극한은 $\infty$와 같습니다.

직선 $x = 1$은 수직 점근선입니다.

3. 기능 패리티.
패리티 $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $를 확인합니다. 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

4. 함수의 0(Ox 축과의 교차점). 함수의 상수 부호 간격.
함수 0( Ox 축과의 교차점): $y=0$과 동일시하면 $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $을 얻습니다. 곡선에는 좌표 $(0;0)$가 있는 Ox 축과 하나의 교차점이 있습니다.

함수의 상수 부호 간격.
고려된 구간 $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$에서 곡선은 Ox 축과 하나의 교차점을 가지므로 세 구간에 대한 정의 영역을 고려할 것입니다.

정의 영역의 간격에 따라 함수의 부호를 결정해 보겠습니다.
간격 $(-\infty; 0) $ 임의의 지점에서 함수의 값을 찾습니다. $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
간격 $(0; 1) $ 우리는 임의의 점 $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $에서 함수의 값을 찾습니다. 이 간격에서 함수는 다음과 같습니다. 양수 $f(x ) > 0 $, 즉 Ox 축 위에 위치합니다.
간격 $(1;+\infty) $ 임의의 점에서 함수의 값을 찾습니다 $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy 축과의 교차점: $x=0$을 동일시하면 $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$을 얻습니다. Oy 축과의 교차점 좌표 $(0; 0)$

6. 단조로움의 간격. 함수의 극값.
임계(정상) 점을 찾아봅시다. 이를 위해 1차 도함수를 구하고 이를 0과 동일시합니다. $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$는 0과 같음 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ 이 시점에서 함수의 값을 구해보자 $ f(0) = 0$ 및 $f(\frac(3)(2)) = -6.75$. 좌표 $(0;0)$ 및 $(1.5;-6.75)$의 두 가지 중요한 점을 얻었습니다.

단조로움의 간격.
함수에는 2개의 임계점(가능한 극점)이 있으므로 4개의 간격에 대한 단조성을 고려합니다.
간격 $(-\infty; 0) $ 간격 $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. )^2) >
구간 \((0;1)$ 구간 $f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. 2) > 0$ , 이 간격에 걸쳐 함수가 증가합니다.
구간 $(1;1.5)$ 구간 $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. 2) > 0$ , 이 간격에 걸쳐 함수가 증가합니다.
간격 $(1.5; +\infty)$ 간격 $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

함수의 극값.

함수를 연구할 때 정의 영역의 간격에서 두 가지 중요한(고정) 지점을 얻었습니다. 극단적인지 판단해보자. 임계점을 통과할 때 미분 부호의 변화를 고려해 보겠습니다.

점 $x = 0$ 도함수는 $\quad +\quad 0 \quad + \quad$로 부호를 변경합니다. 점은 극값이 아닙니다.
점 $x = 1.5$ 도함수는 $\quad +\quad 0 \quad - \quad$로 부호를 변경합니다. 점은 최대 점입니다.

7. 볼록함과 오목함의 간격. 변곡점.

볼록함과 오목함의 간격을 찾기 위해 함수의 2차 도함수를 찾아 이를 0과 동일시합니다. $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$0과 같음 $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ 이 함수에는 좌표 $(0;0)$가 있는 두 번째 종류의 임계점이 하나 있습니다. .
두 번째 종류의 임계점(가능한 변곡점)을 고려하여 정의 영역의 간격에 대한 볼록성을 정의해 보겠습니다.

간격 $(-\infty; 0)$ 임의의 점에서 2차 도함수 값을 찾습니다. $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
간격 $(0; 1)$ 임의의 점에서 2차 도함수의 값을 찾습니다. $f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 $, 이 구간에서 함수의 2차 도함수는 양수 $f""(x) > 0 $입니다. 함수는 아래쪽으로 볼록합니다(볼록).
간격 $(1; \infty)$ 임의의 점에서 2차 도함수 값을 찾습니다. $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

변곡점.

제2종 임계점을 통과할 때 이차 도함수 부호의 변화를 고려해 보겠습니다.
$x =0$ 점에서 2차 도함수는 $\quad - \quad 0 \quad + \quad$로 부호를 변경하고 함수 그래프는 볼록성을 변경합니다. 즉, 이는 좌표 $(0;0)$의 변곡점입니다.

8. 점근선.

수직 점근선. 함수의 그래프에는 하나의 수직 점근선 $x =1$이 있습니다(문단 2 참조).
경사 점근선.
$x \to \infty$에서 함수 $y= \frac(x^3)(1-x) $의 그래프가 기울어진 점근선 $y = kx+b$을 갖기 위해서는 , 그것은 필요하고 충분하므로 두 가지 한계가 있습니다 $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$우리는 $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ 및 두 번째 극한 $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, 왜냐하면 $k = \infty$ - 경사 점근선이 없습니다.

수평 점근선:수평 점근선이 존재하려면, 한계가 있어야 합니다 $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ 그것을 찾아봅시다 $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ 무한$$
수평 점근선은 없습니다.

9. 함수 그래프.