잘린 피라미드의 측면 영역. 피라미드

이번 단원에서는 잘린 피라미드를 살펴보고, 일반적인 잘린 피라미드에 대해 알아보고, 그 특성을 연구합니다.

삼각뿔의 예를 사용하여 n각형 피라미드의 개념을 떠올려 보겠습니다. 삼각형 ABC가 주어집니다. 삼각형의 평면 외부에는 삼각형의 꼭지점에 연결된 점 P가 있습니다. 생성된 다면체 표면을 피라미드라고 합니다(그림 1).

쌀. 1. 삼각뿔

피라미드 밑면과 평행한 평면으로 피라미드를 자릅니다. 이 평면들 사이에서 얻은 그림을 잘린 피라미드라고 합니다(그림 2).

쌀. 2. 잘린 피라미드

필수 요소:

상부베이스;

ABC 하부 베이스;

측면;

PH가 원래 피라미드의 높이이면 잘린 피라미드의 높이입니다.

잘린 피라미드의 특성은 구성 방법, 즉 밑면 평면의 평행성에서 발생합니다.

잘린 피라미드의 모든 측면은 사다리꼴입니다. 예를 들어 가장자리를 생각해 보십시오. 평행한 평면의 특성을 가지고 있지만(평면이 평행하기 때문에 원래 AVR 피라미드의 측면을 평행한 직선을 따라 절단함) 동시에 평행하지 않습니다. 분명히 사변형은 잘린 피라미드의 모든 측면과 마찬가지로 사다리꼴입니다.

밑면의 비율은 모든 사다리꼴에서 동일합니다.

유사성 계수가 동일한 여러 쌍의 유사한 삼각형이 있습니다. 예를 들어 삼각형과 RAB는 평면의 평행성과 유사성 계수로 인해 유사합니다.

동시에 삼각형과 RVS는 유사성 계수와 유사합니다.

분명히 세 쌍의 유사 삼각형 모두에 대한 유사성 계수는 ​​동일하므로 밑변의 비율은 모든 사다리꼴에 대해 동일합니다.

정각뿔은 정뿔을 밑면과 평행한 평면으로 절단하여 얻은 절단 피라미드이다(그림 3).

쌀. 3. 정절두뿔

정의.

피라미드의 밑면이 정n각형이고 정점이 이 n각형의 중심(내접원과 외접원의 중심)으로 투영되면 피라미드라고 합니다.

이 경우 피라미드의 밑면에는 정사각형이 있고 상단은 대각선의 교차점에 투영됩니다. 결과로 생성된 정사각형 잘린 피라미드 ABCD에는 아래쪽 밑면과 위쪽 밑면이 있습니다. 원래 피라미드의 높이는 RO이고 잘린 피라미드는 (그림 4)입니다.

쌀. 4. 정사각형 잘린 피라미드

정의.

잘린 피라미드의 높이는 한 밑면의 임의의 점에서 두 번째 밑변의 평면까지 그어진 수직선입니다.

원래 피라미드의 변심은 RM(M은 AB의 중간)이고, 잘린 피라미드의 변심은 (그림 4)입니다.

정의.

잘린 피라미드의 변심은 측면의 높이입니다.

잘린 피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 동일하다는 것이 분명합니다. 즉 측면은 동일한 이등변 사다리꼴입니다.

규칙적으로 잘린 피라미드의 측면 표면적은 밑면과 변심의 둘레 합계의 절반과 같습니다.

증명(정규 사각뿔뿔의 경우 - 그림 4):

따라서 우리는 다음을 증명해야 합니다.

여기서 측면의 면적은 측면 면적의 합인 사다리꼴로 구성됩니다. 사다리꼴은 동일하므로 다음을 얻습니다.

정사각형 이등변 사다리꼴는 밑변과 높이의 합의 절반이고, 변심은 사다리꼴의 높이입니다. 우리는:

Q.E.D.

n각형 피라미드의 경우:

여기서 n은 피라미드의 측면 수이고 a와 b는 사다리꼴의 밑면이며 apothem입니다.

베이스의 측면은 규칙적으로 잘립니다. 사각뿔 3cm와 9cm, 높이 - 4cm와 같으며 측면의 면적을 구합니다.

쌀. 5. 문제 1에 대한 그림

해결책. 조건을 설명해 보겠습니다.

질문자: , ,

점 O를 통해 아래쪽 밑면의 두 측면에 평행한 직선 MN을 그리고 마찬가지로 점을 통해 직선을 그립니다(그림 6). 잘린 피라미드 밑면의 사각형과 구조가 평행하기 때문에 측면과 동일한 사다리꼴을 얻습니다. 또한 그 측면은 측면의 위쪽 및 아래쪽 가장자리의 중간점을 통과하고 잘린 피라미드의 정점이 됩니다.

쌀. 6. 추가 공사

결과 사다리꼴을 고려해 봅시다(그림 6). 이 사다리꼴에서는 위쪽 밑면, 아래쪽 밑면 및 높이가 알려져 있습니다. 주어진 잘린 피라미드의 변이 되는 면을 찾아야 합니다. MN에 수직으로 그려봅시다. 이 지점에서 수직 NQ를 낮춥니다. 우리는 더 큰 밑면이 3센티미터 단위로 나누어져 있음을 발견했습니다(). 직각삼각형을 생각해 보세요. 그 안에 있는 다리는 다음과 같습니다. 이집트의 삼각형, 피타고라스 정리를 사용하여 빗변의 길이를 5cm로 결정합니다.

이제 피라미드의 측면 표면적을 결정하는 모든 요소가 있습니다.

피라미드는 밑면과 평행한 평면과 교차합니다. 삼각뿔의 예를 사용하여 피라미드의 측면 모서리와 높이가 이 평면에 의해 비례적인 부분으로 나누어진다는 것을 증명하십시오.

증거. 설명해 보겠습니다.

쌀. 7. 문제 2에 대한 그림

RABC 피라미드가 제공됩니다. PO - 피라미드의 높이. 피라미드는 평면으로 절단되고 잘린 피라미드가 얻어집니다. 점 - RO 높이와 잘린 피라미드 바닥면의 교차점. 다음을 증명해야 합니다.

이 솔루션의 핵심은 평행 평면의 속성입니다. 두 개의 평행 평면은 세 번째 평면과 교차하여 교차선이 평행합니다. 여기에서: . 해당 선의 평행성은 4쌍의 유사한 삼각형이 있음을 의미합니다.

삼각형의 유사성에서 해당 변의 비례가 따릅니다. 중요한 기능즉, 이 삼각형의 유사성 계수는 ​​동일합니다.

Q.E.D.

밑면의 높이와 측면을 갖는 정삼각형 피라미드 RABC는 밑면 ABC와 평행한 높이 PH의 중앙을 통과하는 평면에 의해 해부됩니다. 결과 잘린 피라미드의 측면 표면적을 찾으십시오.

해결책. 설명해 보겠습니다.

쌀. 8. 문제 3에 대한 그림

ACB는 정삼각형이고, H는 이 삼각형의 중심(내접원과 외접원의 중심)입니다. RM은 주어진 피라미드의 기원입니다. - 잘린 피라미드의 변덕. 평행 평면의 속성(두 개의 평행 평면이 세 번째 평면을 절단하여 교차선이 평행이 됨)에 따라 유사성 계수가 동일한 여러 쌍의 유사한 삼각형이 있습니다. 특히 우리는 다음과 같은 관계에 관심이 있습니다.

NM을 찾아보자. 이것은 밑면에 새겨진 원의 반지름이며 해당 공식을 알고 있습니다.

이제 피타고라스 정리를 사용하여 직각삼각형 PHM에서 원래 피라미드의 근원인 RM을 찾습니다.

초기 비율에서:

이제 우리는 잘린 피라미드의 측면 면적을 찾는 모든 요소를 ​​알고 있습니다.

그래서 우리는 절두뿔과 정절두뿔의 개념을 알게 되었고, 기본적인 정의를 내리고, 성질을 검토하고, 측면 면적에 대한 정리를 증명했습니다. 다음 수업에서는 문제 해결에 중점을 둘 것입니다.

서지

  1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. 기하학. 10-11학년: 학생들을 위한 교과서 교육 기관(기본 및 프로필 수준) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5판, 개정판. 그리고 추가 - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 p .: 아픈.
  2. Sharygin I. F. 기하학. 10-11학년: 일반 교육 교과서 교육 기관/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p .: 아픈.
  3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. 기하학. 10학년: 수학에 대한 심층적이고 전문적인 학습을 제공하는 일반 교육 기관을 위한 교과서 /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6판, 고정관념. -M .: Bustard, 2008. - 233 p .: 아픈.
  1. Uztest.ru ().
  2. Fmclass.ru ().
  3. Webmath.exponta.ru ().

숙제

  • 29.05.2016

    진동 회로 - 전기 회로, 인덕터, 커패시터 및 전기 에너지 소스를 포함합니다. 회로소자들을 직렬로 연결하면 발진회로를 직렬(Serial), 병렬로 연결하면 병렬(Parallel)이라 한다. 진동 회로 - 가장 간단한 시스템, 자유 전자기 진동이 발생할 수 있습니다. 회로의 공진 주파수는 소위 Thomson 공식에 의해 결정됩니다: f = 1/(2π√(LC)) For ...

  • 20.09.2014

    수신기는 DV 범위(150kHz~300kHz)의 신호를 수신하도록 설계되었습니다. 수신기의 주요 특징은 기존 자기 안테나보다 인덕턴스가 더 높은 안테나입니다. 이를 통해 4~20pF 범위의 튜닝 커패시터 커패시턴스를 사용할 수 있으며, 이러한 수신기는 허용 가능한 감도와 RF 경로에서 약간의 이득을 갖습니다. 수신기는 헤드폰(헤드폰)용으로 작동하며 전원이 공급됩니다...

  • 24.09.2014

    이 장치는 액체가 최대 수준으로 상승하자마자 탱크의 액체 레벨을 모니터링하도록 설계되었습니다. 확립된 수준액체 레벨이 임계 수준에 도달하면 장치에서 지속적으로 신호음이 울리기 시작합니다.간헐적으로 신호음이 울리기 시작합니다. 표시기는 2개의 발전기로 구성되며 센서 요소 E에 의해 제어됩니다. 최대 레벨의 탱크에 배치됩니다.

  • 22.09.2014

    KR1016VI1은 ILC3-5\7 표시기와 함께 작동하도록 설계된 디지털 다중 프로그램 타이머입니다. 현재 시간(시, 분), 요일 및 제어 채널 번호(9개 알람)를 계산하고 표시합니다. 알람 시계 회로가 그림에 나와 있습니다. 마이크로 회로가 클럭됩니다. 32768Hz의 공진기 Q1. 음식이 마이너스이면 총 플러스는 ...

피라미드. 잘린 피라미드

피라미드는 다면체이며 그 중 하나는 다각형입니다( 베이스 ), 다른 모든 면은 공통 꼭지점( 옆면 ) (그림 15). 피라미드라고 불리는 옳은 , 밑면이 정다각형이고 피라미드의 꼭대기가 밑면의 중심으로 투영된 경우(그림 16). 모든 모서리가 동일한 삼각형 피라미드를 호출합니다. 사면체 .



측면 갈비뼈피라미드의 밑면에 속하지 않는 측면의 측면 키 피라미드는 꼭대기에서 밑면까지의 거리입니다. 일반 피라미드의 모든 측면 모서리는 서로 동일하며 모든 측면은 동일한 이등변 삼각형입니다. 꼭지점에서 그린 정뿔의 옆면의 높이를 변심 . 대각선 섹션 동일한 면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면을 피라미드의 단면이라고 합니다.

측면 표면적피라미드는 모든 측면의 면적의 합입니다. 총 표면적 모든 측면과 밑면의 면적의 합이라고 합니다.

정리

1. 피라미드에서 모든 측면 모서리가 밑면에 대해 동일한 경사를 이룬다면 피라미드의 꼭대기는 밑면 근처에 외접하는 원의 중심으로 투영됩니다.

2. 피라미드의 모든 측면 모서리에 동일한 길이, 그러면 피라미드의 꼭대기가 밑면 근처에 외접하는 원의 중심으로 투영됩니다.

3. 피라미드의 모든 면이 밑면에 대해 동일한 기울어지면 피라미드의 꼭대기가 밑면에 내접하는 원의 중심으로 투영됩니다.

임의의 피라미드의 부피를 계산하려면 올바른 공식은 다음과 같습니다.

어디 V- 용량;

S 베이스– 기본 지역

시간– 피라미드의 높이.

일반 피라미드의 경우 다음 공식이 정확합니다.

어디 피– 기본 둘레;

하– 변심;

시간- 키;

S 가득

S측

S 베이스– 기본 지역

V– 일반 피라미드의 부피.

잘린 피라미드피라미드의 밑면과 평행한 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 피라미드 부분이라고 합니다(그림 17). 정절두뿔 피라미드의 밑면과 평행한 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 일반 피라미드의 일부라고 합니다.

원인잘린 피라미드 - 유사한 다각형. 측면 – 사다리꼴. 키 잘린 피라미드의 밑면 사이의 거리입니다. 대각선 잘린 피라미드는 같은 면에 있지 않은 꼭지점을 연결하는 선분입니다. 대각선 섹션 동일한 면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면에 의한 잘린 피라미드의 단면입니다.


잘린 피라미드의 경우 다음 공식이 유효합니다.

(4)

어디 에스 1 , 에스 2 – 상부 및 하부 베이스 영역;

S 가득- 전체 표면적

S측– 측면 표면적;

시간- 키;

V– 잘린 피라미드의 부피.

일반 잘린 피라미드의 경우 공식이 정확합니다.

어디 피 1 , 피 2 - 베이스의 둘레;

하– 일반적인 잘린 피라미드의 변덕.

예시 1.오른쪽에서 삼각뿔베이스의 2면각은 60°입니다. 경사각의 탄젠트 구하기 옆갈비뼈기본 평면에.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 18).


피라미드는 정삼각형입니다. 즉, 밑면에 정삼각형이 있고 모든 측면이 동일한 이등변삼각형임을 의미합니다. 밑면의 2면각은 밑면에 대한 피라미드 측면의 경사각입니다. 선형 각도는 각도입니다. ㅏ두 수직 사이: 등. 피라미드의 꼭대기는 삼각형의 중심(삼각형의 외접원과 내접원의 중심)에 투영됩니다. 알파벳). 측면 가장자리의 경사각(예: S.B.)는 모서리 자체와 베이스 평면에 대한 투영 사이의 각도입니다. 갈비뼈의 경우 S.B.이 각도가 각도가 될 거예요 SBD. 접선을 찾으려면 다리를 알아야 합니다. 그래서그리고 O.B.. 세그먼트의 길이를 보자 BD 3과 같음 ㅏ. 점 에 대한선분 BD부분으로 나뉘어져 있습니다. 그리고 우리는 그래서: 우리는 다음을 찾습니다:

답변:

예시 2.밑면의 대각선이 cm 및 cm이고 높이가 4cm인 경우 잘린 정사각형 피라미드의 부피를 구합니다.

해결책.잘린 피라미드의 부피를 찾으려면 공식 (4)를 사용합니다. 밑면의 넓이를 찾으려면 밑변의 대각선을 알고 밑면 사각형의 변을 찾아야 합니다. 밑면의 변은 각각 2cm와 8cm입니다. 이는 밑면의 면적을 의미하며 모든 데이터를 공식에 대입하여 잘린 피라미드의 부피를 계산합니다.

답변: 112cm 3.

예시 3.밑면의 변이 10cm와 4cm이고 피라미드의 높이가 2cm인 정삼각뿔의 옆면의 넓이를 구하십시오.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 19).


이 피라미드의 측면은 이등변 사다리꼴입니다. 사다리꼴의 넓이를 계산하려면 밑변과 높이를 알아야 합니다. 베이스는 조건에 따라 주어지며, 높이만 알 수 없습니다. 우리는 그녀를 어디에서 찾을 것인가 ㅏ 1 이자형한 점에서 수직 ㅏ 1 하부 베이스의 평면에, ㅏ 1 디– 수직 ㅏ 1개당 교류. ㅏ 1 이자형= 2cm, 이는 피라미드의 높이이기 때문입니다. 찾다 드평면도를 보여주는 추가 그림을 만들어 보겠습니다(그림 20). 점 에 대한– 상부 및 하부 베이스의 중심 투영. 이후(그림 20 참조)와 반면에 좋아요– 원에 새겨진 반경 옴– 원 안에 새겨진 반경:

MK = DE.

피타고라스의 정리에 따르면

측면 면적:


답변:

예시 4.피라미드의 바닥에는 이등변 사다리꼴이 있으며, 그 밑면은 ㅏ그리고 비 (ㅏ> 비). 각 측면은 피라미드 밑면과 동일한 각도를 형성합니다. 제이. 피라미드의 전체 표면적을 구하십시오.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 21). 피라미드의 전체 표면적 SABCD면적과 사다리꼴 면적의 합과 같습니다. ABCD.

피라미드의 모든 면이 밑면에 대해 똑같이 기울어져 있으면 꼭지점은 밑면에 새겨진 원의 중심에 투영된다는 진술을 사용해 보겠습니다. 점 에 대한– 정점 투영 에스피라미드의 바닥에. 삼각형 잔디는 삼각형의 직교 투영이다 CSD베이스의 평면에. 평면 도형의 직교 투영 영역에 대한 정리를 사용하여 다음을 얻습니다.


마찬가지로 뜻은 따라서 문제는 사다리꼴의 넓이를 찾는 것으로 축소되었습니다. ABCD. 사다리꼴을 그려보자 ABCD별도로(그림 22). 점 에 대한– 사다리꼴에 새겨진 원의 중심.


원은 사다리꼴에 새겨질 수 있으므로 피타고라스 정리에서 우리는 다음을 얻습니다.



친구들과 공유하세요:
관련 출판물