Тоон интервалууд. Тоон сегмент, интервал, хагас интервал, туяаг тоон интервал гэж нэрлэдэг Тоон интервалын хүснэгт

B) Тооны мөр

Тоон шугамыг авч үзье (Зураг 6):

Рационал тоонуудын багцыг авч үзье

Рационал тоо бүрийг тооны тэнхлэг дээрх тодорхой цэгээр илэрхийлнэ. Тиймээс тоонууд нь зураг дээр тэмдэглэгдсэн байна.

Үүнийг баталцгаая.

Баталгаа.Бутархай тоо байг: . Бид энэ фракцыг бууруулж болохгүй гэж үзэх эрхтэй. -ээс хойш - тоо нь тэгш байна: - сондгой. Түүний илэрхийлэлийг орлуулбал: -ийг олно, энэ нь тэгш тоо гэсэн үг. Бид мэдэгдлийг нотлох зөрчилдөөнийг олж авлаа.

Тэгэхээр тооны тэнхлэг дээрх бүх цэгүүд оновчтой тоог илэрхийлдэггүй. Рационал тоонуудыг төлөөлдөггүй цэгүүд нь дуудагдсан тоог илэрхийлдэг үндэслэлгүй.

, , хэлбэрийн дурын тоо нь бүхэл тоо эсвэл иррационал тоо юм.

Тоон интервалууд

Тоон сегмент, интервал, хагас интервал, туяаг тоон интервал гэнэ.

Координатын шугам дээрх тоонуудыг төлөөлүүлье аТэгээд б, түүнчлэн тоо xтэдний хооронд.

Нөхцөлийг хангасан бүх тоонуудын багц a ≤ x ≤ b, дуудсан тоон сегментэсвэл зүгээр л хэсэг. Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: [ a; б] - Энэ нь дараах байдалтай байна: a-аас b хүртэлх хэсэг.

Нөхцөлийг хангасан тооны багц а< x < b , дуудсан интервал. Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: ( a; б)

Энэ нь дараах байдалтай байна: a-аас b хүртэлх зай.

a ≤ x нөхцлийг хангасан тооны багц< b или а<x ≤ b, гэж нэрлэдэг хагас интервалууд. Тэмдэглэл:

≤ x-г тохируулна уу< b обозначается так:[a; б), дараах байдлаар уншина: хагас интервалаас аөмнө б, үүнд а.

Цөөн хэдэн а<x ≤ bдараах байдлаар заасан байна :( a; б], ингэж уншина: хагас интервалаас аөмнө б, үүнд б.

Одоо төсөөлөөд үз дээ Рэйцэгтэй а, баруун болон зүүн талд нь олон тооны тоо байдаг.

а, нөхцөлийг хангасан x ≥ a, дуудсан тоон цацраг.

Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: [ a; +∞)-Ингэж уншина: нь тоон туяа анэмэх хязгааргүй.

Цэгийн баруун талд байгаа тоонуудын багц а, тэгш бус байдалд харгалзах x>a, дуудсан нээлттэй тооны цацраг.

Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: ( a; +∞)-Ингэж уншина: -аас нээлттэй тоон туяа анэмэх хязгааргүй.

а, нөхцөлийг хангасан x ≤ a, дуудсан хасах хязгааргүй хүртэлх тоон туяаа .

Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон:( - ∞; а]-Ингэж уншина: хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх тоон туяа а.

Цэгийн зүүн талд байгаа тоонуудын багц а, тэгш бус байдалд харгалзах x< a , дуудсан Нээлттэй тооны туяа хасах хязгаарааса .

Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: ( - ∞; а)-Ингэж уншина: хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх нээлттэй тооны туяа а.

Бодит тоонуудын багцыг бүхэл бүтэн координатын шугамаар илэрхийлнэ. Түүнийг дууддаг тооны шугам. Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлсон: ( - ∞; + ∞ )

3) Нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, тэдгээрийн шийдлүүд:

Хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай тэгшитгэл эсвэл нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, нэг хувьсагчтай тэгшитгэл нь 3(2x+7)=4x-1 байна.

Тэгшитгэлийн үндэс буюу шийдэл нь тухайн тэгшитгэл жинхэнэ тоон тэгшитгэл болох хувьсагчийн утга юм. Жишээлбэл, 1-ийн тоо нь 2x+5=8x-1 тэгшитгэлийн шийдэл юм. x2+1=0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь тэгшитгэлийн зүүн тал үргэлж тэгээс их байна. (x+3)(x-4) =0 тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x1= -3, x2=4.

Тэгшитгэлийг шийдэх нь түүний бүх язгуурыг олох эсвэл үндэс байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм.

Хэрэв эхний тэгшитгэлийн бүх язгуурууд нь хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс ба эсрэгээр, хоёр дахь тэгшитгэлийн бүх язгуур нь эхний тэгшитгэлийн язгуур эсвэл хоёулаа язгуургүй бол тэгшитгэлийг эквивалент гэнэ. Жишээлбэл, x-8=2 ба x+10=20 тэгшитгэлүүд нь тэнцүү, учир нь Эхний тэгшитгэлийн язгуур x=10 нь мөн хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс бөгөөд хоёр тэгшитгэл хоёулаа ижил язгууртай.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараах шинж чанаруудыг ашиглана.

Хэрэв та тэгшитгэлийн гишүүнийг нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилбөл өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг авах болно.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна.

x нь хувьсагч, a ба b нь зарим тоо байх ax=b тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.

Хэрэв a¹0 бол тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.

Хэрэв a=0, b=0 бол тэгшитгэл нь x-ийн дурын утгад хангагдана.

Хэрэв a=0, b¹0 бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь 0x=b нь хувьсагчийн ямар ч утгын хувьд гүйцэтгэгдэхгүй.
Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд: -8(11-2х)+40=3(5х-4)

Тэгшитгэлийн хоёр талын хаалтуудыг нээж, x-тэй бүх гишүүнийг тэгшитгэлийн зүүн тал руу, х-г агуулаагүй гишүүдийг баруун тал руу шилжүүлье.

16х-15х=88-40-12

Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд:

x3-2x2-98x+18=0;

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь шугаман биш боловч ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж болохыг харуулах болно.

3х2-5х=0; x(3x-5)=0. Бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү, хэрэв хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бид x1=0 болно; x2= .

Хариулт: 0; .

Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), i.e. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Эндээс харахад энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь x1=2, x2=3, x3=-3 тоонууд юм.

в) 7x-ийг 3x+4x гэж төсөөлөөд үз дээ: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, иймээс x1=-3, x2=- 4.

Хариулт: -3; - 4.
Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Тооны модулийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Жишээ нь: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

Энэ тэгшитгэлд модулийн тэмдгийн доор x-1 ба x+1 тоонууд байна. Хэрэв x нь –1-ээс бага бол x+1 тоо сөрөг, ½x+1½=-x-1. Хэрэв x>-1 бол ½x+1½=x+1 болно. x=-1 ½x+1½=0 үед.

Тиймээс,

Үүний нэгэн адил

a) Энэ тэгшитгэлийг x £-1-ийн хувьд½x+1½+½x-1½=3 гэж үзье, энэ нь -x-1-x+1=3, -2x=3, x= тэгшитгэлтэй тэнцүү, энэ тоо олонлогт хамаарна x £ -1.

б) -1 гэж үзье< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) x>1 тохиолдлыг авч үзье.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Энэ тоо нь x>1 олонлогт хамаарна.

Хариулт: x1=-1.5; x2=1.5.
Жишээ 4. Тэгшитгэлийг шийд:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

"Интервалаар" модулийн тэмдгийг илчлэх тэгшитгэлийн шийдлийн товч бичлэгийг үзүүлье.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Хариулт: [-2; 0]
Жишээ 5. a параметрийн бүх утгын хувьд (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2) тэгшитгэлийг шийд.

Энэ тэгшитгэлд үнэндээ хоёр хувьсагч байгаа боловч x-г үл мэдэгдэх, а-г параметр гэж үзнэ. a параметрийн дурын утгын хувьд x хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

Хэрэв a=1 бол тэгшитгэл нь 0×x=0 хэлбэртэй байна; дурын тоо энэ тэгшитгэлийг хангана.

Хэрэв a=-1 бол тэгшитгэл нь 0×x=-2 шиг харагдана; нэг ч тоо энэ тэгшитгэлийг хангаж чадахгүй.

Хэрэв a¹1, a¹-1 бол тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.

Хариулт: хэрэв a=1 бол x дурын тоо;

хэрэв a=-1 бол шийдэл байхгүй;

Хэрэв a¹±1 бол .

B) Нэг хувьсагчтай шугаман тэгш бус байдал.

Хэрэв х хувьсагчид ямар нэгэн тоон утга өгөгдсөн бол бид үнэн эсвэл худал мэдэгдлийг илэрхийлсэн тоон тэгш бус байдлыг олж авна. Жишээлбэл, 5x-1>3x+2 тэгш бус байдлыг өгье. x=2-ын хувьд 5·2-1>3·2+2 – үнэн илэрхийлэл (үнэн тоон илэрхийлэл); x=0-ийн хувьд бид 5·0-1>3·0+2 – худал мэдэгдлийг авна. Хувьсагчтай өгөгдсөн тэгш бус байдал нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болж хувирах хувьсагчийн аливаа утгыг тэгш бус байдлын шийдэл гэнэ. Хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь түүний бүх шийдлийн олонлогийг олох гэсэн үг юм.

Эдгээр тэгш бус байдлын шийдүүдийн багц давхцаж байвал ижил x хувьсагчтай хоёр тэгш бус байдлыг эквивалент гэнэ.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол санаа нь дараах байдалтай байна: бид өгөгдсөн тэгш бус байдлыг өөр, илүү энгийн, гэхдээ өгөгдсөнтэй тэнцэхүйцээр солино; бид дахин үүссэн тэгш бус байдлыг үүнтэй дүйцэхүйц энгийн тэгш бус байдлаар солих гэх мэт.

Ийм орлуулалтыг дараах мэдэгдлийн үндсэн дээр хийсэн болно.

Теорем 1. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын аль нэг гишүүнийг эсрэг тэмдэгтэй тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлж, тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй бол өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгш бус байдал гарна.

Теорем 2. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоогоор үржүүлээд хуваавал тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй бол өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгш бус байдал гарна.

Теорем 3. Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил сөрөг тоогоор үржүүлж, хуваах үед тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөхөд өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгш бус байдал гарна.

ax+b>0 хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шугаман гэж нэрлэдэг (тус тусад нь ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Жишээ 1. Тэгш бус байдлыг шийд: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Хаалтуудыг нээвэл бид 2x-6+5-5x³6x-15,

Тоон интервалд туяа, сегмент, интервал, хагас интервал орно.

Тоон интервалын төрлүүд

Хүснэгтэнд аТэгээд бхилийн цэгүүд бөгөөд x- тоон интервалд хамаарах дурын цэгийн координатыг авч чадах хувьсагч.

Хилийн цэг- энэ нь тоон интервалын хил хязгаарыг тодорхойлдог цэг юм. Хилийн цэг нь тоон интервалд хамаарах эсвэл хамаарахгүй байж болно. Зураг дээр авч үзэж буй тоон интервалд хамааралгүй хилийн цэгүүдийг нээлттэй тойрог, тэдгээрт хамаарахыг дүүргэсэн тойрогоор зааж өгсөн болно.

Нээлттэй ба хаалттай цацраг

Нээлттэй цацрагЭнэ олонлогт ороогүй хилийн цэгийн нэг талд байрлах шулуун дээрх цэгүүдийн багц юм. Цацрага нь түүнд хамааралгүй хилийн цэг учраас яг нээлттэй гэж нэрлэгддэг.

2-оос их координаттай, тиймээс 2-р цэгийн баруун талд байрлах координатын шулуун дээрх цэгүүдийн багцыг авч үзье.

Ийм олонлогийг тэгш бус байдлаар тодорхойлж болно x> 2. Нээлттэй туяаг хаалтанд - (2; +∞) ашиглан тэмдэглэсэн бөгөөд энэ оруулга дараах байдлаар бичигдэнэ: хоёроос нэмэх хязгаар хүртэл нээлттэй тоон туяа.

Тэгш бус байдал тохирох олонлог x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Хаалттай цацрагөгөгдсөн олонлогт хамаарах хилийн цэгийн нэг талд байрлах шулуун дээрх цэгүүдийн багц юм. Зураг дээр авч үзэж буй багцад хамаарах хилийн цэгүүдийг дүүргэсэн тойрогоор зааж өгсөн болно.

Хаалттай тооны цацрагууд нь хатуу бус тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог. Жишээлбэл, тэгш бус байдал x 2 ба x 2-ыг дараах байдлаар дүрсэлж болно.

Эдгээр хаалттай цацрагуудыг дараах байдлаар тэмдэглэв: , үүнийг ингэж уншина: хоёроос нэмэх хязгаар хүртэл тоон туяа, хасах хязгааргүйгээс хоёр хүртэлх тоон туяа. Тэмдэглэгээний дөрвөлжин хаалт нь 2-р цэг нь тоон интервалд хамаарах болохыг харуулж байна.

Шугамын сегмент

Шугамын сегменттухайн олонлогт хамаарах хоёр хилийн цэгийн хооронд орших шулуун дээрх цэгүүдийн олонлог юм. Ийм олонлогууд нь давхар хатуу бус тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог.

-2 ба 3 цэгт төгсгөлтэй координатын шугамын сегментийг авч үзье.

Өгөгдсөн хэрчмийг бүрдүүлдэг цэгүүдийн багцыг -2 давхар тэгш бус байдлаар тодорхойлж болно x 3 буюу [-2; 3], ийм бичлэгийг дараах байдлаар уншина: хасах хоёроос гурав хүртэлх хэсэг.

Интервал ба хагас интервал

Интервал- энэ нь энэ олонлогт хамааралгүй хоёр хилийн цэгийн хооронд орших шулуун дээрх цэгүүдийн багц юм. Ийм олонлогууд нь давхар хатуу тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог.

-2 ба 3 цэгт төгсгөлтэй координатын шугамын сегментийг авч үзье.

Өгөгдсөн интервалыг бүрдүүлдэг цэгүүдийн багцыг -2 давхар тэгш бус байдлаар тодорхойлж болно< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Хагас интервалнь хоёр хилийн цэгийн хооронд орших шулуун дээрх цэгүүдийн олонлог бөгөөд тэдгээрийн нэг нь олонлогт хамаарах, нөгөө нь хамаарахгүй. Ийм олонлогуудыг давхар тэгш бус байдлаар тодорхойлно.

Эдгээр хагас интервалыг дараах байдлаар тэмдэглэв: (-2; 3] ба [-2; 3]. Үүнийг ингэж уншина: хасах хоёроос гурав хүртэлх хагас интервал, 3-ыг оруулаад, хасах хоёроос гурав хүртэлх хагас интервал, хасах хоёрыг оруулаад.

Хариулт - (-∞;+∞) олонлогийг тооны шулуун гэж нэрлэдэг бөгөөд дурын тоо нь энэ шулуун дээрх цэг юм. δ ба тооны шулуун дээрх дурын цэг байг

Эерэг тоо. (a-δ; a+δ) интервалыг a цэгийн δ-хөрш гэж нэрлэдэг.

Аливаа x ∈ X-ийн хувьд x≤с (x≥c) тэгш бус байдал биелэх c тоо байвал X олонлогийг дээрээс (доороос) хязгаарлана. Энэ тохиолдолд c тоог X олонлогийн дээд (доод) хязгаар гэж нэрлэнэ. Дээр ба доор хоёуланд нь хязгаарлагдсан олонлогийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. Олонлогийн дээд (доод) хязгаарын хамгийн бага (хамгийн том) нь энэ олонлогийн яг дээд (доод) хязгаар гэж нэрлэгддэг.

Тоон интервал гэдэг нь холбогдсон бодит тоонуудын багц, өөрөөр хэлбэл 2 тоо энэ олонлогт харьяалагддаг бол тэдгээрийн хоорондох бүх тоонууд мөн энэ олонлогт хамаарна. Хоосон бус тооны интервалын хэд хэдэн төрөл байдаг: Шугаман, нээлттэй туяа, хаалттай туяа, сегмент, хагас интервал, интервал

Тооны шугам

Бүх бодит тоонуудын олонлогийг мөн тооны шугам гэж нэрлэдэг. Тэд бичдэг.

Практикт геометрийн утгаараа координат буюу тооны шулуун гэсэн ойлголт, энэ тодорхойлолтоор нэвтрүүлсэн тооны шулуун гэсэн ойлголтыг ялгах шаардлагагүй. Тиймээс эдгээр өөр өөр ойлголтуудыг ижил нэр томъёогоор илэрхийлдэг.

Нээлттэй цацраг

Ийм тооны багцыг нээлттэй тооны туяа гэж нэрлэдэг. Тэд бичдэг эсвэл үүний дагуу: .

Хаалттай цацраг

Ийм тооны багцыг хаалттай тооны шугам гэж нэрлэдэг. Тэд бичдэг эсвэл үүний дагуу:.

Тоонуудын багцыг тооны сегмент гэж нэрлэдэг.

Сэтгэгдэл. Тодорхойлолтод үүнийг заагаагүй болно. Хэрэг гарах боломжтой гэж үзэж байна. Дараа нь тоон интервал нь цэг болж хувирна.

Интервал

Тоон интервал гэж нэрлэгддэг тоонуудын багц.

Сэтгэгдэл. Нээлттэй цацраг, шулуун шугам, интервалын тэмдэглэгээний давхцал нь санамсаргүй биш юм. Нээлттэй туяаг нэг төгсгөл нь хязгааргүй хүртэл арилдаг интервал, тооны шугамыг хоёр төгсгөл хүртэл хязгааргүй зайд авдаг интервал гэж ойлгож болно.

Хагас интервал

Ийм тооны багцыг тоон хагас интервал гэж нэрлэдэг.

Тэд бичдэг эсвэл тус тусад нь

3.Функц.Функцийн график. Функцийг тодорхойлох аргууд.

Хариулт - Хэрвээ x ба y гэсэн хоёр хувьсагч өгөгдсөн бол эдгээр хувьсагчдын хооронд утга тус бүрээр у-ийн утгыг онцгойлон тодорхойлох боломжтой ийм хамаарал өгөгдсөн бол у хувьсагчийг х хувьсагчийн функц гэнэ.

F = y(x) гэсэн тэмдэглэгээ нь хамааралтай хувьсагчийн харгалзах утгыг олохын тулд x бие даасан хувьсагчийн дурын утгыг (х аргументыг ерөнхийд нь авч болох утгуудаас) зөвшөөрөх функцийг авч үзэж байна гэсэн үг юм.

Функцийг тодорхойлох аргууд.

Функцийг томъёогоор тодорхойлж болно, жишээлбэл:

y = 3x2 – 2.

Функцийг графикаар тодорхойлж болно. График ашиглан та ямар функцийн утга нь заасан аргументын утгатай тохирч байгааг тодорхойлж болно. Энэ нь ихэвчлэн функцийн ойролцоо утгатай байдаг.

4.Функцийн үндсэн шинж чанарууд: монотон, паритет, үе үе.

Хариулт -Тогтмол байдлын тодорхойлолт. Хэрэв ийм тоо байгаа бол f функцийг үечилсэн гэж нэрлэдэг
, тэр f(x+
)=f(x), бүх x-ийн хувьд D(f). Мэдээжийн хэрэг, ийм тоо тоо томшгүй олон байдаг. Хамгийн бага эерэг тоог ^ T функцийн үе гэж нэрлэдэг. Жишээ. A. y = cos x, T = 2 . V. y = tg x, T = . S. y = (x), T = 1. D. y = , энэ функц нь үе үе биш юм. Паритетийн тодорхойлолт. F(-x) = f(x) шинж чанар нь D(f)-ийн бүх x-д тохирч байсан ч f функцийг дуудна. Хэрэв f(-x) = -f(x) бол функцийг сондгой гэж нэрлэнэ. Хэрэв заасан харилцааны аль нь ч хангагдаагүй бол функцийг ерөнхий функц гэнэ. Жишээ. A. y = cos (x) - тэгш; V. y = tg (x) - сондгой; S. y = (x); y=sin(x+1) – ерөнхий хэлбэрийн функцууд. Монотоны тодорхойлолт. f: X -> R функцийг хэрэв байгаа бол нэмэгдэх (буурах) гэж нэрлэдэг
нөхцөл хангагдсан:
Тодорхойлолт. X -> R функц нь X дээр нэмэгдэж эсвэл буурч байвал X дээр монотон гэж нэрлэгддэг. Хэрэв f нь X-ийн зарим дэд олонлогт монотон байвал түүнийг хэсэгчилсэн монотон гэнэ. Жишээ. y = cos x - хэсэгчилсэн монотон функц.

Тоон олонлогуудын дунд, өөрөөр хэлбэл багц, объектууд нь тоонууд гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг тоон интервалууд. Тэдний үнэ цэнэ нь заасан тоон интервалд тохирох багцыг төсөөлөхөд маш хялбар байдаг ба эсрэгээр. Тиймээс тэдний тусламжтайгаар тэгш бус байдлын олон шийдлийг бичихэд тохиромжтой.

Энэ нийтлэлд бид бүх төрлийн тоон интервалыг авч үзэх болно. Энд бид тэдгээрийн нэрсийг өгч, тэмдэглэгээг танилцуулж, координатын шугам дээрх тоон интервалуудыг дүрсэлж, ямар энгийн тэгш бус байдал тэдэнд тохирохыг харуулах болно. Эцэст нь хэлэхэд, бүх мэдээллийг тоон интервалын хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

Хуудасны навигаци.

Тоон интервалын төрлүүд

Тоон интервал бүр нь хоорондоо салшгүй холбоотой дөрвөн зүйлтэй:

• тооны интервалын нэр,
• харгалзах тэгш бус байдал эсвэл давхар тэгш бус байдал,
• нэршил,
• ба түүний геометрийн дүрс нь координатын шугам дээрх дүрс хэлбэрээр.

Дурын тоон интервалыг жагсаалтын сүүлийн гурван аргын аль нэгээр нь тодорхойлж болно: тэгш бус байдал, тэмдэглэгээ эсвэл координатын шугам дээрх дүрс. Түүнээс гадна, жишээлбэл, тэгш бус байдлыг тодорхойлох энэ аргыг ашиглан бусдыг хялбархан сэргээх боломжтой (бидний тохиолдолд тэмдэглэгээ, геометрийн дүрс).

Тодорхой зүйл рүү орцгооё. Дээр дурдсан дөрвөн талаас бүх тоон интервалыг тайлбарлая.

гэж нэрлэгддэг тоон интервалын тайлбараас эхэлье нээлттэй тооны цацраг. Ихэнхдээ "тоон" гэсэн тодотголыг орхигдуулж, нэрийг нь нээлттэй үлдээдэг болохыг анхаарна уу.

Энэ тоон интервал нь х хэлбэрийн нэг хувьсагчтай хамгийн энгийн тэгш бус байдалтай тохирч байна a , энд a ямар нэг бодит тоо. Өөрөөр хэлбэл, бичсэн тэгш бус байдлын утгын дагуу нээлттэй тооны туяа нь a тооноос бага (х тэгш бус байдлын хувьд) бүхнээс бүрдэнэ. a).

x тэгш бус байдлыг хангах тооны олонлог a (a, +∞) байдлаар.

Нээлттэй цацрагийн геометрийн дүрсийг харуулах хэвээр байгаа бөгөөд үүнээс харахад тоон интервал нь ийм нэрийг санамсаргүй байдлаар хүлээн аваагүй нь тодорхой болно. -руу хандъя. Түүний цэгүүд болон бодит тоонуудын хооронд нэг нэгээр нь харгалзах нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь координатын шугамыг тооны шулуун гэж нэрлэх боломжийг олгодог. Тэгээд ярихдаа тоонуудын харьцуулалтБид том тоо нь координатын шугам дээр жижиг тоонуудын баруун талд, жижиг тоо нь том тоонуудын зүүн талд байрлаж байгааг тэмдэглэв. Эдгээр бодол дээр үндэслэн x тэгш бус байдал a – а цэгийн баруун талд байрлах цэгүүд. a тоо нь өөрөө эдгээр тэгш бус байдлыг хангахгүй бөгөөд үүнийг онцлон тэмдэглэхийн тулд зураг дээр хоосон төвтэй цэг хэлбэрээр дүрсэлсэн болно. Тэгш бус байдлыг хангасан тоонуудтай тохирох цэгүүдийн дээр ташуу сүүдэрийг дүрсэлсэн болно.

Өгөгдсөн зургуудаас харахад эдгээр тоон интервалууд нь тоон шугамын хэсгүүдтэй тохирч байгаа нь тодорхой байна туяа a цэгээс эхэлж, гэхдээ өөрөө а цэгийг оруулаагүй болно. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр нь эхлэлгүй туяа юм. Тиймээс нэр нь нээлттэй тооны цацраг юм.

Нээлттэй тооны цацрагийн хэд хэдэн тодорхой жишээг өгье. Иймд x>−3 хатуу тэгш бус байдал нь нээлттэй тооны цацрагийг тодорхойлно. Энэ нь мөн тэмдэглэгээгээр өгөгдсөн (−3, ∞). Мөн координатын шугам дээр энэ тоон интервал нь координат −3-тай цэгийн баруун талд байрлах цэгүүдийн багц бөгөөд энэ цэгийг өөрөө оруулаагүй болно. Өөр нэг жишээ: тэгш бус байдал x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Дараах төрлийн тоон интервал руу шилжье - тооны туяа. Геометрийн хувьд тэдгээрийн задгай цацрагуудаас ялгаатай нь цацрагийн эхлэлийг хаяхгүй байх явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ төрлийн тоон интервалын геометрийн дүрс нь бүрэн хэмжээний туяа юм.

Тэгш бус байдлыг ашиглан тоон цацрагийг тодорхойлохын тулд тэдгээрт хатуу бус тэгш бус байдал x≤a эсвэл x≥a хариулна. Тэдгээрийн хувьд дараах тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрдөг: (−∞, a] ба . Тоон сегментийн геометрийн дүрс нь түүний төгсгөлүүдийн хамт сегмент юм:


Жишээлбэл, давхар тэгш бус байдлаар өгөгдсөн тоон хэрчмийг гэж тэмдэглэж болно, координатын шулуун дээр энэ нь координатын үндэс нь хоёр, язгуур нь гурав байх цэгүүдийн төгсгөлтэй сегменттэй тохирч байна.

Үлдсэн зүйл бол дуудагдсан тоон интервалын талаар хэлэх явдал юм хагас интервалууд. Эдгээр нь зааг цэгүүдийн аль нэгийг агуулдаг тул интервал ба сегментийн хоорондох завсрын сонголтыг илэрхийлдэг. Хагас интервалыг давхар тэгш бус байдлаар тодорхойлно a

Тоон интервалын хүснэгт

Тиймээс, өмнөх догол мөрөнд бид дараах тоон интервалуудыг тодорхойлж, тайлбарласан.

• нээлттэй тооны цацраг;
• тооны цацраг;
• интервал;
• хагас интервал

Тохиромжтой болгох үүднээс бид тоон интервалын талаархи бүх өгөгдлийг хүснэгтэд нэгтгэн харуулав. Үүнд тоон интервалын нэр, тохирох тэгш бус байдал, тэмдэглэгээ, координатын шугам дээрх дүрсийг оруулъя. Бид дараахь зүйлийг авна тоон интервалын хүснэгт:

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2011. - 222 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01752-3.