Функцийн хамгийн том утгыг олох нь юу гэсэн үг вэ? Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Энэ үйлчилгээгээр та боломжтой функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол Word дээр форматлагдсан шийдэл бүхий нэг хувьсагч f(x). Хэрэв f(x,y) функц өгөгдсөн бол хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох шаардлагатай. Та мөн нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн интервалыг олж болно.

Функцийг оруулах дүрэм:

Нэг хувьсагчийн функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл

Нэг хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Дараа нь x * цэг нь функцийн орон нутгийн (дэлхий) хамгийн бага цэг юм.

Хэрэв x * цэг дээр нөхцөл хангагдсан бол:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Дараа нь x * цэг нь орон нутгийн (дэлхийн) дээд тал юм.

Жишээ №1. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол: сегмент дээр.
Шийдэл.

Чухал цэг нь нэг x 1 = 2 (f’(x)=0). Энэ цэг нь сегментэд хамаарна. (0∉ тул x=0 цэг нь чухал биш).
Бид сегментийн төгсгөл ба эгзэгтэй цэг дэх функцийн утгыг тооцоолно.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Хариулт: f min = 5 / 2 үед x=2; f max =9 үед x=1

Жишээ №2. Дээд эрэмбийн деривативуудыг ашиглан y=x-2sin(x) функцийн экстремумыг ол.
Шийдэл.
Функцийн деривативыг ол: y’=1-2cos(x) . Критик цэгүүдийг олъё: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Бид y’’=2sin(x), тооцоолно, энэ нь x= ​​π / 3 +2πk, k∈Z нь функцийн хамгийн бага цэгүүд гэсэн үг; , энэ нь x=- π / 3 +2πk, k∈Z нь функцийн хамгийн их цэгүүд юм.

Жишээ №3. x=0 цэгийн ойролцоох экстремум функцийг судал.
Шийдэл. Энд функцийн экстремумыг олох шаардлагатай. Хэрэв экстремум x=0 байвал түүний төрлийг (хамгийн бага ба хамгийн их) олоорой. Олдсон цэгүүдийн дунд x = 0 байхгүй бол f(x=0) функцийн утгыг тооцоол.
Өгөгдсөн цэгийн тал бүрийн дериватив нь тэмдгээ өөрчлөхгүй бол ялгах функцүүдийн хувьд боломжит нөхцөл байдал дуусахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: x 0 цэгийн нэг талд дур мэдэн жижиг хөршийн хувьд ийм тохиолдол гарч болно. хоёр талд дериватив өөрчлөлтийн тэмдэг. Эдгээр цэгүүдэд экстремум дахь функцийг судлах өөр аргыг ашиглах шаардлагатай байна.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Функцийн хамгийн том утга нь хамгийн их, хамгийн бага утга нь түүний бүх утгуудын хамгийн бага нь юм.

Функц нь зөвхөн нэг хамгийн том, зөвхөн нэг хамгийн жижиг утгатай байж болно, эсвэл огт байхгүй байж болно. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох нь эдгээр функцүүдийн дараах шинж чанарууд дээр суурилдаг.

1) Хэрэв тодорхой интервалд (хязгааргүй эсвэл төгсгөлгүй) y=f(x) функц тасралтгүй бөгөөд зөвхөн нэг экстремумтай бөгөөд энэ нь хамгийн их (хамгийн бага) бол функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга болно. энэ интервалд.

2) Хэрэв f(x) функц нь тодорхой сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегментийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай байх ёстой. Эдгээр утгууд нь сегмент дотор байрлах экстремум цэгүүд эсвэл энэ сегментийн хил дээр хүрдэг.

Сегмент дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд дараах схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1. Деривативыг ол.

2. =0 эсвэл байхгүй функцийн чухал цэгүүдийг ол.

3. Чухал цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олж, тэдгээрээс хамгийн том f max, хамгийн бага f max-ийг сонгоно.

Хэрэглээний асуудлууд, тухайлбал оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхдээ X интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг (дэлхийн хамгийн их ба дэлхийн хамгийн бага) олох асуудал чухал байдаг.Ийм асуудлуудыг шийдвэрлэхийн тулд нөхцөл байдалд үндэслэн хийх хэрэгтэй. , бие даасан хувьсагчийг сонгоод судалж буй утгыг энэ хувьсагчаар илэрхийлнэ. Дараа нь үүссэн функцийн хүссэн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг ол. Энэ тохиолдолд эцсийн болон хязгааргүй байж болох бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн интервалыг мөн асуудлын нөхцлөөс тодорхойлно.

Жишээ.Дөрвөлжин ёроолтой, нээлттэй дээд тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй савыг дотор нь цагаан тугалгатай байх ёстой. Хэрэв савны багтаамж нь 108 литр бол савны хэмжээ ямар байх ёстой вэ? ус, ингэснээр үүнийг тугалга хийх зардал хамгийн бага байх болно?

Шийдэл.Хэрэв тухайн багтаамжийн хувьд түүний гадаргуугийн талбай хамгийн бага байвал савыг цагаан тугалгагаар бүрэх зардал хамгийн бага байх болно. Суурийн талыг a дм, савны өндрийг b дм гэж тэмдэглэе. Дараа нь түүний гадаргуугийн S талбай тэнцүү байна

БА

Үүний үр дүнд үүссэн харилцаа нь усан сангийн гадаргуугийн талбайн S (функц) ба суурийн хажуугийн a (аргумент) хоорондын хамаарлыг тогтооно. S функцийг экстремумын хувьд авч үзье. Эхний деривативыг олж, тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдье.

Тиймээс a = 6. (a) > 0 бол a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Жишээ. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол интервал дээр.

Шийдэл: Тодорхойлогдсон функцбүх тооны шулуун дээр тасралтгүй. Функцийн дериватив

болон төлөө дериватив. Эдгээр цэгүүдийн функцын утгыг тооцоолъё.

.

Өгөгдсөн интервалын төгсгөлд функцийн утгууд тэнцүү байна. Тиймээс, хамгийн өндөр үнэ цэнэфункц нь at-тай тэнцүү, функцийн хамгийн бага утга нь at-тай тэнцүү байна.

Өөрийгөө шалгах асуултууд

1. Маягтын тодорхой бус байдлыг илрүүлэх L'Hopital дүрмийг томъёол. Жагсаалт Төрөл бүрийн төрөл L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглаж болох тодорхойгүй байдал.

2. Өсөх, буурах функцийн шинж тэмдгүүдийг томъёол.

3. Функцийн хамгийн их ба минимумыг тодорхойл.

4. Экстремум оршин байх зайлшгүй нөхцөлийг томъёол.

5. Аргументийн ямар утгыг (аль оноог) шүүмжлэлтэй гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр цэгүүдийг хэрхэн олох вэ?

6. Функцийн экстремум байгаагийн хангалттай шинж тэмдгүүд юу вэ? Эхний деривативыг ашиглан экстремум дахь функцийг судлах схемийг тоймло.

7. Хоёрдахь деривативыг ашиглан экстремум дахь функцийг судлах схемийг тоймло.

8. Муруйн гүдгэр ба хотгорыг тодорхойлно уу.

9. Функцийн графикийн гулзайлтын цэгийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр цэгүүдийг олох аргыг зааж өгнө үү.

10. Өгөгдсөн хэрчим дэх муруйн гүдгэр ба хотгорын шаардлагатай ба хангалттай шинж тэмдгүүдийг томъёол.

11. Муруйн асимптотыг тодорхойл. Функцийн графикийн босоо, хэвтээ, ташуу асимптотуудыг хэрхэн олох вэ?

12. Тойм ерөнхий схемфункцийг судалж, графикийг нь байгуулах.

13. Өгөгдсөн интервал дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох дүрмийг томъёол.

Энэ нийтлэлд би ярих болно Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритмфункцууд, хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүд.

Онолын хувьд энэ нь бидэнд ашигтай байх нь гарцаагүй дериватив хүснэгтТэгээд ялгах дүрэм. Энэ бүхэн энэ хавтан дээр байна:

Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.

Энэ нь надад тайлбарлахад илүү тохиромжтой тодорхой жишээ. Үүнд:

Жишээ:[–4;0] сегмент дээрх y=x^5+20x^3–65x функцийн хамгийн их утгыг ол.

1-р алхам.Бид деривативыг авдаг.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Алхам 2.Экстремум цэгүүдийг олох.

Экстремум цэгФункц хамгийн их буюу хамгийн бага утгад хүрэх цэгүүдийг бид гэж нэрлэдэг.

Экстремум цэгүүдийг олохын тулд та функцийн деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Одоо энэ хоёрыг шийдье квадрат тэгшитгэлмөн олсон үндэс нь бидний экстремум цэгүүд юм.

Би ийм тэгшитгэлийг t = x^2, дараа нь 5t^2 + 60t - 65 = 0 гэж сольж шийддэг.

Тэгшитгэлийг 5-аар бууруулъя: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Бид урвуу өөрчлөлтийг хийнэ x ^ 2 = t:

X_(1 ба 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ба 4) = ±sqrt(-13) (бид хассан, байж болохгүй. сөрөг тоонууд, хэрэв бид нарийн төвөгтэй тоонуудын тухай ярихгүй бол)

Нийт: x_(1) = 1 ба x_(2) = -1 - эдгээр нь бидний экстремум цэгүүд юм.

Алхам 3.Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойл.

Орлуулах арга.

Нөхцөл байдалд бид [b][–4;0] сегментийг өгсөн. Энэ сегментэд x=1 цэг ороогүй болно. Тиймээс бид үүнийг авч үзэхгүй байна. Гэхдээ x=-1 цэгээс гадна бид сегментийнхээ зүүн ба баруун хилийг, өөрөөр хэлбэл -4 ба 0 цэгүүдийг авч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид эдгээр гурван цэгийг бүгдийг нь анхны функц болгон орлуулна. Анхдагч нь (y=x^5+20x^3–65x) нөхцөлд өгөгдсөнийг анхаарна уу, зарим хүмүүс үүнийг дериватив болгон орлуулж эхэлдэг...

Ү(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
у(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Энэ нь функцийн хамгийн их утга нь [b]44 бөгөөд энэ нь [b]-1 цэгт хүрнэ гэсэн үг бөгөөд үүнийг сегмент дээрх функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг [-4; 0].

Бид шийдэж, хариулт авсан, бид гайхалтай байна, та амарч болно. Гэхдээ боль! y(-4)-ийг тооцоолох нь ямар нэгэн байдлаар хэтэрхий хэцүү гэж та бодохгүй байна уу? Хязгаарлагдмал цаг хугацааны нөхцөлд өөр аргыг ашиглах нь дээр, би үүнийг ингэж нэрлэдэг.

Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалаар.

Эдгээр интервалууд нь функцийн дериватив, өөрөөр хэлбэл манай биквадрат тэгшитгэлийн хувьд олддог.

Би үүнийг ингэж хийдэг. Би чиглэсэн сегмент зурдаг. Би цэгүүдийг байрлуулна: -4, -1, 0, 1. Өгөгдсөн сегментэд 1 ороогүй ч тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг зөв тодорхойлохын тулд үүнийг тэмдэглэх хэрэгтэй. 1-ээс хэд дахин их, жишээ нь 100 гэсэн тоог аваад 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 гэсэн биквадрат тэгшитгэлдээ оюун ухаанаараа орлуулъя. Юуг ч тоолоогүй ч 100-д ​​байгаа нь тодорхой болно. функц нь нэмэх тэмдэгтэй байна. Энэ нь 1-ээс 100 хүртэлх зайд нэмэх тэмдэгтэй байна гэсэн үг юм. 1-ээр дамжин өнгөрөх үед (бид баруунаас зүүн тийш явдаг) функц нь тэмдгийг хасах болгон өөрчлөх болно. 0 цэгээр дамжин өнгөрөх үед функц нь тэмдэгээ хадгалах болно, учир нь энэ нь тэгшитгэлийн үндэс биш зөвхөн сегментийн хил хязгаар юм. -1-ээр дамжих үед функц дахин тэмдгийг нэмэх болгон өөрчилнө.

Онолоос бид функцийн дериватив хаана байгааг мэддэг (мөн бид үүнийг яг үүнд зориулж зурсан) тэмдгийг нэмэхээс хасах болгон өөрчилнө (манай тохиолдолд -1 цэг)функц хүрдэг түүний орон нутгийн дээд хэмжээ (Өмнө нь тооцоолсны дагуу у(-1)=44)энэ сегмент дээр (энэ нь логикийн хувьд маш ойлгомжтой, функц нь дээд цэгтээ хүрч, буурч эхэлсэн тул өсөлт зогссон).

Үүний дагуу функцийн дериватив хаана байна тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилнө, хүрч байна функцийн орон нутгийн хамгийн бага. Тийм, тийм, бид мөн локал хамгийн бага цэг нь 1 гэдгийг олсон бөгөөд y(1) нь сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утга юм, жишээ нь -1-ээс +∞ хүртэл. Та төлнө үү асар их анхаарал, энэ нь зөвхөн ОРОН НУТГИЙН MINIMUM, өөрөөр хэлбэл тодорхой сегмент дэх хамгийн бага хэмжээ юм. Функцийн бодит (дэлхий) хамгийн бага нь хаа нэгтээ -∞-д хүрэх тул.

Миний бодлоор эхний арга нь онолын хувьд энгийн, хоёр дахь нь арифметик үйлдлийн үүднээс энгийн боловч онолын үүднээс хамаагүй илүү төвөгтэй байдаг. Эцсийн эцэст, заримдаа тэгшитгэлийн язгуураар дамжих үед функц нь тэмдэг өөрчлөгдөхгүй байх тохиолдол байдаг бөгөөд ерөнхийдөө эдгээр орон нутгийн, дэлхийн максимум, минимумуудтай андуурч болно, гэхдээ та үүнийг сайн эзэмших хэрэгтэй болно. техникийн их сургуульд орохоор төлөвлөж байна (мөн яагаад өөр улсын нэгдсэн шалгалтыг өгч, энэ даалгаврыг шийдэх хэрэгтэй). Гэхдээ дадлага, зөвхөн дадлага нь ийм асуудлыг нэг удаа, бүрмөсөн шийдвэрлэхийг танд заах болно. Мөн та манай вэбсайтаар хичээллэх боломжтой. Энд.

Хэрэв танд асуулт байгаа эсвэл тодорхойгүй зүйл байвал асуухаа мартуузай. Би танд хариулж, нийтлэлд нэмэлт, өөрчлөлт оруулахдаа баяртай байх болно. Бид энэ сайтыг хамтдаа хийж байгаагаа санаарай!

Үүнийг шийдэхийн тулд та сэдвийн талаар хамгийн бага мэдлэгтэй байх хэрэгтэй. Дараагийнх нь дуусна хичээлийн жил, хүн бүр амралтаараа явахыг хүсдэг бөгөөд энэ мөчийг ойртуулахын тулд би шууд гол зүйл рүүгээ оръё:

Бүс нутгаас эхэлье. Нөхцөл байдалд дурдсан талбай нь хязгаарлагдмал хаалттай хавтгай дээрх цэгүүдийн багц. Жишээлбэл, БҮХЭЛ гурвалжинг оруулаад гурвалжингаар хүрээлэгдсэн цэгүүдийн багц (хэрэвээс хил хязгаарДор хаяж нэг цэгийг "хатгавал" бүс хаагдахаа болино). Практикт тэгш өнцөгт, дугуй хэлбэртэй, арай том талбайнууд бас байдаг. нарийн төвөгтэй хэлбэрүүд. Математик анализын онолд хатуу тодорхойлолт өгдөг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хязгаарлалт, тусгаарлалт, хил хязгаар гэх мэт., гэхдээ хүн бүр эдгээр ойлголтуудыг зөн совингийн түвшинд мэддэг гэж би бодож байна, одоо өөр юу ч хэрэггүй.

Хавтгай бүсийг стандарт үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд дүрмээр бол аналитик байдлаар хэд хэдэн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. (заавал шугаман биш); тэгш бус байдал бага тохиолддог. Ердийн үг хэллэг: "хаалттай газар, шугамаар хязгаарлагдсан ».

Харж буй ажлын салшгүй хэсэг бол зураг дээрх талбайг барих явдал юм. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Та жагсаасан бүх шугамыг зурах хэрэгтэй (энэ тохиолдолд 3 Чигээрээ) болон юу болсныг шинжлэх. Хайж буй хэсэг нь ихэвчлэн бага зэрэг сүүдэрлэдэг бөгөөд түүний хил нь зузаан шугамаар тэмдэглэгдсэн байдаг.


Үүнтэй ижил талбайг тохируулж болно шугаман тэгш бус байдал: , ямар нэг шалтгааны улмаас бус харин тоологдсон жагсаалт хэлбэрээр бичигдсэн байдаг систем.
Хил нь тухайн бүс нутагт хамаарах тул бүх тэгш бус байдал нь мэдээжийн хэрэг, сул.

Одоо даалгаврын мөн чанар. Тэнхлэг нь гарал үүслээсээ шууд өөр рүүгээ гарч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. гэсэн функцийг авч үзье Үргэлжилсэн бүртбүсийн цэг. Энэ функцийн график нь заримыг харуулж байна гадаргуу, мөн өчүүхэн аз жаргал нь өнөөдрийн асуудлыг шийдэхийн тулд бид энэ гадаргуу ямар харагддагийг мэдэх шаардлагагүй юм. Энэ нь илүү өндөр, доогуур байрлаж, онгоцыг огтолж болно - энэ бүхэн хамаагүй. Дараах нь чухал юм: дагуу Вейерштрассын теоремууд, ҮргэлжилсэнВ хязгаарлагдмал хаалттайталбарт функц хамгийн их утгад хүрнэ (хамгийн их")ба хамгийн бага ("хамгийн бага")олох шаардлагатай үнэт зүйлс. Ийм үнэт зүйлд хүрдэг эсвэлВ суурин цэгүүд, бүс нутагт харьяалагддагД , эсвэлэнэ хэсгийн хил дээр байрлах цэгүүдэд. Энэ нь энгийн бөгөөд ил тод шийдлийн алгоритмд хүргэдэг:

Жишээ 1

Хязгаарлагдмал хаалттай талбай

Шийдэл: Юуны өмнө та зураг дээрх талбайг дүрслэх хэрэгтэй. Харамсалтай нь би асуудлын интерактив загварыг гаргах нь техникийн хувьд хэцүү тул судалгааны явцад олдсон бүх "сэжигтэй" цэгүүдийг харуулсан эцсийн дүрслэлийг нэн даруй танилцуулах болно. Тэдгээрийг ихэвчлэн илрүүлсний дараа дараалан жагсаадаг.

Оршил хэсэгт үндэслэн шийдвэрийг хоёр хэсэгт хувааж болно.

I) Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол. Энэ бол бидний хичээл дээр олон удаа хийдэг стандарт үйлдэл юм. хэд хэдэн хувьсагчийн экстремумуудын тухай:

Хөдөлгөөнгүй цэгийг оллоо харьяалагддагбүс нутаг: (зураг дээр тэмдэглэнэ үү), энэ нь өгөгдсөн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолох ёстой гэсэн үг юм.

- нийтлэлд байгаа шиг Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд, Би тод үсгээр чухал үр дүнг тодруулах болно. Тэднийг дэвтэрт харандаагаар зурах нь тохиромжтой.

Бидний хоёр дахь аз жаргалд анхаарлаа хандуулаарай - шалгах нь утгагүй юм экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Яагаад? Тухайн үед функц хүрч байсан ч, жишээлбэл, орон нутгийн доод хэмжээ, тэгвэл энэ нь үр дүнгийн утга болно гэсэн үг биш хамгийн багабүс нутаг даяар (хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү болзолгүй туйлшралын тухай) .

Хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүсэд хамаарахгүй бол яах вэ? Бараг юу ч биш! Үүнийг тэмдэглээд дараагийн цэг рүү шилжих хэрэгтэй.

II) Бид бүс нутгийн хилийг судалж байна.

Хил нь гурвалжингийн талуудаас бүрддэг тул судалгааг 3 дэд хэсэгт хуваахад тохиромжтой. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг хийхгүй байх нь дээр. Миний бодлоор эхлээд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель сегментүүдийг, юуны түрүүнд тэнхлэг дээр хэвтэж буй хэсгүүдийг авч үзэх нь илүү ашигтай байдаг. Үйлдлүүдийн бүх дараалал, логикийг ойлгохын тулд "нэг амьсгалаар" төгсгөлийг судлахыг хичээ.

1) Гурвалжны доод талыг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд функц руу шууд орлуулна уу:

Эсвэл та үүнийг дараах байдлаар хийж болно.

Геометрийн хувьд энэ нь координатын хавтгай гэсэн үг юм (энэ нь мөн тэгшитгэлээр өгөгдсөн)-аас "сийлдэг" гадаргуу"орон зайн" парабол, түүний орой нь тэр даруй сэжиглэгдэж байна. Үүнийг олж мэдье тэр хаана байрладаг вэ:

- үүссэн утга нь тухайн хэсэгт "унасан" бөгөөд энэ нь тухайн үед гарч ирж магадгүй юм (зураг дээр тэмдэглэгдсэн)функц нь бүх бүсийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгад хүрдэг. Ямар нэг байдлаар тооцооллыг хийцгээе:

Бусад "нэр дэвшигчид" нь мэдээжийн хэрэг сегментийн төгсгөлүүд юм. Функцийн утгуудыг цэгүүдээр тооцоолъё (зураг дээр тэмдэглэгдсэн):

Энд, дашрамд хэлэхэд, та "хуулагдсан" хувилбарыг ашиглан аман мини шалгалт хийж болно.

2) Судалгааны зорилгоор баруун талБид гурвалжинг функцэд орлуулж, "юмыг эмх цэгцтэй болгоно":

Энд бид нэн даруй бүдүүлэг шалгалт хийж, сегментийн аль хэдийн боловсруулсан төгсгөлийг "дуугана":
, Агуу их.

Геометрийн нөхцөл байдал нь өмнөх цэгтэй холбоотой:

- үүссэн утга нь "бидний ашиг сонирхлын хүрээнд орж ирсэн" бөгөөд энэ нь гарч ирсэн цэг дээрх функц нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Сегментийн хоёр дахь төгсгөлийг авч үзье:

Функцийг ашиглах , хяналтын шалгалт хийцгээе:

3) Үлдсэн талыг нь хэрхэн судлахыг хүн бүр таах байх. Бид үүнийг функцэд орлуулж, хялбаршуулж байна:

Сегментийн төгсгөлүүд аль хэдийн судлагдсан боловч төсөлд бид функцийг зөв олсон эсэхийг шалгасаар байна :
- 1-р дэд хэсгийн үр дүнтэй давхцсан;
– 2-р заалтын үр дүнтэй давхцсан.

Сегмент дотор ямар нэгэн сонирхолтой зүйл байгаа эсэхийг олж мэдэхэд л үлдлээ.

- Байгаа! Шулуун шугамыг тэгшитгэлд орлуулснаар бид энэхүү "сонирхолтой байдлын" ординатыг олж авна.

Бид зураг дээрх цэгийг тэмдэглээд функцийн харгалзах утгыг олно.

"Төсөв" хувилбарыг ашиглан тооцооллыг шалгацгаая :
, захиалга.

Мөн эцсийн алхам: Бид бүх "том" тоонуудыг анхааралтай ажиглаж байгаа тул эхлэгчдэд нэг жагсаалт гаргахыг зөвлөж байна.

үүнээс бид хамгийн том ба хамгийн бага утгыг сонгоно. ХариулахОлж олох бодлогын хэв маягаар бичье сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд:

Ямар ч тохиолдолд би үр дүнгийн геометрийн утгыг дахин нэг удаа тайлбарлах болно.
- энэ бүс нутгийн гадаргуугийн хамгийн өндөр цэг;
- энэ бол тухайн газрын гадаргуугийн хамгийн доод цэг юм.

Шинжилгээнд хамрагдсан даалгаварт бид 7 "сэжигтэй" цэгийг тодорхойлсон боловч тэдгээрийн тоо ажил бүрд өөр өөр байдаг. Гурвалжин бүсийн хувьд хамгийн бага "судалгааны багц" нь гурван цэгээс бүрдэнэ. Энэ нь функц, жишээлбэл, зааж өгөх үед тохиолддог онгоц- Тогтвортой цэгүүд байхгүй нь тодорхой бөгөөд функц нь зөвхөн гурвалжны оройд хамгийн их / хамгийн бага утгуудад хүрч чаддаг. Гэхдээ ижил төстэй ганц эсвэл хоёр жишээ байдаг - ихэвчлэн та заримтай нь харьцах хэрэгтэй 2-р эрэмбийн гадаргуу.

Хэрэв та ийм даалгавруудыг бага зэрэг шийдвэл гурвалжин таны толгойг эргүүлж чадна, тиймээс би танд зориулж дөрвөлжин болгох ер бусын жишээ бэлдсэн :))

Жишээ 2

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол шугамаар хязгаарлагдсан битүү талбайд

Жишээ 3

Хязгаарлагдмал хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Онцгой анхааралБүс нутгийн хил хязгаарыг судлах оновчтой дараалал, техник, түүнчлэн завсрын шалгалтын гинжин хэлхээнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ нь тооцооллын алдаанаас бараг бүрэн зайлсхийх болно. Ерөнхийдөө та үүнийг хүссэнээрээ шийдэж болно, гэхдээ зарим асуудалд, жишээлбэл, 2-р жишээнд таны амьдралыг илүү хэцүү болгох бүх боломж бий. Хичээлийн төгсгөлд хийх эцсийн даалгаврын ойролцоо жишээ.

Шийдлийн алгоритмыг системчилье, эс тэгвээс аалз шиг хичээнгүйлэн ажилласнаар энэ нь 1-р жишээний тайлбарын урт хэлхээнд ямар нэгэн байдлаар төөрч орхив.

– Эхний шатанд бид талбайг барьж байгаа тул түүнийг сүүдэрлэж, хилийг тод зураасаар тодруулахыг зөвлөж байна. Шийдэл хийх явцад зураг дээр тэмдэглэх шаардлагатай цэгүүд гарч ирнэ.

– Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олж, функцийн утгыг тооцоол зөвхөн тэдний доторбүс нутагт харьяалагддаг. Бид текст дэх үр дүнгийн утгыг тодруулна (жишээлбэл, харандаагаар дугуйлна уу). Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүсэд хамаарахгүй бол бид энэ баримтыг дүрс эсвэл аман хэлбэрээр тэмдэглэнэ. Хэрэв суурин цэгүүд огт байхгүй бол бид тэдгээр нь байхгүй гэсэн дүгнэлтийг бичгээр гаргадаг. Ямар ч тохиолдолд энэ цэгийг алгасах боломжгүй юм!

– Бүс нутгийн хилийг судалж байна. Нэгдүгээрт, координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг ойлгох нь ашигтай байдаг (хэрэв байгаа бол). Бид мөн "сэжигтэй" цэгүүдэд тооцоолсон функцийн утгыг онцлон тэмдэглэв. Уусмалын аргын талаар дээр маш их зүйлийг хэлсэн бөгөөд доор өөр зүйлийг хэлэх болно - унш, дахин унш, гүнзгийрээрэй!

– Сонгосон тоонуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгоод хариултаа өгнө үү. Заримдаа функц нь нэг дор хэд хэдэн цэг дээр ийм утгуудад хүрдэг - энэ тохиолдолд эдгээр бүх цэгүүдийг хариултанд тусгах ёстой. Жишээлбэл, Энэ нь хамгийн бага үнэ цэнэ болох нь тогтоогдсон. Дараа нь бид үүнийг бичнэ

Эцсийн жишээнүүд нь бусдад зориулагдсан болно ашигтай санаануудЭнэ нь практикт ашигтай байх болно:

Жишээ 4

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол .

Талбайг давхар тэгш бус хэлбэрээр өгсөн зохиогчийн томъёоллыг би хэвээр үлдээсэн. Энэ нөхцлийг ижил төстэй системээр эсвэл энэ асуудлын хувьд илүү уламжлалт хэлбэрээр бичиж болно:

Би үүнийг танд сануулж байна шугаман бусБид тэгш бус байдалтай тулгарсан бөгөөд хэрэв та тэмдэглэгээний геометрийн утгыг ойлгохгүй байгаа бол хойшлуулж болохгүй бөгөөд нөхцөл байдлыг яг одоо тодруулна уу;-)

Шийдэл, урьдын адил, нэг төрлийн "ул"-ыг төлөөлөх талбайг барьж эхэлдэг:

Хмм, заримдаа зөвхөн шинжлэх ухааны боржин чулууг зажилж идэх хэрэгтэй ...

I) Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол:

Систем бол тэнэг хүний ​​мөрөөдөл :)

Хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүс нутагт харьяалагддаг, тухайлбал түүний хил дээр байрладаг.

За тэгэхээр... хичээл сайхан боллоо - зөв цай ууна гэдэг энэ л гэсэн үг =)

II) Бид бүс нутгийн хилийг судалж байна. Захиалахгүйгээр x тэнхлэгээс эхэлье.

1) Хэрэв бол

Параболагийн орой хаана байгааг олъё.
- ийм мөчүүдийг үнэлээрэй - та бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болох хүртэл "цохисон". Гэхдээ бид шалгахаа мартдаггүй:

Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё.

2) "Нэг суултаар" "ул" -ын доод хэсгийг авч үзье - ямар ч цогцолборгүйгээр бид үүнийг функцэд орлуулж, зөвхөн сегментийг сонирхох болно.

Хяналт:

Энэ нь дугуйтай зам дагуу нэгэн хэвийн жолоодлого хийхэд аль хэдийн сэтгэлийн хөөрлийг авчирдаг. Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Ингээд шийдье квадрат тэгшитгэл, та энэ талаар өөр зүйл санаж байна уу? ...Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, эс тэгвээс та эдгээр мөрүүдийг уншихгүй байх байсан гэдгийг санаарай =) Хэрэв өмнөх хоёр жишээнд тооцооллыг аравтын бутархай(Дашрамд хэлэхэд энэ нь ховор тохиолддог), ердийнх нь биднийг энд хүлээж байна энгийн бутархай. Бид "X" үндсийг олж, "нэр дэвшигч" цэгүүдийн харгалзах "тоглоомын" координатыг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлийг ашиглана.


Олдсон цэгүүд дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Функцийг өөрөө шалгана уу.

Одоо бид хожсон цомуудыг сайтар судалж, бичиж байна хариулах:

Эдгээр нь "нэр дэвшигчид", эдгээр нь "нэр дэвшигчид"!

Үүнийг өөрөө шийдэхийн тулд:

Жишээ 5

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол хаалттай газар

Буржгар хаалттай оруулга нь "тогтоосон цэгүүд" гэж бичнэ.

Заримдаа ийм жишээнд тэд ашигладаг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга, гэхдээ үүнийг ашиглах бодит шаардлага байхгүй байх магадлалтай. Жишээлбэл, хэрэв "de" талбайтай ижил функц өгөгдсөн бол түүнийг орлуулсны дараа - ямар ч бэрхшээлээс үүссэн дериватив; Түүнээс гадна дээд ба доод хагас тойргийг тусад нь авч үзэх шаардлагагүйгээр бүх зүйлийг "нэг мөрөнд" (тэмдэглэгээтэй) зурдаг. Гэхдээ мэдээж илүү олон зүйл бий нарийн төвөгтэй тохиолдлууд, хаана Лагранж функц байхгүй байна (жишээлбэл, тойрогтой ижил тэгшитгэл байна)Сайн амрахгүйгээр явахад хэцүү байдаг шиг үүнийг даван туулахад хэцүү байдаг!

Бүгдээрээ сайхан амраарай, дараа улирал удахгүй уулзацгаая!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл: Зураг дээрх талбайг дүрсэлцгээе:

Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь авч үзсэн интервал дахь ордны хүлээн зөвшөөрөгдсөн хамгийн том (хамгийн бага) утга юм.

Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. Өгөгдсөн сегментэд ямар хөдөлгөөнгүй цэгүүд багтаж байгааг шалгана уу.
2. Сегментийн төгсгөл ба at дахь функцийн утгыг тооцоол суурин цэгүүд 3-р цэгээс
3. Хүлээн авсан үр дүнгээс хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг сонгоно уу.

Хамгийн их буюу хамгийн бага оноог олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1. $f"(x)$ функцийн уламжлалыг ол
2. $f"(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдэж хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол
3. Функцийн деривативыг хүчин зүйл болгох.
4. 3-р алхам дахь тэмдэглэгээг ашиглан координатын шугамыг зурж, суурин цэгүүдийг байрлуулж, үүссэн интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
5. Дүрмийн дагуу хамгийн их буюу хамгийн бага оноог ол: хэрэв тухайн үед дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг болно (хэрэв хасахаас нэмэх бол энэ нь хамгийн бага цэг болно). Практикт сумны дүрсийг интервалаар ашиглах нь тохиромжтой байдаг: дериватив эерэг байх интервал дээр сумыг дээш, эсрэгээр зурдаг.

Зарим энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт:

Ялгаварлах үндсэн дүрмүүд

1. Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$(f(x) ± g(x))'= f'(x)± g'(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Бүтээгдэхүүний дериватив.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ деривативыг ол

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Хэсгийн дериватив

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Дериватив нарийн төвөгтэй функцдеривативын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна гадаад функцдотоод функцийн дериватив руу

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ функцийн хамгийн бага цэгийг ол

1. Функцийн ODZ-ийг ол: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ функцийн уламжлалыг ол.

3. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол

$(2x+21)/(x+11)=0$

Хэрэв тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш бол бутархай нь тэгтэй тэнцүү байна.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, үүссэн интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд хамгийн баруун талын мужаас дурын тоог дериватив болгон орлуулаарай, жишээлбэл, тэг.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Минимум цэг дээр дериватив тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул $-10.5$ цэг нь хамгийн бага цэг болно.

Хариулт: -10.5 доллар

$[-5;1]$ сегмент дээрх $y=6x^5-90x^3-5$ функцийн хамгийн их утгыг ол.

1. $y′=30x^4-270x^2$ функцийн деривативыг ол.

2. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, суурин цэгүүдийг ол

$30x^4-270x^2=0$

Нийт хүчин зүйл нь $30x^2$-ыг хаалтнаас гаргая

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүү болгоё

$x^2=0; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Өгөгдсөн $[-5;1]$ сегментэд хамаарах хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг сонгоно

$x=0$ ба $x=-3$ хөдөлгөөнгүй цэгүүд бидэнд тохирно

4. 3-р алхамаас эхлэн сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоол