Тооны системийн үндэс. Тооны систем - компьютерийн шинжлэх ухааны хичээлд орцгооё. Компьютерийн шинжлэх ухаанд тооны суурийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Тооллын систем (англ. тоон систем эсвэл тооллын систем) - тоонуудыг бичдэг тэмдэгт ашиглан дүрслэх, тоо бичих бэлгэдлийн арга.

Тооны системийн суурь ба суурь гэж юу вэ?

Тодорхойлолт: Тооны системийн суурь гэдэг нь өөр өөр тэмдэг, тэмдгийн тоо юм
Энэ систем дэх тоог илэрхийлэхэд ашигладаг.
Суурь нь ямар ч натурал тоо - 2, 3, 4, 16 гэх мэт. Энэ бол хязгааргүй зүйл юм
олон байрлалын систем. Жишээлбэл, аравтын бутархай системийн хувьд суурь нь 10 байна.

Суурийг тодорхойлох нь маш хялбар бөгөөд та зөвхөн систем дэх чухал цифрүүдийн тоог дахин тооцоолох хэрэгтэй. Энгийнээр хэлэхэд энэ нь тухайн тооны хоёр дахь оронтой тоо эхэлдэг тоо юм. Жишээлбэл, бид 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 гэсэн тоонуудыг ашигладаг. Тэд яг 10 байгаа тул манай тооны системийн суурь нь мөн 10, тооллын систем нь "аравтын" гэж нэрлэдэг. Дээрх жишээнд 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 гэсэн тоонуудыг ашигласан (туслах 10, 100, 1000, 10000 гэх мэтийг тооцохгүй). Энд бас 10 үндсэн тоо байгаа бөгөөд тооллын систем нь аравтын тоо юм.

Системийн суурь бичихэд хэрэглэгддэг тоонуудын дараалал юм. Системийн суурьтай тэнцэх тоо аль ч системд байдаггүй.

Таны таамаглаж байгаагаар хичнээн тооны тоо байгаа бол тоон системийн олон суурь байж болно. Гэхдээ зөвхөн тооны системийн хамгийн тохиромжтой суурийг ашигладаг. Хүний хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тооны системийн суурь нь яагаад 10 гэж та бодож байна вэ? Тийм ээ, яг бидний гарт 10 хуруу байдаг учраас. "Гэхдээ нэг гарт ердөө таван хуруу байдаг" гэж зарим нь зөв хэлэх болно. Хүн төрөлхтний түүх таван дахин тооллын системийн жишээг мэддэг. "Хөлтэй бол хорин хуруутай" гэж бусад нь хэлэх бөгөөд тэд ч бас зөв байх болно. Маяачууд яг ийм зүйлд итгэдэг байв. Үүнийг тэдний тооноос ч харж болно.

Аравтын тооны систем

Тоолохдоо бид бүгд багаасаа мэддэг тоо, тоонуудыг ашиглаж дассан. Нэг, хоёр, гурав, дөрөв гэх мэт. Бидний өдөр тутмын тооллын системд зөвхөн арван оронтой (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) байдаг бөгөөд тэдгээрээс бид ямар ч тоо гаргадаг. Арав хүрсний дараа бид зүүн талын цифр дээр нэгийг нэмээд хамгийн баруун талын цифрээс тэгээс дахин тоолж эхэлнэ. Энэ тооны системийг аравтын тоо гэж нэрлэдэг.

Хоёр гарын хурууны тоо арван байдаг тул өвөг дээдэс маань үүнийг сонгосон гэж таахад хэцүү биш юм. Гэхдээ өөр ямар тооны системүүд байдаг вэ? Та үргэлж аравтын тооллын системийг ашиглаж байсан уу эсвэл өөр хүмүүс байсан уу?

Тооны системийн түүх

Тэгийг зохион бүтээхээс өмнө тоо бичихэд тусгай тэмдэг ашигладаг байсан. Үндэстэн бүр өөрийн гэсэн онцлогтой байсан. Жишээлбэл, Эртний Ромд байрлалын бус тооны систем давамгайлж байв.

Цифрийн утга нь түүний эзэлж буй газраас хамаарахгүй бол тооллын системийг байрлалгүй гэж нэрлэдэг. Хамгийн дэвшилтэт тооллын системийг Орос, Эртний Грект ашигладаг гэж үздэг.

Тэдгээрийн дотор том тоог үсгээр тэмдэглэсэн боловч нэмэлт тэмдэг (1 - a, 100 - i гэх мэт) нэмсэн. Өөр нэг байрлалын бус тооллын систем бол Эртний Вавилонд хэрэглэгдэж байсан систем юм. Вавилоны оршин суугчид өөрсдийн системдээ "хоёр давхар" тэмдэглэгээг ашигладаг бөгөөд зөвхөн гурван тэмдгийг ашигласан: Вавилоны тооллын систем дэх нэгжийг нэг, Вавилоны тооллын системд аравыг, Вавилоны тооллын системд тэгийг тэг гэж үздэг.

Байршлын тооллын систем

Албан тушаалын тогтолцоо нь урагшлах алхам болсон. Одоо аравтын тооллын систем хаа сайгүй ялсан боловч хэрэглээний шинжлэх ухаанд ихэвчлэн ашиглагддаг бусад системүүд байдаг. Ийм тооны системийн жишээ бол хоёртын тооллын систем юм.
Хоёртын тооллын систем

Энэ нь таны гэрт байгаа компьютер болон бүх электрон хэрэгсэлтэй холбогддог газар юм. Энэ тооллын систем нь 0 ба 1 гэсэн хоёр оронтой тоо ашигладаг. Та яагаад компьютерт хүн шиг арав хүртэл тоолохыг заах боломжгүй байсан юм бэ гэж асууж магадгүй юм. Хариулт нь гадаргуу дээр байна.

Машинд хоёр тэмдгийг ялгахыг заахад хялбар байдаг: дээр нь 1, унтраах нь 0 гэсэн үг; гүйдэл байна - 1, гүйдэл байхгүй - 0. Илүү олон тооны цифрийг ялгах чадвартай машин хийх оролдлого хийсэн. Гэхдээ тэд бүгд найдваргүй болж, компьютерууд эргэлзсээр байв: 1 нь тэдэн дээр ирсэн, эсвэл 2.

Бид олон янзын тооны системээр хүрээлэгдсэн байдаг. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн чиглэлээр ашигтай байдаг. Тэгээд алийг нь хэзээ хэрэглэх вэ гэдэг асуултын хариулт биднээс л шалтгаална.

Та бүхэл тоо, жишээ нь 34, бутархай тоо, жишээлбэл, 637.333 хоёрыг хоёуланг нь оруулж болно. Бутархай тоонуудын хувьд аравтын бутархайн дараах орчуулгын нарийвчлалыг заана.

Энэ тооны машинд дараахь зүйлийг мөн ашигладаг.

Тоонуудыг илэрхийлэх арга замууд

Тоонуудыг нэг тооллын системээс нөгөөд шилжүүлэх алгоритм

Жишээ №1.



2-оос 8-аас 16 тооллын систем рүү хөрвүүлэх.
Эдгээр системүүд нь хоёрын үржвэр тул орчуулгыг захидал харилцааны хүснэгт ашиглан гүйцэтгэдэг (доороос үзнэ үү).

Тоог хоёртын тооллын системээс наймтын тооллын систем рүү хөрвүүлэхийн тулд аравтын бутархайгаас баруун, зүүн тийш хоёртын тоог гурван (аравтын тооллын хувьд дөрөв) бүлэгт хувааж, гаднах бүлгүүдийг нэмэх шаардлагатай. шаардлагатай бол тэгтэй. Бүлэг бүрийг харгалзах наймтын эсвэл арван зургаатын тоогоор солино.

Жишээ №2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
энд 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Арван аравтын систем рүү хөрвүүлэхдээ ижил дүрмийн дагуу тоог дөрвөн оронтой тоонд хуваах ёстой.
Жишээ №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
энд 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

2, 8, 16-аас тоонуудыг аравтын бутархай систем рүү хөрвүүлэх нь тоог тус тусад нь хувааж, системийн суурь (тоог орчуулсан) дээр үржүүлж, сериал дугаартай нь харгалзах зэрэглэлд шилжүүлдэг. хөрвүүлж буй тоо. Энэ тохиолдолд тоонуудыг аравтын бутархайн зүүн талд (эхний тоо нь 0-ээр дугаарлагдсан) нэмэгдэж, баруун талд нь буурч (өөрөөр хэлбэл сөрөг тэмдэгтэй) дугаарлана. Хүлээн авсан үр дүнг нэгтгэв.

Жишээ № 4.
Хоёртын системээс аравтын тооллын систем рүү хөрвүүлэх жишээ.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Найман тооллын системээс аравтын тооллын систем рүү хөрвүүлэх жишээ. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Аравтын тооллын системээс аравтын тооллын систем рүү хөрвүүлэх жишээ. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

Бид тоонуудыг нэг тооллын системээс нөгөө PSS рүү хөрвүүлэх алгоритмыг дахин давтана

1. Аравтын тооллын системээс:
   • тоог орчуулж буй тооллын системийн сууринд хуваах;
   • тооны бүхэл хэсгийг хуваахдаа үлдэгдлийг олох;
   • хуваалтаас гарсан бүх үлдэгдлийг урвуу дарааллаар бичих;
2. Хоёртын тооллын системээс
   • Аравтын бутархай тооллын систем рүү хөрвүүлэхийн тулд 2-р суурийн үржвэрүүдийн нийлбэрийг цифрийн харгалзах зэрэгээр олох шаардлагатай;
   • Тоог наймтын тоо руу хөрвүүлэхийн тулд та гурвалсан тоог хуваах хэрэгтэй.
     Жишээлбэл, 1000110 = 1,000 110 = 106 8
   • Хоёртын тооноос арван арван тоот руу хөрвүүлэхийн тулд тоог 4 оронтой бүлэгт хуваах хэрэгтэй.
     Жишээлбэл, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Найман тооллын системд шилжүүлэх хүснэгт

Жишээ №2. 100.12 тоог аравтын тооллын системээс наймтын тооллын систем рүү, эсрэгээр нь хөрвүүл. Зөрчлийн шалтгааныг тайлбарла.
Шийдэл.
1-р шат. .

Бид хуваагдлын үлдэгдлийг урвуу дарааллаар бичнэ. Бид 8-р тооны систем дэх тоог авна: 144
100 = 144 8

Тооны бутархай хэсгийг хөрвүүлэхийн тулд бид бутархай хэсгийг үндсэн 8-аар дараалан үржүүлдэг. Үүний үр дүнд бид үржвэрийн бүх хэсгийг бичих бүртээ.
0.12*8 = 0.96 (бүхэл хэсэг 0 )
0.96*8 = 7.68 (бүхэл хэсэг 7 )
0.68*8 = 5.44 (бүхэл хэсэг 5 )
0.44*8 = 3.52 (бүхэл хэсэг 3 )
Бид 8-р тооллын систем дэх тоог авдаг: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2-р шат. Аравтын тооллын системээс наймтын тооллын системд тоог хөрвүүлэх.
Найман тооллын системээс аравтын тооллын систем рүү урвуу хөрвүүлэлт.

Бүхэл тоон хэсгийг орчуулахын тулд та тухайн тооны цифрийг тухайн тооны цифрээр үржүүлэх хэрэгтэй.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Бутархай хэсгийг хөрвүүлэхийн тулд та тухайн тооны цифрийг оронтой харгалзах зэрэгт хуваах хэрэгтэй
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
0.0001 (100.12 - 100.1199)-ийн зөрүүг наймтын тооллын системд шилжүүлэх үед дугуйрсан алдаагаар тайлбарладаг. Хэрэв та илүү олон тооны оронтой тоо (жишээлбэл, 4 биш, харин 8) авбал энэ алдааг багасгаж болно.

Асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө бид хэд хэдэн энгийн зүйлийг ойлгох хэрэгтэй.

Аравтын бутархай тоог 875 гэж үзье. (5) тооны сүүлийн орон нь 875 тоог 10-д хуваахад үлдсэн үлдэгдэл юм. Сүүлийн хоёр цифр нь 75 тоог бүрдүүлдэг - энэ нь 875 тоог 100-д ​​хуваахад үлдсэн үлдэгдэл юм. ямар ч тооны системийн хувьд үнэн:

Тооны сүүлийн орон нь энэ тоог тооллын системийн суурьт хуваахад үлдсэн тоо юм.

Тооны сүүлийн хоёр орон нь тухайн тоог квадрат суурьт хуваахад үлдсэн тоо юм.

Жишээлбэл, . 23-ыг системийн суурь 3-т хуваавал бид 7 ба 2-ыг үлдэгдэл болгон авна (2 нь гурвалсан системийн тооны сүүлийн орон). 23-ыг 9-д (суурь квадрат) хуваавал бид 18 ба 5-ыг үлдэгдэл (5 = ) авна.

Ердийн аравтын тооллын систем рүү дахин орцгооё. Тоо = 100000. Энэ нь 10-аас k-ийн хүч нь нэг ба k тэг байна.

Үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь аливаа тооны системийн хувьд үнэн юм.

Энэ тооллын систем дэх к хүртэлх тооллын системийн суурийг нэг ба k тэг гэж бичнэ.

Жишээлбэл, .

1. Тооны системийн үндсийг олох

Жишээ 1.

Зарим суурьтай тооллын системд 27-р аравтын тоог 30 гэж бичдэг. Энэ суурийг зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Хүссэн суурь х-г тэмдэглэе. Дараа нь .I.e. x = 9.

Жишээ 2.

Зарим суурьтай тооллын системд 13-ын аравтын тоог 111 гэж бичдэг. Энэ суурийг зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Хүссэн суурь х-г тэмдэглэе. Дараа нь

Бид квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, 3 ба -4 үндэсийг авдаг. Тооллын системийн суурь сөрөг байж болохгүй тул хариулт нь 3.

Хариулт: 3

Жишээ 3

Өсөх дарааллаар таслалаар тусгаарлаж, 29-ийн тоо 5-аар төгссөн тооллын системийн бүх суурийг заана.

Шийдэл:

Хэрэв зарим системд 29-ийн тоо 5-аар төгсдөг бол 5-аар бууруулсан тоо (29-5 = 24) 0-ээр төгсдөг. Системийн суурьт хуваагдах тохиолдолд тоо 0-ээр төгсдөг гэж бид өмнө нь хэлсэн. үлдэгдэлгүй. Тэдгээр. Бид 24-ийн тоонд хуваагч ийм бүх тоог олох хэрэгтэй. Эдгээр тоонууд нь: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. 2, 3, 4 суурьтай тооллын системд тоо байхгүй гэдгийг анхаарна уу. 5 (мөн томъёоллын асуудалд 29-ийн тоо 5-аар төгсдөг) нь суурьтай системүүд хэвээр байна гэсэн үг юм: 6, 8, 12,

Хариулт: 6, 8, 12, 24

Жишээ 4

Өсөх дарааллаар таслалаар тусгаарлаж, 71 тоо 13-аар төгссөн тооллын системийн бүх суурийг заана.

Шийдэл:

Хэрэв зарим системд тоо 13-аар төгсдөг бол энэ системийн суурь нь 4-өөс багагүй байна (өөрөөр бол 3 тоо байхгүй).

3-аар бууруулсан тоо (71-3=68) 10-аар төгсдөг. Өөрөөр хэлбэл. 68 нь системийн хүссэн сууринд бүрэн хуваагддаг бөгөөд үүнийг системийн суурьт хуваахад 0-ийн үлдэгдэл гарна.

2, 4, 17, 34, 68 гэсэн 68 тооны бүхэл хуваагчийг бичье.

2 нь тохиромжгүй, учир нь суурь нь 4-өөс багагүй. Үлдсэн хуваагчдыг шалгая:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (амралт 1) - тохиромжтой

68:17 = 4; 4:17 = 0 (амрах 4) - тохиромжгүй

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) - тохиромжгүй

68:68 = 1; 1:68 = 0 (амралт 1) - тохиромжтой

Хариулт: 4.68

2. Тоонуудыг нөхцлөөр нь хайх

Жишээ 5

Үндсэн дөрвөн тооллын системд тэмдэглэгээ нь 11-ээр төгссөн 25-аас хэтрэхгүй бүх аравтын бутархай тоог өсөх дарааллаар таслалаар тусгаарлана уу?

Шийдэл:

Эхлээд 4-ийн суурь тооллын системд 25-ын тоо ямар байдгийг олж мэдье.

Тэдгээр. Бид 11-ээр төгссөн -ээс ихгүй бүх тоог олох хэрэгтэй. 4-р суурь системд дараалсан тоолох дүрмийн дагуу,
бид тоонууд болон . Бид тэдгээрийг аравтын тооллын систем рүү хөрвүүлдэг.

Хариулт: 5, 21

3. Тэгшитгэл шийдвэрлэх

Жишээ 6

Тэгшитгэлийг шийд:

Хариултаа гуравдагч системээр бичнэ үү (хариултанд тооллын системийн суурийг бичих шаардлагагүй).

Шийдэл:

Бүх тоог аравтын тооллын систем рүү хөрвүүлье:

Квадрат тэгшитгэл нь -8 ба 6 үндэстэй (системийн суурь нь сөрөг байж болохгүй). .

Хариулт: 20

4. Илэрхийллийн утгын хоёртын тэмдэглэгээнд нэгийн (тэг) тоог тоолох

Энэ төрлийн асуудлыг шийдэхийн тулд бид баганын нэмэх, хасах үйлдэл хэрхэн ажилладагийг санах хэрэгтэй.

Нэмэх үед хамгийн бага ач холбогдолтой цифрүүдээс эхлэн бие биенийхээ доор бичигдсэн цифрүүдийн битийн нийлбэр хийгдэнэ. Хэрэв үүссэн хоёр оронтой тооны нийлбэр нь тооллын системийн сууриас их буюу тэнцүү бол энэ нийлбэрийг тооллын системийн суурийн үндсэнд хуваахад үлдэгдэл нь нийлбэр цифрүүдийн доор бичигдэх ба энэ нийлбэрийг тоонд хуваахад бүхэл тоо бичигдэнэ. системийн суурийг дараах цифрүүдийн нийлбэр дээр нэмнэ.

Хасах үед бие биенийхээ доор бичигдсэн цифрүүдийг хамгийн бага ач холбогдол бүхий цифрүүдээс эхлэн битээр хасна. Хэрэв эхний цифр нь хоёр дахь цифрээс бага бол бид зэргэлдээх (том) цифрээс нэгийг "зээлдэг". Одоогийн оронтой тоонд байгаа нэгж нь тооны системийн суурьтай тэнцүү байна. Аравтын тоонд 10, хоёртын тоонд 2, гуравт 3 гэх мэт.

Жишээ 7

Илэрхийллийн утгын хоёртын тэмдэглэгээнд хэдэн нэгж агуулагдаж байна: ?

Шийдэл:

Илэрхийлэл дэх бүх тоог хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье.

Хоёртын тэмдэглэгээнд n-ийн 2-ын зэрэглэл нь 1-ийн араас n тэг байх шиг харагдана. Дараа нь ба нийлбэрээр бид 2 нэгж агуулсан тоо гарна:

Одоо гарсан тооноос 10000-ыг хасъя.Хасах журмын дагуу бид дараагийн цифрээс зээлдэг.

Одоо гарсан тоонд 1-ийг нэмнэ үү:

Үр дүн нь 2013+1+1=2015 нэгжтэй болохыг бид харж байна.

Дасгал 1.Аравтын бутархайн системд 24 16 ямар тоотой тохирч байна вэ?

Шийдэл.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Хариулах. 24 16 = 36 10

Даалгавар 2. X = 12 4 + 4 5 + 101 2 гэдгийг мэддэг. Аравтын бутархай тооллын систем дэх X-ийн утга хэд вэ?

Шийдэл.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
X = 6 + 4 + 5 = 15 гэсэн тоог ол

Хариулах. X = 15 10

Даалгавар 3. 10 2 + 45 8 + 10 16 нийлбэрийн утгыг аравтын бутархайн тэмдэглэгээгээр тооцоол.

Шийдэл.

Нэр томьёо бүрийг аравтын тооллын системд хөрвүүлье:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Нийлбэр нь: 2 + 37 + 16 = 55

Хоёртын тооллын систем рүү хөрвүүлэх

Дасгал 1.Хоёртын систем дэх 37 тоо хэд вэ?

Шийдэл.

Та 2-т хувааж, үлдэгдлийг урвуу дарааллаар нэгтгэх замаар хөрвүүлж болно.

Өөр нэг арга бол тооцоолсон үр дүн нь өгөгдсөн тооноос бага байх хамгийн ихээс эхлэн тоог хоёрын зэрэглэлийн нийлбэр болгон задлах явдал юм. Хөрвүүлэхдээ тооны дутуу хүчийг тэгээр солино.

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Хариулах. 37 10 = 100101 2 .

Даалгавар 2.Аравтын бутархай 73-ын хоёртын тэмдэглэгээнд хэдэн чухал тэг байдаг вэ?

Шийдэл.

73-ын тоог хоёрын зэрэглэлийн нийлбэр болгон задалж, хамгийн дээдээс нь эхлээд алга болсон хүчийг тэгээр, одоо байгаа хүчийг нэгээр үржүүлье.

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Хариулах.Аравтын бутархай 73-ын хоёртын дүрслэл нь дөрвөн чухал тэгтэй.

Даалгавар 3. x = D2 16, y = 37 8-ийн хувьд x ба у тоонуудын нийлбэрийг тооцоол. Үр дүнг хоёртын тооллын системд үзүүл.

Шийдэл.

Арван арвантын тооны цифр бүр дөрвөн хоёртын оронтой, наймтын тооны цифр бүр гурваар бүрддэг гэдгийг санаарай.

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Үр дүнгийн тоог нэмье:

11010010 11111 -------- 11110001

Хариулах.Хоёртын тооллын системд дүрслэгдсэн D2 16 ба у = 37 8 тоонуудын нийлбэр нь 11110001 байна.

Даалгавар 4.Өгөгдсөн: а= D7 16, б= 331 8 . Аль дугаар в, хоёртын тооллын системд бичигдсэн нь нөхцөлийг хангаж байна а< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Шийдэл.

Тоонуудыг хоёртын тооллын системд хөрвүүлье:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Бүх тооны эхний дөрвөн орон ижил байна (1101). Тиймээс харьцуулалтыг доод дөрвөн оронтой харьцуулахын тулд хялбаршуулсан болно.

Жагсаалтын эхний тоо нь тоотой тэнцүү байна бтиймээс тохиромжгүй.

Хоёр дахь тоо нь түүнээс их байна б. Гурав дахь тоо нь а.

Зөвхөн дөрөв дэх дугаар тохиромжтой: 0111< 1000 < 1001.

Хариулах.Дөрөв дэх сонголт (11011000) нөхцөлийг хангаж байна а< c < b .

Төрөл бүрийн тооны систем дэх утгууд ба тэдгээрийн суурийг тодорхойлох даалгавар

Дасгал 1.@, $, &, % тэмдэгтүүдийг кодлохын тулд хоёр оронтой дараалсан хоёртын тоог ашигладаг. Эхний тэмдэгт нь 00 тоотой тохирч байна. Эдгээр тэмдэгтүүдийг ашиглан дараах дарааллыг кодлосон: $%&&@$. Энэ дарааллыг тайлж, үр дүнг арван зургаатын тооллын систем рүү хөрвүүлнэ.

Шийдэл.

1. Хоёртын тоонуудыг кодлодог тэмдэгтүүдтэй харьцуулж үзье:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Хоёртын тоог 16-тын тооллын системд хөрвүүл.
0111 1010 0001 = 7A1

Хариулах. 7А1 16.

Даалгавар 2.Цэцэрлэгт 100 х жимсний мод байдгаас алимны мод 33 х, лийр 22 х, чавга 16 х, интоор 17 х байна. Тооны системийн суурь нь юу вэ (x).

Шийдэл.

1. Бүх нэр томъёо нь хоёр оронтой тоо гэдгийг анхаарна уу. Аль ч тооны системд тэдгээрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, энд a ба b нь тухайн тооны харгалзах цифрүүдийн цифрүүд юм.
Гурван оронтой тооны хувьд энэ нь дараах байдалтай байна.
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Асуудлын нөхцөл нь:
33 х + 22 х + 16 х + 17 х = 100 х
Тоонуудыг томъёонд орлуулъя:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. D-ийн квадрат язгуур нь 11.
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 эсвэл x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Сөрөг тоо нь тооллын системийн суурь байж болохгүй. Тиймээс x нь зөвхөн 9-тэй тэнцүү байж болно.

Хариулах.Тооны системийн шаардлагатай суурь нь 9 байна.

Даалгавар 3.Зарим суурьтай тооллын системд 12-ын аравтын тоог 110 гэж бичдэг. Энэ суурийг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бид 110-ын тоог байрлалын тооллын системд тоо бичих томьёогоор бичиж аравтын бутархайн систем дэх утгыг олох ба дараа нь бүдүүлэг хүчээр суурийг олно.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Бид 12-ыг авах хэрэгтэй. 2-ыг оролдоод үзье: 2 2 + 2 = 6. 3: 3 2 + 3 = 12 гэж үзээрэй.

Энэ нь тооллын системийн суурь нь 3 гэсэн үг.

Хариулах.Тооны системийн шаардлагатай суурь нь 3 байна.

Даалгавар 4.Аль тооллын системд 173-ын аравтын тоог 445 гэж илэрхийлэх вэ?

Шийдэл.
Үл мэдэгдэх суурийг X гэж тэмдэглэе. Дараах тэгшитгэлийг бичнэ.
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
Тэг хүчин чадалтай аливаа эерэг тоо нь 1-тэй тэнцүү байгааг харгалзан бид тэгшитгэлийг дахин бичих болно (бид 10-ын суурийг заагаагүй).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Мэдээжийн хэрэг, ийм квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдэж болно, гэхдээ илүү энгийн шийдэл байдаг. Баруун болон зүүн талаас 4-ийг хасна.Бид авна
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 эсвэл 13 2 = (2*X+1) 2
Эндээс бид 2*X +1 = 13 (бид сөрөг үндсийг хаяна). Эсвэл X = 6.
Хариулт: 173 10 = 445 6

Тооллын системийн хэд хэдэн суурийг олох асуудал

Өгөгдсөн тооны дүрслэл нь өгөгдсөн цифрээр төгсдөг тооллын системийн бүх суурийг (өсөх эсвэл буурах дарааллаар) жагсаах шаардлагатай бүлэг асуудлууд байдаг. Энэ асуудлыг маш энгийнээр шийддэг. Эхлээд та өгөгдсөн цифрийг анхны тооноос хасах хэрэгтэй.Үүссэн тоо нь тооны системийн эхний суурь болно. Мөн бусад бүх суурь нь зөвхөн энэ тооны хуваагч байж болно. (Энэ мэдэгдлийг тоонуудыг нэг тооллын системээс нөгөөд шилжүүлэх дүрэмд үндэслэн нотолсон болно - 4-р догол мөрийг үзнэ үү). Үүнийг л санаарай тооллын системийн суурь нь өгөгдсөн цифрээс бага байж болохгүй!

Жишээ
Өсөх дарааллаар таслалаар тусгаарлаж, 24-ийн тоо 3-аар төгссөн тооллын системийн бүх суурийг заана.

Шийдэл
24 – 3 =21 нь эхний суурь (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 нь 3 ба 7-д хуваагдана. 3-ын тоо тохиромжгүй, учир нь 3-ын суурь тооллын системд 3-ын орон байхгүй.
Хариулт: 7, 21

Сургууль, их сургуулиас үл хамааран компьютерийн шинжлэх ухааны хичээлүүдэд тооны систем гэх мэт ойлголтод онцгой байр суурь эзэлдэг. Дүрмээр бол үүнд зориулж хэд хэдэн хичээл эсвэл практик дасгалуудыг хуваарилдаг. Гол зорилго нь тухайн сэдвийн үндсэн ойлголтуудыг эзэмших, тооллын системийн төрлүүдийг судлахаас гадна хоёртын, наймтын, арван зургаатын арифметиктэй танилцах явдал юм.

Энэ нь юу гэсэн үг вэ?

Үндсэн ойлголтыг тодорхойлж эхэлье. "Мэдээлэл зүй" сурах бичигт тэмдэглэснээр тооны систем нь тусгай цагаан толгой эсвэл тодорхой тооны багцыг ашигладаг тоонуудын бүртгэл юм.

Цифрийн утга нь тоон доторх байрлалаас хамаарч өөрчлөгдөх эсэхээс хамааран байрлалын болон байрлалын бус тооллын систем гэж хоёр хуваагдана.

Байршлын системд цифрийн утга нь тоон доторх байрлалаас хамаарч өөрчлөгддөг. Тиймээс, хэрэв бид 234-ийн тоог авбал түүний доторх 4-ийн тоо нь нэгж гэсэн үг, харин 243-ыг авч үзвэл энэ нь аль хэдийн нэгж биш, харин арав гэсэн үг юм.

Байршлын бус системд цифрийн утга нь тоон доторх байрлалаас үл хамааран хөдөлгөөнгүй байдаг. Хамгийн гайхалтай жишээ бол нэгж бүрийг зураасаар тэмдэглэсэн зөөгч систем юм. Та саваа хаана байрлуулах нь хамаагүй, тооны утга нь зөвхөн нэгээр өөрчлөгдөнө.

Байршилгүй системүүд

Байршлын бус тооллын системд дараахь зүйлс орно.

1. Анхны нэгд тооцогдох нэгж систем. Энэ нь тоонуудын оронд саваа ашигласан. Илүү их байх тусам тухайн тооны утга ихсэх болно. Ийм маягаар бичсэн тоонуудын жишээг та далайд төөрсөн хүмүүс, өдөр бүр чулуу, модны ховилоор тэмдэглэдэг хоригдлуудын тухай ярьж байгаа киноноос олж болно.
2. Тооны оронд латин үсгийг ашигласан Ром. Тэдгээрийг ашигласнаар та ямар ч тоо бичиж болно. Түүнээс гадна түүний утгыг тухайн тоог бүрдүүлсэн цифрүүдийн нийлбэр ба зөрүүг ашиглан тодорхойлсон. Хэрэв цифрийн зүүн талд бага тоо байгаа бол зүүн талын цифрийг баруун талаас нь хасч, баруун талд байгаа цифр нь зүүн талын цифрээс бага буюу тэнцүү байвал тэдгээрийн утгыг нэгтгэнэ. Жишээлбэл, 11-ийн тоог XI, 9-ийг IX гэж бичсэн.
3. Тодорхой хэлний цагаан толгойн үсгийг ашиглан тоонуудыг тэмдэглэсэн цагаан толгойн дараалал. Тэдгээрийн нэг нь олон тооны үсэг нь зөвхөн дуудлагын төдийгүй тоон утгатай байсан Славян систем гэж тооцогддог.
4. бичихдээ зөвхөн хоёр тэмдэглэгээг ашигласан - шаантаг ба сум.
5. Египет ч гэсэн тоонуудыг илэрхийлэх тусгай тэмдэглэгээг ашигласан. Тоо бичихдээ тэмдэг бүрийг есөөс илүүгүй удаа ашиглаж болно.

Байршлын системүүд

Компьютерийн шинжлэх ухаанд байрлалын тооллын системд ихээхэн анхаарал хандуулдаг. Үүнд дараахь зүйлс орно.

• хоёртын;
• наймт;
• аравтын;
• арван зургаатын тоо;
• sexagesimal, цагийг тоолоход ашигладаг (жишээ нь: минутанд 60 секунд, цагт 60 минут байдаг).

Тэд тус бүр өөрийн гэсэн бичих цагаан толгойтой, орчуулах дүрэм, арифметик үйлдлүүдтэй байдаг.

Аравтын систем

Энэ систем нь бидэнд хамгийн танил юм. Энэ нь тоо бичихдээ 0-ээс 9 хүртэлх тоог ашигладаг. Тэднийг бас араб гэж нэрлэдэг. Тоон дахь цифрийн байрлалаас хамааран энэ нь өөр өөр цифрүүдийг төлөөлж болно - нэгж, арав, зуу, мянга, сая. Бид үүнийг хаа сайгүй ашигладаг, тоон дээр арифметик үйлдлүүд хийдэг үндсэн дүрмийг мэддэг.

Хоёртын систем

Компьютерийн шинжлэх ухааны гол тоон системийн нэг нь хоёртын систем юм. Түүний энгийн байдал нь компьютерт аравтын бутархайн системээс хэд дахин хурдан нүсэр тооцоолол хийх боломжийг олгодог.

Тоо бичихийн тулд зөвхөн хоёр цифрийг ашигладаг - 0 ба 1. Түүнээс гадна тоон дахь 0 эсвэл 1-ийн байрлалаас хамааран түүний утга өөрчлөгдөнө.

Эхэндээ тэд компьютерийн тусламжтайгаар шаардлагатай бүх мэдээллийг хүлээн авдаг байв. Энэ тохиолдолд нэг нь хүчдэл ашиглан дамжуулсан дохио байгаа гэсэн үг бөгөөд тэг нь байхгүй гэсэн үг юм.

Найман систем

Өөр нэг алдартай компьютерийн тооллын систем нь 0-ээс 7 хүртэлх тоог ашигладаг. Энэ нь дижитал төхөөрөмжтэй холбоотой мэдлэгийн салбарт голчлон хэрэглэгддэг байв. Харин сүүлийн үед энэ нь 16-тын тооллын системээр солигдсон тул хамаагүй бага хэрэглэгдэх болсон.

Хоёртын аравтын систем

Олон тооны тоог хоёртын тоогоор илэрхийлэх нь хүний ​​хувьд нэлээд төвөгтэй үйл явц юм. Үүнийг хялбарчлахын тулд үүнийг боловсруулсан.Энэ нь ихэвчлэн электрон цаг, тооны машинд ашиглагддаг. Энэ системд бүхэл тоог аравтын бутархай системээс хоёртын систем рүү хөрвүүлдэггүй, харин цифр бүрийг хоёртын систем дэх тэг ба нэгийн харгалзах олонлогт хөрвүүлдэг. Хоёртын системээс аравтын систем рүү хөрвүүлэх нь ижил төстэй байдлаар явагддаг. Тэг ба нэгийн дөрвөн оронтой олонлогоор дүрслэгдсэн цифр бүрийг аравтын тооллын системийн цифр болгон хувиргадаг. Зарчмын хувьд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Энэ тохиолдолд тоонуудтай ажиллахын тулд тоон системүүдийн хүснэгт нь тоонууд болон тэдгээрийн хоёртын код хоорондын захидал харилцааг харуулах болно.

Арван аравтын систем

Сүүлийн үед программчлал, компьютерийн шинжлэх ухаанд 16-тын тооллын систем улам бүр түгээмэл болж байна. Энэ нь зөвхөн 0-ээс 9 хүртэлх тоог төдийгүй олон тооны латин үсгийг ашигладаг - A, B, C, D, E, F.

Үүний зэрэгцээ үсэг тус бүр өөрийн гэсэн утгатай тул A=10, B=11, C=12 гэх мэт. Тоо бүрийг дөрвөн тэмдэгтийн багц хэлбэрээр илэрхийлнэ: 001F.

Тоог хөрвүүлэх: аравтын тооноос хоёртын систем рүү

Тоон систем дэх орчуулга нь тодорхой дүрмийн дагуу явагддаг. Хамгийн түгээмэл хөрвүүлэлт бол хоёртын системээс аравтын систем рүү болон эсрэгээр хувиргах явдал юм.

Тоог аравтын бутархай системээс хоёртын систем рүү хөрвүүлэхийн тулд тооллын системийн суурь буюу хоёр тоогоор дараалан хуваах шаардлагатай. Энэ тохиолдолд хэлтэс бүрийн үлдсэн хэсгийг бүртгэх ёстой. Энэ нь хуваагдлын үлдэгдэл нэгээс бага эсвэл тэнцүү болтол явагдана. Тооцооллыг баганад хийх нь хамгийн сайн арга юм. Үүний үр дүнд хуваагдсан үлдэгдлийг урвуу дарааллаар мөрөнд бичнэ.

Жишээлбэл, 9 тоог хоёртын тоо руу хөрвүүлье:

Бид 9-ийг хуваана, учир нь энэ тоо бүхэлдээ хуваагддаггүй тул бид 8-ын тоог авна, үлдсэн нь 9 - 1 = 1 болно.

8-ыг 2-т хуваасны дараа бид 4-ийг авна. Тоо нь бүхэл тоонд хуваагддаг тул дахин хуваана - бид 4 - 4 = 0-ийн үлдэгдлийг авна.

Бид 2-той ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үлдэгдэл нь 0.

Хуваалтын үр дүнд бид 1-ийг авна.

Төгсгөлийн тооллын системээс үл хамааран тоог аравтын бутархайгаас бусад тоо руу хөрвүүлэх нь тухайн тоог байрлалын системийн суурьт хуваах зарчмын дагуу явагдана.

Тоог хөрвүүлэх: хоёртын системээс аравтын тоо

Хоёртын системээс тоонуудыг аравтын тооллын систем рүү хөрвүүлэх нь маш хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд тоог нэмэгдүүлэх дүрмийг мэдэхэд хангалттай. Энэ тохиолдолд хоёрын хүчээр.

Орчуулгын алгоритм нь дараах байдалтай байна: хоёртын тооны кодын цифр бүрийг хоёроор үржүүлэх ёстой бөгөөд эхний хоёр нь m-1, хоёр дахь нь - m-2 гэх мэт байх ба энд m нь код дахь цифрүүдийн тоо. Дараа нь нэмэхийн үр дүнг нэмж бүхэл тоо гарна.

Сургуулийн хүүхдүүдийн хувьд энэ алгоритмыг илүү энгийнээр тайлбарлаж болно.

Эхлэхийн тулд бид цифр бүрийг хоёроор үржүүлж бичээд дараа нь тэгээс эхлэн хоёрын хүчийг төгсгөлөөс нь тавина. Дараа нь бид гарсан тоог нэмнэ.

Жишээлбэл, бид өмнө нь олж авсан 1001 тоог аравтын бутархайн систем рүү хөрвүүлэн дүн шинжилгээ хийж, тооцоолол зөв эсэхийг шалгах болно.

Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Энэ сэдвийг судлахдаа хоёр хүчин чадалтай хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой. Энэ нь тооцоолол хийхэд шаардагдах хугацааг мэдэгдэхүйц багасгах болно.

Орчуулгын бусад сонголтууд

Зарим тохиолдолд хоёртын болон наймтын тооллын систем, хоёртын болон арван зургаатын тооллын системүүдийн хооронд орчуулгыг хийж болно. Энэ тохиолдолд та "Харах" цонхны "Программист" сонголтыг сонгосноор тусгай хүснэгтүүдийг ашиглах эсвэл компьютер дээрээ тооны машин ажиллуулж болно.

Арифметик үйлдлүүд

Энэ дугаарыг танилцуулсан хэлбэрээс үл хамааран бидэнд танил болсон тооцооллыг хийхэд ашиглаж болно. Энэ нь таны сонгосон тооны системд хуваах, үржүүлэх, хасах, нэмэх үйлдэл байж болно. Мэдээжийн хэрэг, тус бүр өөрийн гэсэн дүрэмтэй байдаг.

Тиймээс хоёртын системийн хувьд үйлдлүүд тус бүрт өөрийн гэсэн хүснэгтүүдийг боловсруулсан болно. Үүнтэй ижил хүснэгтүүдийг бусад байрлалын системд ашигладаг.

Тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй - зүгээр л хэвлээд гартаа байлга. Та мөн компьютер дээрээ тооны машин ашиглаж болно.

Компьютерийн шинжлэх ухааны хамгийн чухал сэдвүүдийн нэг бол тооны систем юм. Энэ сэдвийн талаархи мэдлэг, тоог нэг системээс нөгөө систем рүү хөрвүүлэх алгоритмын талаар ойлголттой байх нь алгоритмчлал, програмчлал гэх мэт илүү төвөгтэй сэдвүүдийг ойлгож, анхны програмаа өөрөө бичих чадвартай болох түлхүүр юм.