Зургаан өнцөгт пирамидын талбай. Зургаан өнцөгт пирамидын талбай Дөрвөн өнцөгт пирамидын периметрийн томъёо

Гурвалжин пирамидсуурь нь ердийн гурвалжин болох олон өнцөгт юм.

Ийм пирамидын хувьд суурийн ирмэг ба хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү байна. Үүний дагуу хажуугийн нүүрний талбайг гурван ижил гурвалжны талбайн нийлбэрээс олно. Та томъёог ашиглан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргууг олох боломжтой. Мөн та тооцооллыг хэд дахин хурдан хийж чадна. Үүнийг хийхийн тулд та гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Энд p нь суурийн периметр, бүх тал нь b-тэй тэнцүү, a нь дээрээс энэ суурь руу буулгасан апотем юм. Гурвалжин пирамидын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Асуудал: Ердийн пирамид өгье. Гурвалжны суурийн тал нь b=4см.Пирамидын апотем нь a=7см.Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.
Асуудлын нөхцлийн дагуу бид шаардлагатай бүх элементүүдийн уртыг мэддэг тул периметрийг олох болно. Ердийн гурвалжинд бүх талууд тэнцүү байдаг тул периметрийг дараах томъёогоор тооцоолдог гэдгийг бид санаж байна.

Өгөгдлийг орлуулж утгыг олъё:

Одоо периметрийг мэдсэнээр бид хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно.

Бүрэн утгыг тооцоолохын тулд гурвалжин пирамидын талбайн томъёог ашиглахын тулд та олон өнцөгтийн суурийн талбайг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Гурвалжин пирамидын суурийн талбайн томъёо нь өөр байж болно. Өгөгдсөн зургийн хувьд ямар ч параметрийн тооцоог ашиглах боломжтой боловч ихэнхдээ үүнийг хийх шаардлагагүй байдаг. Гурвалжин пирамидын суурийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Бодлого: Энгийн пирамид гурвалжны суурийн тал нь a = 6 см. Суурийн талбайг тооцоол.
Тооцоолохын тулд бид пирамидын ёроолд байрлах ердийн гурвалжны хажуугийн уртыг л авах хэрэгтэй. Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

Ихэнхдээ та олон өнцөгтийн нийт талбайг олох хэрэгтэй болдог. Үүнийг хийхийн тулд та хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайг нэмэх хэрэгтэй.

Гурвалжин пирамидын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Бодлого: Ердийн гурвалжин пирамид өгье. Суурийн тал нь b = 4 см, апотем нь a = 6 см. Пирамидын нийт талбайг ол.
Эхлээд аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёог ашиглан хажуугийн гадаргуугийн талбайг олъё. Периметрийг тооцоолъё:

Өгөгдлийг томъёонд орлуулна уу:
Одоо суурийн талбайг олъё:
Суурийн болон хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдээд бид пирамидын нийт талбайг олно.

Ердийн пирамидын талбайг тооцоолохдоо суурь нь ердийн гурвалжин бөгөөд энэ олон өнцөгтийн олон элементүүд хоорондоо тэнцүү гэдгийг мартаж болохгүй.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхдээ оюутнууд алгебр, геометрийн мэдлэгээ системчлэх ёстой. Би бүх мэдэгдэж байгаа мэдээллийг нэгтгэхийг хүсч байна, жишээлбэл, пирамидын талбайг хэрхэн тооцоолох талаар. Түүнээс гадна суурь ба хажуугийн ирмэгээс эхлээд бүх гадаргуугийн талбай хүртэл. Хэрвээ гурвалжин хэлбэртэй тул хажуугийн нүүрний байдал тодорхой байвал суурь нь үргэлж өөр байдаг.

Пирамидын суурийн талбайг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь дурын гурвалжингаас n-gon хүртэл ямар ч дүрс байж болно. Мөн энэ суурь нь өнцгийн тооны ялгаанаас гадна ердийн дүрс эсвэл жигд бус байж болно. Сургуулийн сурагчдын сонирхдог Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврын үндсэн дээр зөвхөн зөв тоо бүхий даалгавар байдаг. Тиймээс бид зөвхөн тэдний тухай ярих болно.

Ердийн гурвалжин

Өөрөөр хэлбэл, тэгш талт. Бүх талууд тэнцүү бөгөөд "а" үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Энэ тохиолдолд пирамидын суурийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

S = (a 2 * √3) / 4.

Дөрвөлжин

Түүний талбайг тооцоолох томъёо нь хамгийн энгийн бөгөөд энд "a" нь дахин тал юм.

Дурын тогтмол n-gon

Олон өнцөгтийн тал нь ижил тэмдэглэгээтэй байна. Өнцгийн тооны хувьд Латин үсэг n-ийг ашигладаг.

S = (n * a 2) / (4 * тг (180º/n)).

Хажуугийн болон нийт гадаргуугийн талбайг тооцоолохдоо юу хийх вэ?

Суурь нь ердийн дүрс тул пирамидын бүх нүүр нь тэнцүү байна. Түүнээс гадна хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү тул тус бүр нь ижил өнцөгт гурвалжин юм. Дараа нь пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд танд ижил мономиалуудын нийлбэрээс бүрдэх томъёо хэрэгтэй болно. Нэр томъёоны тоог суурийн талуудын тоогоор тодорхойлно.

Адил өнцөгт гурвалжны талбайг суурийн бүтээгдэхүүний талыг өндрөөр үржүүлсэн томъёогоор тооцоолно. Пирамидын энэ өндрийг апотем гэж нэрлэдэг. Түүний тэмдэглэгээ нь "А" юм. Хажуугийн гадаргуугийн ерөнхий томъёо нь:

S = ½ P*A, энд P нь пирамидын суурийн периметр юм.

Суурийн талууд нь тодорхойгүй, харин хажуугийн ирмэгүүд (c) ба түүний орой дээрх хавтгай өнцөг (α) өгөгдсөн нөхцөл байдал байдаг. Дараа нь та пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

2 sin α-д S = n/2 * .

Даалгавар №1

Нөхцөл байдал.Пирамидын суурийн тал нь 4 см, апотем нь √3 см-ийн утгатай бол түүний нийт талбайг ол.

Шийдэл.Та суурийн периметрийг тооцоолж эхлэх хэрэгтэй. Энэ нь ердийн гурвалжин тул P = 3 * 4 = 12 см байна. Апотем нь мэдэгдэж байгаа тул бид хажуугийн гадаргуугийн талбайг нэн даруй тооцоолж болно: ½ * 12 * √3 = 6√3 см 2.

Суурийн гурвалжны хувьд та дараах талбайн утгыг авна: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2.

Талбайг бүхэлд нь тодорхойлохын тулд 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 гэсэн хоёр утгыг нэмэх шаардлагатай.

Хариулах. 10√3 см 2.

Асуудал №2

Нөхцөл байдал. Ердийн дөрвөлжин пирамид байдаг. Суурийн хажуугийн урт нь 7 мм, хажуугийн ирмэг нь 16 мм байна. Түүний гадаргуугийн талбайг олж мэдэх шаардлагатай.

Шийдэл.Полиэдрон нь дөрвөлжин хэлбэртэй, тогтмол байдаг тул түүний суурь нь дөрвөлжин юм. Суурийн болон хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдсэний дараа та пирамидын талбайг тооцоолох боломжтой болно. Дөрвөлжингийн томъёог дээр өгөв. Мөн хажуугийн нүүрний хувьд гурвалжны бүх талыг мэддэг. Тиймээс тэдгээрийн талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглаж болно.

Эхний тооцоо нь энгийн бөгөөд дараах тоонд хүргэдэг: 49 мм 2. Хоёр дахь утгын хувьд та хагас периметрийг тооцоолох хэрэгтэй: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 мм. Одоо та ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолж болно: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 мм 2. Зөвхөн дөрвөн ийм гурвалжин байдаг тул эцсийн тоог тооцоолохдоо 4-өөр үржүүлэх шаардлагатай болно.

Энэ нь: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 мм 2 болж байна.

Хариулт. Хүссэн утга нь 267.576 мм 2 байна.

Асуудал №3

Нөхцөл байдал. Ердийн дөрвөлжин пирамидын хувьд та талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Талбайн тал нь 6 см, өндөр нь 4 см гэдгийг мэддэг.

Шийдэл.Хамгийн хялбар арга бол периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүнтэй томъёог ашиглах явдал юм. Эхний утгыг олоход хялбар байдаг. Хоёр дахь нь арай илүү төвөгтэй юм.

Бид Пифагорын теоремыг санаж, энэ нь пирамидын өндөр ба гипотенуз болох апотемоос үүсдэг гэж үзэх хэрэгтэй. Хоёрдахь хөл нь дөрвөлжингийн талтай тэнцүү байна, учир нь олон талт өндөр нь дунд хэсэгтээ унадаг.

Шаардлагатай апотем (тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз) нь √(3 2 + 4 2) = 5 (см) -тэй тэнцүү байна.

Одоо та шаардлагатай утгыг тооцоолж болно: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Хариулах. 96 см 2.

Асуудал №4

Нөхцөл байдал.Зөв талыг нь өгсөн.Түүний суурийн хажуу тал нь 22 мм, хажуугийн ирмэг нь 61 мм байна. Энэ олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбай хэд вэ?

Шийдэл.Үүний үндэслэл нь 2-р даалгаварт дурдсантай ижил байна. Зөвхөн тэнд дөрвөлжин суурьтай пирамид өгсөн бөгөөд одоо зургаан өнцөгт болжээ.

Юуны өмнө үндсэн талбайг дээрх томъёогоор тооцоолно: (6*22 2) / (4*тг (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2.

Одоо та хажуугийн нүүр болох ижил өнцөгт гурвалжны хагас периметрийг олох хэрэгтэй. (22+61*2):2 = 72 см.Хероны томьёог ашиглан ийм гурвалжин бүрийн талбайг тооцоод зургаагаар үржүүлээд суурийн хувьд авсан дээр нэмэх л үлдлээ.

Хероны томьёо ашиглан хийсэн тооцоо: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг өгөх тооцоо: 660 * 6 = 3960 см 2. Гадаргууг бүхэлд нь олж мэдэхийн тулд тэдгээрийг нэмэх хэрэгтэй: 5217.47≈5217 см 2.

Хариулах.Суурь нь 726√3 см2, хажуугийн гадаргуу 3960 см2, нийт талбай нь 5217 см2.

Суурь нь ердийн зургаан өнцөгт, талууд нь тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас тогтсон пирамидыг гэнэ. зургаан өнцөгт.

Энэ олон өнцөгт нь олон шинж чанартай байдаг:

• Суурийн бүх талууд ба өнцөг нь хоорондоо тэнцүү;
• Пирамидын бүх ирмэг ба хоёр талт нүүрсүүд нь хоорондоо тэнцүү байна;
• Хажуу талыг бүрдүүлдэг гурвалжин нь ижил хэмжээтэй, ижил талбай, тал, өндөртэй байна.

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын талбайг тооцоолохын тулд зургаан өнцөгт пирамидын хажуугийн гадаргуугийн стандарт томъёог ашиглана.

Энд P нь суурийн периметр, a нь пирамидын апотемийн урт юм. Ихэнх тохиолдолд та энэ томъёог ашиглан хажуугийн талбайг тооцоолж болно, гэхдээ заримдаа та өөр аргыг ашиглаж болно. Пирамидын хажуу талууд нь тэнцүү гурвалжнуудаас бүрддэг тул та нэг гурвалжны талбайг олж, дараа нь талуудын тоогоор үржүүлж болно. Зургаан өнцөгт пирамидын 6 ширхэг байдаг. Гэхдээ энэ аргыг тооцоолохдоо бас ашиглаж болно. Зургаан өнцөгт пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Апотем нь a = 7 см, суурийн тал нь b = 3 см байх ердийн зургаан өнцөгт пирамид өгье. Полиэдрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоол.
Эхлээд суурийн периметрийг олъё. Пирамид нь тогтмол байдаг тул түүний сууринд ердийн зургаан өнцөгт байдаг. Энэ нь түүний бүх талууд тэнцүү бөгөөд периметрийг дараахь томъёогоор тооцоолно гэсэн үг юм.
Өгөгдлийг томъёонд орлуулна уу:
Одоо бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулах замаар хажуугийн гадаргуугийн талбайг хялбархан олох боломжтой.

Мөн суурь талбайг хайх нь чухал юм. Зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талбайн томьёо нь ердийн зургаан өнцөгтийн шинж чанараас гаралтай.

Зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье, өмнөх жишээн дээрх нөхцлүүдийг үндэс болгон авч үзье.Тэдгээрээс бид суурийн тал нь b = 3 см гэдгийг мэдэж байна. Өгөгдлийг томъёонд орлуулна уу. :

Зургаан өнцөгт пирамидын талбайн томъёо нь суурь ба хажуугийн сканнерын талбайн нийлбэр юм.

Зургаан өнцөгт пирамидын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Сууриндаа b = 4 см талтай ердийн зургаан өнцөгт орших пирамид өгье.Өгөгдсөн олон өнцөгтийн нэр нь a = 6 см байна.Нийт талбайг ол.
Нийт талбай нь суурь болон хажуугийн сканнерын хэсгүүдээс бүрддэг гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс эхлээд тэднийг олъё. Периметрийг тооцоолъё:

Одоо хажуугийн гадаргуугийн талбайг олъё:

Дараа нь бид ердийн зургаан өнцөгт байрлах суурийн талбайг тооцоолно.

Одоо бид үр дүнг нэмж болно:

Тодорхойлолт. Хажуугийн ирмэг- энэ бол нэг өнцөг нь пирамидын дээд хэсэгт байрлах гурвалжин бөгөөд эсрэг тал нь суурийн талтай (олон өнцөгт) давхцдаг.

Тодорхойлолт. Хажуугийн хавирга- эдгээр нь хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд юм. Пирамид нь олон өнцөгтийн өнцөгтэй адил олон ирмэгтэй байдаг.

Тодорхойлолт. Пирамидын өндөр- энэ нь пирамидын оройноос доош буусан перпендикуляр юм.

Тодорхойлолт. Апотем- энэ нь пирамидын дээд талаас суурийн хажуу руу доошлуулсан пирамидын хажуугийн гадаргуутай перпендикуляр юм.

Тодорхойлолт. Диагональ хэсэг- энэ нь пирамидын дээд ба суурийн диагональ дундуур дайран өнгөрч буй хавтгайгаар пирамидын хэсэг юм.

Тодорхойлолт. Зөв пирамидЭнэ нь суурь нь ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй, өндөр нь суурийн төв хүртэл доошоо буудаг пирамид юм.

Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай

Томъёо. Пирамидын эзэлхүүнсуурь талбай ба өндрөөр:

Пирамидын шинж чанарууд

Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү бол пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог зурж болох бөгөөд суурийн төв нь тойргийн төвтэй давхцдаг. Мөн дээрээс унасан перпендикуляр нь суурийн төв (тойрог) дамжин өнгөрдөг.

Хэрэв бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү бол тэдгээр нь ижил өнцгөөр суурийн хавтгайд налуу байна.

Хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэх эсвэл пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой бол тэнцүү байна.

Хажуугийн нүүр нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байвал пирамидын сууринд тойрог зурж, пирамидын дээд хэсгийг төв хэсэгт байрлуулж болно.

Хажуугийн нүүрнүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байвал хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд тэнцүү байна.

Ердийн пирамидын шинж чанарууд

1. Пирамидын дээд хэсэг нь суурийн бүх булангаас ижил зайд байрладаг.

2. Хажуугийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна.

3. Хажуугийн бүх хавирга нь суурьтай ижил өнцгөөр налуу байна.

4. Хажуугийн бүх нүүрнүүдийн тэмдэгтүүд тэнцүү байна.

5. Хажуугийн бүх нүүрний талбайнууд тэнцүү байна.

6. Бүх нүүр нь хоёр талт (хавтгай) өнцөгтэй.

7. Пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно. Хязгаарлагдмал бөмбөрцгийн төв нь ирмэгийн дундуур дамждаг перпендикуляруудын огтлолцох цэг байх болно.

8. Бөмбөрцгийг пирамид дотор оруулж болно. Бичсэн бөмбөрцгийн төв нь ирмэг ба суурийн хоорондох өнцгөөс гарч буй биссектрисын огтлолцох цэг болно.

9. Хэрэв бичээстэй бөмбөрцгийн төв нь хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн төвтэй давхцаж байвал орой дээрх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь π-тэй тэнцүү эсвэл эсрэгээр, нэг өнцөг нь π/n-тэй тэнцүү, энд n нь тоо юм. пирамидын суурь дахь өнцгүүдийн .

Пирамид ба бөмбөрцөг хоорондын холбоо

Пирамидын сууринд тойргийг дүрсэлж болох олон өнцөгт байгаа бол пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрсэлж болно (зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Бөмбөрцгийн төв нь пирамидын хажуугийн ирмэгүүдийн дунд цэгүүдээр перпендикуляр өнгөрч буй хавтгайн огтлолцох цэг болно.

Аливаа гурвалжин эсвэл ердийн пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцөг дүрслэх боломжтой байдаг.

Хэрэв пирамидын дотоод хоёр өнцөгт өнцгүүдийн биссектрисын хавтгайнууд нэг цэгт огтлолцвол бөмбөрцгийг пирамид дотор бичиж болно (шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Энэ цэг нь бөмбөрцгийн төв байх болно.

Конустай пирамидын холболт

Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын сууринд бичээстэй байвал конусыг пирамид дотор бичдэг гэнэ.

Пирамидын нэр томъёо нь хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамид хэлбэрээр бичиж болно.

Конусын оройнууд нь давхцаж, конусын суурь нь пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн байвал конусыг тойрон хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү бол конусыг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.

Пирамид ба цилиндрийн хоорондын хамаарал

Пирамидын дээд хэсэг нь цилиндрийн нэг суурин дээр, харин пирамидын суурь нь цилиндрийн өөр сууринд бичээстэй байвал пирамидыг цилиндрт бичээстэй гэж нэрлэдэг.

Пирамидын суурийг тойруулан тойрог дүрсэлж чадвал цилиндрийг пирамидын эргэн тойронд дүрсэлж болно.

Тетраэдр нь дөрвөн нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэгтэй бөгөөд аль ч хоёр ирмэг нь нийтлэг оройгүй боловч хүрч болохгүй.

Орой бүр нь гурван нүүр, ирмэгээс бүрддэг гурвалжин өнцөг.

Тетраэдрийн оройг эсрэг талын нүүрний төвтэй холбосон сегментийг нэрлэдэг тетраэдрийн медиан(GM).

Бимедианхүрэлгүй эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг (KL).

Тетраэдрийн бүх бимедиан ба медианууд нэг цэгт (S) огтлолцдог. Энэ тохиолдолд хоёр медианыг хагасаар хувааж, дээд талаас нь 3: 1 харьцаагаар хуваана.

Тодорхойлолт. Хурц өнцөгт пирамид- апотем нь суурийн хажуугийн хагасаас илүү урттай пирамид.

Тодорхойлолт. Мохоо пирамид- апотем нь суурийн хажуугийн уртаас хагасаас бага урттай пирамид.

Тодорхойлолт. Ердийн тетраэдр- дөрвөн нүүр нь тэгш талт гурвалжин байдаг тетраэдр. Энэ нь ердийн таван олон өнцөгтийн нэг юм. Ердийн тетраэдрт бүх хоёр өнцөгт өнцөг (нүүрний хоорондох) ба гурвалсан өнцөг (орой дээр) тэнцүү байна.

Тодорхойлолт. Тэгш өнцөгт тетраэдророй дээрх гурван ирмэгийн хооронд тэгш өнцөгтэй (ирмэгүүд нь перпендикуляр) байдаг тетраэдр гэж нэрлэдэг. Гурван нүүр үүсдэг тэгш өнцөгт гурвалжин өнцөгба нүүрнүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин, суурь нь дурын гурвалжин юм. Аливаа царайны нэрийн тэмдэг нь апотем унасан суурийн талтай тэнцүү байна.

Тодорхойлолт. Изохедр тетраэдрхажуу тал нь хоорондоо тэнцүү тетраэдр гэж нэрлэгддэг ба суурь нь ердийн гурвалжин юм. Ийм тетраэдр нь тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй нүүртэй байдаг.

Тодорхойлолт. Ортоцентрик тетраэдрдээрээс эсрэг талын нүүр рүү буулгасан бүх өндөр (перпендикуляр) нэг цэгт огтлолцдог тетраэдр гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Од пирамидсуурь нь од байдаг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.