Бүх талыг мэддэг гурвалжны өнцөг. Гурвалжны талууд

Эхнийх нь зөв өнцгөөр зэргэлдээх сегментүүд бөгөөд гипотенуз нь зургийн хамгийн урт хэсэг бөгөөд 90 градусын өнцгийн эсрэг байрладаг. Пифагорын гурвалжин нь талууд нь натурал тоотой тэнцүү гурвалжин юм; Энэ тохиолдолд тэдний уртыг "Пифагорын гурвалсан" гэж нэрлэдэг.

Египетийн гурвалжин

Одоогийн үеийнхэнд геометрийг одоо сургуульд зааж байгаа хэлбэрээр нь танихын тулд энэ нь хэдэн зууны туршид хөгжсөн. Үндсэн цэгийг Пифагорын теорем гэж үздэг. Тэгш өнцөгтийн талуудыг дэлхий даяар мэддэг) 3, 4, 5 байна.

"Пифагорын өмд бүх талаараа тэнцүү" гэсэн хэллэгийг мэддэггүй хүмүүс цөөхөн байдаг. Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр теорем нь иймэрхүү сонсогддог: c 2 (гипотенузын квадрат) = a 2 + b 2 (хөлийн квадратуудын нийлбэр).

Математикчдын дунд 3, 4, 5 талтай (см, м гэх мэт) гурвалжинг "Египет" гэж нэрлэдэг. Сонирхолтой нь зураг дээр бичигдсэн зүйл нь нэгтэй тэнцүү байна. Энэ нэр нь МЭӨ 5-р зууны үед Грекийн философичид Египет рүү аялж байх үед үүссэн.

Пирамидуудыг барихдаа архитекторууд болон маркшейдерууд 3:4:5 харьцааг ашигласан. Ийм бүтэц нь пропорциональ, харахад тааламжтай, өргөн цар хүрээтэй, мөн ховорхон нурж унадаг байв.

Барилгачид тэгш өнцөг үүсгэхийн тулд 12 зангилаа уясан олс ашигласан. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжин байгуулах магадлал 95% хүртэл нэмэгдэв.

Тоонуудын тэгш байдлын шинж тэмдэг

• Хоёр дахь гурвалжны ижил элементүүдтэй тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг ба урт тал нь дүрсүүдийн тэгш байдлын маргаангүй шинж тэмдэг юм. Өнцгийн нийлбэрийг харгалзан үзвэл хоёр дахь хурц өнцөг нь тэнцүү гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Тиймээс гурвалжин нь хоёр дахь шалгуурын дагуу ижил байна.
• Хоёр дүрсийг бие биенийхээ дээр байрлуулахдаа бид тэдгээрийг нэгтгэх үед нэг тэгш өнцөгт гурвалжин болохын тулд эргүүлдэг. Түүний өмчийн дагуу талууд, эс тэгвээс гипотенузууд нь суурь дээрх өнцөгүүдтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь эдгээр тоонууд ижил байна гэсэн үг юм.

Эхний тэмдэг дээр үндэслэн гурвалжин нь үнэхээр тэнцүү гэдгийг батлахад маш хялбар бөгөөд гол зүйл бол хоёр жижиг тал (жишээ нь, хөл) бие биетэйгээ тэнцүү байх явдал юм.

Гурвалжингууд нь хоёрдахь шалгуурын дагуу ижил байх бөгөөд мөн чанар нь хөлний тэгш өнцөгт ба хурц өнцөг юм.

Тэгш өнцөгтэй гурвалжны шинж чанарууд

Зөв өнцгөөс доош буулгасан өндөр нь дүрсийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд ба түүний медианыг дүрмээр хялбархан таньж болно: гипотенуз дээр унасан медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна. Хэроны томьёо болон хөлний үржвэрийн хагастай тэнцүү гэсэн мэдэгдлээр хоёуланг нь олж болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд 30°, 45°, 60° өнцгийн шинж чанарууд хамаарна.

• 30 ° өнцгөөр эсрэг талын хөл нь хамгийн том талын 1/2-тэй тэнцүү байх болно гэдгийг санах нь зүйтэй.
• Хэрэв өнцөг нь 45 ° бол хоёр дахь хурц өнцөг нь мөн 45 ° байна. Энэ нь гурвалжин нь ижил өнцөгт, хөл нь ижил гэдгийг харуулж байна.
• 60 градусын өнцгийн шинж чанар нь гурав дахь өнцөг нь 30 градусын хэмжүүртэй байх явдал юм.

Талбайг гурван томъёоны аль нэгийг ашиглан хялбархан олж болно.

1. өндөр болон доошоо бууж буй хажуугаар;
2. Хероны томъёоны дагуу;
3. талууд ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд, эс тэгвээс хөл нь хоёр өндрөөр нийлдэг. Гурав дахь хэсгийг олохын тулд үүссэн гурвалжинг авч үзэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь Пифагорын теоремыг ашиглан шаардлагатай уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ томъёоноос гадна хоёр дахин их талбай ба гипотенузын урт хоёрын хооронд хамаарал бий. Оюутнуудын дунд хамгийн түгээмэл илэрхийлэл бол эхнийх нь бөгөөд энэ нь цөөн тооны тооцоолол шаарддаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд хамаарах теоремууд

Тэгш өнцөгт гурвалжны геометр нь дараахь теоремуудыг ашигладаг.

АНДРЕЙ ПРОКИП: “МИНИЙ ХАЙРТ ОРОС ЭКОЛОГИ. ТҮҮНД ХӨРӨНГӨ ОРУУЛАХ ХЭРЭГТЭЙ!"
Есдүгээр сарын 4-5-нд “Хотуудын цаг уурын хэлбэр” байгаль орчны форум боллоо. Энэхүү арга хэмжээг санаачлагч нь НҮБ-аас 2005 онд байгуулагдсан С40 байгууллага юм. Хэлбэр ба хотуудын гол үүрэг бол хотуудын уур амьсгалын өөрчлөлтийг хянах явдал юм.
Дадлагаас харахад нийгмийн арга хэмжээ, "шөнийн цэнгээний газрууд дахь уулзалт" -аас ялгаатай нь орлогч, олон нийтийн зүтгэлтнүүд цөөхөн байв. Байгаль орчны нөхцөл байдалд үнэхээр санаа зовж байсан хүмүүсийн дунд Прокип Адрей Зиновьевич байв. Тэрээр ОХУ-ын Ерөнхийлөгчийн цаг уурын асуудал хариуцсан тусгай төлөөлөгч Руслан Эделгериев, Москва хотын захирагчийн орон сууц, нийтийн аж ахуйн асуудал хариуцсан орлогч Петр Бирюков, мөн гадаадын төлөөлөгчид болох Италийн хотын дарга нарын хамт бүх чуулганы хуралдаанд идэвхтэй оролцов. Савона хот - Иларио Каприоглио. Оролцогчид төслөө танилцуулж, дэлхийн температурын өсөлтийг зогсоох стратеги, хот суурин газрын тогтвортой хөгжлийг хангах бодит шийдлүүдийг санал болгов.
АНДРЕЙ ПРОКИП ШАШЛИК, ДЕПУТАТ, НОГООН БАЙРНЫ ТУХАЙ
Оросын тал Европын архитекторууд, эрдэмтэд, Савона хотын дарга нар байсан илтгэгчдийн хэлсэн үгийг онцгойлон сонирхож байв. Илтгэлийн сэдэв нь ТОП чиглэл болох “ногоон бүтээн байгуулалт” байв. Андрей Прокип өөрөө хэлэхдээ "Нөөцийг зөв хуваарилах, мөн Москва шиг метрополис барих Европын барилгын стандартыг харгалзан үзэх нь чухал юм. Орос улс Холбооны түвшинд "ногоон санхүүжилт"-ийн курс авах шаардлагатай байна, ялангуяа энэ нь эдийн засгийн хувьд боломжтой, практикээс харахад ашигтай байдаг. Мөн тэрээр байгаль орчны гамшгийн улмаас оросуудын эрүүл мэнд доройтож, том жижиг аж үйлдвэрийн аж ахуйн нэгжүүд хог хаягдлыг зайлуулах байгаль орчны стандартыг дагаж мөрдөөгүйд санаа зовж байгаагаа илэрхийлэв. ДЭМБ-ын Эрүүл мэндийн салбарын хөрөнгө оруулалтын Европын албаны профессор Франческо Замбонагийн хэлсэн үгийн ачаар тэрээр айж эмээж буйгаа батлав.
Андрей форумд уригдсан боловч хэзээ ч ирээгүй алдартай хүмүүст хандан "Зөвхөн шарсан мах идэх, загасчлахыг хүссэн үедээ ч байгалийг санаж яваарай" гэж уриалав. Эцсийн эцэст нийт ард түмний эрүүл мэнд нь байгалийн нинжин сэтгэлээс хамаардаг бөгөөд харамсалтай нь тэдэнд ч багтдаг."
Андрей Зиновьевичийн шинэ "амраг-байгаль" болон байгаль орчны төлөө хариуцлага хүлээхийн ач холбогдлын тухай халуун яриа өрнүүлснээс гадна "Шинэ үеийг хэрхэн хүмүүжүүлэх вэ" сэдэвт чуулганы нэгдсэн хуралдаан нь чухал үйл явдал байв. Зөвхөн хүүхэд гэлтгүй насанд хүрсэн хойч үеийг сургах хэрэгтэй гэж форумд оролцогчид санал нэгтэй байв. Өдөр тутмын зан үйл, бизнест байгальд хариуцлагатай хандах нь маш чухал юм.
Москвад “Соёл иргэншилтэй амьдрахад суралцах” тусгай төсөл хэрэгжиж эхэлнэ. Энэ бол хүн амын бүх давхарга, насны ангилалд зориулсан боловсролын төсөл юм. Гэсэн хэдий ч онол, сайн санаа нь хичнээн гайхамшигтай байсан ч "шарсан азарган тахиа гацах хүртэл тэнэг хүн өөрийгөө огтлохгүй" гэсэн үг Орос улсад хамааралтай хэвээр байна.
Театрын нэрт найруулагч Тимоти Неттерийн хэлснээр урлаг бүх зүйлийг өөрчилж чадна. Тэрээр нэгэн илтгэлдээ байгалийг хамгаалах үзэл санааг театр, кино урлагт хэрхэн хүргэх ёстой, маргааш бидэнд болон байгальд юу тохиолдох вэ гэдгийг урлагаар дамжуулан хүмүүжүүлэх нь хэчнээн чухал болохыг дурджээ.
ОХУ-ын их, дээд сургуулийн оюутнууд чийг, температурт тэсвэртэй сав үйлдвэрлэх байгальд ээлтэй технологийн төслийг танилцуулж, Rentv компанийн операторууд болон Андрей Прокирпа нарын анхаарлыг татлаа. Дэлхий дахинд хуванцар савны эсрэг хууль батлагдаж байгаа бөгөөд дашрамд хэлэхэд 30 гаруй жил задарч, хөрсийг бохирдуулж, амьтдын үхэлд хүргэдэг тул энэ нь маш тулгамдсан асуудал болоод байна.
Москва хот нь С40 байгууллагын 94 оролцогч хотын нэг бөгөөд жил бүр олны танил эрхмүүд, иргэдийн анхаарлыг татдаг уг форум гурав дахь удаагаа зохион байгуулагдаж байгаа нь урамтай байна.

Гурвалжингийн тодорхойлолт

Гурвалжиннь гурван сегментийн огтлолцлын үр дүнд үүссэн геометрийн дүрс бөгөөд тэдгээрийн төгсгөл нь нэг шулуун дээр байрладаггүй. Аливаа гурвалжин гурван тал, гурван орой, гурван өнцөгтэй байдаг.

Онлайн тооцоолуур

Гурвалжин нь янз бүрийн төрлөөр ирдэг. Жишээлбэл, тэгш талт гурвалжин (бүх тал нь тэнцүү), тэгш өнцөгт (хоёр тал нь тэнцүү) ба тэгш өнцөгт гурвалжин (өнцгүүдийн аль нэг нь шулуун, өөрөөр хэлбэл 90 градустай тэнцүү) байдаг.

Гурвалжны талбайг асуудлын нөхцлөөс харахад тухайн зургийн ямар элементүүд, өнцөг, урт, тэр ч байтугай гурвалжинтай холбоотой тойргийн радиусаас хамаарч янз бүрийн аргаар олж болно. Арга тус бүрийг жишээн дээр тусад нь авч үзье.

Гурвалжны талбайн томьёо нь түүний суурь ба өндрөөс хамаарна

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

А а а- гурвалжны суурь;
h h h- өгөгдсөн сууринд зурсан гурвалжны өндөр a.

Гурвалжны суурийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол 10 (см) ба энэ сууринд татсан өндөр нь 5 (см) -тэй тэнцүү бол гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Бид үүнийг талбайн томъёонд орлуулаад дараахийг авна.
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (кв-ыг үзнэ үү)

Хариулт: 25 (см. кв.)

Гурвалжны талбайн томъёог бүх талуудын уртад үндэслэсэн

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- гурвалжны талуудын урт;
х х х- гурвалжны бүх талуудын нийлбэрийн хагас (өөрөөр хэлбэл гурвалжны периметрийн хагас):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (а +б+в)

Энэ томъёог гэж нэрлэдэг Хероны томъёо.

Гурвалжны гурван талын урт нь мэдэгдэж байгаа бол 3 (см), 4 (см), 5 (см) -тэй тэнцүү бол түүний талбайг ол.

Шийдэл

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Хагас периметрийг олъё х х х:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Дараа нь Хероны томъёоны дагуу гурвалжны талбай нь:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-) 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (кв-ыг үзнэ үү)

Хариулт: 6 (дөрвөлжин хэсгийг үзнэ үү)

Гурвалжны талбайн томъёог нэг тал ба хоёр өнцгийг өгөгдсөн

S = a 2 2 ⋅ нүгэл ⁡ β нүгэл ⁡ γ нүгэл ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\гамма))( \син(\бета+\гамма))S=2 а 2 ​ ⋅ нүгэл(β + γ)нүгэл β нүгэл γ ​ ,

А а а- гурвалжны хажуугийн урт;
β , γ \бета, \гамма β , γ - хажуугийн хажуугийн өнцөг a a а.

Гурвалжны тал нь 10 (см) ба зэргэлдээх хоёр өнцөг нь 30 градус байна. Гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл

A = 10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \гамма=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Томъёоны дагуу:

S = 1 0 2 2 ⋅ нүгэл ⁡ 3 0 ∘ нүгэл ⁡ 3 0 ∘ нүгэл ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2)\cdo \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\ойролцоогоор 14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ нүгэл (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) нүгэл 3 0 ∘ нүгэл 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (кв-ыг үзнэ үү)

Хариулт: 14.4 (кв талбайг үзнэ үү)

Гурван тал ба тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ в​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- гурвалжны талууд;
Р Р Р- гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус.

Хоёр дахь бодлогынхоо тоонуудыг авч радиусыг нэмье Р Р Ртойрог. Энэ нь 10 (см.) -тай тэнцүү байг.

Шийдэл

A = 3 a=3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R =1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (кв-ыг үзнэ үү)

Хариулт: 1.5 (см2)

Гурван тал ба бичээстэй тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо

S = p ⋅ r S=p\cdot rС= х⋅ r,

х хх- гурвалжны периметрийн хагас нь:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)х= 2 а+ б+ в​ ,

a, b, c a, b, cа, б, в- гурвалжны талууд;
r rr- гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус.

Бичсэн тойргийн радиусыг 2 (см) болго. Бид өмнөх асуудлаас талуудын уртыг авна.

Шийдэл

$а=3b\; =\; 4\; b=4б=4c\; =\; 5\; c=5в=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$х=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12С= 6 ⋅ 2 = 1 2 (кв-ыг үзнэ үү)

Хариулт: 12 (см. кв.)

Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг үндэслэн гурвалжны талбайн томъёо

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ нүгэл ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\альфа)С= 2 1 ​ ⋅ б⋅ в⋅ нүгэл(α ) ,

б , в б, вб, в- гурвалжны талууд;

α\альфаα - талуудын хоорондох өнцөг б ббТэгээд в вв.

Гурвалжны талууд нь 5 (см) ба 6 (см) бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 30 градус байна. Гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл

$б=5c\; =\; 6\; c=6в=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ нүгэл ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5С= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ нүгэл(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (кв-ыг үзнэ үү)

Хариулт: 7.5 (см. кв.)

Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийг холбосон гурван сегментээс бүрдэх геометрийн тоо юм. Гурвалжин үүсгэх цэгүүдийг түүний цэгүүд гэж нэрлэдэг ба хэрчмүүд нь зэрэгцэн оршдог.

Гурвалжны төрлөөс хамааран (тэгш өнцөгт, монохром гэх мэт) оролтын өгөгдөл болон асуудлын нөхцлөөс хамааран гурвалжны талыг янз бүрийн аргаар тооцоолж болно.

Нийтлэлийг хурдан чиглүүлэх

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг тооцоолохын тулд гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэж заасан Пифагорын теоремыг ашигладаг.

Хэрэв бид хөлийг "a" ба "b" гэж, гипотенузыг "c" гэж тэмдэглэвэл хуудаснуудыг дараах томъёогоор олж болно.

Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг (a ба b) мэдэгдэж байвал талуудыг дараах томъёогоор олж болно.

Тайрсан гурвалжин

Хоёр тал нь адилхан гурвалжинг тэгш талт гурвалжин гэнэ.

Хоёр хөлний гипотенузыг хэрхэн олох вэ

Хэрэв "a" үсэг нь ижил хуудастай ижил байвал "b" нь суурь, "b" нь суурийн эсрэг талын өнцөг, "a" нь зэргэлдээх өнцөг бөгөөд хуудсыг тооцоолохдоо дараах томъёог ашиглаж болно.

Хоёр булан, нэг тал

Хэрэв гурвалжны нэг хуудас (c) ба хоёр өнцөг (a ба b) мэдэгдэж байвал үлдсэн хуудсыг тооцоолоход синусын томъёог ашиглана.

Та гурав дахь утгыг олох ёстой y = 180 - (a + b) учир нь

гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180 °;

Хоёр тал ба өнцөг

Гурвалжны хоёр тал (a ба b) ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг (y) нь мэдэгдэж байгаа бол косинусын теоремыг ашиглан гурав дахь талыг тооцоолж болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Гурвалжин гурвалжин бол нэг нь 90 градус, нөгөө хоёр нь хурц өнцөгтэй гурвалжин юм. тооцоо периметрийм гурвалжинтухай мэдэгдэж байгаа мэдээллийн хэмжээнээс хамаарна.

Танд хэрэг болно

• Тохиолдол, ур чадвараас хамааран гурвалжны 2 гурван тал, түүнчлэн түүний хурц өнцгүүдийн нэг.

зааварчилгаа

эхлээдАрга 1. Гурван хуудас бүгд мэдэгдэж байгаа бол гурвалжинДараа нь перпендикуляр эсвэл гурвалжин биш эсэхээс үл хамааран периметрийг дараах байдлаар тооцоолно: P = A + B + C, боломжтой бол c нь гипотенуз; a ба b нь хөл юм.

хоёрдугаартАрга 2.

Хэрэв тэгш өнцөгт нь зөвхөн хоёр талтай бол Пифагорын теоремыг ашиглан: гурвалжин P = v (a2 + b2) + a + b эсвэл P = v (c2 - b2) + b + c томъёог ашиглан тооцоолж болно.

гурав дахьАрга 3. Гипотенуз нь c ба хурц өнцөг байх уу? Тэгш өнцөгт гурвалжинг өгвөл периметрийг дараах байдлаар олох боломжтой болно: P = (1 + нүгэл?

дөрөв дэхАрга 4. Тэд тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг хөлний урт нь а-тай тэнцүү бөгөөд эсрэгээр нь хурц өнцөгтэй гэж хэлдэг. Дараа нь тооцоол периметрЭнэ гурвалжинтомъёоны дагуу гүйцэтгэнэ: P = a * (1 / тг?

1/хүү? + 1)

тавны нэгАрга 5.

Гурвалжны онлайн тооцоолол

Бидний хөлийг хөтөлж, үүнд оруулаарай, тэгвэл хүрээг дараах байдлаар тооцоолно: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Холбоотой видеонууд

Пифагорын теорем бол бүх математикийн үндэс суурь юм. Жинхэнэ гурвалжны талуудын хоорондын хамаарлыг тодорхойлно. Одоо энэ теоремын 367 баталгаа бий.

зааварчилгаа

эхлээдПифагорын теоремын сонгодог сургуулийн томъёолол нь иймэрхүү сонсогдож байна: гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хоёр катет гурвалжинд гипотенузыг олохын тулд та хөлний уртыг квадрат болгож, тэдгээрийг цуглуулж, нийлбэрийн квадрат язгуурыг авах хэрэгтэй. Түүний мэдэгдлийн анхны томъёололд зах зээл нь гипотенуз дээр суурилдаг бөгөөд энэ нь Катетын үйлдвэрлэсэн 2 квадратын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү юм. Гэсэн хэдий ч орчин үеийн алгебрийн томъёолол нь домэйн дүрслэлийг нэвтрүүлэхийг шаарддаггүй.

хоёрдугаартЖишээлбэл, хөл нь 7 см ба 8 см хэмжээтэй тэгш өнцөгт гурвалжин.

Тэгвэл Пифагорын теоремоор дөрвөлжин гипотенуз нь R + S = 49 + 64 = 113 см, гипотенуз нь 113 тооны квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өнцөг

Үүний үр дүнд үндэслэлгүй тоо гарчээ.

гурав дахьХэрэв гурвалжин нь 3 ба 4-р хөл бол гипотенуз = 25 = 5. Квадрат язгуурыг авахдаа натурал тоо гарна. 3, 4, 5 тоонууд нь x харьцааг хангаж байгаа тул Пигагорын гурвалсан тоонуудыг үүсгэнэ үү? +Y? = Z, энэ нь байгалийн юм.

Пифагорын гурвалсан бусад жишээнүүд нь: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

дөрөв дэхЭнэ тохиолдолд хөл нь бие биетэйгээ адилхан байвал Пифагорын теорем нь илүү энгийн тэгшитгэл болж хувирдаг. Жишээ нь, ийм гар нь А тоотой тэнцүү ба гипотенуз нь C-д тодорхойлогдсон, дараа нь в гэж бодъё? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Энэ тохиолдолд танд А хэрэггүй.

тавны нэгПифагорын теорем нь гурвалжны гурван талын хоорондын хамаарлыг тэдгээрийн аль ч өнцгийн хувьд тогтоодог косинусын ерөнхий теоремоос илүү онцгой тохиолдол юм.

Зөвлөгөө 2: Хөл ба өнцгийн гипотенузыг хэрхэн тодорхойлох вэ

Гипотенуз нь 90 градусын өнцгийн эсрэг талын тэгш өнцөгт гурвалжны тал юм.

зааварчилгаа

эхлээдМэдэгдэж буй катетер, түүнчлэн тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн хувьд гипотенуз нь хөлийг энэ өнцгийн косинус / синустай харьцуулсан хэмжээтэй тэнцүү хэмжээтэй байж болно, хэрэв өнцөг нь эсрэг байсан бол / e: H орно. = C1 (эсвэл С2) / нүгэл, H = C1 (эсвэл С2?) / cos?. Жишээ: AB гипотенуз ба тэгш өнцөгт C өнцөгтэй жигд бус гурвалжинг ABC-д өгье.

B нь 60 градус, А нь 30 градус байна. BC ишний урт 8 см.Гипотенузын АВ уртыг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд дээрх аргуудын аль нэгийг ашиглаж болно: AB = BC / cos60 = 8 см.AB = BC / sin30 = 8 см.

Гипотенуз бол тэгш өнцөгтийн хамгийн урт тал юм гурвалжин. Энэ нь зөв өнцгөөр байрладаг. Тэгш өнцөгтийн гипотенузыг олох арга гурвалжинэх сурвалжийн мэдээллээс хамаарна.

зааварчилгаа

эхлээдХэрэв таны хөл перпендикуляр байвал гурвалжин, дараа нь тэгш өнцөгтийн гипотенузын урт гурвалжинПифагорын аналогоор илрүүлж болно - гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: c2 = a2 + b2, энд a ба b нь баруун талын хөлний урт юм. гурвалжин .

хоёрдугаартХэрэв хөлний аль нэг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд хурц өнцөгтэй бол гипотенузыг олох томъёо нь мэдэгдэж буй хөлтэй холбоотой тодорхой өнцгөөр байгаа эсэхээс хамаарна - зэргэлдээх (хөл нь ойрхон байрладаг) эсвэл эсрэгээр ( эсрэг тохиолдолд байрласан nego.V заасан өнцгийн фракцын гипотенузын косинусын өнцөгт хөлийн гипотенузтай тэнцүү байна: a = a/cos;E, нөгөө талаас гипотенуз нь синусын өнцгийн харьцаатай ижил байна: da = a/sin.

Холбоотой видеонууд

Хэрэгтэй зөвлөмжүүд
Талууд нь 3:4:5 харьцаатай өнцгийн гурвалжинг эртний Египетийн архитекторууд өргөн ашигладаг байсан тул Египетийн бэлчир гэж нэрлэдэг.

Энэ нь хуудас болон талбайг бүхэл тоогоор илэрхийлдэг Жероны гурвалжны хамгийн энгийн жишээ юм.

Гурвалжинг 90° өнцөгтэй тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Баруун булангийн эсрэг талын талыг гипотенуз, нөгөөг нь хөл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжин хэрхэн үүсдэгийг олж мэдэхийг хүсвэл ердийн гурвалжны зарим шинж чанар, тухайлбал, хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 90 ° байх ба эсрэг талын хөлний урт нь гипотенузын тал юм. 30° байна.

Нийтлэлийг хурдан чиглүүлэх

Тайрсан гурвалжин

Тэнцүү гурвалжны нэг шинж чанар нь хоёр өнцөг нь тэнцүү байх явдал юм.

Тэгш тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгийг тооцоолохын тулд та дараахь зүйлийг мэдэх хэрэгтэй.

• Энэ нь 90 ° -аас муу зүйл биш юм.
• Хурц өнцгийн утгыг томъёогоор тодорхойлно: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, өөрөөр хэлбэл.

  α ба β өнцөг нь 45°-тай тэнцүү байна.

Хэрэв цочмог өнцгүүдийн аль нэгний мэдэгдэж буй утгыг мэдэж байгаа бол нөгөөг нь дараах томъёогоор олж болно: β = 180º-90º-α эсвэл α = 180º-90º-β.

Хэрэв өнцгүүдийн аль нэг нь 60 ° эсвэл 30 ° байвал энэ харьцааг ихэвчлэн ашигладаг.

Гол ойлголтууд

Гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.

Энэ нь нэг түвшин учраас хоёр нь хурц хэвээр байна.

Гурвалжинг онлайнаар тооцоол

Хэрэв та тэдгээрийг олохыг хүсвэл дараахь зүйлийг мэдэх хэрэгтэй.

бусад аргууд

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн утгыг дунджаас тооцоолж болно - гурвалжны эсрэг талын цэгээс авсан шугам, өндрийг - шугам нь гипотенузаас зөв өнцгөөр татсан перпендикуляр юм. .

Дундаж нь баруун булангаас гипотенузын дунд хүртэл сунаж, өндөрийг h гэж үзье. Энэ тохиолдолд дараах байдалтай байна.

• нүгэл α = b / (2 * с); sin β = a / (2 * с).
• cos α = a / (2 * с); cos β = b / (2 * с).
• нүгэл α = h/b; нүгэл β = h/a.

Хоёр хуудас

Хэрэв гипотенуз ба хөлний аль нэгний урт нь тэгш өнцөгт гурвалжин эсвэл хоёр талдаа мэдэгдэж байгаа бол хурц өнцгийн утгыг тодорхойлохын тулд тригонометрийн ижил төстэй байдлыг ашиглана.

• α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Тэгш өнцөгт гурвалжны урт

Гурвалжны талбай ба талбай

периметр

Аливаа гурвалжны тойрог нь гурван талын уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжин гурвалжинг олох ерөнхий томъёо нь:

Энд P нь гурвалжны тойрог, түүний талуудын a, b, c.

Тэнцүү гурвалжны периметрХажуугийн уртыг дараалан нэгтгэх эсвэл хажуугийн уртыг 2-оор үржүүлж, үндсэн уртыг бүтээгдэхүүнд нэмэх замаар олж болно.

Тэнцвэрийн гурвалжныг олох ерөнхий томъёо дараах байдалтай байна.

Энд P нь тэнцүү гурвалжны периметр, харин b, b аль нэг нь суурь юм.

Тэгш талт гурвалжны периметрХажуугийн уртыг дараалан нэгтгэх эсвэл дурын хуудасны уртыг 3-аар үржүүлэх замаар олж болно.

Тэгш талт гурвалжны ирмэгийг олох ерөнхий томъёо дараах байдалтай байна.

Энд P нь тэгш талт гурвалжны периметр, а нь түүний аль нэг тал юм.

бүс нутаг

Хэрэв та гурвалжны талбайг хэмжихийг хүсвэл параллелограммтай харьцуулж болно. ABC гурвалжинг авч үзье:

Хэрэв бид ижил гурвалжинг аваад параллелограммыг авахаар засвал энэ гурвалжинтай ижил өндөр, суурьтай параллелограммыг авна.

Энэ тохиолдолд гурвалжны нийтлэг талыг цутгасан параллелограммын диагональ дагуу нугалав.

Параллелограммын шинж чанаруудаас. Параллелограммын диагональууд нь үргэлж хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваагддаг гэдгийг мэддэг бөгөөд гурвалжин бүрийн гадаргуу нь параллелограммын хүрээний хагастай тэнцүү байна.

Параллелограммын талбай нь түүний суурийн өндрийн үржвэртэй ижил тул гурвалжны талбай нь энэ бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байх болно. Тиймээс ΔABC-ийн хувьд талбай нь ижил байх болно

Одоо тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье:

Хоёр ижил тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь бие биенийхээ гипотенуз болох тэдгээрийн эсрэг налан тэгш өнцөгт хэлбэртэй болж болно.

Тэгш өнцөгтийн гадаргуу нь зэргэлдээ талуудын гадаргуутай давхцаж байгаа тул энэ гурвалжны талбай ижил байна.

Эндээс бид аливаа тэгш өнцөгт гурвалжны гадаргуу нь 2-т хуваагдсан хөлүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна гэж дүгнэж болно.

Эдгээр жишээнүүдээс гурвалжин бүрийн гадаргуу нь уртын үржвэртэй ижил бөгөөд өндрийг 2-оор хуваасан субстрат хүртэл бууруулсан гэж дүгнэж болно.

Гурвалжны талбайг олох ерөнхий томъёо дараах байдалтай байна.

Энд S нь гурвалжны талбай, гэхдээ түүний суурь, гэхдээ өндөр нь доод тал руу унадаг.

Онлайн тооцоолуур.
Гурвалжин шийдвэрлэх.

Гурвалжны асуудлыг шийдэх нь гурвалжинг тодорхойлох өгөгдсөн гурван элементээс түүний бүх зургаан элементийг (өөрөөр хэлбэл гурван тал ба гурван өнцөг) олох явдал юм.

Энэхүү математик программ нь хэрэглэгчийн тодорхойлсон талуудаас \(c\), өнцөг \(\альфа \) ба \(\бета \) ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг \(\гамма \) олдог.

Програм нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдлийг олох үйл явцыг харуулдаг.

Энэхүү онлайн тооцоолуур нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтанд бэлдэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгээ сорих, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянахад хэрэг болно. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та математик, алгебрийн гэрийн даалгавраа аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Хэрэв та тоо оруулах дүрмийг сайн мэдэхгүй бол тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Тоо оруулах дүрэм

Тоонуудыг зөвхөн бүхэл тоогоор төдийгүй бутархай тоогоор зааж өгч болно.
Аравтын бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та 2.5 эсвэл 2.5 гэх мэт аравтын бутархайг оруулж болно

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Синусын теорем

Теорем

Гурвалжны талууд нь эсрэг талын өнцгүүдийн синусуудтай пропорциональ байна:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Косинусын теорем

Теорем
ABC гурвалжинд AB = c, BC = a, CA = b гэж үзье. Дараа нь
Гурвалжны хажуугийн квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс тэдгээр талуудын хоёр дахин үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Гурвалжин шийдвэрлэх

Гурвалжинг шийднэ гэдэг нь гурвалжинг тодорхойлсон өгөгдсөн гурван элементээс түүний бүх зургаан элементийг (өөрөөр хэлбэл гурван тал ба гурван өнцөг) олох гэсэн үг юм.

Гурвалжныг шийдвэрлэх гурван бодлогыг авч үзье. Энэ тохиолдолд бид ABC гурвалжны талуудын хувьд дараах тэмдэглэгээг ашиглана: AB = c, BC = a, CA = b.

Гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан шийдэх

Өгөгдсөн: \(a, b, \өнцөг С\). \(c, \өнцөг А, \өнцөг B\) олох

Шийдэл
1. Косинусын теоремыг ашиглан \(c\)-г олно:

3. \(\өнцөг B = 180^\circ -\өнцөг A -\өнцөг C\)

Гурвалжны хажуу ба зэргэлдээ өнцгүүдийг шийдвэрлэх

Өгөгдсөн: \(a, \өнцөг B, \өнцөг C\). \(\өнцөг A, b, c\) олох

Шийдэл
1. \(\өнцөг A = 180^\circ -\өнцөг B -\өнцөг C\)

Гурван талыг ашиглан гурвалжинг шийдэх

Өгөгдсөн: \(a, b, c\). \(\өнцөг А, \өнцөг B, \өнцөг C\)-г олоорой.

Шийдэл
1. Косинусын теоремыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. Үүнтэй адилаар бид B өнцгийг олно.
3. \(\өнцөг C = 180^\circ -\өнцөг A -\өнцөг B\)

Гурвалжны хоёр тал ба мэдэгдэж буй талын эсрэг талын өнцгийг ашиглан шийдэх

Өгөгдсөн: \(a, b, \өнцөг A\). \(c, \өнцөг B, \өнцөг C\) олох

Шийдэл
1. Синусын теоремыг ашиглан бид \(\sin B\)-г олно:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Баруун сум \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Тэмдэглэгээг танилцуулъя: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). D тооноос хамааран дараахь тохиолдлууд боломжтой.
Хэрэв D > 1 бол ийм гурвалжин байхгүй, учир нь \(\sin B\) 1-ээс их байж болохгүй
Хэрэв D = 1 бол өвөрмөц \(\ өнцөг B: \quad \sin B = 1 \Баруун сум \өнцөг B = 90^\circ \)
Хэрэв D Хэрэв D бол 2. \(\өнцөг C = 180^\circ -\өнцөг A -\өнцөг B\)

3. Синусын теоремыг ашиглан бид c талыг тооцоолно:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$