Как определить по формуле возрастает ли функция. "возрастание и убывание функции"
Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
17) Функция у = х n , где n - натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х. При n = 2 получаем функцию у = х 2 . Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x . Функция у = х 2 . Перечислим свойства функции у = х 2 . 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х 2 - четная функция (f (- х) = (- х) 2 = х 2 = f (x)). 3) На промежутке функция убывает (если x 1 < x 2 ≤ 0, то х 1 2 > х 2 2 , а это и означает убывание функции). Графиком функции у = х 2 является парабола (см. рис). |
ри n = 3 получаем функцию у = х 3 . Функция у = х 3 . Перечислим свойства функции у = х 3 . 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х 3 - нечетная функция (f (- х) = (- х) 3 = - х 3 = - f (x)) 3) Функция у = х 3 возрастает на всей числовой прямой. График функции у = х 3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой. |
17)Показательная функция, ее свойства и график · Функцию вида y=a x , где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией. · Область определения показательной функции: D (y)=R –множество всех действительных чисел. · Область значений показательной функции: E (y)=R + - множество всех положительных чисел. · Показательная функция y=a x возрастает при a>1. · Показательная функция y=a x убывает при 0 |
18)Функцию вида y = log a (x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а . Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: log a (b) - данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а.
Основные свойства логарифмической функции:
1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+ . Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.
2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.
3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0
4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0). 5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1. 6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0 На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0
7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид. 8. Функция не имеет точек максимума и минимума. Функция синус
Функция косинус
Функция тангенс
Множество значений функции
- вся числовая прямая, т.е. тангенс - функция неограниченная
. Функция нечетная:
tg(−x)=−tg x Функция периодическая
с наименьшим положительным периодом π
, т.е. tg(x+π·
k
) = tg x, k
∈ Z
для всех х из области определения. Функция котангенс
Множество значений функции
- вся числовая прямая, т.е. котангенс - функция неограниченная
. Функция нечетная:
ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. Функция периодическая
с наименьшим положительным периодом π
, т.е. ctg(x+π·
k
)=ctg x, k
∈ Z
для всех х из области определения. 21)) Совокупность чисел, каждое из которых снабжено своим номером п
(п
= 1, 2, 3, ...), называется числовой последовательностью. Отдельные числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно так: первый член a
1 , второй a
2 , .... п
-й член a
n
и т. д. Вся числовая последовательность обозначается a
1 , a
2 , a
3 , ... , a
n
, ... или {a
n
}. 22)Арифметическая прогрессия.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d
,называется арифметической прогрессией
. Число d
называется разностью прогрессии
. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: a n = a
1 + d (n –
1) .
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
вычисляется как: Геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q
, называется геометрической
прогрессией
. Число q
называется знаменателем прогрессии
. Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: b n = b
1 q n -
1 .
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
вычисляется как: Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию . При неограниченном возрастании сумма первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу , которое называетсясуммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии
. ) Производная функции f(x), f′(x) , сама является функцией. Значит, можно найти eё производную.Назовём f′(x) производной функции f(x)первого порядка.Производная от производной функции f(x) называется производной второго порядка (или второй производной). Геометрический смысл производной.
Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y
= f
(x
) в этой точке. Уравнение касательной к графику функции: y = f(a) + f "(a)(x – a) y = f(a) + f "(a)(x – a) Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: 24)) Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой. Производная суммы (разности)
двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например, Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении. Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу. Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы. Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной. Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач. Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» - здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы. Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений. Экстремумы функции Определение 2
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$. Определение 3
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$. Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение. Определение 4
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если: 1) $x_0$ - внутренняя точка области определения; 2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует. Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования. Теорема 2
Достаточное условие экстремума
Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда: 1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) 2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции. 3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right) Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1. Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов
Примеры экстремумов (Рис. 2). Рисунок 2. Примеры точек экстремумов
2) Найти производную $f"(x)$; 7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2. Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций. Определение 5
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1 Определение 6
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$. Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной. Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее: 1) Найти область определения функции $f(x)$; 2) Найти производную $f"(x)$; 3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$; 4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует; 5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции; 6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке; 7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает. Пример 1
Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$ Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их. 1) Область определения - все действительные числа; 2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$; 3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \ 4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения; 5) Координатная прямая: Рисунок 3.
6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:
\ \}
Область определения функции- множество Rвсех действительных чисел.
Множество значений функции - отрезок [-1; 1], т.е. синус функция - ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая 2π
:
sin(x+2π·
k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
sin x = 0 при x = π·k
, k ∈ Z.
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k
, π+2π·k
), k ∈ Z.
sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k
, 2π+2π·k
), k ∈ Z.
Область определения функции- множество Rвсех действительных чисел.
Множество значений функции - отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция - ограниченная.
Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π
:
cos(x+2π·
k
) = cos x, где k
∈ Z для всех х ∈ R.
cos x = 0при
cos x > 0 для всех
cos x < 0для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:
График функции симметричен относительно оси OY.
График функции симметричен относительно оси OY. 20)Общий вид функции
Преобразования
y
= f
(x
- b
)
Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
y
= f
(x
+ b
)
y
= f
(x
) + m
Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц
Отражение графика
y
= f
(- x
)
ординат.
y
= - f
(x
)
Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
Сжатие и растяжение графика
y
= f
(kx
)
y
= kf
(x
)
Преобразования графика с модулем
y
= | f
(x
) |
y
= f
(| x
|)
Правило исследования функции на экстремум
Возрастание и убывание функции
Исследование функции на возрастание и убывание
Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов