Rozdělte 6 složených čísel na prvočinitele. Faktorizace čísla

Každé přirozené číslo, kromě jednoho, má dva nebo více dělitelů. Například číslo 7 je dělitelné beze zbytku pouze 1 a 7, to znamená, že má dva dělitele. A číslo 8 má dělitele 1, 2, 4, 8, tedy až 4 dělitele najednou.

Jaký je rozdíl mezi prvočísly a složenými čísly?

Čísla, která mají více než dva dělitele, se nazývají složená čísla. Čísla, která mají pouze dva dělitele: jedničku a samotné číslo, se nazývají prvočísla.

Číslo 1 má pouze jedno dělení, a to číslo samotné. Jednička není ani prvočíslo, ani složené číslo.

• Například číslo 7 je prvočíslo a číslo 8 je složené.

Prvních 10 prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Číslo 2 je jediné sudé prvočíslo, všechna ostatní prvočísla jsou lichá.

Číslo 78 je složené, protože kromě 1 a sebe samého je dělitelné i 2. Při dělení 2 dostaneme 39. Tedy 78 = 2*39. V takových případech říkají, že číslo bylo započítáno do faktorů 2 a 39.

Jakékoli složené číslo lze rozložit na dva faktory, z nichž každý je větší než 1. Tento trik nebude fungovat s prvočíslem. Tak to jde.

Rozložení čísla na prvočinitele

Jak bylo uvedeno výše, jakékoli složené číslo lze rozložit na dva faktory. Vezměme si například číslo 210. Toto číslo lze rozložit na dva faktory 21 a 10. Ale čísla 21 a 10 jsou také složená, rozložme je na dva faktory. Dostaneme 10 = 2*5, 21=3*7. A ve výsledku bylo číslo 210 rozloženo na 4 faktory: 2,3,5,7. Tato čísla jsou již prvočísla a nelze je rozšířit. To znamená, že jsme rozpočítali číslo 210 do prvočinitelů.

Při rozkladu složených čísel na prvočinitele se obvykle zapisují vzestupně.

Je třeba si uvědomit, že jakékoli složené číslo lze rozložit na prvočinitele a jedinečným způsobem až do permutace.

• Obvykle se při rozkladu čísla na prvočinitele používají kritéria dělitelnosti.

Rozložme číslo 378 na prvočinitele

Čísla si zapíšeme a oddělíme je svislou čarou. Číslo 378 je dělitelné 2, protože končí 8. Po dělení dostaneme číslo 189. Součet číslic čísla 189 je dělitelný 3, což znamená, že samotné číslo 189 je dělitelné 3. Výsledek je 63.

Číslo 63 je také dělitelné 3, podle dělitelnosti. Dostaneme 21, číslo 21 můžeme opět dělit 3, dostaneme 7. Sedmička se dělí jen sama sebou, dostaneme jedničku. Tím je rozdělení dokončeno. Vpravo za řádkem jsou prvočísla, na které je číslo 378 rozloženo.

378|2
189|3
63|3
21|3

Vše začíná geometrickým postupem. Na první přednášce o řádcích (viz oddíl 18.1. Základní definice) jsme dokázali, že tato funkce je součtem řady a řada konverguje k funkci at
. Tak,

.

Uveďme několik druhů této řady. Výměna X na - X , dostaneme

při výměně X na
dostaneme

atd.; Oblast konvergence všech těchto řad je stejná:
.

2.
.

Všechny derivace této funkce v bodě X =0 jsou stejné
, tak seriál vypadá

.

Oblastí konvergence této řady je celá číselná osa (příklad 6 sekce 18.2.4.3. Poloměr konvergence, interval konvergence a oblast konvergence mocninné řady), Proto
na
. V důsledku toho zbývající člen Taylorova vzorce
. Proto řada konverguje k
v kterémkoli bodě X .

3.
.

Tato řada absolutně konverguje na

a jeho součet je skutečně rovný
. Zbývající člen Taylorova vzorce má tvar
, Kde
nebo
- omezená funkce a
(toto je obecný termín předchozího rozšíření).

4.
.

Toto rozšíření lze získat, stejně jako předchozí, sekvenčním výpočtem derivací, ale budeme postupovat jinak. Rozlišme předchozí řadu termín podle termínu:

Konvergence k funkci na celé ose vyplývá z věty o členění mocninné řady po členu.

5. Dokažte nezávisle, že na celé číselné ose, .

6.
.

Řada pro tuto funkci se nazývá binomické řady. Zde budeme počítat derivace.

...Série Maclaurin má formu

Hledáme interval konvergence: tedy interval konvergence je
. Nebudeme studovat zbytek a chování řady na koncích konvergenčního intervalu; ukazuje se, že kdy
Řada v obou bodech absolutně konverguje
, na
řada podmíněně konverguje v bodě
a v určitém bodě se rozchází
, na
se v obou bodech rozchází.

7.
.

Zde využijeme faktu, že
. Od , tedy po integraci období po období,

Oblast konvergence této řady je poloviční interval
, konvergence k funkci ve vnitřních bodech vyplývá z věty o člen po členu integrace mocninné řady, v bodě X =1 - ze spojitosti funkce i součtu mocninné řady ve všech bodech, libovolně blízké X = 1 zbývá. Všimněte si, že brát X =1, najdeme součet řady .

8. Integrováním řady člen po členu získáme rozšíření funkce
. Proveďte všechny výpočty sami, zapište oblast konvergence.

9. Zapišme si rozšíření funkce
podle vzorce binomické řady s
: . Jmenovatel
reprezentováno jako , dvojitý faktoriál
znamená součin všech přirozených čísel stejné parity jako , nepřesahující . Expanze konverguje k funkci at
. Integrace po jednotlivých termínech od 0 do X , obdržíme. Ukazuje se, že tato řada konverguje k funkci na celém intervalu
; na X =1 získáme další krásné znázornění čísla :
.

18.2.6.2. Řešení problémů s řadovým rozšířením funkcí. Většina problémů, ve kterých potřebujete rozšířit elementární funkci na mocninnou řadu
, je řešen pomocí standardních rozšíření. Naštěstí má každá základní elementární funkce vlastnost, která vám to umožňuje. Podívejme se na řadu příkladů.

1. Rozbalte funkci
postupně
.

Řešení. . Řada konverguje v
.

2. Rozbalte funkci
postupně
.

Řešení.
. Oblast konvergence:
.

3. Rozbalte funkci
postupně
.

Řešení. . Řada konverguje v
.

4. Rozbalte funkci
postupně
.

Řešení. . Řada konverguje v
.

5. Rozbalte funkci
postupně
.

Řešení. . Konvergenční region
.

6. Rozbalte funkci
postupně
.

Řešení. Expanze do řady jednoduchých racionálních zlomků druhého typu se získá člen po členu odpovídajících expanzí zlomků prvního typu. V tomto příkladu. Dále derivací po členu můžeme získat expanze funkcí
,
atd.

7. Rozbalte funkci
postupně
.

Řešení. Pokud racionální zlomek není jednoduchý zlomek, je nejprve reprezentován jako součet jednoduchých zlomků:
a poté postupujte jako v příkladu 5: kde
.

Přirozeně tento přístup není použitelný například pro rozklad funkce postupně X . Zde, pokud potřebujete získat prvních několik termínů Taylorovy řady, nejjednodušším způsobem je najít hodnoty v bodě X =0 požadovaný počet prvních derivací.

Co znamená faktoring? Jak to udělat? Co se můžete naučit rozdělením čísla na prvočinitele? Odpovědi na tyto otázky jsou ilustrovány konkrétními příklady.

Definice:

Číslo, které má právě dva různé dělitele, se nazývá prvočíslo.

Číslo, které má více než dva dělitele, se nazývá složené.

Faktorizovat přirozené číslo znamená reprezentovat je jako součin přirozených čísel.

Rozdělit přirozené číslo na prvočinitele znamená reprezentovat je jako součin prvočísel.

Poznámky:

• Při rozkladu prvočísla je jeden z činitelů roven jednomu a druhý je roven číslu samotnému.
• O faktoringové jednotě nemá smysl mluvit.
• Složené číslo lze rozložit na faktory, z nichž každý se liší od 1.

Při rozkladu velkých čísel na prvočinitele použijte sloupcový zápis:

	Nejmenší prvočíslo, které je dělitelné 216, je 2. Vydělte 216 dvěma. Dostaneme 108.
	Výsledné číslo 108 je děleno 2. Udělejme rozdělení. Výsledkem je 54.
	Podle testu dělitelnosti 2 je číslo 54 dělitelné 2. Po dělení dostaneme 27.
	Číslo 27 končí lichou číslicí 7. To Nedělitelné 2. Další prvočíslo je 3. Vydělte 27 3. Dostaneme 9. Nejmenší prvočíslo Číslo, které je dělitelné 9, je 3. Trojka je sama o sobě prvočíslo, je dělitelná sama sebou a jedničkou. Rozdělme si 3 sami. Nakonec jsme dostali 1.

• Číslo je dělitelné pouze těmi prvočísly, která jsou součástí jeho rozkladu.
• Číslo je dělitelné pouze na ta složená čísla, jejichž rozklad na prvočinitele je v něm zcela obsažen.

Podívejme se na příklady:

Najděte podíl dělení čísla a číslem b, pokud tato čísla rozložíme na prvočinitele takto: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. třída. - Gymnázium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - M.: Vzdělávání, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úkoly do kurzu matematiky pro 5.–6. ročník. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Manuál pro žáky 6. ročníku korespondenční školy MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnice-rozhovor pro 5-6 ročníků střední školy. - M.: Vzdělávání, Knihovna učitelů matematiky, 1989.

1. Internetový portál Matematika-na.ru ().
2. Internetový portál Math-portal.ru ().

Domácí práce

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. č. 127, č. 129, č. 141.
2. Další úkoly: č. 133, č. 144.

Tato online kalkulačka je navržena pro faktorizaci funkce.

Například rozklad: x 2 /3-3x+12. Zapišme to jako x^2/3-3*x+12. Můžete použít i toto servis, kde jsou všechny výpočty uloženy ve formátu Word.

Například rozložit na pojmy. Zapišme to jako (1-x^2)/(x^3+x) . Chcete-li zobrazit průběh řešení, klikněte na Zobrazit kroky. Pokud potřebujete získat výsledek ve formátu Word, použijte toto servis.

Poznámka: číslo "pi" (π) se zapisuje jako pi; odmocnina jako sqrt , například sqrt(3) , tečna tg se píše tan . Chcete-li zobrazit odpověď, viz Alternativa.

1. Je-li dán jednoduchý výraz, například 8*d+12*c*d, pak rozklad výrazu znamená reprezentovat výraz ve formě činitelů. Chcete-li to provést, musíte najít společné faktory. Zapišme tento výraz jako: 4*d*(2+3*c) .
2. Prezentujte produkt ve formě dvou binomů: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Zde již musíte najít několik společných faktorů: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Vyjmeme (x+7z) a dostaneme: (x+7z)(x + 3y) .

viz také Dělení polynomů rohem(všechny kroky dělení jsou uvedeny ve sloupci)

Užitečné při studiu pravidel faktorizace bude zkrácené násobící vzorce, s jehož pomocí bude jasné, jak otevřít závorky pomocí čtverce:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a2-b2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktorizační metody

1. Použití zkrácených vzorců pro násobení.
2. Hledání společného faktoru.