Číselné intervaly. Číselné úseky, intervaly, půlintervaly a paprsky se nazývají číselné intervaly Tabulka číselných intervalů

B) Číselná řada

Uvažujme číselnou řadu (obr. 6):

Uvažujme množinu racionálních čísel

Každé racionální číslo je reprezentováno určitým bodem na číselné ose. Čísla jsou tedy vyznačena na obrázku.

Pojďme to dokázat.

Důkaz. Nechť je zlomek: . Máme právo považovat tento zlomek za neredukovatelný. Od , pak - číslo je sudé: - liché. Dosazením jeho výrazu najdeme: , což znamená, že jde o sudé číslo. Získali jsme rozpor, který toto tvrzení dokazuje.

Ne všechny body na číselné ose tedy představují racionální čísla. Body, které nepředstavují racionální čísla, představují volaná čísla iracionální.

Jakékoli číslo ve tvaru , , je buď celé číslo, nebo iracionální číslo.

Číselné intervaly

Číselné úseky, intervaly, půlintervaly a paprsky se nazývají číselné intervaly.

Představme si čísla na souřadnicové čáře A A b, stejně jako číslo X mezi nimi.

Množina všech čísel, která splňují podmínku a ≤ x ≤ b, volal číselný segment nebo jen segment. Označuje se takto: [ A; b] - Zní to takto: segment od a do b.

Sada čísel, která splňují podmínku A< x < b , volal interval. Označuje se takto: ( A; b)

Zní to takto: interval od a do b.

Množiny čísel splňující podmínky a ≤ x< b или A<x ≤ b, jsou nazývány poloviční intervaly. Označení:

Nastavte a ≤ x< b обозначается так:[A; b), zní takto: poloviční interval od A před b, počítaje v to A.

hromada A<x ≤ b je označen následovně:( A; b], zní takto: poloviční interval od A před b, počítaje v to b.

Teď si to představme Paprsek s tečkou A, vpravo a vlevo od něj je sada čísel.

A, splňující podmínku x ≥ a, volal číselný paprsek.

Označuje se takto: [ A; +∞)-Čte se takto: číselný paprsek z A do plus nekonečna.

Sada čísel napravo od bodu A, odpovídající nerovnosti x>a, volal otevřený číselný paprsek.

Označuje se takto: ( A; +∞)-Čte se takto: otevřený číselný paprsek z A do plus nekonečna.

A, splňující podmínku x ≤ a, volal číselný paprsek od mínus nekonečna doA .

Označuje se takto :( - ∞; A]-Čte se takto: číselný paprsek od mínus nekonečna do A.

Sada čísel nalevo od bodu A, odpovídající nerovnosti X< a , volal otevřený číselný paprsek od mínus nekonečna doA .

Označuje se takto: ( - ∞; A)-Čte se takto: paprsek s otevřeným číslem od mínus nekonečna do A.

Množina reálných čísel je reprezentována celou souřadnicovou čarou. Je nazýván číselná řada. Označuje se takto: ( - ∞; + ∞ )

3) Lineární rovnice a nerovnice s jednou proměnnou, jejich řešení:

Rovnice obsahující proměnnou se nazývá rovnice s jednou proměnnou nebo rovnice s jednou neznámou. Například rovnice s jednou proměnnou je 3(2x+7)=4x-1.

Kořen nebo řešení rovnice je hodnota proměnné, při které se rovnice stává skutečnou číselnou rovností. Například číslo 1 je řešením rovnice 2x+5=8x-1. Rovnice x2+1=0 nemá řešení, protože levá strana rovnice je vždy větší než nula. Rovnice (x+3)(x-4) =0 má dva kořeny: x1= -3, x2=4.

Řešení rovnice znamená najít všechny její kořeny nebo dokázat, že žádné kořeny neexistují.

Rovnice se nazývají ekvivalentní, jestliže všechny kořeny první rovnice jsou kořeny druhé rovnice a naopak, všechny kořeny druhé rovnice jsou kořeny první rovnice nebo jestliže obě rovnice nemají žádné kořeny. Například rovnice x-8=2 a x+10=20 jsou ekvivalentní, protože kořen první rovnice x=10 je také kořenem druhé rovnice a obě rovnice mají stejný kořen.

Při řešení rovnic se používají následující vlastnosti:

Pokud přesunete člen v rovnici z jedné části do druhé a změníte její znaménko, dostanete rovnici ekvivalentní dané rovnici.

Pokud se obě strany rovnice vynásobí nebo vydělí stejným nenulovým číslem, dostanete rovnici ekvivalentní dané rovnici.

Rovnice ax=b, kde x je proměnná a aab jsou nějaká čísla, se nazývá lineární rovnice s jednou proměnnou.

Pokud a¹0, pak má rovnice jedinečné řešení.

Je-li a=0, b=0, pak rovnici vyhovuje libovolná hodnota x.

Jestliže a=0, b¹0, pak rovnice nemá řešení, protože 0x=b se neprovede pro žádnou hodnotu proměnné.
Příklad 1. Řešte rovnici: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Otevřeme závorky na obou stranách rovnice, přesuneme všechny členy s x na levou stranu rovnice a členy, které neobsahují x na pravou stranu, dostaneme:

16x-15x=88-40-12

Příklad 2. Řešte rovnice:

x3-2x2-98x+18=0;

Tyto rovnice nejsou lineární, ale ukážeme si, jak lze takové rovnice řešit.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Součin je roven nule, pokud je jeden z faktorů roven nule, dostáváme x1=0; x2= .

Odpověď: 0; .

Faktor levé strany rovnice:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), tzn. (x-2)(x-3)(x+3)=0. To ukazuje, že řešení této rovnice jsou čísla x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Představte si 7x jako 3x+4x, pak máme: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, tedy x1=-3, x2=-4.

Odpověď: -3; - 4.
Příklad 3. Řešte rovnici: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Připomeňme si definici modulu čísla:

Například: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

V této rovnici jsou pod znaménkem modulu čísla x-1 a x+1. Pokud je x menší než –1, pak je číslo x+1 záporné, pak ½x+1½=-x-1. A pokud x>-1, pak ½x+1½=x+1. Při x=-1 ½x+1½=0.

Tím pádem,

Rovněž

a) Uvažujme tuto rovnici½x+1½+½x-1½=3 pro x £-1, je ekvivalentní rovnici -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, toto číslo patří do množiny x £-1.

b) Nechť -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Uvažujme případ x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x=. Toto číslo patří do množiny x>1.

Odpověď: x1=-1,5; x2 = 1,5.
Příklad 4. Řešte rovnici:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Ukažme krátký záznam řešení rovnice, odhalující znaménko modulu „přes intervaly“.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Odpověď: [-2; 0]
Příklad 5. Vyřešte rovnici: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), pro všechny hodnoty parametru a.

V této rovnici jsou ve skutečnosti dvě proměnné, ale považujte x za neznámou a a za parametr. Pro libovolnou hodnotu parametru a je potřeba vyřešit rovnici pro proměnnou x.

Pokud a=1, pak má rovnice tvar 0×x=0, této rovnici vyhovuje libovolné číslo.

Pokud a=-1, pak rovnice vypadá jako 0×x=-2; této rovnici nevyhovuje ani jedno číslo.

Jestliže a¹1, a¹-1, pak rovnice má jedinečné řešení.

Odpověď: pokud a=1, pak x je libovolné číslo;

jestliže a=-1, pak neexistují žádná řešení;

pokud a¹±1, pak .

b) Lineární nerovnosti s jednou proměnnou.

Pokud je proměnné x dána libovolná číselná hodnota, pak dostaneme číselnou nerovnost vyjadřující buď pravdivé nebo nepravdivé tvrzení. Nechť je dána například nerovnost 5x-1>3x+2. Pro x=2 dostáváme 5·2-1>3·2+2 – pravdivé tvrzení (pravdivé číselné tvrzení); pro x=0 dostáváme 5·0-1>3·0+2 – nepravdivé tvrzení. Jakákoli hodnota proměnné, při které se daná nerovnost s proměnnou změní ve skutečnou numerickou nerovnost, se nazývá řešení nerovnosti. Řešení nerovnice s proměnnou znamená nalezení množiny všech jejích řešení.

Dvě nerovnosti se stejnou proměnnou x jsou ekvivalentní, pokud se množiny řešení těchto nerovností shodují.

Hlavní myšlenka řešení nerovnosti je následující: danou nerovnost nahradíme jinou, jednodušší, ale ekvivalentní dané; výslednou nerovnost opět nahradíme jednodušší nerovností k ní ekvivalentní atp.

Tyto náhrady se provádějí na základě následujících prohlášení.

Věta 1. Přeneseme-li kterýkoli člen nerovnosti s jednou proměnnou z jedné části nerovnosti na druhou s opačným znaménkem, přičemž znaménko nerovnosti ponecháme nezměněné, dostaneme nerovnost ekvivalentní danému.

Věta 2. Pokud se obě strany nerovnosti s jednou proměnnou vynásobí nebo vydělí stejným kladným číslem, přičemž znaménko nerovnosti zůstane nezměněno, dostaneme nerovnost ekvivalentní dané jedničce.

Věta 3. Pokud obě strany nerovnosti s jednou proměnnou vynásobíme nebo vydělíme stejným záporným číslem, přičemž znaménko nerovnosti změníme na opačné, dostaneme nerovnost ekvivalentní danému.

Nerovnice ve tvaru ax+b>0 se nazývá lineární (resp. ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Příklad 1. Řešte nerovnici: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Otevřením závorek dostaneme 2x-6+5-5x³6x-15,

Číselné intervaly zahrnují paprsky, segmenty, intervaly a poloviční intervaly.

Typy číselných intervalů

Ve stole A A b jsou hraniční body a X- proměnná, která může mít souřadnici libovolného bodu patřícího do číselného intervalu.

Hraniční bod- to je bod, který definuje hranici číselného intervalu. Hraniční bod může nebo nemusí patřit do číselného intervalu. Na výkresech jsou hraniční body, které nepatří do uvažovaného číselného intervalu, označeny prázdným kroužkem a ty, které k nim patří, jsou označeny vyplněným kroužkem.

Otevřený a uzavřený paprsek

Otevřený paprsek je množina bodů na přímce ležící na jedné straně hraničního bodu, která není zahrnuta v této množině. Paprsek se nazývá otevřený právě kvůli hraničnímu bodu, který k němu nepatří.

Uvažujme množinu bodů na souřadnicové čáře, které mají souřadnici větší než 2, a proto jsou umístěny napravo od bodu 2:

Taková množina může být definována nerovností X> 2. Otevřené paprsky jsou označeny pomocí závorek - (2; +∞), tento záznam zní takto: otevřený číselný paprsek od dvou do plus nekonečna.

Množina, které odpovídá nerovnost X < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Uzavřený paprsek je množina bodů na přímce ležící na jedné straně hraničního bodu patřícího do dané množiny. Na výkresech jsou hraniční body patřící k uvažovanému souboru označeny vyplněným kruhem.

Paprsky s uzavřeným počtem jsou definovány nepřísnými nerovnostmi. Například nerovnosti X 2 a X 2 lze znázornit takto:

Tyto uzavřené paprsky jsou označeny následovně: , čte se takto: číselný paprsek od dvou do plus nekonečna a číselný paprsek od mínus nekonečna do dvou. Hranatá závorka v zápisu označuje, že bod 2 patří do číselného intervalu.

Úsečka

Úsečka je množina bodů na přímce ležící mezi dvěma hraničními body patřícími do dané množiny. Takové množiny jsou definovány dvojitými nepřísnými nerovnostmi.

Uvažujme segment souřadnicové čáry s konci v bodech -2 a 3:

Množina bodů, které tvoří daný segment, může být specifikována dvojitou nerovností -2 X 3 nebo označte [-2; 3], takový záznam zní takto: segment od mínus dva do tří.

Interval a půlinterval

Interval- toto je množina bodů na přímce ležící mezi dvěma hraničními body, které do této množiny nepatří. Takové množiny jsou definovány dvojitými striktními nerovnostmi.

Uvažujme segment souřadnicové čáry s konci v bodech -2 a 3:

Množina bodů, které tvoří daný interval, může být specifikována dvojitou nerovností -2< X < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Půlinterval je množina bodů na přímce ležící mezi dvěma hraničními body, z nichž jeden do množiny patří a druhý ne. Takové množiny jsou definovány dvojitými nerovnostmi:

Tyto poloviční intervaly jsou označeny následovně: (-2; 3] a [-2; 3]. Zní to takto: poloviční interval od mínus dva do tří, včetně 3, a poloviční interval od mínus dva do tří, včetně mínus dva.

Odpověď - Množina (-∞;+∞) se nazývá číselná osa a libovolné číslo je bodem na této ose. Nechť a je libovolný bod na číselné ose a δ

Kladné číslo. Interval (a-δ; a+δ) se nazývá δ-okolí bodu a.

Množina X je omezená shora (zdola), pokud existuje číslo c takové, že pro libovolné x ∈ X platí nerovnost x≤с (x≥c). Číslo c se v tomto případě nazývá horní (spodní) hranice množiny X. Množina, která je ohraničená jak nahoře, tak dole, se nazývá ohraničená. Nejmenší (největší) z horních (dolních) hranic množiny se nazývá přesná horní (dolní) hranice této množiny.

Číselný interval je spojená množina reálných čísel, tedy taková, že pokud do této množiny patří 2 čísla, pak do této množiny patří i všechna čísla mezi nimi. Existuje několik poněkud odlišných typů neprázdných číselných intervalů: přímka, otevřený paprsek, uzavřený paprsek, segment, poloviční interval, interval

Číselná řada

Množina všech reálných čísel se také nazývá číselná řada. Oni píší.

V praxi není potřeba rozlišovat mezi pojmem souřadnice nebo číselná osa v geometrickém smyslu a pojmem číselná osa zavedeným touto definicí. Proto jsou tyto různé pojmy označovány stejným termínem.

Otevřený paprsek

Množina čísel, která se nazývá paprsek otevřených čísel. Oni píší nebo podle toho: .

Uzavřený paprsek

Množina čísel, která se nazývá uzavřená číselná řada. Oni píší nebo podle toho:.

Množina čísel se nazývá číselný segment.

Komentář. Definice to nestanoví. Předpokládá se, že případ je možný. Potom se číselný interval změní na bod.

Interval

Množina čísel, která se nazývá číselný interval.

Komentář. Shoda označení otevřený paprsek, přímka a interval není náhodná. Otevřený paprsek lze chápat jako interval, jehož jeden konec je odstraněn do nekonečna, a číselnou osu - jako interval, jehož oba konce jsou odstraněny do nekonečna.

Půlinterval

Sada čísel, jako je tato, se nazývá numerický poloviční interval.

Píšou, resp.

3.Funkce.Graf funkce. Metody pro specifikaci funkce.

Odpověď - Jsou-li dány dvě proměnné x a y, pak se o proměnné y říká, že je funkcí proměnné x, pokud je mezi těmito proměnnými dán takový vztah, který umožňuje každé hodnotě jednoznačně určit hodnotu y.

Zápis F = y(x) znamená, že se uvažuje o funkci, která umožňuje libovolné hodnotě nezávisle proměnné x (z těch, které může argument x obecně nabývat) najít odpovídající hodnotu závislé proměnné y.

Metody pro specifikaci funkce.

Funkce může být specifikována vzorcem, například:

y = 3x2 – 2.

Funkce může být specifikována pomocí grafu. Pomocí grafu můžete určit, která hodnota funkce odpovídá zadané hodnotě argumentu. Obvykle se jedná o přibližnou hodnotu funkce.

4.Hlavní charakteristiky funkce: monotonie, parita, periodicita.

Odpovědět - Definice periodicity. Funkce f se nazývá periodická, pokud takové číslo existuje
, že f(x+
)=f(x), pro všechna x D(f). Takových čísel je přirozeně nespočet. Nejmenší kladné číslo ^ T se nazývá perioda funkce. Příklady. A. y = cos x, T = 2 . V. y = tg x, T = . S. y = (x), T = 1. D. y = , tato funkce není periodická. Definice parity. Funkce f je volána, i když vlastnost f(-x) = f(x) platí pro všechna x v D(f). Pokud f(-x) = -f(x), pak se funkce nazývá lichá. Pokud není splněn žádný z uvedených vztahů, nazýváme funkci obecnou funkcí. Příklady. A. y = cos (x) - sudé; V. y = tg (x) - liché; S. y = (x); y=sin(x+1) – funkce obecného tvaru. Definice monotónnosti. Funkce f: X -> R se nazývá rostoucí (klesající), pokud existuje
podmínka je splněna:
Definice. Funkce X -> R se nazývá monotónní na X, pokud je rostoucí nebo klesající na X. Jestliže f je monotónní na některých podmnožinách X, pak se nazývá po částech monotónní. Příklad. y = cos x - po částech monotónní funkce.

Mezi číselnými množinami, tzn sady, jejichž objekty jsou čísla, existují tzv číselné intervaly. Jejich hodnota spočívá v tom, že je velmi snadné si představit množinu odpovídající zadanému číselnému intervalu a naopak. Proto je s jejich pomocí vhodné zapsat mnoho řešení nerovnice.

V tomto článku se podíváme na všechny typy číselných intervalů. Zde uvedeme jejich názvy, zavedeme zápisy, znázorníme číselné intervaly na souřadnicové čáře a také ukážeme, jaké jednoduché nerovnice jim odpovídají. Na závěr si všechny informace vizuálně uveďme ve formě tabulky číselných intervalů.

Navigace na stránce.

Typy číselných intervalů

Každý číselný interval má čtyři neoddělitelně propojené věci:

• název intervalu čísel,
• odpovídající nerovnost nebo dvojitá nerovnost,
• označení,
• a jeho geometrický obraz ve formě obrazu na souřadnicové čáře.

Libovolný číselný interval lze zadat kteroukoli z posledních tří metod v seznamu: buď nerovnost, nebo zápis, nebo jeho obrázek na souřadnicové čáře. Navíc pomocí tohoto způsobu specifikace např. nerovností lze snadno obnovit ostatní (v našem případě označení a geometrický obraz).

Pojďme ke specifikům. Popišme všechny číselné intervaly ze čtyř výše uvedených stran.

Začněme popisem číselného intervalu, tzv otevřený číselný paprsek. Všimněte si, že často se vynechává přídavné jméno „numerický“, takže název zůstává otevřený.

Tento číselný interval odpovídá nejjednodušším nerovnicím s jednou proměnnou tvaru x a , kde a je nějaké reálné číslo. To znamená, že podle významu zapsaných nerovností se paprsek otevřeného čísla skládá ze všech, které jsou menší než číslo a (v případě nerovnosti x A).

Množina čísel splňujících nerovnost x a jako (a, +∞) .

Zbývá ukázat geometrický obraz otevřeného paprsku, z něhož bude zřejmé, že dotyčný číselný interval nedostal takové jméno náhodou. Pojďme se obrátit na. Je známo, že mezi jeho body a reálnými čísly existuje korespondence jedna ku jedné, což umožňuje nazývat souřadnicovou osu číselnou řadou. A když se mluví o srovnání čísel Všimli jsme si, že větší číslo je umístěno na souřadnicové čáře vpravo od menšího a menší číslo je umístěno vlevo od většího. Na základě těchto úvah nerovnost x a – body ležící vpravo od bodu a. Samotné číslo a tyto nerovnosti nesplňuje, pro zdůraznění je na výkresu znázorněno jako tečka s prázdným středem. Nad body, které odpovídají číslům splňujícím nerovnost, je znázorněno šikmé stínování:

Z uvedených nákresů je zřejmé, že tyto číselné intervaly odpovídají částem číselné osy, které jsou paprsky počínaje bodem a, ale vyjma bodu a samotného. Jinými slovy, jsou to paprsky bez začátku. Odtud název - otevřený číselný paprsek.

Uveďme několik konkrétních příkladů paprsků s otevřeným počtem. Přísná nerovnost x>−3 tedy definuje paprsek s otevřeným číslem. Je také dán zápisem (−3, ∞). A na souřadnicové čáře je tento číselný interval množinou bodů ležících napravo od bodu se souřadnicí −3, bez tohoto bodu samotného. Další příklad: nerovnost x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Přejděme k číselným intervalům následujícího typu - číselné paprsky. Z geometrického hlediska je jejich rozdíl od otevřených nosníků v tom, že začátek nosníku není zahozen. Jinými slovy, geometrický obraz číselných intervalů tohoto typu je plnohodnotným paprskem.

Pokud jde o specifikaci číselných paprsků pomocí nerovností, jsou zodpovězeny nepřísnými nerovnostmi x≤a nebo x≥a. Jsou pro ně přijímány následující zápisy: (−∞, a] a . A geometrickým obrazem číselného segmentu je segment spolu s jeho konci:


Například číselný segment, který je dán dvojitou nerovností, může být označen jako , na souřadnicové čáře odpovídá segmentu s konci v bodech, které mají souřadnice odmocnina ze dvou a odmocnina ze tří.

Nezbývá než říci o číselných intervalech tzv poloviční intervaly. Představují takříkajíc přechodnou možnost mezi intervalem a segmentem, protože obsahují jeden z hraničních bodů. Polointervaly jsou specifikovány dvojitými nerovnostmi a

Tabulka číselných intervalů

V předchozím odstavci jsme tedy definovali a popsali následující číselné intervaly:

• otevřený číselný paprsek;
• číselný paprsek;
• interval;
• poloviční interval

Pro usnadnění shrnujeme všechny údaje o číselných intervalech do tabulky. Zadáme do něj název číselného intervalu, odpovídající nerovnost, označení a obrázek na souřadnicové čáře. Dostáváme následující tabulka číselných intervalů:

Bibliografie.

• Algebra: učebnice pro 8. třídu. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9. třída. Ve 2 hod. Část 1. Učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.