Co to znamená najít největší hodnotu funkce. Největší a nejmenší hodnota funkce

S touto službou můžete najít největší a nejmenší hodnotu funkce jedna proměnná f(x) s řešením naformátovaným ve Wordu. Je-li tedy dána funkce f(x,y), je nutné najít extrém funkce dvou proměnných. Můžete také najít intervaly rostoucích a klesajících funkcí.

Pravidla pro zadávání funkcí:

Nutná podmínka pro extrém funkce jedné proměnné

Dostatečná podmínka pro extrém funkce jedné proměnné

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je lokální (globální) minimální bod funkce.

Pokud je v bodě x * splněna podmínka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Potom bod x * je lokální (globální) maximum.

Příklad č. 1. Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce: na segmentu.
Řešení.

Kritický bod je jedna x 1 = 2 (f’(x)=0). Tento bod patří do segmentu. (Bod x=0 není kritický, protože 0∉).
Vypočítáme hodnoty funkce na koncích segmentu a v kritickém bodě.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpověď: f min = 5 / 2 při x=2; f max = 9 při x = 1

Příklad č. 2. Pomocí derivací vyšších řádů najděte extrém funkce y=x-2sin(x) .
Řešení.
Najděte derivaci funkce: y’=1-2cos(x) . Najděte kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdeme y’’=2sin(x), vypočítejte , což znamená x= π / 3 +2πk, k∈Z jsou minimální body funkce; , což znamená x=- π / 3 +2πk, k∈Z jsou maximální body funkce.

Příklad č. 3. Vyšetřte extrémní funkci v okolí bodu x=0.
Řešení. Zde je potřeba najít extrémy funkce. Pokud extrém x=0, zjistěte jeho typ (minimum nebo maximum). Pokud mezi nalezenými body není x = 0, pak vypočítejte hodnotu funkce f(x=0).
Je třeba si uvědomit, že když derivace na každé straně daného bodu nemění své znaménko, nejsou možné situace vyčerpány ani pro diferencovatelné funkce: může se stát, že pro libovolně malé okolí na jedné straně bodu x 0 resp. na obou stranách derivace mění znaménko. V těchto bodech je nutné použít jiné metody ke studiu funkcí v extrému.

Největší a nejmenší hodnota funkce

Největší hodnota funkce je největší, nejmenší hodnota je nejmenší ze všech jejích hodnot.

Funkce může mít pouze jednu největší a pouze jednu nejmenší hodnotu, nebo nemusí mít vůbec žádnou. Hledání největších a nejmenších hodnot spojitých funkcí je založeno na následujících vlastnostech těchto funkcí:

1) Pokud je v určitém intervalu (konečném nebo nekonečném) funkce y=f(x) spojitá a má pouze jeden extrém a pokud je toto maximum (minimum), pak to bude největší (nejmenší) hodnota funkce v tomto intervalu.

2) Pokud je funkce f(x) spojitá na určitém segmentu, pak má nutně největší a nejmenší hodnoty na tomto segmentu. Těchto hodnot je dosaženo buď v extrémních bodech ležících uvnitř segmentu, nebo na hranicích tohoto segmentu.

Chcete-li najít největší a nejmenší hodnoty v segmentu, doporučujeme použít následující schéma:

1. Najděte derivaci.

2. Najděte kritické body funkce, ve kterých =0 nebo neexistuje.

3. Najděte hodnoty funkce v kritických bodech a na koncích segmentu a vyberte z nich největší f max a nejmenší f max.

Při řešení aplikovaných problémů, zejména optimalizačních, jsou důležité problémy hledání největších a nejmenších hodnot (globálního maxima a globálního minima) funkce na intervalu X. K řešení takových problémů je třeba na základě podmínky , vyberte nezávislou proměnnou a prostřednictvím této proměnné vyjádřete zkoumanou hodnotu. Poté najděte požadovanou největší nebo nejmenší hodnotu výsledné funkce. V tomto případě je z podmínek úlohy určen i interval změny nezávisle proměnné, která může být konečná nebo nekonečná.

Příklad. Nádrž, která má tvar otevřeného horního obdélníkového hranolu se čtvercovým dnem, musí být uvnitř pocínována. Jaké by měly být rozměry nádrže, pokud je její kapacita 108 litrů? vody, aby náklady na její pocínování byly minimální?

Řešení. Náklady na potažení nádrže cínem budou minimální, pokud je pro danou kapacitu minimální její povrch. Označme a dm stranu základny, b dm výšku nádrže. Pak je plocha S jeho povrchu rovna

A

Výsledný vztah stanoví vztah mezi povrchem nádrže S (funkce) a stranou základny a (argument). Prozkoumejme funkci S pro extrém. Najdeme první derivaci, srovnáme ji s nulou a vyřešíme výslednou rovnici:

Proto a = 6. (a) > 0 pro a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Příklad. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce na intervalu.

Řešení: Zadaná funkce souvisle na celé číselné řadě. Derivace funkce

Derivát pro a pro . Pojďme vypočítat hodnoty funkcí v těchto bodech:

.

Hodnoty funkce na koncích daného intervalu jsou stejné. Proto, nejvyšší hodnotu funkce je rovna at , nejmenší hodnota funkce je rovna at .

Samotestovací otázky

1. Formulujte L'Hopitalovo pravidlo pro odhalování neurčitostí tvaru. Seznam Různé typy nejistoty, pro které lze použít L'Hopitalovo pravidlo.

2. Formulujte znaky rostoucích a klesajících funkcí.

3. Definujte maximum a minimum funkce.

4. Formulujte nezbytnou podmínku pro existenci extrému.

5. Jaké hodnoty argumentu (které body) se nazývají kritické? Jak tyto body najít?

6. Jaké jsou dostatečné znaky existence extrému funkce? Načrtněte schéma pro studium funkce na extrému pomocí první derivace.

7. Načrtněte schéma studia funkce na extrému pomocí druhé derivace.

8. Definujte konvexnost a konkávnost křivky.

9. Jak se nazývá inflexní bod grafu funkce? Uveďte způsob, jak tyto body najít.

10. Formulujte potřebné a dostatečné znaky konvexnosti a konkávnosti křivky na daném segmentu.

11. Definujte asymptotu křivky. Jak najít svislé, vodorovné a šikmé asymptoty grafu funkce?

12. Obrys obecné schéma zkoumání funkce a sestavení jejího grafu.

13. Formulujte pravidlo pro nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce na daném intervalu.

V tomto článku budu mluvit o algoritmus pro nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce, minimální a maximální body.

Z teorie se nám to určitě bude hodit derivační tabulka A pravidla diferenciace. Vše je na tomto talíři:

Algoritmus pro nalezení největší a nejmenší hodnoty.

Je pro mě pohodlnější to vysvětlit konkrétní příklad. Zvážit:

Příklad: Najděte největší hodnotu funkce y=x^5+20x^3–65x na segmentu [–4;0].

Krok 1. Vezmeme derivát.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Krok 2. Hledání extrémních bodů.

Extrémní bod nazýváme ty body, ve kterých funkce dosáhne své největší nebo minimální hodnoty.

Chcete-li najít extrémní body, musíte porovnat derivaci funkce s nulou (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Nyní vyřešme toto bi kvadratická rovnice a nalezené kořeny jsou naše extrémní body.

Takové rovnice řeším nahrazením t = x^2, pak 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Zmenšíme rovnici o 5, dostaneme: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Provedeme opačnou změnu x^2 = t:

X_(1 a 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 a 4) = ±sqrt(-13) (vylučujeme, nemůže existovat záporná čísla, pokud samozřejmě nemluvíme o komplexních číslech)

Celkem: x_(1) = 1 a x_(2) = -1 - to jsou naše extrémní body.

Krok 3 Určete největší a nejmenší hodnotu.

Substituční metoda.

V podmínce jsme dostali segment [b][–4;0]. Bod x=1 není v tomto segmentu zahrnut. Takže o tom neuvažujeme. Ale kromě bodu x=-1 musíme uvažovat také levou a pravou hranici našeho segmentu, tedy body -4 a 0. K tomu dosadíme všechny tyto tři body do původní funkce. Všimněte si, že původní je ten, který je uveden v podmínce (y=x^5+20x^3–65x), někteří lidé ho začnou dosazovat do derivace...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To znamená, že největší hodnota funkce je [b]44 a je dosažena v bodě [b]-1, který se nazývá maximální bod funkce na segmentu [-4; 0].

Rozhodli jsme se a dostali odpověď, jsme skvělí, můžete si odpočinout. Ale přestaň! Nezdá se vám, že výpočet y(-4) je nějak moc těžký? V podmínkách omezeného času je lepší použít jinou metodu, nazývám ji takto:

Prostřednictvím intervalů stálosti znamení.

Tyto intervaly najdeme pro derivaci funkce, tedy pro naši bikvadratickou rovnici.

Já to dělám takhle. Kreslím směrovaný segment. Body umisťuji: -4, -1, 0, 1. Přestože 1 není v daném segmentu zahrnuta, je třeba si ji poznamenat, abychom správně určili intervaly stálosti znaménka. Vezměme nějaké číslo mnohonásobně větší než 1, řekněme 100, a v duchu je dosaďte do naší bikvadratické rovnice 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. I když nic nepočítáme, je zřejmé, že v bodě 100 funkce má znaménko plus. To znamená, že pro intervaly od 1 do 100 má znaménko plus. Při průchodu 1 (jdeme zprava doleva) funkce změní znaménko na mínus. Při průchodu bodem 0 si funkce zachová své znaménko, protože to je pouze hranice segmentu, nikoli kořen rovnice. Při průchodu přes -1 funkce opět změní znaménko na plus.

Z teorie víme, že kde je derivace funkce (a přesně pro ni jsme to nakreslili) změní znaménko z plus na mínus (v našem případě bod -1) funkce dosáhne jeho lokální maximum (y(-1)=44, jak bylo vypočteno dříve) na tomto segmentu (to je logicky velmi pochopitelné, funkce se přestala zvyšovat, protože dosáhla maxima a začala klesat).

V souladu s tím, kde derivace funkce změní znaménko z mínus na plus, je dosaženo lokální minimum funkce. Ano, ano, také jsme zjistili, že lokální minimální bod je 1 a y(1) je minimální hodnota funkce na segmentu, řekněme od -1 do +∞. Prosím zaplať obrovská pozornost, že se jedná pouze o MÍSTNÍ MINIMUM, tedy minimum na určitém segmentu. Protože reálné (globální) minimum funkce dosáhne někde tam, na -∞.

Podle mého názoru je první metoda jednodušší teoreticky a druhá je jednodušší z hlediska aritmetických operací, ale mnohem složitější z hlediska teorie. Ostatně někdy nastanou případy, kdy funkce při průchodu kořenem rovnice nezmění znaménko a obecně se můžete s těmito lokálními, globálními maximy a minimy splést, i když to budete muset stejně dobře ovládat, pokud plánovat vstoupit na technickou univerzitu (a proč jinak udělat profilovou jednotnou státní zkoušku a vyřešit tento úkol). Ale praxe a jen praxe vás naučí takové problémy jednou provždy vyřešit. A cvičit můžete na našem webu. Tady .

Pokud máte nějaké dotazy nebo vám něco není jasné, určitě se ptejte. Rád vám odpovím a udělám změny a doplnění článku. Pamatujte, že tyto stránky tvoříme společně!

A k jeho vyřešení budete potřebovat minimální znalosti tématu. Další končí akademický rok, každý chce jet na dovolenou, a abych tento okamžik přiblížil, přejdu rovnou k věci:

Začněme oblastí. Oblast uvedená v podmínce je omezený ZAVŘENO množina bodů na rovině. Například množina bodů ohraničená trojúhelníkem, včetně CELÉHO trojúhelníku (pokud od hranic„vypíchnout“ alespoň jeden bod, pak již nebude region uzavřen). V praxi existují také oblasti obdélníkové, kruhové a o něco větší. složité tvary. Je třeba poznamenat, že v teorii matematické analýzy jsou uvedeny přesné definice omezení, izolace, hranice atd., ale myslím si, že každý si je těchto pojmů vědom na intuitivní úrovni a teď už není potřeba nic víc.

Plochá oblast se standardně označuje písmenem a zpravidla je specifikována analyticky - několika rovnicemi (ne nutně lineární); méně často nerovnosti. Typická slovesnost: „uzavřená oblast, ohraničené čarami ».

Nedílnou součástí uvažovaného úkolu je konstrukce plochy ve výkresu. Jak to udělat? Musíte nakreslit všechny uvedené čáry (v tomto případě 3 rovný) a analyzovat, co se stalo. Hledaná oblast je obvykle lehce stínovaná a její hranice je označena silnou čarou:


Stejnou oblast lze také nastavit lineární nerovnosti: , které jsou z nějakého důvodu často psány spíše jako výčtový seznam než Systém.
Protože hranice patří regionu, pak všechny nerovnosti, samozřejmě, laxní.

A nyní podstata úkolu. Představte si, že osa vychází přímo k vám z počátku. Zvažte funkci, která kontinuální v každém plošný bod. Graf této funkce představuje některé povrch a malým štěstím je, že k vyřešení dnešního problému nepotřebujeme vědět, jak tento povrch vypadá. Může být umístěn výše, níže, protínat rovinu - na tom všem nezáleží. A důležité je následující: podle Weierstrassovy věty, kontinuální PROTI omezeně uzavřeno oblasti funkce dosáhne své největší hodnoty (nejvyšší") a nejméně (nejnižší") hodnoty, které je třeba najít. Takových hodnot je dosaženo nebo PROTI stacionární body, patřící regionuD , nebo v bodech, které leží na hranici této oblasti. To vede k jednoduchému a transparentnímu algoritmu řešení:

Příklad 1

V omezeném uzavřená oblast

Řešení: Nejprve musíte na výkresu znázornit oblast. Bohužel je pro mě technicky obtížné vytvořit interaktivní model problému, a proto rovnou uvedu finální ilustraci, která ukazuje všechny „podezřelé“ body nalezené během výzkumu. Obvykle jsou uvedeny jeden po druhém, jak jsou objeveny:

Na základě preambule lze rozhodnutí pohodlně rozdělit do dvou bodů:

I) Najděte stacionární body. Jedná se o standardní akci, kterou jsme ve třídě prováděli opakovaně. o extrémech několika proměnných:

Nalezen stacionární bod patří oblasti: (označte to na výkresu), což znamená, že bychom měli vypočítat hodnotu funkce v daném bodě:

- jako v článku Největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu, důležité výsledky zvýrazním tučně. Je vhodné je obkreslit tužkou do sešitu.

Věnujte pozornost našemu druhému štěstí - nemá smysl kontrolovat postačující podmínkou pro extrém. Proč? I když v určitém bodě funkce dosáhne např. místní minimum, pak to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimální v celém regionu (viz začátek lekce o bezpodmínečných extrémech) .

Co dělat, když stacionární bod NEPATŘÍ do regionu? Skoro nic! To je třeba poznamenat a přejít k dalšímu bodu.

II) Prozkoumáme hranici regionu.

Vzhledem k tomu, že hranice je tvořena stranami trojúhelníku, je vhodné rozdělit studii do 3 podsekcí. Ale je lepší to vůbec nedělat. Z mého pohledu je nejprve výhodnější uvažovat segmenty rovnoběžné se souřadnicovými osami a především ty ležící na osách samotných. Abyste pochopili celou sekvenci a logiku akcí, zkuste si prostudovat konec „jedním dechem“:

1) Pojďme se zabývat spodní stranou trojúhelníku. Chcete-li to provést, nahraďte přímo do funkce:

Případně to můžete udělat takto:

Geometricky to znamená, že souřadnicová rovina (což je také dáno rovnicí)"vyřezává" z povrchy„prostorová“ parabola, jejíž vrchol okamžitě přichází v podezření. Pojďme to zjistit kde se nachází:

– výsledná hodnota „spadla“ do oblasti a může se dobře ukázat, že v bodě (vyznačeno na výkrese) funkce dosahuje největší nebo nejmenší hodnoty v celé oblasti. Tak či onak, pojďme provést výpočty:

Dalšími „kandidáty“ jsou samozřejmě konce segmentu. Pojďme vypočítat hodnoty funkce v bodech (vyznačeno na výkrese):

Zde, mimochodem, můžete provést ústní mini-kontrolu pomocí „svlečené“ verze:

2) Pro výzkum pravá strana dosadíme trojúhelník do funkce a „dáme věci do pořádku“:

Zde okamžitě provedeme hrubou kontrolu a „prozvoníme“ již zpracovaný konec segmentu:
, Skvělý.

Geometrická situace souvisí s předchozím bodem:

– výsledná hodnota se také „dostala do sféry našich zájmů“, což znamená, že musíme vypočítat, čemu se rovná funkce v objeveném bodě:

Podívejme se na druhý konec segmentu:

Pomocí funkce , provedeme kontrolní kontrolu:

3) Asi každý tuší, jak prozkoumat zbývající stranu. Dosadíme jej do funkce a provedeme zjednodušení:

Konce segmentu již byly prozkoumány, ale v návrhu stále kontrolujeme, zda jsme funkci našli správně :
– shoduje se s výsledkem podle prvního pododstavce;
– se shoduje s výsledkem podle druhého pododstavce.

Zbývá zjistit, zda je uvnitř segmentu něco zajímavého:

- Tady je! Dosazením přímky do rovnice získáme pořadnici této „zajímavosti“:

Označíme bod na výkresu a najdeme odpovídající hodnotu funkce:

Zkontrolujeme výpočty pomocí „rozpočtové“ verze :
, objednat.

A poslední krok: POZORNĚ prohlížíme všechna „tučná“ čísla, doporučuji začátečníkům, aby si vytvořili jeden seznam:

ze kterých vybíráme největší a nejmenší hodnoty. Odpovědět Zapišme se ve stylu problému hledání největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu:

Pro jistotu ještě jednou okomentuji geometrický význam výsledku:
– zde je nejvyšší bod povrchu v regionu;
– zde je nejnižší bod povrchu v oblasti.

V analyzovaném úkolu jsme identifikovali 7 „podezřelých“ bodů, ale jejich počet se u jednotlivých úkolů liší. Pro trojúhelníkovou oblast sestává minimální „výzkumný soubor“ ze tří bodů. To se stane, když funkce například specifikuje letadlo- je zcela jasné, že neexistují žádné stacionární body a funkce může dosáhnout svých maximálních/nejmenších hodnot pouze ve vrcholech trojúhelníku. Ale existuje jen jeden nebo dva podobné příklady - obvykle se s některými musíte vypořádat povrch 2. řádu.

Pokud takové úkoly trochu vyřešíte, tak se vám z trojúhelníků může zatočit hlava, a proto jsem pro vás připravil nevšední příklady, aby to bylo hranaté :))

Příklad 2

Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce v uzavřeném prostoru ohraničeném čarami

Příklad 3

Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce v omezené uzavřené oblasti.

Speciální pozornost Věnujte pozornost racionálnímu pořadí a technice studia hranice regionu a také řetězu průběžných kontrol, které téměř zcela zabrání chybám ve výpočtu. Obecně řečeno, můžete to vyřešit, jak chcete, ale u některých problémů, například v příkladu 2, existuje velká šance, že vám život značně ztíží. Přibližná ukázka závěrečných úkolů na konci lekce.

Pojďme systematizovat algoritmus řešení, jinak se s mou pavoukovou pílí nějak ztratil v dlouhém vláknu komentářů k prvnímu příkladu:

– V prvním kroku vybudujeme plochu, je vhodné ji vystínovat a ohraničení zvýraznit tučnou čarou. Během řešení se objeví body, které je třeba na výkrese označit.

– Najděte stacionární body a vypočítejte hodnoty funkce pouze v těch z nich které patří do regionu. Výsledné hodnoty v textu zvýrazníme (například je zakroužkujte tužkou). Pokud stacionární bod do regionu NEPATŘÍ, pak tuto skutečnost označíme ikonou nebo slovně. Pokud neexistují žádné stacionární body, vyvodíme písemný závěr, že chybí. V žádném případě tento bod nelze přeskočit!

– Zkoumáme hranici regionu. Za prvé je výhodné porozumět přímkám, které jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami (pokud vůbec nějaké jsou). Zvýrazňujeme také hodnoty funkcí vypočítané v „podezřelých“ bodech. O technice řešení toho bylo řečeno hodně a něco jiného bude řečeno níže - čtěte, znovu čtěte, ponořte se do toho!

– Z vybraných čísel vyberte největší a nejmenší hodnotu a dejte odpověď. Někdy se stane, že funkce dosáhne takových hodnot v několika bodech najednou - v tomto případě by se všechny tyto body měly projevit v odpovědi. Ať např. a ukázalo se, že to je nejmenší hodnota. Pak to zapíšeme

Závěrečné příklady jsou věnovány ostatním užitečné nápady které se v praxi budou hodit:

Příklad 4

Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce v uzavřené oblasti .

Zachoval jsem autorovu formulaci, ve které je plocha dána ve formě dvojité nerovnosti. Tato podmínka může být zapsána ekvivalentním systémem nebo v tradičnější formě pro tento problém:

Připomínám, že s nelineární narazili jsme na nerovnosti a pokud nerozumíte geometrickému významu zápisu, tak prosím neotálejte a vyjasněte si situaci hned teď ;-)

Řešení, jako vždy začíná vytvořením oblasti, která představuje jakousi „podrážku“:

Hmm, občas musíte žvýkat nejen žulu vědy...

I) Najděte stacionární body:

Systém je sen idiota :)

Do regionu patří stacionární bod, totiž leží na jeho hranici.

A tak je to v pořádku... lekce dopadla dobře - to je to, co znamená pít správný čaj =)

II) Prozkoumáme hranici regionu. Bez dalšího zdržování začněme s osou x:

1) Pokud , tak

Pojďme zjistit, kde je vrchol paraboly:
– važte si takových okamžiků – „trefili“ jste se přesně do bodu, ze kterého je již vše jasné. Ale stále nezapomínáme na kontrolu:

Pojďme vypočítat hodnoty funkce na koncích segmentu:

2) Vypořádejme se se spodní částí „podešve“ „na jeden zátah“ – bez komplexů ji dosadíme do funkce a bude nás zajímat pouze segment:

Řízení:

To již přináší určité vzrušení do monotónní jízdy po rýhované trati. Pojďme najít kritické body:

Pojďme se rozhodnout kvadratická rovnice, pamatuješ si k tomu ještě něco? ...Pamatujte si ovšem, že jinak byste tyto řádky nečetli =) Pokud by ve dvou předchozích příkladech byly výpočty v desetinná místa(což je mimochodem vzácné), pak nás zde čekají ty obvyklé běžné zlomky. Najdeme kořeny „X“ a pomocí rovnice určíme odpovídající „herní“ souřadnice „kandidátských“ bodů:


Vypočítejme hodnoty funkce v nalezených bodech:

Zkontrolujte funkci sami.

Nyní pečlivě studujeme vyhrané trofeje a zapisujeme Odpovědět:

To jsou „kandidáti“, to jsou „kandidáti“!

Chcete-li to vyřešit sami:

Příklad 5

Najděte nejmenší a největší hodnoty funkce v uzavřeném prostoru

Záznam se složenými závorkami zní takto: „množina bodů taková, že“.

Někdy v takových příkladech používají Lagrangeova multiplikační metoda, ale je nepravděpodobné, že bude potřeba jej použít. Je-li tedy například dána funkce se stejnou oblastí „de“, pak po dosazení do ní – s derivací bez obtíží; Navíc je vše nakresleno v „jednom řádku“ (se znaky), aniž by bylo nutné uvažovat odděleně horní a dolní půlkruhy. Ale je jich samozřejmě víc složité případy, kde bez funkce Lagrange (kde je například stejná rovnice kruhu) Je těžké se obejít – stejně jako je těžké se obejít bez dobrého odpočinku!

Mějte se všichni krásně a brzy na viděnou v příští sezóně!

Řešení a odpovědi:

Příklad 2: Řešení: Znázorněme oblast na výkresu:

Největší (nejmenší) hodnota funkce je největší (nejmenší) přijatá hodnota pořadnice na uvažovaném intervalu.

Chcete-li najít největší nebo nejmenší hodnotu funkce, musíte:

1. Zkontrolujte, které stacionární body jsou zahrnuty v daném segmentu.
2. Vypočítejte hodnotu funkce na koncích segmentu a na stacionární body z bodu 3
3. Ze získaných výsledků vyberte největší nebo nejmenší hodnotu.

Chcete-li zjistit maximální nebo minimální počet bodů, musíte:

1. Najděte derivaci funkce $f"(x)$
2. Najděte stacionární body řešením rovnice $f"(x)=0$
3. Faktor derivace funkce.
4. Nakreslete souřadnicovou čáru, umístěte na ni stacionární body a určete znaménka derivace ve výsledných intervalech pomocí zápisu v kroku 3.
5. Najděte maximum nebo minimum bodů podle pravidla: pokud v určitém bodě derivace změní znaménko z plus na mínus, pak to bude maximální bod (pokud z mínus na plus, bude to minimální bod). V praxi je vhodné použít obrázek šipek na intervalech: na intervalu, kde je derivace kladná, je šipka tažena nahoru a naopak.

Tabulka derivací některých elementárních funkcí:

Základní pravidla diferenciace

1. Derivace součtu a rozdílu se rovná derivaci každého členu

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Najděte derivaci funkce $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivace součtu a rozdílu se rovná derivaci každého členu

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivát produktu.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Najděte derivaci $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivace kvocientu

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Najděte derivaci $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivát komplexní funkce rovna součinu derivátu vnější funkce na derivaci vnitřní funkce

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Najděte minimální bod funkce $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Najděte ODZ funkce: $x+11>0; x>-11 $

2. Najděte derivaci funkce $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Najděte stacionární body přirovnáním derivace k nule

$(2x+21)/(x+11)=0$

Zlomek se rovná nule, pokud je čitatel nula a jmenovatel není nula.

$2x+21=0; x≠-11 $

4. Narýsujme souřadnicovou čáru, umístíme na ni stacionární body a ve výsledných intervalech určíme znaménka derivace. Chcete-li to provést, dosaďte do derivace libovolné číslo z oblasti nejvíce vpravo, například nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. V minimálním bodě derivace změní znaménko z mínus na plus, proto je bod $-10,5$ minimální bod.

Odpověď: $-10,5 $

Najděte největší hodnotu funkce $y=6x^5-90x^3-5$ na segmentu $[-5;1]$

1. Najděte derivaci funkce $y′=30x^4-270x^2$

2. Přirovnejte derivaci k nule a najděte stacionární body

$30x^4-270x^2=0 $

Vyjmeme celkový faktor $30x^2$ ze závorek

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0 $

Srovnejme každý faktor s nulou

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Vyberte stacionární body, které patří do daného segmentu $[-5;1]$

Stacionární body $x=0$ a $x=-3$ nám vyhovují

4. Vypočítejte hodnotu funkce na koncích segmentu a ve stacionárních bodech z kroku 3