Jak změřit plochu rovnoběžníku. Vypočítejte součet úhlů a plochy rovnoběžníku: vlastnosti a charakteristiky

Stejně jako v euklidovské geometrii jsou bod a přímka hlavními prvky teorie rovin, tak je rovnoběžník jedním z klíčových obrazců konvexních čtyřúhelníků. Z něj, jako vlákna z koule, plynou pojmy „obdélník“, „čtverec“, „kosočtverec“ a další geometrické veličiny.

V kontaktu s

Definice rovnoběžníku

konvexní čtyřúhelník, sestávající ze segmentů, z nichž každý pár je rovnoběžný, je v geometrii známý jako rovnoběžník.

Jak vypadá klasický rovnoběžník, znázorňuje čtyřúhelník ABCD. Strany se nazývají základny (AB, BC, CD a AD), kolmice vedená z libovolného vrcholu na stranu protilehlou tomuto vrcholu se nazývá výška (BE a BF), úsečky AC a BD se nazývají úhlopříčky.

Pozornost!Čtverec, kosočtverec a obdélník jsou speciální případy rovnoběžníku.

Strany a úhly: rysy vztahu

Klíčové vlastnosti, celkově předem určeno samotným označením, jsou dokázány větou. Tyto vlastnosti jsou následující:

1. Protilehlé strany jsou ve dvojicích shodné.
2. Úhly proti sobě jsou ve dvojicích stejné.

Důkaz: Uvažujme ∆ABC a ∆ADC, které získáme dělením čtyřúhelníku ABCD přímkou ​​AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, protože AC je pro ně společný (svislé úhly pro BC||AD a AB||CD, v tomto pořadí). Z toho vyplývá: ∆ABC = ∆ADC (druhé znaménko rovnosti trojúhelníků).

Úsečky AB a BC v ∆ABC odpovídají v párech čarám CD a AD v ∆ADC, což znamená, že jsou totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B tedy odpovídá ∠D a jsou si rovny. Protože ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, které jsou také párově totožné, pak ∠A = ∠C. Nemovitost byla prokázána.

Charakteristika úhlopříček obrazce

Hlavní rys těchto čar rovnoběžníku: průsečík je rozděluje na polovinu.

Důkaz: Nechť je průsečík úhlopříček AC a BD na obrázku ABCD. Tvoří dva souměrné trojúhelníky - ∆ABE a ∆CDE.

AB=CD, protože jsou protiklady. Podle čar a sečny ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.

Podle druhého kritéria rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE: AE = CE, BE = DE a zároveň jsou proporcionálními částmi AC a BD. Nemovitost byla prokázána.

Vlastnosti sousedních rohů

Sousední strany mají součet úhlů rovný 180°, protože leží na stejné straně rovnoběžných čar a příčných. Pro čtyřúhelník ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vlastnosti ose:

1. , spuštěné na jednu stranu, jsou kolmé;
2. opačné vrcholy mají rovnoběžné osy;
3. trojúhelník získaný nakreslením osy bude rovnoramenný.

Určení charakteristických znaků rovnoběžníku pomocí věty

Charakteristika tohoto obrázku vyplývá z jeho hlavní věty, která říká následující: čtyřúhelník je považován za rovnoběžník v případě, že se jeho úhlopříčky protnou, a tento bod je rozdělí na stejné segmenty.

Důkaz: ať se přímky AC a BD čtyřúhelníku ABCD protnou v t.j. Protože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, pak ∆AED = ∆BEC (podle prvního kritéria pro rovnost trojúhelníků). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Jsou to také vnitřní příčné úhly sečny AC pro čáry AD a BC. Tedy podle definice paralelismu - AD || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Podobná vlastnost linií BC a CD je také odvozena. Věta byla prokázána.

Výpočet plochy obrázku

Oblast tohoto obrázku nalézt několika metodami jeden z nejjednodušších: vynásobení výšky a základny, do které se kreslí.

Důkaz: nakreslete kolmice BE a CF z vrcholů B a C. ∆ABE a ∆DCF jsou stejné, protože AB = CD a BE = CF. ABCD se velikostí rovná obdélníku EBCF, protože se skládají z odpovídajících čísel: S ABE a S EBCD, stejně jako S DCF a S EBCD. Z toho vyplývá, že plocha tohoto geometrického útvaru je stejná jako plocha obdélníku:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Abychom určili obecný vzorec pro oblast rovnoběžníku, označme výšku jako hb a boční - b. Respektive:

Jiné způsoby, jak najít oblast

Výpočty ploch přes strany rovnoběžníku a úhlu, kterou tvoří, je druhou známou metodou.

,

Spr-ma - oblast;

a a b jsou jeho strany

α je úhel mezi segmenty a a b.

Tato metoda prakticky vychází z první, ale v případě, že není známa. vždy odřízne pravoúhlý trojúhelník, jehož parametry jsou nalezeny pomocí goniometrických identit, tzn. Transformací vztahu dostaneme . V rovnici prvního způsobu nahradíme výšku tímto součinem a získáme důkaz platnosti tohoto vzorce.

Přes úhlopříčky rovnoběžníku a úhlu, které vytvářejí, když se protínají, můžete také najít oblast.

Důkaz: AC a BD se protínají a tvoří čtyři trojúhelníky: ABE, BEC, CDE a AED. Jejich součet se rovná ploše tohoto čtyřúhelníku.

Plochu každého z těchto ∆ lze nalézt výrazem , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , výpočty používají jednu sinusovou hodnotu. To je . Protože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2, vzorec plochy se redukuje na:

.

Aplikace ve vektorové algebře

Vlastnosti jednotlivých částí tohoto čtyřúhelníku našly uplatnění ve vektorové algebře, konkrétně sčítání dvou vektorů. Pravidlo rovnoběžníku říká, že pokud jsou dané vektoryANejsou kolineární, pak se jejich součet bude rovnat úhlopříčce tohoto obrazce, jehož základny odpovídají těmto vektorům.

Důkaz: z libovolně zvoleného začátku - tzn. - konstrukce vektorů a . Dále sestrojíme rovnoběžník OASV, kde segmenty OA a OB jsou strany. OS tedy leží na vektoru nebo součtu.

Vzorce pro výpočet parametrů rovnoběžníku

Totožnosti jsou uvedeny za následujících podmínek:

1. a a b, α - strany a úhel mezi nimi;
2. d 1 a d 2, γ - úhlopříčky a v bodě jejich průsečíku;
3. ha a h b - výšky snížené na strany a a b;

Parametr	Vzorec
Hledání stran
podél úhlopříček a kosinus úhlu mezi nimi
podél úhlopříček a stran
přes výšku a protilehlý vrchol
Zjištění délky úhlopříček
na stranách a velikost vrcholu mezi nimi
po stranách a jedné z úhlopříček	 Závěr Rovnoběžník, jako jedna z klíčových postav geometrie, se používá v životě, například ve stavebnictví při výpočtu plochy místa nebo jiných měření. Znalosti o charakteristických rysech a metodách výpočtu jeho různých parametrů mohou být proto užitečné kdykoli v životě.

Vzorec pro oblast rovnoběžníku

Plocha rovnoběžníku se rovná součinu jeho strany a výšky této strany.

Důkaz

Pokud je rovnoběžník obdélník, pak je rovnost splněna větou o ploše obdélníku. Dále předpokládáme, že úhly rovnoběžníku nejsou správné.

Nechť $\angle BAD$ je ostrý úhel v rovnoběžníku $ABCD$ a $AD > AB$. V opačném případě přejmenujeme vrcholy. Potom výška $BH$ od vrcholu $B$ k přímce $AD$ padá na stranu $AD$, protože noha $AH$ je kratší než přepona $AB$ a $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Porovnejme plochu rovnoběžníku $ABCD$ a plochu obdélníku $HBCK$. Plocha rovnoběžníku je větší o plochu $\triangle ABH$, ale menší o plochu $\trojúhelník DCK$. Protože jsou tyto trojúhelníky stejné, jejich obsah je stejný. To znamená, že plocha rovnoběžníku se rovná ploše obdélníku se stranami délkou na stranu a výškou rovnoběžníku.

Vzorec pro oblast rovnoběžníku pomocí stran a sinusu

Plocha rovnoběžníku se rovná součinu sousedních stran a sinu úhlu mezi nimi.

Důkaz

Výška rovnoběžníku $ABCD$ svrženého na stranu $AB$ je rovna součinu úsečky $BC$ a sinu úhlu $\úhel ABC$. Zbývá použít předchozí tvrzení.

Vzorec pro oblast rovnoběžníku pomocí úhlopříček

Plocha rovnoběžníku se rovná polovině součinu úhlopříček a sinusu úhlu mezi nimi.

Důkaz

Nechť se úhlopříčky rovnoběžníku $ABCD$ protnou v bodě $O$ pod úhlem $\alpha$. Poté $AO=OC$ a $BO=OD$ pomocí vlastnosti parallelogram. Sinus úhlů, které dohromady tvoří $180^\circ$, se rovnají, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. To znamená, že sinus úhlů v průsečíku úhlopříček je roven $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\trojúhelník AOB) + S_(\trojúhelník BOC) + S_(\trojúhelník COD) + S_(\trojúhelník AOD)$

podle axiomu plošného měření. Pro tyto trojúhelníky a úhly, když se úhlopříčky protínají, použijeme vzorec pro oblast trojúhelníku $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$. Strany každého se rovnají polovině úhlopříček a sinus jsou také stejné. Proto se plochy všech čtyř trojúhelníků rovnají $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Shrneme-li vše výše uvedené, dostaneme

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Definice rovnoběžníku

Rovnoběžník je čtyřúhelník, ve kterém jsou protilehlé strany stejné a rovnoběžné.

Online kalkulačka

Rovnoběžník má některé užitečné vlastnosti, které usnadňují řešení problémů s tímto obrazcem. Například jednou z vlastností je, že opačné úhly rovnoběžníku jsou stejné.

Podívejme se na několik metod a vzorců, po kterých následuje řešení jednoduchých příkladů.

Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě jeho základny a výšky

Tento způsob hledání oblasti je pravděpodobně jedním z nejzákladnějších a nejjednodušších, protože je až na pár výjimek téměř totožný se vzorcem pro nalezení oblasti trojúhelníku. Nejprve se podívejme na zobecněný případ bez použití čísel.

Nechť je dán libovolný rovnoběžník se základnou a a A, boční b b b a výška h h h, odvezen na naši základnu. Pak vzorec pro oblast tohoto rovnoběžníku je:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a A- základna;
h h h- výška.

Podívejme se na jeden snadný problém, abychom si procvičili řešení typických problémů.

Najděte oblast rovnoběžníku, ve kterém je známo, že základna je 10 (cm) a výška je 5 (cm).

Řešení

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Dosadíme to do našeho vzorce. Dostaneme:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S = 10 \ cdot 5 = 50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (viz náměstí)

Odpověď: 50 (viz čtverec)

Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě dvou stran a úhlu mezi nimi

V tomto případě je požadovaná hodnota nalezena následovně:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅hřích (α)

A, b a, b a, b- strany rovnoběžníku;
a\alfa α - úhel mezi stranami a a A A b b b.

Nyní vyřešme další příklad a použijeme výše popsaný vzorec.

Najděte oblast rovnoběžníku, pokud je strana známá a a A, což je základna a o délce 20 (cm) a obvodu p p p, číselně rovný 100 (cm), úhel mezi sousedními stranami ( a a A A b b b) se rovná 30 stupňům.

Řešení

A = 20 a = 20 a =2 0
p = 100 p = 100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Abychom našli odpověď, známe pouze druhou stranu tohoto čtyřúhelníku. Pojďme ji najít. Obvod rovnoběžníku je dán vzorcem:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a+a+b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100 = 20 + 20 + b + b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100 = 40 + 2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60 = 2b 60 = 2b 6 0 = 2b
b = 30 b = 30 b =3 0

Nejtěžší část je za námi, zbývá pouze nahradit strany a úhel mezi nimi našimi hodnotami:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ hřích (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (viz náměstí)

Odpověď: 300 (viz čtverec)

Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě úhlopříček a úhlu mezi nimi

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D⋅d⋅hřích (α)

D D D- velká úhlopříčka;
d d d- malá úhlopříčka;
a\alfa α - ostrý úhel mezi úhlopříčkami.

Jsou dány úhlopříčky rovnoběžníku rovné 10 (cm) a 5 (cm). Úhel mezi nimi je 30 stupňů. Vypočítejte jeho plochu.

Řešení

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d = 5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ hřích (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (viz náměstí)

Plocha rovnoběžníku

Věta 1

Plocha rovnoběžníku je definována jako součin délky jeho strany a výšky k němu přitažené.

kde $a$ je strana rovnoběžníku, $h$ je výška nakreslená na tuto stranu.

Důkaz.

Dostaneme rovnoběžník $ABCD$ s $AD=BC=a$. Nakreslíme výšky $DF$ a $AE$ (obr. 1).

Obrázek 1.

Je zřejmé, že údaj $FDAE$ je obdélník.

\[\úhel BAE=(90)^0-\úhel A,\ \] \[\úhel CDF=\úhel D-(90)^0=(180)^0-\úhel A-(90)^0 =(90)^0-\úhel A=\úhel BAE\]

V důsledku toho, protože $CD=AB,\ DF=AE=h$, podle kritéria $I$ pro rovnost trojúhelníků $\triangle BAE=\trojúhelník CDF$. Pak

Takže podle věty o ploše obdélníku:

Věta byla prokázána.

Věta 2

Plocha rovnoběžníku je definována jako součin délky jeho přilehlých stran krát sinus úhlu mezi těmito stranami.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a,\ b$ jsou strany rovnoběžníku, $\alpha $ je úhel mezi nimi.

Důkaz.

Dostaneme rovnoběžník $ABCD$ s $BC=a,\ CD=b,\ \úhel C=\alpha $. Nakreslíme výšku $DF=h$ (obr. 2).

Obrázek 2

Definicí sinusu dostáváme

Proto

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Oblast trojúhelníku

Věta 3

Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho strany a nadmořské výšky k němu přitažené.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a$ je strana trojúhelníku, $h$ je výška nakreslená na tuto stranu.

Důkaz.

Obrázek 3

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Věta 4

Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho sousedních stran a sinusu úhlu mezi těmito stranami.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a,\b$ jsou strany trojúhelníku, $\alpha$ je úhel mezi nimi.

Důkaz.

Dostaneme trojúhelník $ABC$ s $AB=a$. Zjistíme výšku $CH=h$. Sestavme jej na rovnoběžník $ABCD$ (obr. 3).

Je zřejmé, že podle kritéria $I$ pro rovnost trojúhelníků $\triangle ACB=\triangle CDB$. Pak

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Oblast lichoběžníku

Věta 5

Plocha lichoběžníku je definována jako polovina součinu součtu délek jeho základen a jeho výšky.

Matematicky to lze zapsat následovně

Důkaz.

Dostaneme lichoběžník $ABCK$, kde $AK=a,\ BC=b$. Zakreslete do něj výšky $BM=h$ a $KP=h$ a také úhlopříčku $BK$ (obr. 4).

Obrázek 4.

Podle věty $3$, dostáváme

Věta byla prokázána.

Ukázkový úkol

Příklad 1

Najděte obsah rovnostranného trojúhelníku, pokud je jeho délka strany $a.$

Řešení.

Protože je trojúhelník rovnostranný, všechny jeho úhly jsou rovny $(60)^0$.

Pak, podle věty $4$, máme

Odpovědět:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Všimněte si, že výsledek tohoto problému lze použít k nalezení oblasti libovolného rovnostranného trojúhelníku s danou stranou.

Než se naučíme, jak najít oblast rovnoběžníku, musíme si zapamatovat, co je rovnoběžník a jak se nazývá jeho výška. Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou po párech rovnoběžné (leží na rovnoběžných přímkách). Kolmice vedená z libovolného bodu na opačné straně k přímce obsahující tuto stranu se nazývá výška rovnoběžníku.

Čtverec, obdélník a kosočtverec jsou speciální případy rovnoběžníku.

Plocha rovnoběžníku je označena jako (S).

Vzorce pro nalezení oblasti rovnoběžníku

S=a*h, kde a je základna, h je výška vykreslená k základně.

S=a*b*sinα, kde a a b jsou základny a α je úhel mezi základnami a a b.

S =p*r, kde p je půlobvod, r je poloměr kružnice, která je vepsána do rovnoběžníku.

Plocha rovnoběžníku, která je tvořena vektory a a b, se rovná modulu součinu daných vektorů, a to:

Uvažujme příklad č. 1: Dáme-li rovnoběžník, jehož strana je 7 cm a výška 3 cm. Jak najít plochu rovnoběžníku, potřebujeme vzorec pro řešení.

Tedy S = 7x3. S=21. Odpověď: 21 cm 2.

Uvažujme příklad č. 2: Dané základny jsou 6 a 7 cm a také je dán úhel mezi základnami 60 stupňů. Jak najít oblast rovnoběžníku? Vzorec používaný k řešení:

Nejprve tedy najdeme sinus úhlu. Sinus 60 = 0,5, respektive S = 6*7*0,5=21 Odpověď: 21 cm 2.

Doufám, že vám tyto příklady pomohou při řešení problémů. A pamatujte, hlavní věcí je znalost vzorců a pozornost