Jak vypočítat plochu rovnoběžníku. Jak najít oblast rovnoběžníku? Vzorce pro nalezení oblasti rovnoběžníku

Úkol 4.

Jedna z úhlopříček rovnoběžníku o délce 4√6 svírá se základnou úhel 60° a druhá úhlopříčka svírá se stejnou základnou úhel 45°. Najděte druhou úhlopříčku.

Řešení.

1. AO = 2√6.

2. Aplikujeme sinusovou větu na trojúhelník AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odpověď: 12.

Úkol 5.

U rovnoběžníku se stranami 5√2 a 7√2 se menší úhel mezi úhlopříčkami rovná menšímu úhlu rovnoběžníku. Najděte součet délek úhlopříček.

Řešení.

Nechť d 1, d 2 jsou úhlopříčky rovnoběžníku a úhel mezi úhlopříčkami a menším úhlem rovnoběžníku je roven φ.

1. Počítejme dva různé
způsoby jeho oblasti.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Získáme rovnost 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f nebo

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2;

2. Pomocí vztahu mezi stranami a úhlopříčkami rovnoběžníku zapíšeme rovnost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d12 + d22 = 296.

3. Vytvořme systém:

(d12 + d22 = 296,
(d1 + d2 = 140.

Vynásobme druhou rovnici soustavy 2 a přičtěme ji k první.

Dostaneme (d 1 + d 2) 2 = 576. Odtud Id 1 + d 2 I = 24.

Protože d 1, d 2 jsou délky úhlopříček rovnoběžníku, pak d 1 + d 2 = 24.

Odpověď: 24.

Úkol 6.

Strany rovnoběžníku jsou 4 a 6. Ostrý úhel mezi úhlopříčkami je 45 stupňů. Najděte oblast rovnoběžníku.

Řešení.

1. Z trojúhelníku AOB pomocí kosinové věty zapíšeme vztah mezi stranou rovnoběžníku a úhlopříčkami.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 / 4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Podobně napíšeme vztah pro trojúhelník AOD.

Vezměme to v úvahu<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dostaneme rovnici d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Máme systém
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Odečtením první od druhé rovnice dostaneme 2d 1 · d 2 √2 = 80 resp.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Poznámka: V tomto a předchozím problému není potřeba systém úplně řešit, protože v tomto problému potřebujeme k výpočtu plochy součin úhlopříček.

Odpověď: 10.

Úkol 7.

Plocha rovnoběžníku je 96 a jeho strany jsou 8 a 15. Najděte čtverec menší úhlopříčky.

Řešení.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Udělejme substituci ve vzorci.

Dostaneme 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Proto sin ВAD = 4/5.

2. Najdeme cos VAD. hřích 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Podle podmínek úlohy zjistíme délku menší úhlopříčky. Úhlopříčka ВD bude menší, pokud je úhel ВАD ostrý. Pak cos VAD = 3/5.

3. Z trojúhelníku ABD pomocí kosinové věty najdeme druhou mocninu úhlopříčky BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Odpověď: 145.

Stále máte otázky? Nevíte, jak vyřešit problém s geometrií?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Plocha geometrického obrazce- číselná charakteristika geometrického obrazce znázorňující velikost tohoto obrazce (část plochy ohraničená uzavřeným obrysem tohoto obrazce). Velikost plochy je vyjádřena počtem čtverečních jednotek v ní obsažených.

Vzorce pro oblast trojúhelníku

1. Vzorec pro oblast trojúhelníku podle strany a výšky
   Oblast trojúhelníku rovná se polovině součinu délky strany trojúhelníku a délky nadmořské výšky nakreslené na tuto stranu
   
2. Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě tří stran a poloměru kružnice opsané
   
3. Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě tří stran a poloměru vepsané kružnice
   Oblast trojúhelníku se rovná součinu půlobvodu trojúhelníku a poloměru kružnice vepsané.
   
kde S je plocha trojúhelníku,
- délky stran trojúhelníku,
- výška trojúhelníku,
- úhel mezi stranami a,
- poloměr vepsané kružnice,
R - poloměr kružnice opsané,

Vzorce čtvercové oblasti

1. Vzorec pro plochu čtverce o délce strany
   Čtvercová plocha rovná druhé mocnině délky jeho strany.
2. Vzorec pro plochu čtverce podél délky úhlopříčky
   Čtvercová plocha rovná polovině druhé mocniny délky jeho úhlopříčky.
   

   S=	1	2
   	2

kde S je plocha čtverce,
- délka strany čtverce,
- délka úhlopříčky čtverce.

Vzorec oblasti obdélníku

Plocha obdélníku rovný součinu délek jeho dvou sousedních stran

kde S je plocha obdélníku,
- délky stran obdélníku.

Rovnoběžné vzorce oblasti

1. Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě délky a výšky strany
   Plocha rovnoběžníku
2. Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě dvou stran a úhlu mezi nimi
   Plocha rovnoběžníku se rovná součinu délek jejích stran vynásobených sinem úhlu mezi nimi.
   

   a b sin α

kde S je plocha rovnoběžníku,
- délky stran rovnoběžníku,
- délka výšky rovnoběžníku,
- úhel mezi stranami rovnoběžníku.

Vzorce pro oblast kosočtverce

1. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délky a výšky strany
   Oblast kosočtverce rovná součinu délky jeho strany a délky výšky spuštěné na tuto stranu.
2. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délky strany a úhlu
   Oblast kosočtverce se rovná součinu druhé mocniny délky jeho strany a sinu úhlu mezi stranami kosočtverce.
3. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délek jeho úhlopříček
   Oblast kosočtverce rovna polovině součinu délek jeho úhlopříček.
kde S je plocha kosočtverce,
- délka strany kosočtverce,
- délka výšky kosočtverce,
- úhel mezi stranami kosočtverce,
1, 2 - délky úhlopříček.

Vzorce pro lichoběžníkové plochy

1. Heronův vzorec pro lichoběžník

   Kde S je plocha lichoběžníku,
   - délky základen lichoběžníku,
   - délky stran lichoběžníku,
   

Plocha rovnoběžníku

Věta 1

Plocha rovnoběžníku je definována jako součin délky jeho strany a výšky k němu přitažené.

kde $a$ je strana rovnoběžníku, $h$ je výška nakreslená na tuto stranu.

Důkaz.

Dostaneme rovnoběžník $ABCD$ s $AD=BC=a$. Nakreslíme výšky $DF$ a $AE$ (obr. 1).

Obrázek 1.

Je zřejmé, že údaj $FDAE$ je obdélník.

\[\úhel BAE=(90)^0-\úhel A,\ \] \[\úhel CDF=\úhel D-(90)^0=(180)^0-\úhel A-(90)^0 =(90)^0-\úhel A=\úhel BAE\]

V důsledku toho, protože $CD=AB,\ DF=AE=h$, podle kritéria $I$ pro rovnost trojúhelníků $\triangle BAE=\trojúhelník CDF$. Pak

Takže podle věty o ploše obdélníku:

Věta byla prokázána.

Věta 2

Plocha rovnoběžníku je definována jako součin délky jeho přilehlých stran krát sinus úhlu mezi těmito stranami.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a,\ b$ jsou strany rovnoběžníku, $\alpha $ je úhel mezi nimi.

Důkaz.

Dostaneme rovnoběžník $ABCD$ s $BC=a,\ CD=b,\ \úhel C=\alpha $. Nakreslíme výšku $DF=h$ (obr. 2).

Obrázek 2

Definicí sinusu dostáváme

Proto

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Oblast trojúhelníku

Věta 3

Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho strany a nadmořské výšky k němu přitažené.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a$ je strana trojúhelníku, $h$ je výška nakreslená na tuto stranu.

Důkaz.

Obrázek 3

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Věta 4

Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho sousedních stran a sinusu úhlu mezi těmito stranami.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a,\b$ jsou strany trojúhelníku, $\alpha$ je úhel mezi nimi.

Důkaz.

Dostaneme trojúhelník $ABC$ s $AB=a$. Zjistíme výšku $CH=h$. Sestavme jej na rovnoběžník $ABCD$ (obr. 3).

Je zřejmé, že podle kritéria $I$ pro rovnost trojúhelníků $\triangle ACB=\triangle CDB$. Pak

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Oblast lichoběžníku

Věta 5

Plocha lichoběžníku je definována jako polovina součinu součtu délek jeho základen a jeho výšky.

Matematicky to lze zapsat následovně

Důkaz.

Dostaneme lichoběžník $ABCK$, kde $AK=a,\ BC=b$. Zakreslete do něj výšky $BM=h$ a $KP=h$ a také úhlopříčku $BK$ (obr. 4).

Obrázek 4.

Podle věty $3$, dostáváme

Věta byla prokázána.

Ukázkový úkol

Příklad 1

Najděte obsah rovnostranného trojúhelníku, pokud je jeho délka strany $a.$

Řešení.

Protože je trojúhelník rovnostranný, všechny jeho úhly jsou rovny $(60)^0$.

Pak, podle věty $4$, máme

Odpovědět:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Všimněte si, že výsledek tohoto problému lze použít k nalezení oblasti libovolného rovnostranného trojúhelníku s danou stranou.

Stejně jako v euklidovské geometrii jsou bod a přímka hlavními prvky teorie rovin, tak je rovnoběžník jedním z klíčových obrazců konvexních čtyřúhelníků. Z něj, jako vlákna z koule, plynou pojmy „obdélník“, „čtverec“, „kosočtverec“ a další geometrické veličiny.

V kontaktu s

Definice rovnoběžníku

konvexní čtyřúhelník, sestávající ze segmentů, z nichž každý pár je rovnoběžný, je v geometrii známý jako rovnoběžník.

Jak vypadá klasický rovnoběžník, znázorňuje čtyřúhelník ABCD. Strany se nazývají základny (AB, BC, CD a AD), kolmice vedená z libovolného vrcholu na stranu protilehlou tomuto vrcholu se nazývá výška (BE a BF), úsečky AC a BD se nazývají úhlopříčky.

Pozornost!Čtverec, kosočtverec a obdélník jsou speciální případy rovnoběžníku.

Strany a úhly: rysy vztahu

Klíčové vlastnosti, celkově předem určeno samotným označením, jsou dokázány větou. Tyto vlastnosti jsou následující:

1. Protilehlé strany jsou ve dvojicích shodné.
2. Úhly proti sobě jsou ve dvojicích stejné.

Důkaz: Uvažujme ∆ABC a ∆ADC, které získáme dělením čtyřúhelníku ABCD přímkou ​​AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, protože AC je pro ně společný (svislé úhly pro BC||AD a AB||CD, v tomto pořadí). Z toho vyplývá: ∆ABC = ∆ADC (druhé znaménko rovnosti trojúhelníků).

Úsečky AB a BC v ∆ABC odpovídají v párech čarám CD a AD v ∆ADC, což znamená, že jsou totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B tedy odpovídá ∠D a jsou si rovny. Protože ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, které jsou také párově totožné, pak ∠A = ∠C. Nemovitost byla prokázána.

Charakteristika úhlopříček obrazce

Hlavní rys těchto čar rovnoběžníku: průsečík je rozděluje na polovinu.

Důkaz: Nechť je průsečík úhlopříček AC a BD na obrázku ABCD. Tvoří dva souměrné trojúhelníky - ∆ABE a ∆CDE.

AB=CD, protože jsou protiklady. Podle čar a seč je ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.

Podle druhého kritéria rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE: AE = CE, BE = DE a zároveň jsou proporcionálními částmi AC a BD. Nemovitost byla prokázána.

Vlastnosti sousedních rohů

Sousední strany mají součet úhlů rovný 180°, protože leží na stejné straně rovnoběžných čar a příčných. Pro čtyřúhelník ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vlastnosti ose:

1. , spuštěné na jednu stranu, jsou kolmé;
2. opačné vrcholy mají rovnoběžné osy;
3. trojúhelník získaný nakreslením osy bude rovnoramenný.

Určení charakteristických znaků rovnoběžníku pomocí věty

Charakteristika tohoto obrázku vyplývá z jeho hlavní věty, která říká následující: čtyřúhelník je považován za rovnoběžník v případě, že se jeho úhlopříčky protnou, a tento bod je rozdělí na stejné segmenty.

Důkaz: ať se přímky AC a BD čtyřúhelníku ABCD protnou v t.j. Protože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, pak ∆AED = ∆BEC (podle prvního kritéria pro rovnost trojúhelníků). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Jsou to také vnitřní příčné úhly sečny AC pro čáry AD a BC. Tedy podle definice paralelismu - AD || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Podobná vlastnost linií BC a CD je také odvozena. Věta byla prokázána.

Výpočet plochy obrázku

Oblast tohoto obrázku nalézt několika metodami jeden z nejjednodušších: vynásobení výšky a základny, do které se kreslí.

Důkaz: nakreslete kolmice BE a CF z vrcholů B a C. ∆ABE a ∆DCF jsou stejné, protože AB = CD a BE = CF. ABCD se velikostí rovná obdélníku EBCF, protože se skládají z odpovídajících čísel: S ABE a S EBCD, stejně jako S DCF a S EBCD. Z toho vyplývá, že plocha tohoto geometrického útvaru je stejná jako plocha obdélníku:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Abychom určili obecný vzorec pro oblast rovnoběžníku, označme výšku jako hb a boční - b. Respektive:

Jiné způsoby, jak najít oblast

Výpočty ploch přes strany rovnoběžníku a úhlu, kterou tvoří, je druhou známou metodou.

,

Spr-ma - oblast;

a a b jsou jeho strany

α je úhel mezi segmenty a a b.

Tato metoda prakticky vychází z první, ale v případě, že není známa. vždy odřízne pravoúhlý trojúhelník, jehož parametry jsou nalezeny pomocí goniometrických identit, tzn. Transformací vztahu dostaneme . V rovnici prvního způsobu nahradíme výšku tímto součinem a získáme důkaz platnosti tohoto vzorce.

Přes úhlopříčky rovnoběžníku a úhlu, které vytvářejí, když se protínají, můžete také najít oblast.

Důkaz: AC a BD se protínají a tvoří čtyři trojúhelníky: ABE, BEC, CDE a AED. Jejich součet se rovná ploše tohoto čtyřúhelníku.

Plochu každého z těchto ∆ lze nalézt výrazem , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , výpočty používají jednu sinusovou hodnotu. To je . Protože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2, vzorec plochy se redukuje na:

.

Aplikace ve vektorové algebře

Vlastnosti jednotlivých částí tohoto čtyřúhelníku našly uplatnění ve vektorové algebře, konkrétně sčítání dvou vektorů. Pravidlo rovnoběžníku říká, že pokud jsou dané vektoryANejsou kolineární, pak se jejich součet bude rovnat úhlopříčce tohoto obrazce, jehož základny odpovídají těmto vektorům.

Důkaz: z libovolně zvoleného začátku - tzn. - konstrukce vektorů a . Dále sestrojíme rovnoběžník OASV, kde segmenty OA a OB jsou strany. OS tedy leží na vektoru nebo součtu.

Vzorce pro výpočet parametrů rovnoběžníku

Totožnosti jsou uvedeny za následujících podmínek:

1. a a b, α - strany a úhel mezi nimi;
2. d 1 a d 2, γ - úhlopříčky a v bodě jejich průsečíku;
3. ha a h b - výšky snížené na strany a a b;

Parametr	Vzorec
Hledání stran
podél úhlopříček a kosinus úhlu mezi nimi
podél úhlopříček a stran
přes výšku a protilehlý vrchol
Zjištění délky úhlopříček
na stranách a velikost vrcholu mezi nimi
po stranách a jedné z úhlopříček	 Závěr Rovnoběžník, jako jedna z klíčových postav geometrie, se používá v životě, například ve stavebnictví při výpočtu plochy místa nebo jiných měření. Znalosti o charakteristických rysech a metodách výpočtu jeho různých parametrů mohou být proto užitečné kdykoli v životě.

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož strany jsou rovnoběžné ve dvojicích.

Na tomto obrázku jsou opačné strany a úhly stejné. Úhlopříčky rovnoběžníku se protínají v jednom bodě a půlí jej. Vzorce pro oblast rovnoběžníku vám umožňují najít hodnotu pomocí stran, výšky a úhlopříček. Ve zvláštních případech může být předložen i paralelogram. Jsou považovány za obdélník, čtverec a kosočtverec.
Nejprve se podívejme na příklad výpočtu plochy rovnoběžníku podle výšky a strany, na kterou je spuštěn.

Tento případ je považován za klasický a nevyžaduje další vyšetřování. Je lepší zvážit vzorec pro výpočet plochy přes dvě strany a úhel mezi nimi. Stejná metoda se používá při výpočtech. Pokud jsou uvedeny strany a úhel mezi nimi, pak se plocha vypočítá takto:

Předpokládejme, že máme rovnoběžník o stranách a = 4 cm, b = 6 cm, úhel mezi nimi je α = 30°. Pojďme najít oblast:

Plocha rovnoběžníku přes úhlopříčky

Vzorec pro oblast rovnoběžníku pomocí úhlopříček umožňuje rychle najít hodnotu.
Pro výpočty budete potřebovat velikost úhlu umístěného mezi úhlopříčkami.

Podívejme se na příklad výpočtu plochy rovnoběžníku pomocí úhlopříček. Nechť je dán rovnoběžník s úhlopříčkami D = 7 cm, d = 5 cm, úhel mezi nimi je α = 30°. Dosadíme data do vzorce:

Příklad výpočtu plochy rovnoběžníku přes úhlopříčku nám poskytl vynikající výsledek - 8,75.

Znáte-li vzorec pro oblast rovnoběžníku přes úhlopříčku, můžete vyřešit mnoho zajímavých problémů. Podívejme se na jeden z nich.

Úkol: Je dán rovnoběžník o ploše 92 metrů čtverečních. viz Bod F se nachází uprostřed jeho strany BC. Pojďme najít oblast lichoběžníku ADFB, která bude ležet v našem rovnoběžníku. Nejprve si vylosujme vše, co jsme dostali podle podmínek.
Pojďme k řešení:

Podle našich podmínek ah = 92, a tedy plocha našeho lichoběžníku bude rovna