Základy číselných soustav. Číselné soustavy - pojďme na hodinu informatiky Jak určit základ čísla v informatice

Číselná soustava (angl. numeral system nebo numeration system) - symbolický způsob záznamu čísel, reprezentující čísla pomocí psaných znaků

Jaký je základ a základ číselné soustavy?

Definice: Základ číselné soustavy je počet různých znaků nebo symbolů, které
se používají k reprezentaci čísel v tomto systému.
Základem je libovolné přirozené číslo - 2, 3, 4, 16 atd. To znamená, že existuje neomezené množství
mnoho polohových systémů. Například pro desítkovou soustavu je základ 10.

Určení základu je velmi snadné, stačí si přepočítat počet platných číslic v soustavě. Zjednodušeně řečeno je to číslo, od kterého začíná druhá číslice čísla. Například použijeme čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Je jich přesně 10, takže základ naší číselné soustavy je také 10 a číselná soustava je nazývané „desítkové“. Výše uvedený příklad používá čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomocné 10, 100, 1000, 10000 atd. se nepočítají). Je zde také 10 hlavních čísel a číselná soustava je desítková.

Systémová základna je posloupnost čísel používaných k zápisu . V žádné soustavě neexistuje číslo rovné základně soustavy.

Jak můžete hádat, kolik čísel je, může být tolik základen číselné soustavy. Používají se však pouze nejpohodlnější základy číselných soustav. Proč si myslíte, že základem nejpoužívanější lidské číselné soustavy je 10? Ano, právě proto, že máme na rukou 10 prstů. "Ale na jedné ruce je jen pět prstů," řeknou někteří a budou mít pravdu. Historie lidstva zná příklady pětinásobných číselných soustav. "A u nohou je dvacet prstů," řeknou jiní a budou mít také naprostou pravdu. Přesně tomu věřili Mayové. Je to vidět i na jejich počtu.

Desetinná číselná soustava

Při počítání jsme všichni zvyklí používat číslice a čísla, které jsou nám známé z dětství. Jeden, dva, tři, čtyři atd. V naší každodenní číselné soustavě je pouze deset číslic (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), ze kterých tvoříme libovolná čísla. Po dosažení deseti přidáme jedničku k číslici nalevo a znovu začneme počítat od nuly na číslici úplně vpravo. Tato číselná soustava se nazývá desítková.

Není těžké uhodnout, že si jej vybrali naši předkové, protože počet prstů na obou rukou je deset. Ale jaké další číselné soustavy existují? Používali jste vždy desítkovou číselnou soustavu nebo existovaly i jiné?

Historie číselných soustav

Před vynálezem nuly se k zápisu čísel používaly speciální znaky. Každý národ měl své. Například ve starém Římě převládal nepoziční číselný systém.

Číselná soustava se nazývá nepoziční, pokud hodnota číslice nezávisí na místě, které zaujímá. Za nejpokročilejší číselné systémy byly považovány ty, které se používaly v Rusku a ve starověkém Řecku.

V nich byla velká čísla označena písmeny, ale s přidáním dalších symbolů (1 – a, 100 –i atd.). Dalším nepozičním číselným systémem byl systém používaný ve starověkém Babylonu. Obyvatelé Babylonu ve svém systému používali „dvoupatrový“ zápis a pouze tři znaky: Jednotka v babylonské číselné soustavě pro jedničku, desítka v babylonské číselné soustavě pro desítku a nula v babylonské číselné soustavě pro nulu.

Poziční číselné soustavy

Poziční systémy se staly krokem vpřed. Nyní všude zvítězila desítková soustava, ale existují i ​​jiné soustavy, které se často používají v aplikovaných vědách. Příkladem takového číselného systému je binární číselný systém.
Binární číselná soustava

Je to místo, kde komunikují počítače a veškerá elektronika ve vaší domácnosti. Tato číselná soustava používá pouze dvě číslice: 0 a 1. Můžete se ptát, proč nebylo možné naučit počítač počítat do deseti jako člověk? Odpověď leží na povrchu.

Je snadné naučit stroj rozlišovat mezi dvěma symboly: zapnuto znamená 1, vypnuto znamená 0; existuje proud - 1, žádný proud - 0. Byly pokusy vyrobit stroje, které by dokázaly rozlišit větší počet číslic. Ale ukázalo se, že všechny jsou nespolehlivé, počítače byly stále zmatené: buď k nim přišel 1, nebo 2.

Jsme obklopeni mnoha různými číselnými soustavami. Každý z nich je užitečný ve své vlastní oblasti. A odpověď na otázku, kterou a kdy použít, je na nás.

Můžete zadat jak celá čísla, například 34, tak zlomková čísla, například 637.333. U zlomkových čísel je uvedena přesnost překladu za desetinnou čárkou.

S touto kalkulačkou se také používají následující:

Způsoby reprezentace čísel

Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Příklad č. 1.



Převod z 2 na 8 na 16 číselný systém.
Tyto systémy jsou násobky dvou, proto se překlad provádí pomocí korespondenční tabulky (viz níže).

Pro převod čísla z dvojkové číselné soustavy do osmičkové (šestnáctkové) číselné soustavy je nutné rozdělit dvojkové číslo z desetinné čárky doprava a doleva do skupin po třech (u šestnáctkové soustavy čtyř) a doplnit tak vnější skupiny. v případě potřeby s nulami. Každá skupina je nahrazena odpovídající osmičkovou nebo hexadecimální číslicí.

Příklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
zde 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Při převodu do šestnáctkové soustavy musíte číslo rozdělit na části po čtyřech číslicích podle stejných pravidel.
Příklad č. 3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
zde 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13

Převod čísel z 2, 8 a 16 do desítkové číselné soustavy se provádí rozdělením čísla na samostatná a vynásobením základem soustavy (ze kterého se číslo překládá) umocněnou na mocninu odpovídající jeho pořadovému číslu v převáděné číslo. V tomto případě jsou čísla číslována nalevo od desetinné čárky (první číslo je číslováno 0) s rostoucím a napravo s klesajícím (tj. se záporným znaménkem). Získané výsledky se sečtou.

Příklad č. 4.
Příklad převodu z dvojkové do desítkové číselné soustavy.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 12-3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Příklad převodu z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Příklad převodu z šestnáctkové do desítkové číselné soustavy. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ještě jednou zopakujeme algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do jiné PSS

1. Ze soustavy desítkových čísel:
   • vydělte číslo základem překládaného číselného systému;
   • najít zbytek při dělení celé části čísla;
   • zapište všechny zbytky z dělení v opačném pořadí;
2. Z dvojkové číselné soustavy
   • Pro převod do desítkové číselné soustavy je nutné najít součet součinů základu 2 odpovídajícím stupněm číslice;
   • Chcete-li převést číslo na osmičkovou, musíte číslo rozdělit na trojice.
     Například 1000110 = 1 000 110 = 106 8
   • Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte číslo rozdělit do skupin po 4 číslicích.
     Například 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabulka pro převod do osmičkové číselné soustavy

Příklad č. 2. Převeďte číslo 100,12 z desítkové číselné soustavy do osmičkové soustavy a naopak. Vysvětlete důvody nesrovnalostí.
Řešení.
Fáze 1. .

Zbytek dělení zapíšeme v obráceném pořadí. Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 144
100 = 144 8

Pro převod zlomkové části čísla postupně vynásobíme zlomkovou část základem 8. Výsledkem je, že pokaždé zapíšeme celou část součinu.
0,12*8 = 0,96 (celočíselná část 0 )
0,96*8 = 7,68 (celočíselná část 7 )
0,68*8 = 5,44 (celočíselná část 5 )
0,44*8 = 3,52 (celočíselná část 3 )
Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Fáze 2. Převod čísla z desítkové číselné soustavy do osmičkové soustavy.
Reverzní převod z osmičkové číselné soustavy na desítkovou.

Chcete-li přeložit část celého čísla, musíte vynásobit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Chcete-li převést zlomkovou část, musíte vydělit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Rozdíl 0,0001 (100,12 - 100,1199) je vysvětlen chybou zaokrouhlení při převodu do osmičkové číselné soustavy. Tuto chybu lze snížit, pokud vezmete větší počet číslic (například ne 4, ale 8).

Než začneme řešit problémy, musíme pochopit několik jednoduchých bodů.

Uvažujme desetinné číslo 875. Poslední číslice čísla (5) je zbytek po dělení čísla 875 10. Poslední dvě číslice tvoří číslo 75 - to je zbytek po dělení čísla 875 100. Podobná tvrzení jsou platí pro jakoukoli číselnou soustavu:

Poslední číslice čísla je zbytek při dělení tohoto čísla základem číselné soustavy.

Poslední dvě číslice čísla jsou zbytek, když je číslo děleno druhou mocninou.

Například, . Vydělte 23 základem soustavy 3, získáme 7 a 2 jako zbytek (2 je poslední číslice čísla v ternární soustavě). Vydělte 23 9 (základ na druhou), dostaneme 18 a 5 jako zbytek (5 = ).

Vraťme se opět k obvyklé desítkové soustavě. Číslo = 100 000. Tedy 10 na k je jedna a k nuly.

Podobné tvrzení platí pro jakoukoli číselnou soustavu:

Základ číselné soustavy k mocnině k v této číselné soustavě se zapisuje jako jedna ak nul.

Například, .

1. Nalezení základu číselné soustavy

Příklad 1

V číselné soustavě s nějakým základem se desetinné číslo 27 zapisuje jako 30. Určete tento základ.

Řešení:

Označme požadovanou základnu x. Potom .tj. x = 9.

Příklad 2

V číselné soustavě s nějakým základem se desetinné číslo 13 zapisuje jako 111. Určete tento základ.

Řešení:

Označme požadovanou základnu x. Pak

Vyřešíme kvadratickou rovnici, dostaneme kořeny 3 a -4. Protože základ číselné soustavy nemůže být záporný, odpověď je 3.

Odpověď: 3

Příklad 3

Oddělte je čárkami, ve vzestupném pořadí, označte všechny základy číselných soustav, ve kterých číslo 29 končí 5.

Řešení:

Pokud v některé soustavě číslo 29 končí 5, pak číslo zmenšené o 5 (29-5 = 24) končí 0. Již dříve jsme řekli, že číslo končí nulou v případě, že je dělitelné základem soustavy. beze zbytku. Tito. musíme najít všechna taková čísla, která jsou děliteli čísla 24. Tato čísla jsou: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Všimněte si, že v číselných soustavách se základem 2, 3, 4 není žádné číslo 5 (a ve formulační úloze číslo 29 končí 5), což znamená, že zůstávají systémy se bázemi: 6, 8, 12,

Odpověď: 6, 8, 12, 24

Příklad 4

Oddělte je čárkami, ve vzestupném pořadí, označte všechny základy číselných soustav, ve kterých číslo 71 končí 13.

Řešení:

Pokud v některé soustavě číslo končí 13, pak základ této soustavy není menší než 4 (jinak tam žádné číslo 3 není).

Číslo zmenšené o 3 (71-3=68) končí na 10. To znamená. 68 je zcela vyděleno požadovanou bází systému a jeho podíl, když je dělen bází soustavy, dává zbytek 0.

Zapišme si všechny celočíselné dělitele čísla 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 není vhodné, protože základ není menší než 4. Zkontrolujeme zbývající dělitele:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (zbytek 1) – vhodné

68:17 = 4; 4:17 = 0 (zbytek 4) – nevhodné

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) – nevhodné

68:68 = 1; 1:68 = 0 (zbytek 1) – vhodné

Odpověď: 4,68

2. Hledejte čísla podle podmínek

Příklad 5

Uveďte, oddělená čárkami ve vzestupném pořadí, všechna desetinná čísla nepřesahující 25, jejichž zápis v základní čtyřčíselné soustavě končí na 11?

Řešení:

Nejprve zjistíme, jak vypadá číslo 25 v základní 4 číselné soustavě.

Tito. musíme najít všechna čísla, ne větší než , která končí 11. Podle pravidla sekvenčního počítání v systému se základnou 4,
dostaneme čísla a . Převedeme je do desítkové číselné soustavy:

Odpověď: 5, 21

3. Řešení rovnic

Příklad 6

Řešte rovnici:

Svou odpověď zapište v ternární soustavě (základ číselné soustavy není potřeba ve své odpovědi psát).

Řešení:

Převedeme všechna čísla do desítkové číselné soustavy:

Kvadratická rovnice má kořeny -8 a 6 (protože základna systému nemůže být záporná). .

Odpověď: 20

4. Počítání počtu jedniček (nul) v binárním zápisu hodnoty výrazu

K vyřešení tohoto typu problému si musíme pamatovat, jak funguje sloupcové sčítání a odčítání:

Při sčítání dochází k bitovému součtu číslic zapsaných pod sebou, počínaje nejméně významnými číslicemi. Je-li výsledný součet dvou číslic větší nebo roven základu číselné soustavy, zbytek dělení tohoto součtu základem číselné soustavy se zapíše pod sečtené cifry a celočíselná část dělení tohoto součtu základem číselné soustavy základ systému se přičte k součtu následujících číslic.

Při odečítání se číslice zapsané pod sebou bitově odečítají, počínaje nejméně významnými číslicemi. Pokud je první číslice menší než druhá, „půjčíme si“ jednu ze sousední (větší) číslice. Jednotka obsazená aktuální číslicí se rovná základu číselné soustavy. V desítkové soustavě je to 10, v dvojkové soustavě 2, v trojkové soustavě 3 atd.

Příklad 7

Kolik jednotek obsahuje binární zápis hodnoty výrazu: ?

Řešení:

Představme si všechna čísla ve výrazu jako mocniny dvou:

V binárním zápisu 2 na mocninu n vypadá jako 1 následovaná n nulami. Poté sečtením a dostaneme číslo obsahující 2 jednotky:

Nyní od výsledného čísla odečteme 10 000. Podle pravidel odčítání si půjčíme od další číslice.

Nyní přidejte 1 k výslednému číslu:

Vidíme, že výsledek má 2013+1+1=2015 jednotek.

Cvičení 1. Jakému číslu odpovídá 24 16 v desítkové soustavě?

Řešení.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Odpovědět. 24 16 = 36 10

Úkol 2. Je známo, že X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Jakou hodnotu má X v desítkové číselné soustavě?

Řešení.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Najděte číslo: X = 6 + 4 + 5 = 15

Odpovědět. X = 15 10

Úkol 3. Vypočítejte hodnotu součtu 10 2 + 45 8 + 10 16 v desítkovém zápisu.

Řešení.

Převedeme každý výraz do desítkové číselné soustavy:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Součet je: 2 + 37 + 16 = 55

Převod do binární číselné soustavy

Cvičení 1. Jaké je číslo 37 ve dvojkové soustavě?

Řešení.

Můžete převést dělením 2 a kombinováním zbytků v opačném pořadí.

Dalším způsobem je rozložit číslo na součet mocnin dvou, počínaje tou nejvyšší, jejíž vypočítaný výsledek je menší než dané číslo. Při převodu by měly být chybějící mocniny čísla nahrazeny nulami:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Odpovědět. 37 10 = 100101 2 .

Úkol 2. Kolik platných nul je v binárním zápisu desetinného čísla 73?

Řešení.

Rozložme číslo 73 na součet mocnin dvou, počínaje nejvyšší a následně vynásobíme chybějící mocniny nulami a stávající mocniny jednou:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Odpovědět. Binární reprezentace desetinného čísla 73 má čtyři platné nuly.

Úkol 3. Vypočítejte součet čísel x a y pro x = D2 16, y = 37 8. Uveďte výsledek v binární číselné soustavě.

Řešení.

Připomeňme, že každá číslice hexadecimálního čísla je tvořena čtyřmi binárními číslicemi, každá číslice osmičkového čísla třemi:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Sečteme výsledná čísla:

11010010 11111 -------- 11110001

Odpovědět. Součet čísel D2 16 a y = 37 8, reprezentovaných v binární číselné soustavě, je 11110001.

Úkol 4. Vzhledem k tomu: A= D7 16, b= 3318. Které číslo C, zapsaný v binární číselné soustavě, podmínku splňuje A< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Řešení.

Převedeme čísla do binární číselné soustavy:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

První čtyři číslice všech čísel jsou stejné (1101). Proto je srovnání zjednodušeno na porovnání spodních čtyř číslic.

První číslo ze seznamu se rovná číslu b, proto není vhodný.

Druhé číslo je větší než b. Třetí číslo je A.

Vhodné je pouze čtvrté číslo: 0111< 1000 < 1001.

Odpovědět.Čtvrtá možnost (11011000) podmínku splňuje A< c < b .

Úkoly určit hodnoty v různých číselných soustavách a jejich základech

Cvičení 1. Ke kódování znaků @, $, &, %, se používají dvoumístná sekvenční binární čísla. První znak odpovídá číslu 00. Pomocí těchto znaků byla zakódována následující sekvence: $%&&@$. Dekódujte tuto sekvenci a převeďte výsledek do hexadecimální číselné soustavy.

Řešení.

1. Porovnejme binární čísla se znaky, které kódují:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Převeďte binární číslo na hexadecimální číselnou soustavu:
0111 1010 0001 = 7A1

Odpovědět. 7A1 16.

Úkol 2. Na zahradě je 100 x ovocných stromů, z toho 33 x jabloní, 22 x hrušní, 16 x švestek, 17 x třešní. Jaký je základ číselné soustavy (x).

Řešení.

1. Všimněte si, že všechny termíny jsou dvouciferná čísla. V libovolném číselném systému mohou být reprezentovány takto:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, kde a a b jsou číslice odpovídajících číslic čísla.
Pro třímístné číslo by to bylo takto:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Stav problému je:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Dosadíme čísla do vzorců:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Vyřešte kvadratickou rovnici:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Druhá odmocnina z D je 11.
Kořeny kvadratické rovnice:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 nebo x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Záporné číslo nemůže být základem číselné soustavy. Proto se x může rovnat pouze 9.

Odpovědět. Požadovaný základ číselné soustavy je 9.

Úkol 3. V číselné soustavě s nějakým základem se desetinné číslo 12 zapisuje jako 110. Najděte tento základ.

Řešení.

Nejprve zapíšeme číslo 110 přes vzorec pro zápis čísel v pozičních číselných soustavách, abychom našli hodnotu v desítkové číselné soustavě, a poté hrubou silou najdeme základ.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Potřebujeme získat 12. Zkusme 2: 2 2 + 2 = 6. Zkuste 3: 3 2 + 3 = 12.

To znamená, že základ číselné soustavy je 3.

Odpovědět. Požadovaný základ číselné soustavy je 3.

Úkol 4. Ve které číselné soustavě by bylo desetinné číslo 173 reprezentováno jako 445?

Řešení.
Označme neznámou bázi jako X. Zapíšeme následující rovnici:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
S přihlédnutím k tomu, že jakékoli kladné číslo na nulovou mocninu je rovno 1, rovnici přepíšeme (základ 10 neuvedeme).
173 = 4*X2 + 4*X + 5
Takovou kvadratickou rovnici lze samozřejmě vyřešit pomocí diskriminantu, ale existuje jednodušší řešení. Odečtěte z pravé a levé strany 4. Dostaneme
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 nebo 13 2 = (2*X+1) 2
Odtud dostaneme 2*X +1 = 13 (zahodíme zápornou odmocninu). Nebo X = 6.
Odpověď: 173 10 = 445 6

Problémy s hledáním několika základen číselných soustav

Existuje skupina úloh, ve kterých je potřeba vypsat (ve vzestupném nebo sestupném pořadí) všechny základy číselných soustav, ve kterých reprezentace daného čísla končí danou číslicí. Tento problém je vyřešen zcela jednoduše. Nejprve je třeba odečíst danou číslici od původního čísla. Výsledné číslo bude prvním základem číselné soustavy. A všechny ostatní základy mohou být pouze děliteli tohoto čísla. (Toto tvrzení je prokázáno na základě pravidla pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé - viz odstavec 4). Jen si to zapamatujte základ číselné soustavy nemůže být menší než daná číslice!

Příklad
Oddělte je čárkami, ve vzestupném pořadí, označte všechny základy číselných soustav, ve kterých číslo 24 končí 3.

Řešení
24 – 3 =21 je první základ (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 je dělitelné 3 a 7. Číslo 3 není vhodné, protože V základním 3 číselném systému není žádná číslice 3.
Odpověď: 7, 21

V kurzech informatiky, bez ohledu na školu nebo univerzitu, je zvláštní místo věnováno takovému konceptu, jako jsou číselné soustavy. Zpravidla je na to určeno několik lekcí nebo praktických cvičení. Hlavním cílem je nejen zvládnutí základních pojmů z tématu, studium typů číselných soustav, ale také seznámení s binární, osmičkovou a šestnáctkovou aritmetikou.

Co to znamená?

Začněme definováním základního pojmu. Jak poznamenává učebnice "Informatika", číselná soustava je záznam čísel, který používá speciální abecedu nebo specifickou sadu čísel.

Podle toho, zda se hodnota číslice mění v závislosti na její pozici v čísle, existují dvě: poziční a nepoziční číselné soustavy.

V pozičních systémech se význam číslice mění s její pozicí v čísle. Pokud tedy vezmeme číslo 234, pak číslo 4 v něm znamená jednotky, ale pokud vezmeme v úvahu číslo 243, pak to již bude znamenat desítky, ne jednotky.

V nepozičních systémech je význam číslice statický, bez ohledu na její pozici v čísle. Nejnápadnějším příkladem je systém tyčí, kde je každá jednotka označena pomlčkou. Nezáleží na tom, kam tyč umístíte, hodnota čísla se změní pouze o jednu.

Nepolohové systémy

Nepoziční číselné soustavy zahrnují:

1. Jednotkový systém, který je považován za jeden z prvních. Místo čísel používal hůlky. Čím více jich bylo, tím větší byla hodnota čísla. Příklad takto psaných čísel najdete ve filmech, kde mluvíme o lidech ztracených na moři, vězních, kteří si každý den označují pomocí zářezů na kameni nebo stromě.
2. římské, ve kterém se místo číslic používala latinská písmena. Pomocí nich můžete napsat libovolné číslo. Navíc byla jeho hodnota určena pomocí součtu a rozdílu číslic, které číslo tvořily. Pokud bylo nalevo od číslice menší číslo, pak se levá číslice odečetla zprava a pokud byla číslice vpravo menší nebo rovna číslici vlevo, byly jejich hodnoty sečteny. Například číslo 11 bylo psáno jako XI a 9 - IX.
3. Abecední, ve kterém byla čísla označena pomocí abecedy určitého jazyka. Za jeden z nich je považován slovanský systém, v němž řada písmen měla nejen fonetický, ale i číselný význam.
4. ve kterém se pro psaní používaly pouze dva zápisy – klíny a šípy.
5. Egypt také používal speciální symboly k reprezentaci čísel. Při psaní čísla mohl být každý symbol použit maximálně devětkrát.

Polohové systémy

Velká pozornost je v informatice věnována pozičním číselným soustavám. Patří mezi ně následující:

• binární;
• osmičkový;
• desetinný;
• hexadecimální;
• sexagesimální, používá se při počítání času (např. minuta má 60 sekund, hodina 60 minut).

Každý z nich má svou abecedu pro psaní, pravidla pro překlad a provádění aritmetických operací.

Desetinná soustava

Tento systém je nám nejznámější. K zápisu čísel používá čísla 0 až 9. Říká se jim také arabština. V závislosti na pozici číslice v čísle může označovat různé číslice - jednotky, desítky, stovky, tisíce nebo miliony. Používáme to všude, známe základní pravidla, podle kterých se provádějí aritmetické operace s čísly.

Binární systém

Jedním z hlavních číselných systémů v informatice je binární. Jeho jednoduchost umožňuje počítači provádět těžkopádné výpočty několikrát rychleji než v desítkové soustavě.

Pro zápis čísel se používají pouze dvě číslice - 0 a 1. Navíc v závislosti na pozici 0 nebo 1 v čísle se jeho hodnota mění.

Zpočátku získávali všechny potřebné informace pomocí počítačů. V tomto případě jednička znamenala přítomnost signálu přenášeného pomocí napětí a nula jeho nepřítomnost.

Osmičková soustava

Další známá počítačová číselná soustava, která používá čísla od 0 do 7. Používala se především v těch oblastech znalostí, které jsou spojeny s digitálními zařízeními. V poslední době se však používá mnohem méně často, protože byl nahrazen hexadecimálním číselným systémem.

Binární desítková soustava

Reprezentace velkých čísel ve dvojkové soustavě je pro člověka poměrně komplikovaný proces. Pro zjednodušení byl vyvinut.Obvykle se používá v elektronických hodinkách a kalkulačkách. V této soustavě se nepřevádí celé číslo z desítkové soustavy do dvojkové soustavy, ale každá číslice se převádí na odpovídající sadu nul a jedniček ve dvojkové soustavě. Převod z binárního na desítkové probíhá podobným způsobem. Každá číslice, reprezentovaná jako čtyřmístná sada nul a jedniček, je převedena na číslici v desítkové soustavě. V zásadě není nic složitého.

Pro práci s čísly v tomto případě bude užitečná tabulka číselných soustav, která bude označovat shodu mezi čísly a jejich binárním kódem.

Hexadecimální soustava

V poslední době je hexadecimální číselný systém stále populárnější v programování a informatice. Používá nejen čísla od 0 do 9, ale také řadu latinských písmen - A, B, C, D, E, F.

Přitom každé z písmen má svůj význam, takže A=10, B=11, C=12 a tak dále. Každé číslo je reprezentováno jako sada čtyř znaků: 001F.

Převod čísel: z desítkové na binární

Překlad v číselných soustavách probíhá podle určitých pravidel. Nejběžnější převod je z dvojkové do desítkové soustavy a naopak.

Aby bylo možné převést číslo z desítkové soustavy do dvojkové, je nutné je postupně dělit základem číselné soustavy, tedy číslem dvě. V tomto případě musí být zaznamenán zbytek každého oddílu. To se bude dít, dokud nebude zbytek dělení menší nebo roven jedné. Nejlepší je provádět výpočty ve sloupci. Výsledné zbytky po dělení se pak zapisují na řádek v obráceném pořadí.

Převeďme například číslo 9 na binární:

Dělíme 9, protože číslo není dělitelné celkem, pak vezmeme číslo 8, zbytek bude 9 - 1 = 1.

Po vydělení 8 dvěma dostaneme 4. Vydělte to znovu, protože číslo je dělitelné celým číslem - dostaneme zbytek 4 - 4 = 0.

Provedeme stejnou operaci s 2. Zbytek je 0.

V důsledku dělení dostaneme 1.

Bez ohledu na konečnou číselnou soustavu proběhne převod čísel z desítkové na jakoukoli jinou podle principu dělení čísla základem poziční soustavy.

Převod čísel: z binárních na desítkové

Převést čísla do desítkové číselné soustavy z dvojkové soustavy je celkem snadné. K tomu stačí znát pravidla pro navyšování počtů k mocninám. V tomto případě na sílu dvou.

Algoritmus překladu je následující: každá číslice z kódu binárního čísla musí být vynásobena dvěma a první dvě budou umocněny m-1, druhá - m-2 atd., kde m je počet číslic v kódu. Poté přidejte výsledky sčítání, abyste získali celé číslo.

Pro školáky lze tento algoritmus vysvětlit jednodušeji:

Pro začátek vezmeme a zapíšeme každou číslici vynásobenou dvěma, pak uvedeme mocninu dvou od konce, počínaje nulou. Výsledné číslo pak sečteme.

Jako příklad si rozebereme dříve získané číslo 1001, převedeme ho do desítkové soustavy a zároveň zkontrolujeme správnost našich výpočtů.

Bude to vypadat takto:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Při studiu tohoto tématu je vhodné použít tabulku s mocninami dvou. Tím se výrazně zkrátí doba potřebná k provedení výpočtů.

Další možnosti překladu

V některých případech lze překlad provést mezi binárními a osmičkovými číselnými soustavami, binárními a hexadecimálními. V tomto případě můžete použít speciální tabulky nebo spustit na počítači aplikaci kalkulačky výběrem možnosti „Programátor“ na kartě Zobrazit.

Aritmetické operace

Bez ohledu na formu, ve které je číslo prezentováno, lze jej použít k provádění výpočtů, které jsou nám známé. Může to být dělení a násobení, odčítání a sčítání ve vámi zvolené číselné soustavě. Každý z nich má samozřejmě svá pravidla.

Takže pro binární systém byly pro každou z operací vyvinuty jeho vlastní tabulky. Stejné stoly se používají i v jiných polohových systémech.

Není potřeba se je učit nazpaměť – stačí si je vytisknout a mít je po ruce. Můžete také použít kalkulačku na vašem PC.

Jedním z nejdůležitějších témat v informatice je číselná soustava. Znalost tohoto tématu, porozumění algoritmům pro převod čísel z jednoho systému do druhého je klíčem k tomu, že budete schopni porozumět složitějším tématům, jako je algoritmizace a programování, a budete schopni sami napsat svůj první program.