Oblast vzorce rovnoběžníku na dvou stranách. Jak najít oblast rovnoběžníku

Než se naučíme, jak najít oblast rovnoběžníku, musíme si zapamatovat, co je rovnoběžník a jak se nazývá jeho výška. Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou po párech rovnoběžné (leží na rovnoběžných přímkách). Kolmice vedená z libovolného bodu na opačné straně k přímce obsahující tuto stranu se nazývá výška rovnoběžníku.

Čtverec, obdélník a kosočtverec jsou speciální případy rovnoběžníku.

Plocha rovnoběžníku je označena jako (S).

Vzorce pro nalezení oblasti rovnoběžníku

S=a*h, kde a je základna, h je výška vykreslená k základně.

S=a*b*sinα, kde a a b jsou základny a α je úhel mezi základnami a a b.

S =p*r, kde p je půlobvod, r je poloměr kružnice, která je vepsána do rovnoběžníku.

Plocha rovnoběžníku, která je tvořena vektory a a b, se rovná modulu součinu daných vektorů, a to:

Uvažujme příklad č. 1: Dáme-li rovnoběžník, jehož strana je 7 cm a výška 3 cm. Jak najít plochu rovnoběžníku, potřebujeme vzorec pro řešení.

Tedy S = 7x3. S=21. Odpověď: 21 cm 2.

Uvažujme příklad č. 2: Dané základny jsou 6 a 7 cm a také je dán úhel mezi základnami 60 stupňů. Jak najít oblast rovnoběžníku? Vzorec používaný k řešení:

Nejprve tedy najdeme sinus úhlu. Sinus 60 = 0,5, respektive S = 6*7*0,5=21 Odpověď: 21 cm 2.

Doufám, že vám tyto příklady pomohou při řešení problémů. A pamatujte, hlavní věcí je znalost vzorců a pozornost

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož strany jsou rovnoběžné ve dvojicích.

Na tomto obrázku jsou opačné strany a úhly stejné. Úhlopříčky rovnoběžníku se protínají v jednom bodě a půlí jej. Vzorce pro oblast rovnoběžníku vám umožňují najít hodnotu pomocí stran, výšky a úhlopříček. Ve zvláštních případech může být předložen i paralelogram. Jsou považovány za obdélník, čtverec a kosočtverec.
Nejprve se podívejme na příklad výpočtu plochy rovnoběžníku podle výšky a strany, na kterou je spuštěn.

Tento případ je považován za klasický a nevyžaduje další vyšetřování. Je lepší zvážit vzorec pro výpočet plochy přes dvě strany a úhel mezi nimi. Stejná metoda se používá při výpočtech. Pokud jsou uvedeny strany a úhel mezi nimi, pak se plocha vypočítá takto:

Předpokládejme, že máme rovnoběžník o stranách a = 4 cm, b = 6 cm, úhel mezi nimi je α = 30°. Pojďme najít oblast:

Plocha rovnoběžníku přes úhlopříčky

Vzorec pro oblast rovnoběžníku pomocí úhlopříček umožňuje rychle najít hodnotu.
Pro výpočty budete potřebovat velikost úhlu umístěného mezi úhlopříčkami.

Podívejme se na příklad výpočtu plochy rovnoběžníku pomocí úhlopříček. Nechť je dán rovnoběžník s úhlopříčkami D = 7 cm, d = 5 cm, úhel mezi nimi je α = 30°. Dosadíme data do vzorce:

Příklad výpočtu plochy rovnoběžníku přes úhlopříčku nám poskytl vynikající výsledek - 8,75.

Znáte-li vzorec pro oblast rovnoběžníku přes úhlopříčku, můžete vyřešit mnoho zajímavých problémů. Podívejme se na jeden z nich.

Úkol: Je dán rovnoběžník o ploše 92 metrů čtverečních. viz Bod F se nachází uprostřed jeho strany BC. Pojďme najít oblast lichoběžníku ADFB, která bude ležet v našem rovnoběžníku. Nejprve si vylosujme vše, co jsme dostali podle podmínek.
Pojďme k řešení:

Podle našich podmínek ah = 92, a tedy plocha našeho lichoběžníku bude rovna

Plocha rovnoběžníku

Věta 1

Plocha rovnoběžníku je definována jako součin délky jeho strany a výšky k němu přitažené.

kde $a$ je strana rovnoběžníku, $h$ je výška nakreslená na tuto stranu.

Důkaz.

Dostaneme rovnoběžník $ABCD$ s $AD=BC=a$. Nakreslíme výšky $DF$ a $AE$ (obr. 1).

Obrázek 1.

Je zřejmé, že údaj $FDAE$ je obdélník.

\[\úhel BAE=(90)^0-\úhel A,\ \] \[\úhel CDF=\úhel D-(90)^0=(180)^0-\úhel A-(90)^0 =(90)^0-\úhel A=\úhel BAE\]

V důsledku toho, protože $CD=AB,\ DF=AE=h$, podle kritéria $I$ pro rovnost trojúhelníků $\triangle BAE=\trojúhelník CDF$. Pak

Takže podle věty o ploše obdélníku:

Věta byla prokázána.

Věta 2

Plocha rovnoběžníku je definována jako součin délky jeho přilehlých stran krát sinus úhlu mezi těmito stranami.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a,\ b$ jsou strany rovnoběžníku, $\alpha $ je úhel mezi nimi.

Důkaz.

Dostaneme rovnoběžník $ABCD$ s $BC=a,\ CD=b,\ \úhel C=\alpha $. Nakreslíme výšku $DF=h$ (obr. 2).

Obrázek 2

Definicí sinusu dostáváme

Proto

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Oblast trojúhelníku

Věta 3

Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho strany a nadmořské výšky k němu přitažené.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a$ je strana trojúhelníku, $h$ je výška nakreslená na tuto stranu.

Důkaz.

Obrázek 3

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Věta 4

Plocha trojúhelníku je definována jako polovina součinu délky jeho sousedních stran a sinusu úhlu mezi těmito stranami.

Matematicky to lze zapsat následovně

kde $a,\b$ jsou strany trojúhelníku, $\alpha$ je úhel mezi nimi.

Důkaz.

Dostaneme trojúhelník $ABC$ s $AB=a$. Zjistíme výšku $CH=h$. Sestavme jej na rovnoběžník $ABCD$ (obr. 3).

Je zřejmé, že podle kritéria $I$ pro rovnost trojúhelníků $\triangle ACB=\triangle CDB$. Pak

Takže podle teorému $1$:

Věta byla prokázána.

Oblast lichoběžníku

Věta 5

Plocha lichoběžníku je definována jako polovina součinu součtu délek jeho základen a jeho výšky.

Matematicky to lze zapsat následovně

Důkaz.

Dostaneme lichoběžník $ABCK$, kde $AK=a,\ BC=b$. Zakreslete do něj výšky $BM=h$ a $KP=h$ a také úhlopříčku $BK$ (obr. 4).

Obrázek 4.

Podle věty $3$, dostáváme

Věta byla prokázána.

Ukázkový úkol

Příklad 1

Najděte obsah rovnostranného trojúhelníku, pokud je jeho délka strany $a.$

Řešení.

Protože je trojúhelník rovnostranný, všechny jeho úhly jsou rovny $(60)^0$.

Pak, podle věty $4$, máme

Odpovědět:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Všimněte si, že výsledek tohoto problému lze použít k nalezení oblasti libovolného rovnostranného trojúhelníku s danou stranou.

Stejně jako v euklidovské geometrii jsou bod a přímka hlavními prvky teorie rovin, tak je rovnoběžník jedním z klíčových obrazců konvexních čtyřúhelníků. Z něj, jako vlákna z koule, plynou pojmy „obdélník“, „čtverec“, „kosočtverec“ a další geometrické veličiny.

V kontaktu s

Definice rovnoběžníku

konvexní čtyřúhelník, sestávající ze segmentů, z nichž každý pár je rovnoběžný, je v geometrii známý jako rovnoběžník.

Jak vypadá klasický rovnoběžník, znázorňuje čtyřúhelník ABCD. Strany se nazývají základny (AB, BC, CD a AD), kolmice vedená z libovolného vrcholu na stranu protilehlou tomuto vrcholu se nazývá výška (BE a BF), úsečky AC a BD se nazývají úhlopříčky.

Pozornost!Čtverec, kosočtverec a obdélník jsou speciální případy rovnoběžníku.

Strany a úhly: rysy vztahu

Klíčové vlastnosti, celkově předem určeno samotným označením, jsou dokázány větou. Tyto vlastnosti jsou následující:

1. Protilehlé strany jsou ve dvojicích shodné.
2. Úhly proti sobě jsou ve dvojicích stejné.

Důkaz: Uvažujme ∆ABC a ∆ADC, které získáme dělením čtyřúhelníku ABCD přímkou ​​AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, protože AC je pro ně společný (svislé úhly pro BC||AD a AB||CD, v tomto pořadí). Z toho vyplývá: ∆ABC = ∆ADC (druhé znaménko rovnosti trojúhelníků).

Úsečky AB a BC v ∆ABC odpovídají v párech čarám CD a AD v ∆ADC, což znamená, že jsou totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B tedy odpovídá ∠D a jsou si rovny. Protože ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, které jsou také párově totožné, pak ∠A = ∠C. Nemovitost byla prokázána.

Charakteristika úhlopříček obrazce

Hlavní rys těchto čar rovnoběžníku: průsečík je rozděluje na polovinu.

Důkaz: Nechť je průsečík úhlopříček AC a BD na obrázku ABCD. Tvoří dva souměrné trojúhelníky - ∆ABE a ∆CDE.

AB=CD, protože jsou protiklady. Podle čar a seč je ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.

Podle druhého kritéria rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE: AE = CE, BE = DE a zároveň jsou proporcionálními částmi AC a BD. Nemovitost byla prokázána.

Vlastnosti sousedních rohů

Sousední strany mají součet úhlů rovný 180°, protože leží na stejné straně rovnoběžných čar a příčných. Pro čtyřúhelník ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vlastnosti ose:

1. , spuštěné na jednu stranu, jsou kolmé;
2. opačné vrcholy mají rovnoběžné osy;
3. trojúhelník získaný nakreslením osy bude rovnoramenný.

Určení charakteristických znaků rovnoběžníku pomocí věty

Charakteristika tohoto obrázku vyplývá z jeho hlavní věty, která říká následující: čtyřúhelník je považován za rovnoběžník v případě, že se jeho úhlopříčky protnou, a tento bod je rozdělí na stejné segmenty.

Důkaz: ať se přímky AC a BD čtyřúhelníku ABCD protnou v t.j. Protože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, pak ∆AED = ∆BEC (podle prvního kritéria pro rovnost trojúhelníků). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Jsou to také vnitřní příčné úhly sečny AC pro čáry AD a BC. Tedy podle definice paralelismu - AD || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Podobná vlastnost linií BC a CD je také odvozena. Věta byla prokázána.

Výpočet plochy obrázku

Oblast tohoto obrázku nalézt několika metodami jeden z nejjednodušších: vynásobení výšky a základny, do které se kreslí.

Důkaz: nakreslete kolmice BE a CF z vrcholů B a C. ∆ABE a ∆DCF jsou stejné, protože AB = CD a BE = CF. ABCD má stejnou velikost jako obdélník EBCF, protože se skládají z odpovídajících čísel: S ABE a S EBCD, stejně jako S DCF a S EBCD. Z toho vyplývá, že plocha tohoto geometrického útvaru je stejná jako plocha obdélníku:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Abychom určili obecný vzorec pro oblast rovnoběžníku, označme výšku jako hb a boční - b. Respektive:

Jiné způsoby, jak najít oblast

Výpočty ploch přes strany rovnoběžníku a úhlu, kterou tvoří, je druhou známou metodou.

,

Spr-ma - oblast;

a a b jsou jeho strany

α je úhel mezi segmenty a a b.

Tato metoda prakticky vychází z první, ale v případě, že není známa. vždy odřízne pravoúhlý trojúhelník, jehož parametry jsou nalezeny pomocí goniometrických identit, tzn. Transformací vztahu dostaneme . V rovnici prvního způsobu nahradíme výšku tímto součinem a získáme důkaz platnosti tohoto vzorce.

Přes úhlopříčky rovnoběžníku a úhlu, které vytvářejí, když se protínají, můžete také najít oblast.

Důkaz: AC a BD se protínají a tvoří čtyři trojúhelníky: ABE, BEC, CDE a AED. Jejich součet se rovná ploše tohoto čtyřúhelníku.

Plochu každého z těchto ∆ lze nalézt výrazem , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , výpočty používají jednu sinusovou hodnotu. To je . Protože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2, vzorec plochy se redukuje na:

.

Aplikace ve vektorové algebře

Vlastnosti jednotlivých částí tohoto čtyřúhelníku našly uplatnění ve vektorové algebře, konkrétně sčítání dvou vektorů. Pravidlo rovnoběžníku říká, že pokud jsou dané vektoryANejsou kolineární, pak se jejich součet bude rovnat úhlopříčce tohoto obrazce, jehož základny odpovídají těmto vektorům.

Důkaz: z libovolně zvoleného začátku - tzn. - konstrukce vektorů a . Dále sestrojíme rovnoběžník OASV, kde segmenty OA a OB jsou strany. OS tedy leží na vektoru nebo součtu.

Vzorce pro výpočet parametrů rovnoběžníku

Totožnosti jsou uvedeny za následujících podmínek:

1. a a b, α - strany a úhel mezi nimi;
2. d 1 a d 2, γ - úhlopříčky a v bodě jejich průsečíku;
3. ha a h b - výšky snížené na strany a a b;

Parametr	Vzorec
Hledání stran
podél úhlopříček a kosinus úhlu mezi nimi
podél úhlopříček a stran
přes výšku a protilehlý vrchol
Zjištění délky úhlopříček
na stranách a velikost vrcholu mezi nimi
po stranách a jedné z úhlopříček	 Závěr Rovnoběžník, jako jedna z klíčových postav geometrie, se používá v životě, například ve stavebnictví při výpočtu plochy místa nebo jiných měření. Proto mohou být znalosti o charakteristických rysech a metodách výpočtu jeho různých parametrů užitečné kdykoli v životě.

Při řešení problémů na toto téma kromě základní vlastnosti rovnoběžník a odpovídající vzorce, můžete si zapamatovat a použít následující:

1. Osa vnitřního úhlu rovnoběžníku z něj odřízne rovnoramenný trojúhelník
2. Osy vnitřních úhlů sousedících s jednou ze stran rovnoběžníku jsou vzájemně kolmé
3. Osy vycházející z protilehlých vnitřních rohů rovnoběžníku jsou vzájemně rovnoběžné nebo leží na stejné přímce
4. Součet čtverců úhlopříček rovnoběžníku se rovná součtu čtverců jeho stran
5. Plocha rovnoběžníku se rovná polovině součinu úhlopříček a sinusu úhlu mezi nimi

Podívejme se na problémy, ve kterých se tyto vlastnosti používají.

Úkol 1.

Osa úhlu C rovnoběžníku ABCD protíná stranu AD v bodě M a pokračování strany AB za bodem A v bodě E. Najděte obvod rovnoběžníku, pokud AE = 4, DM = 3.

Řešení.

1. Trojúhelník CMD je rovnoramenný. (Vlastnost 1). Proto CD = MD = 3 cm.

2. Trojúhelník EAM je rovnoramenný.
Proto AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Obvod ABCD = 20 cm.

Odpovědět. 20 cm.

Úkol 2.

Úhlopříčky jsou nakresleny v konvexním čtyřúhelníku ABCD. Je známo, že plochy trojúhelníků ABD, ACD, BCD jsou stejné. Dokažte, že tento čtyřúhelník je rovnoběžník.

Řešení.

1. Nechť BE je výška trojúhelníku ABD, CF je výška trojúhelníku ACD. Protože podle podmínek úlohy jsou obsahy trojúhelníků stejné a mají společnou základnu AD, pak jsou výšky těchto trojúhelníků stejné. BE = CF.

2. BE, CF jsou kolmé k AD. Body B a C jsou umístěny na stejné straně vzhledem k přímce AD. BE = CF. Proto přímka BC || INZERÁT. (*)

3. Nechť AL je výška trojúhelníku ACD, BK výška trojúhelníku BCD. Protože podle podmínek úlohy jsou obsahy trojúhelníků stejné a mají společnou základnu CD, pak jsou výšky těchto trojúhelníků stejné. AL = BK.

4. AL a BK jsou kolmé k CD. Body B a A jsou umístěny na stejné straně vzhledem k přímce CD. AL = BK. Proto přímka AB || CD (**)

5. Z podmínek (*), (**) vyplývá, že ABCD je rovnoběžník.

Odpovědět. Osvědčený. ABCD je rovnoběžník.

Úkol 3.

Na stranách BC a CD rovnoběžníku ABCD jsou označeny body M a H tak, že se segmenty BM a HD protínají v bodě O;<ВМD = 95 о,