Oblast trojúhelníkové pyramidy. Jak vypočítat plochu pyramidy: základnu, stranu a celkovou? Obvod základny pravidelné pyramidy

Pyramida, jejíž základna je pravidelný šestiúhelník a jejíž strany jsou tvořeny pravidelnými trojúhelníky, se nazývá šestiúhelníkový.

Tento mnohostěn má mnoho vlastností:

• Všechny strany a úhly základny jsou si navzájem rovné;
• Všechny hrany a dihedrální uhlíky pyramidy jsou si rovny;
• Trojúhelníky tvořící strany jsou stejné, respektive mají stejné plochy, strany a výšky.

Pro výpočet plochy pravidelné šestihranné pyramidy se používá standardní vzorec pro boční plochu šestihranné pyramidy:

kde P je obvod základny, a je délka apotému pyramidy. Ve většině případů můžete vypočítat boční plochu pomocí tohoto vzorce, ale někdy můžete použít jinou metodu. Protože boční plochy pyramidy jsou tvořeny stejnými trojúhelníky, můžete najít plochu jednoho trojúhelníku a poté ji vynásobit počtem stran. V šestihranném jehlanu je jich 6. Tuto metodu však lze použít i při výpočtu. Uvažujme příklad výpočtu boční plochy šestihranného jehlanu.

Nechť je dán pravidelný šestiboký jehlan, ve kterém apotém je a = 7 cm, strana základny je b = 3 cm. Vypočítejte plochu boční plochy mnohostěnu.
Nejprve najdeme obvod základny. Jelikož je pyramida pravidelná, je na její základně pravidelný šestiúhelník. To znamená, že všechny jeho strany jsou stejné a obvod se vypočítá podle vzorce:
Dosaďte data do vzorce:
Nyní můžeme snadno zjistit plochu bočního povrchu dosazením nalezené hodnoty do základního vzorce:

Důležité je také hledání základní oblasti. Vzorec pro oblast základny šestiúhelníkové pyramidy je odvozen z vlastností pravidelného šestiúhelníku:

Uvažujme příklad výpočtu plochy základny šestihranného jehlanu, přičemž za základ vezměme podmínky z předchozího příkladu. Z nich víme, že strana základny b = 3 cm. Dosaďte data do vzorce :

Vzorec pro oblast šestihranné pyramidy je součtem plochy základny a bočního skenování:

Podívejme se na příklad výpočtu plochy šestihranné pyramidy.

Nechť je dán jehlan, na jehož základně leží pravidelný šestiúhelník o straně b = 4 cm.Apotéma daného mnohostěnu je a = 6 cm. Určete celkovou plochu.
Víme, že celková plocha se skládá ze základní a boční skenovací oblasti. Pojďme je tedy nejprve najít. Vypočítáme obvod:

Nyní najdeme oblast bočního povrchu:

Dále vypočítáme plochu základny, ve které leží pravidelný šestiúhelník:

Nyní můžeme sečíst výsledky:

Definice. Boční okraj- je to trojúhelník, ve kterém jeden úhel leží na vrcholu jehlanu a protilehlá strana se shoduje se stranou základny (polygonu).

Definice. Boční žebra- to jsou společné strany bočních ploch. Pyramida má tolik hran, kolik je úhlů mnohoúhelníku.

Definice. Výška pyramidy- jedná se o kolmici spuštěnou z vrcholu k základně pyramidy.

Definice. Apotém- toto je kolmice k boční stěně jehlanu, spuštěná z vrcholu jehlanu ke straně základny.

Definice. Diagonální řez- jedná se o řez jehlanem rovinou procházející vrcholem jehlanu a úhlopříčkou podstavy.

Definice. Správná pyramida je pyramida, jejíž základna je pravidelný mnohoúhelník a výška klesá do středu základny.

Objem a povrch pyramidy

Vzorec. Objem pyramidy přes základní plochu a výšku:

Vlastnosti pyramidy

Pokud jsou všechny boční hrany stejné, lze kolem základny jehlanu nakreslit kruh a střed základny se shoduje se středem kruhu. Středem základny (kruhu) prochází také kolmice shozená shora.

Pokud jsou všechny boční hrany stejné, jsou nakloněny k rovině základny pod stejnými úhly.

Boční hrany jsou stejné, když svírají stejné úhly s rovinou základny nebo pokud lze kolem základny jehlanu popsat kruh.

Pokud jsou boční plochy nakloněny k rovině základny pod stejným úhlem, pak lze do základny jehlanu vepsat kružnici a vrchol jehlanu se promítne do jejího středu.

Pokud jsou boční plochy nakloněny k rovině základny pod stejným úhlem, pak jsou apotémy bočních ploch stejné.

Vlastnosti pravidelné pyramidy

1. Vrchol pyramidy je ve stejné vzdálenosti od všech rohů základny.

2. Všechny boční hrany jsou stejné.

3. Všechna boční žebra jsou nakloněna ve stejných úhlech k základně.

4. Apotémy všech bočních stěn jsou stejné.

5. Plochy všech bočních ploch jsou stejné.

6. Všechny plochy mají stejné dihedrální (ploché) úhly.

7. Kolem pyramidy lze popsat kouli. Střed opsané koule bude průsečíkem kolmiček, které procházejí středem hran.

8. Kouli můžete vměstnat do pyramidy. Střed vepsané koule bude průsečíkem os vycházejících z úhlu mezi okrajem a základnou.

9. Pokud se střed vepsané koule shoduje se středem opsané koule, pak je součet rovinných úhlů ve vrcholu roven π nebo naopak, jeden úhel je roven π/n, kde n je číslo úhlů na základně pyramidy.

Spojení mezi pyramidou a koulí

Kouli lze popsat kolem pyramidy, když na základně pyramidy je mnohostěn, kolem kterého lze popsat kruh (nutná a postačující podmínka). Střed koule bude průsečíkem rovin procházejících kolmo středy bočních hran jehlanu.

Vždy je možné popsat kouli kolem jakékoli trojúhelníkové nebo pravidelné pyramidy.

Koule může být vepsána do jehlanu, pokud se osové roviny vnitřních dihedrálních úhlů jehlanu protínají v jednom bodě (nutná a postačující podmínka). Tento bod bude středem koule.

Spojení pyramidy s kuželem

Říká se, že kužel je vepsán do jehlanu, pokud se jejich vrcholy shodují a základna kužele je vepsána do základny jehlanu.

Kužel může být vepsán do pyramidy, pokud jsou apotémy pyramidy navzájem stejné.

Říká se, že kužel je opsán kolem pyramidy, pokud se jejich vrcholy shodují a základna kužele je opsána kolem základny pyramidy.

Kužel lze popsat kolem jehlanu, pokud jsou všechny boční okraje jehlanu stejné.

Vztah mezi pyramidou a válcem

Jehlan se nazývá vepsaný do válce, pokud vrchol jehlanu leží na jedné základně válce a základna jehlanu je vepsána do jiné základny válce.

Válec může být popsán kolem pyramidy, pokud lze popsat kruh kolem základny pyramidy.

Čtyřstěn má čtyři plochy a čtyři vrcholy a šest hran, kde žádné dvě hrany nemají společné vrcholy, ale nedotýkají se.

Každý vrchol se skládá ze tří ploch a hran, které tvoří trojúhelníkový úhel.

Úsek spojující vrchol čtyřstěnu se středem protější plochy se nazývá medián čtyřstěnu(GM).

Bimedián nazývaný segment spojující středy protilehlých hran, které se nedotýkají (KL).

Všechny bimediány a mediány čtyřstěnu se protínají v jednom bodě (S). V tomto případě jsou bimediány rozděleny na polovinu a mediány jsou rozděleny v poměru 3:1 počínaje shora.

Definice. Akutní úhlová pyramida- pyramida, ve které má apotéma více než polovinu délky strany základny.

Definice. Tupá pyramida- pyramida, ve které je apotém menší než polovina délky strany základny.

Definice. Pravidelný čtyřstěn- čtyřstěn, ve kterém jsou všechny čtyři stěny rovnostranné trojúhelníky. Je to jeden z pěti pravidelných mnohoúhelníků. V pravidelném čtyřstěnu jsou všechny dihedrální úhly (mezi plochami) a trojstěnné úhly (ve vrcholu) stejné.

Definice. Obdélníkový čtyřstěn se nazývá čtyřstěn, ve kterém mezi třemi hranami na vrcholu je pravý úhel (hrany jsou kolmé). Tvoří se tři tváře obdélníkový trojúhelníkový úhel a plochy jsou pravoúhlé trojúhelníky a základna je libovolný trojúhelník. Apotém jakékoli tváře se rovná polovině strany základny, na kterou padá apotém.

Definice. Izoedrický čtyřstěn se nazývá čtyřstěn, jehož boční strany jsou si navzájem stejné a základna je pravidelný trojúhelník. Takový čtyřstěn má stěny, které jsou rovnoramennými trojúhelníky.

Definice. Ortocentrický čtyřstěn se nazývá čtyřstěn, ve kterém se všechny výšky (kolmice), které jsou sníženy shora na protější plochu, protínají v jednom bodě.

Definice. Hvězdná pyramida nazývaný mnohostěn, jehož základnou je hvězda.

Při přípravě na Jednotnou státní zkoušku z matematiky musí studenti systematizovat své znalosti z algebry a geometrie. Chtěl bych zkombinovat všechny známé informace, například o tom, jak vypočítat plochu pyramidy. Navíc, počínaje od základny a bočních hran až po celou plochu. Pokud je situace s bočními plochami jasná, protože se jedná o trojúhelníky, pak je základna vždy jiná.

Jak najít oblast základny pyramidy?

Může to být absolutně jakýkoli obrázek: od libovolného trojúhelníku po n-úhelník. A tato základna, kromě rozdílu v počtu úhlů, může být pravidelná postava nebo nepravidelná. V úkolech Jednotné státní zkoušky, které zajímají školáky, jsou na základně pouze úkoly se správnými figurami. Proto budeme hovořit pouze o nich.

Pravidelný trojúhelník

Tedy rovnostranné. Ten, ve kterém jsou všechny strany stejné a jsou označeny písmenem „a“. V tomto případě se plocha základny pyramidy vypočítá podle vzorce:

S = (a 2 * √3) / 4.

Náměstí

Vzorec pro výpočet jeho plochy je nejjednodušší, zde „a“ je opět strana:

Libovolný pravidelný n-úhelník

Strana mnohoúhelníku má stejný zápis. Pro počet úhlů se používá latinské písmeno n.

S = (n* a 2) / (4* tg (180°/n)).

Co dělat při výpočtu boční a celkové plochy?

Protože základna je pravidelná postava, jsou všechny strany pyramidy stejné. Navíc je každý z nich rovnoramenný trojúhelník, protože boční hrany jsou stejné. Poté, abyste mohli vypočítat boční plochu pyramidy, budete potřebovat vzorec sestávající ze součtu identických monomiálů. Počet členů je určen počtem stran základny.

Plocha rovnoramenného trojúhelníku se vypočítá podle vzorce, ve kterém se polovina součinu základny vynásobí výškou. Tato výška v pyramidě se nazývá apotém. Jeho označení je „A“. Obecný vzorec pro boční povrch je:

S = ½ P*A, kde P je obvod základny jehlanu.

Existují situace, kdy nejsou známy strany základny, ale jsou dány boční hrany (c) a plochý úhel na jejím vrcholu (α). Poté musíte pro výpočet boční plochy pyramidy použít následující vzorec:

S = n/2 * ve 2 sin α .

Úkol č. 1

Stav. Najděte celkovou plochu pyramidy, pokud její základna má stranu 4 cm a apotém má hodnotu √3 cm.

Řešení. Musíte začít výpočtem obvodu základny. Protože se jedná o pravidelný trojúhelník, pak P = 3*4 = 12 cm. Protože je známá apotéma, můžeme okamžitě vypočítat plochu celého bočního povrchu: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pro trojúhelník na základně získáte následující hodnotu plochy: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Chcete-li určit celou plochu, budete muset sečíst dvě výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odpovědět. 10√3 cm 2.

Problém č. 2

Stav. Je zde pravidelný čtyřboký jehlan. Délka základní strany je 7 mm, boční hrana je 16 mm. Je nutné zjistit jeho povrch.

Řešení. Protože mnohostěn je čtyřúhelníkový a pravidelný, jeho základna je čtverec. Jakmile budete znát plochu základny a bočních ploch, budete moci vypočítat plochu pyramidy. Vzorec pro čtverec je uveden výše. A pro boční plochy jsou známy všechny strany trojúhelníku. K výpočtu jejich ploch tedy můžete použít Heronův vzorec.

První výpočty jsou jednoduché a vedou k následujícímu číslu: 49 mm 2. Pro druhou hodnotu budete muset vypočítat poloobvod: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Nyní můžete vypočítat plochu rovnoramenného trojúhelníku: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Takové trojúhelníky jsou pouze čtyři, takže při výpočtu konečného čísla jej budete muset vynásobit 4.

Ukazuje se: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Odpovědět. Požadovaná hodnota je 267,576 mm2.

Problém č. 3

Stav. U pravidelného čtyřbokého jehlanu je třeba vypočítat plochu. Strana čtverce je známá jako 6 cm a výška je 4 cm.

Řešení. Nejjednodušší je použít vzorec se součinem obvodu a apotému. První hodnotu lze snadno najít. Druhý je trochu složitější.

Budeme si muset zapamatovat Pythagorovu větu a uvažovat Je tvořena výškou pyramidy a apotémou, což je přepona. Druhá větev se rovná polovině strany čtverce, protože výška mnohostěnu spadá do jeho středu.

Požadovaná apotéma (přepona pravoúhlého trojúhelníku) je rovna √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Nyní můžete vypočítat požadovanou hodnotu: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Odpovědět. 96 cm2.

Problém č. 4

Stav. Správná strana je dána Strany její základny jsou 22 mm, boční hrany jsou 61 mm. Jaká je boční plocha tohoto mnohostěnu?

Řešení.Úvaha v ní je stejná jako u úkolu č. 2. Pouze tam byla dána pyramida se čtvercem na základně a nyní je to šestiúhelník.

Nejprve se základní plocha vypočítá pomocí výše uvedeného vzorce: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm2.

Nyní musíte zjistit půlobvod rovnoramenného trojúhelníku, což je boční plocha. (22+61*2):2 = 72 cm. Zbývá pouze použít Heronův vzorec k výpočtu plochy každého takového trojúhelníku a poté jej vynásobit šesti a přidat k tomu, který byl získán pro základnu.

Výpočty pomocí Heronova vzorce: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Výpočty, které poskytnou plochu bočního povrchu: 660 * 6 = 3960 cm2. Zbývá je sečíst, abychom zjistili celý povrch: 5217,47≈5217 cm 2.

Odpovědět. Základna je 726√3 cm2, boční plocha je 3960 cm2, celá plocha je 5217 cm2.