Vypočítejte úhel 30 stupňů. Strany trojúhelníku

Trojúhelník je geometrické číslo sestávající ze tří segmentů, které spojují tři body, které neleží na stejné přímce. Body, které tvoří trojúhelník, se nazývají jeho body a segmenty jsou vedle sebe.

V závislosti na typu trojúhelníku (obdélníkový, jednobarevný atd.) můžete stranu trojúhelníku vypočítat různými způsoby, v závislosti na vstupních datech a podmínkách úlohy.

Rychlá navigace k článku

Pro výpočet stran pravoúhlého trojúhelníku se používá Pythagorova věta, která říká, že druhá mocnina přepony je rovna součtu čtverců nohou.

Označíme-li nohy jako "a" a "b" a přeponu jako "c", pak stránky najdete s následujícími vzorci:

Pokud jsou známé ostré úhly pravoúhlého trojúhelníku (a a b), jeho strany lze nalézt pomocí následujících vzorců:

Oříznutý trojúhelník

Trojúhelník se nazývá rovnostranný trojúhelník, ve kterém jsou obě strany stejné.

Jak najít přeponu ve dvou nohách

Pokud je písmeno "a" totožné se stejnou stránkou, "b" je základna, "b" je úhel protilehlý k základně, "a" je sousední úhel pro výpočet stránek lze použít následující vzorce:

Dva rohy a strana

Pokud známe jednu stránku (c) a dva úhly (aab) libovolného trojúhelníku, použije se pro výpočet zbývajících stránek sinusový vzorec:

Musíte najít třetí hodnotu y = 180 - (a + b), protože

součet všech úhlů trojúhelníku je 180°;

Dvě strany a úhel

Pokud jsou známy dvě strany trojúhelníku (a a b) a úhel mezi nimi (y), lze pro výpočet třetí strany použít kosinovou větu.

Jak určit obvod pravoúhlého trojúhelníku

Trojúhelníkový trojúhelník je trojúhelník, z nichž jeden má úhel 90 stupňů a další dva jsou ostré. výpočet obvod takový trojúhelník v závislosti na množství informací o něm známých.

Budeš to potřebovat

V závislosti na případu, dovednosti 2 tři strany trojúhelníku, stejně jako jeden z jeho ostrých úhlů.

instrukce

První Metoda 1. Pokud jsou známy všechny tři stránky trojúhelník Potom, ať je kolmý nebo netrojúhelníkový, se obvod vypočítá jako: P = A + B + C, kde je to možné, c je přepona; a a b jsou nohy.

druhý Metoda 2.

Pokud má obdélník pouze dvě strany, pak pomocí Pythagorovy věty trojúhelník lze vypočítat pomocí vzorce: P = v (a2 + b2) + a + b nebo P = v (c2 - b2) + b + c.

Třetí Metoda 3. Nechť přepona je c a ostrý úhel? Vzhledem k pravoúhlému trojúhelníku bude možné obvod najít takto: P = (1 + sin?

Čtvrtý Metoda 4. Říkají, že v pravoúhlém trojúhelníku je délka jedné nohy rovna a a naopak má ostrý úhel. Pak spočítejte obvod Tento trojúhelník se bude provádět podle vzorce: P = a * (1 / tg?

1/syn? + 1)

pětiny Metoda 5.

Online výpočet trojúhelníku

Necháme-li naši nohu vést a budeme do ní zahrnuti, rozsah se vypočítá jako: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Související videa

Pythagorova věta je základem veškeré matematiky. Určuje vztah mezi stranami pravého trojúhelníku. Nyní existuje 367 důkazů této věty.

instrukce

První Klasická školní formulace Pythagorovy věty zní takto: druhá mocnina přepony se rovná součtu čtverců nohou.

Chcete-li najít přeponu v pravoúhlém trojúhelníku dvou Catet, musíte se uchýlit k odmocnění délek nohou, sebrat je a vzít druhou odmocninu ze součtu. V původní formulaci jeho tvrzení je trh založen na přeponě, která se rovná součtu druhých mocnin 2 čtverců produkovaných Catete. Moderní algebraická formulace však nevyžaduje zavedení reprezentace domény.

druhý Například pravoúhlý trojúhelník, jehož nohy jsou 7 cm a 8 cm.

Potom je podle Pythagorovy věty odvěsna rovna R + S = 49 + 64 = 113 cm. Přepona je rovna druhé odmocnině čísla 113.

Úhly pravoúhlého trojúhelníku

Výsledkem bylo nepodložené číslo.

Třetí Pokud jsou trojúhelníky nohy 3 a 4, pak přepona = 25 = 5. Když vezmete druhou odmocninu, dostanete přirozené číslo. Čísla 3, 4, 5 tvoří pygagorejský triplet, protože splňují vztah x? +Y? = Z, což je přirozené.

Další příklady pythagorejského tripletu jsou: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

Čtvrtý V tomto případě, pokud jsou nohy navzájem totožné, Pythagorova věta se změní na primitivnější rovnici. Předpokládejme například, že taková ruka je rovna číslu A a přepona je definována pro C, a pak c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. V tomto případě nepotřebujete A.

pětiny Pythagorova věta je speciální případ, větší než obecná kosinová věta, která stanoví vztah mezi třemi stranami trojúhelníku pro jakýkoli úhel mezi dvěma z nich.

Tip 2: Jak určit přeponu pro nohy a úhly

Přepona je strana v pravoúhlém trojúhelníku, která je opačná k úhlu 90 stupňů.

instrukce

První V případě známých katétrů, stejně jako ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku, může mít přepona velikost rovnou poměru nohy ke kosinu / sinusu tohoto úhlu, pokud byl úhel opačný / e zahrnují: H = C1 (nebo C2) / sin, H = C1 (nebo C22) / cos?. Příklad: Nechť ABC dostane nepravidelný trojúhelník s přeponou AB a pravým úhlem C.

Nechť B je 60 stupňů a A 30 stupňů. Délka stonku BC je 8 cm Měla by být nalezena délka přepony AB. K tomu můžete použít jednu z výše uvedených metod: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Přepona je nejdelší strana obdélníku trojúhelník. Je umístěn v pravém úhlu. Metoda hledání přepony obdélníku trojúhelník v závislosti na zdrojových datech.

instrukce

První Pokud jsou vaše nohy kolmé trojúhelník, pak délka přepony obdélníku trojúhelník lze objevit pythagorejskou analogií - druhá mocnina délky přepony se rovná součtu druhých mocnin délek nohou: c2 = a2 + b2, kde a a b jsou délky nohou pravé trojúhelník .

druhý Pokud je jedna z nohou známá a pod ostrým úhlem, vzorec pro nalezení přepony bude záviset na přítomnosti nebo nepřítomnosti v určitém úhlu ve vztahu ke známé noze - sousední (noha je umístěna blízko) nebo naopak ( opačný případ se nachází nego.V zadaného úhlu se rovná zlomku přepony nohy v kosinusovém úhlu: a = a/cos;E, naproti tomu přepona je stejná jako poměr sinusových úhlů: da = hřích.

Související videa

Užitečné tipy
Úhlový trojúhelník, jehož strany spolu souvisí jako 3:4:5, se nazýval egyptská delta kvůli skutečnosti, že tyto obrazce byly široce používány architekty starověkého Egypta.

Toto je také nejjednodušší příklad Jerových trojúhelníků, ve kterých jsou stránky a plocha reprezentovány celými čísly.

Trojúhelník se nazývá obdélník, jehož úhel je 90°. Strana naproti pravému rohu se nazývá přepona, druhá se nazývá nohy.

Pokud chcete zjistit, jak vzniká pravoúhlý trojúhelník některými vlastnostmi pravidelných trojúhelníků, a to tím, že součet ostrých úhlů je 90°, čehož se využívá, a tím, že délka protějšího ramene je polovina přepony je 30°.

Rychlá navigace k článku

Oříznutý trojúhelník

Jednou z vlastností shodného trojúhelníku je, že jeho dva úhly jsou stejné.

Chcete-li vypočítat úhel pravoúhlého shodného trojúhelníku, musíte vědět, že:

To není horší než 90°.
Hodnoty ostrých úhlů jsou určeny vzorcem: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, tzn.
Úhly α a β se rovnají 45°.

Pokud je známa známá hodnota jednoho z ostrých úhlů, lze druhý zjistit pomocí vzorce: β = 180º-90º-α nebo α = 180º-90º-β.

Tento poměr se nejčastěji používá, pokud je jeden z úhlů 60° nebo 30°.

Klíčové koncepty

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°.

Protože je to jedna úroveň, dvě zůstávají ostré.

Vypočítejte trojúhelník online

Pokud je chcete najít, musíte vědět, že:

jiné metody

Hodnoty ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku lze vypočítat z průměru - s úsečkou z bodu na opačné straně trojúhelníku a výškou - čára je kolmice vedená z přepony v pravém úhlu .

Nechť medián sahá z pravého rohu do středu přepony a nechť h je výška. V tomto případě se ukazuje, že:

sin a = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
cos a = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
sin a = h/b; sin β = h/a.

Dvě stránky

Pokud jsou délky přepony a jedné z nohou známé v pravoúhlém trojúhelníku nebo na obou stranách, pak se k určení hodnot ostrých úhlů použijí trigonometrické identity:

α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
a = arctan (a / b), p = arctan (b / a).

Délka pravoúhlého trojúhelníku

Plocha a plocha trojúhelníku

obvod

Obvod libovolného trojúhelníku se rovná součtu délek tří stran. Obecný vzorec pro nalezení trojúhelníkového trojúhelníku je:

kde P je obvod trojúhelníku, a, b a c jeho stran.

Obvod shodného trojúhelníku lze nalézt postupným kombinováním délek jeho stran nebo vynásobením délky strany 2 a přidáním základní délky k produktu.

Obecný vzorec pro nalezení rovnovážného trojúhelníku bude vypadat takto:

kde P je obvod shodného trojúhelníku, ale buď b, b je základna.

Obvod rovnostranného trojúhelníku lze nalézt postupným kombinováním délek jejích stran nebo vynásobením délky libovolné stránky třemi.

Obecný vzorec pro nalezení okraje rovnostranných trojúhelníků bude vypadat takto:

kde P je obvod rovnostranného trojúhelníku, a je kterákoli z jeho stran.

kraj

Pokud chcete změřit plochu trojúhelníku, můžete jej porovnat s rovnoběžníkem. Zvažte trojúhelník ABC:

Pokud vezmeme stejný trojúhelník a zafixujeme jej tak, abychom dostali rovnoběžník, dostaneme rovnoběžník se stejnou výškou a základnou jako tento trojúhelník:

V tomto případě je společná strana trojúhelníků složena podél úhlopříčky lisovaného rovnoběžníku.

Z vlastností rovnoběžníku. Je známo, že úhlopříčky rovnoběžníku jsou vždy rozděleny na dva stejné trojúhelníky, pak se plocha každého trojúhelníku rovná polovině rozsahu rovnoběžníku.

Protože plocha rovnoběžníku je stejná jako součin jeho základní výšky, bude plocha trojúhelníku rovna polovině tohoto součinu. Pro ΔABC tedy bude plocha stejná

Nyní zvažte pravoúhlý trojúhelník:

Dva stejné pravoúhlé trojúhelníky lze ohnout do obdélníku, pokud se o ně opře, což je vzájemná přepona.

Protože povrch obdélníku se shoduje s povrchem sousedních stran, je plocha tohoto trojúhelníku stejná:

Z toho můžeme usoudit, že povrch jakéhokoli pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu nohou dělených 2.

Z těchto příkladů lze usoudit, že povrch každého trojúhelníku je stejný jako součin délky a výška je zmenšena na substrát děleno 2.

Obecný vzorec pro nalezení oblasti trojúhelníku by vypadal takto:

kde S je plocha trojúhelníku, ale jeho základna, ale výška klesá na dno a.

Trojúhelník se nazývá pravoúhlý, pokud jeden z jeho úhlů je 90º. Strana protilehlá pravému úhlu se nazývá přepona a další dvě se nazývají nohy.

K nalezení úhlu v pravoúhlém trojúhelníku se používají některé vlastnosti pravoúhlých trojúhelníků, konkrétně: součet ostrých úhlů je 90º a také skutečnost, že naproti noze, jejíž délka je polovina délky přepony, leží úhel rovný 30°.

Rychlá navigace v článku

Rovnoramenný trojúhelník

Jednou z vlastností rovnoramenného trojúhelníku je, že jeho dva úhly jsou stejné. Chcete-li vypočítat úhly pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku, musíte vědět, že:

Pravý úhel je 90º.
Hodnoty ostrých úhlů jsou určeny vzorcem: (180º-90º)/2=45º, tzn. úhly α a β se rovnají 45°.

Pokud je známa velikost jednoho z ostrých úhlů, druhý lze nalézt pomocí vzorce: β=180º-90º-α, nebo α=180º-90º-β. Nejčastěji se tento poměr používá, pokud je jeden z úhlů 60º nebo 30º.

Klíčové koncepty

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Protože jeden úhel je pravý, zbývající dva budou ostré. Abyste je našli, musíte vědět, že:

jiné metody

Hodnoty ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku lze vypočítat na základě znalosti hodnoty mediánu - čáry nakreslené z vrcholu na opačnou stranu trojúhelníku a výšky - přímky, což je kolmice spadlá. z pravého úhlu k přeponě. Nechť s je medián nakreslený z pravého úhlu do středu přepony, h je výška. V tomto případě se ukazuje, že:

sin a=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos a=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin a=h/b; sin β =h/a.

Dvě strany

Pokud jsou v pravoúhlém trojúhelníku známé délky přepony a jedné z nohou nebo dvou stran, k nalezení hodnot ostrých úhlů se použijí trigonometrické identity:

a=arcsin(a/c), p=arcsin(b/c).
a=arcos(b/c), p=arcos(a/c).
a=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

V geometrii je úhel obrazec, který je tvořen dvěma paprsky, které vycházejí z jednoho bodu (tzv. vrchol úhlu). Ve většině případů je jednotkou měření úhlu stupeň (°) – pamatujte, že plný úhel neboli jedna otáčka je 360°. Hodnotu úhlu mnohoúhelníku můžete najít podle jeho typu a hodnot ostatních úhlů, a pokud je uveden pravoúhlý trojúhelník, lze úhel vypočítat ze dvou stran. Úhel lze navíc měřit pomocí úhloměru nebo vypočítat pomocí grafického kalkulátoru.

Kroky

Jak najít vnitřní úhly mnohoúhelníku

Spočítejte počet stran mnohoúhelníku. Chcete-li vypočítat vnitřní úhly mnohoúhelníku, musíte nejprve určit, kolik stran má mnohoúhelník. Všimněte si, že počet stran mnohoúhelníku se rovná počtu jeho úhlů.

Například trojúhelník má 3 strany a 3 vnitřní úhly a čtverec má 4 strany a 4 vnitřní úhly.

Vypočítejte součet všech vnitřních úhlů mnohoúhelníku. K tomu použijte následující vzorec: (n - 2) x 180. V tomto vzorci je n počet stran mnohoúhelníku. Následují součty úhlů běžně se vyskytujících polygonů:
- Součet úhlů trojúhelníku (mnohoúhelníku se 3 stranami) je 180°.
- Součet úhlů čtyřúhelníku (polygon se 4 stranami) je 360°.
- Součet úhlů pětiúhelníku (polygon s 5 stranami) je 540°.
- Součet úhlů šestiúhelníku (mnohoúhelníku se 6 stranami) je 720°.
- Součet úhlů osmiúhelníku (mnohoúhelníku s 8 stranami) je 1080°.
Vydělte součet všech úhlů pravidelného mnohoúhelníku počtem úhlů. Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník se stejnými stranami a stejnými úhly. Například každý úhel rovnostranného trojúhelníku se vypočítá následovně: 180 ÷ 3 = 60° a každý úhel čtverce se vypočítá následovně: 360 ÷ 4 = 90°.
- Rovnostranný trojúhelník a čtverec jsou pravidelné mnohoúhelníky. A budova Pentagonu (Washington, USA) a dopravní značka Stop mají tvar pravidelného osmiúhelníku.
Odečtěte součet všech známých úhlů od celkového součtu úhlů nepravidelného mnohoúhelníku. Pokud se strany mnohoúhelníku navzájem nerovnají a jeho úhly také nejsou stejné, nejprve sečtěte známé úhly mnohoúhelníku. Nyní odečtěte výslednou hodnotu od součtu všech úhlů mnohoúhelníku – tímto způsobem zjistíte neznámý úhel.
- Pokud jsou například 4 úhly pětiúhelníku 80°, 100°, 120° a 140°, sečtěte tato čísla: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Nyní tuto hodnotu odečtěte od součtu všech úhly pětiúhelníku; tento součet se rovná 540°: 540 - 440 = 100°. Neznámý úhel je tedy 100°.
Rada: neznámý úhel některých polygonů lze vypočítat, pokud znáte vlastnosti obrazce. Například v rovnoramenném trojúhelníku jsou dvě strany stejné a dva úhly jsou stejné; V rovnoběžníku (což je čtyřúhelník) jsou opačné strany stejné a opačné úhly jsou stejné.

Změřte délku dvou stran trojúhelníku. Nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku se nazývá přepona. Přilehlá strana je strana, která je blízko neznámého úhlu. Opačná strana je strana, která je proti neznámému úhlu. Změřte obě strany, abyste vypočítali neznámé úhly trojúhelníku.

Rada: použijte grafickou kalkulačku k řešení rovnic nebo najděte online tabulku s hodnotami sinusů, kosinů a tečen.

Vypočítejte sinus úhlu, znáte-li protější stranu a přeponu. Chcete-li to provést, vložte hodnoty do rovnice: sin(x) = protější strana ÷ přepona. Například protější strana je 5 cm a přepona 10 cm Dělíme 5/10 = 0,5. Tedy sin(x) = 0,5, tedy x = sin -1 (0,5).

V geometrii se často vyskytují problémy související se stranami trojúhelníků. Například je často nutné najít stranu trojúhelníku, pokud jsou známy další dvě.

Trojúhelníky jsou rovnoramenné, rovnostranné a nestejné. Ze všech druhů si pro první příklad vybereme obdélníkový (v takovém trojúhelníku je jeden z úhlů 90°, strany k němu přiléhající se nazývají nohy a třetí je přepona).

Rychlá navigace v článku

Délka stran pravoúhlého trojúhelníku

Řešení problému vyplývá z věty velkého matematika Pythagora. Říká, že součet druhých mocnin ramen pravoúhlého trojúhelníku se rovná druhé mocnině jeho přepony: a²+b²=c²

Najděte druhou mocninu délky nohy a;
Najděte čtverec nohy b;
Dali jsme je dohromady;
Ze získaného výsledku extrahujeme druhý kořen.

Příklad: a=4, b=3, c=?

a²=4²=16;
b2=32=9;
16+9=25;
√25=5. To znamená, že délka přepony tohoto trojúhelníku je 5.

Pokud trojúhelník nemá pravý úhel, pak délky dvou stran nestačí. K tomu je zapotřebí třetí parametr: může to být úhel, výška trojúhelníku, poloměr kružnice vepsané do něj atd.

Pokud je znám obvod

V tomto případě je úkol ještě jednodušší. Obvod (P) je součtem všech stran trojúhelníku: P=a+b+c. Řešením jednoduché matematické rovnice tedy dostaneme výsledek.

Příklad: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rovnici vyřešíme přesunem všech známých parametrů na jednu stranu rovnítka:

2) Dosaďte hodnoty místo nich a vypočítejte třetí stranu:

c=18-7-6=5, celkem: třetí strana trojúhelníku je 5.

Pokud je úhel znám

Chcete-li vypočítat třetí stranu trojúhelníku s úhlem a dvěma dalšími stranami, řešením je výpočet trigonometrické rovnice. Když známe vztah mezi stranami trojúhelníku a sinem úhlu, je snadné vypočítat třetí stranu. Chcete-li to provést, musíte umocnit obě strany a sečíst jejich výsledky. Poté od výsledného součinu odečtěte součin stran vynásobený kosinusem úhlu: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Pokud je oblast známá

V tomto případě jeden vzorec nebude stačit.

1) Nejprve vypočítejte sin γ a vyjádřete jej ze vzorce pro oblast trojúhelníku:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Pomocí následujícího vzorce vypočítáme kosinus stejného úhlu:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) A opět použijeme větu o sinech:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Dosazením hodnot proměnných do této rovnice získáme odpověď na problém.