Úhel trojúhelníku se znalostí všech stran. Strany trojúhelníku

První jsou segmenty, které sousedí s pravým úhlem, a přepona je nejdelší částí obrázku a je umístěna proti úhlu 90 stupňů. Pythagorejský trojúhelník je trojúhelník, jehož strany se rovnají přirozeným číslům; jejich délky se v tomto případě nazývají „pythagorejské trojité“.

egyptský trojúhelník

Aby současná generace poznala geometrii v podobě, v jaké se nyní učí ve škole, vyvíjela se několik staletí. Za základní bod je považována Pythagorova věta. Strany obdélníku jsou známé po celém světě) jsou 3, 4, 5.

Málokdo nezná větu „Pythagorejské kalhoty jsou si ve všech směrech rovné“. Ve skutečnosti však věta zní takto: c 2 (čtverec přepony) = a 2 + b 2 (součet čtverců přepony).

Mezi matematiky se trojúhelník se stranami 3, 4, 5 (cm, m atd.) nazývá „egyptský“. Zajímavé je, že to, co je na obrázku vepsáno, se rovná jedné. Název vznikl kolem 5. století před naším letopočtem, kdy řečtí filozofové cestovali do Egypta.

Při stavbě pyramid použili architekti a geodeti poměr 3:4:5. Takové struktury se ukázaly jako proporcionální, příjemné na pohled a prostorné a také se zřídka zhroutily.

K sestavení pravého úhlu použili stavitelé lano s uvázanými 12 uzly. V tomto případě se pravděpodobnost sestrojení pravoúhlého trojúhelníku zvýšila na 95 %.

Znaky rovnosti postav

• Ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku a dlouhá strana, které se rovnají stejným prvkům ve druhém trojúhelníku, jsou nesporným znakem rovnosti čísel. Vezmeme-li v úvahu součet úhlů, je snadné dokázat, že druhé ostré úhly jsou také stejné. Trojúhelníky jsou tedy podle druhého kritéria totožné.
• Při pokládání dvou obrazců na sebe je otočíme tak, aby po spojení vznikl jeden rovnoramenný trojúhelník. Podle své vlastnosti jsou strany, přesněji řečeno přepony, stejné, stejně jako úhly na základně, což znamená, že tyto obrazce jsou stejné.

Na základě prvního znaménka lze velmi snadno dokázat, že trojúhelníky jsou si skutečně rovny, hlavní je, že dvě menší strany (tedy nohy) jsou si navzájem rovny.

Trojúhelníky budou shodné podle druhého kritéria, jehož podstatou je rovnost nohy a ostrého úhlu.

Vlastnosti trojúhelníku s pravým úhlem

Výška, která je snížena z pravého úhlu, rozdělí postavu na dvě stejné části.

Strany pravoúhlého trojúhelníku a jeho medián lze snadno rozpoznat podle pravidla: medián, který připadá na přeponu, se rovná jeho polovině. lze zjistit jak podle Heronova vzorce, tak podle tvrzení, že se rovná polovině součinu nohou.

V pravoúhlém trojúhelníku platí vlastnosti úhlů 30°, 45° a 60°.

• Při úhlu 30° je třeba mít na paměti, že protilehlá noha se bude rovnat 1/2 největší strany.
• Pokud je úhel 45°, pak druhý ostrý úhel je také 45°. To naznačuje, že trojúhelník je rovnoramenný a jeho nohy jsou stejné.
• Vlastností úhlu 60° je, že třetí úhel má míru stupně 30°.

Oblast lze snadno zjistit pomocí jednoho ze tří vzorců:

1. přes výšku a stranu, na které klesá;
2. podle Heronova vzorce;
3. na stranách a úhel mezi nimi.

Strany pravoúhlého trojúhelníku, nebo spíše nohy, se sbíhají se dvěma výškami. Abychom našli třetí, je nutné zvážit výsledný trojúhelník a poté pomocí Pythagorovy věty vypočítat požadovanou délku. Kromě tohoto vzorce existuje také vztah mezi dvojnásobkem plochy a délkou přepony. Mezi studenty je nejčastější výraz první, protože vyžaduje méně výpočtů.

Věty platné pro pravoúhlý trojúhelník

Geometrie pravoúhlého trojúhelníku zahrnuje použití teorémů, jako jsou:

ANDREY PROKIP: „MŮJ MILENEC JE RUSKÁ EKOLOGIE. MUSÍTE DO TOHO INVESTOVAT!“
Ve dnech 4. – 5. září se konalo ekologické fórum „Climatic Shape of Cities“. Iniciátorem akce je organizace C40, kterou v roce 2005 založila OSN. Hlavním úkolem formuláře a měst je kontrola klimatických změn ve městech.
Jak ukázala praxe, na rozdíl od společenských akcí a „setkání v nočních klubech“ bylo poslanců a osobností veřejného života málo. Mezi těmi, kdo skutečně projevili obavy o situaci v oblasti životního prostředí, byl Prokip Adrey Zinovievich. Aktivně se účastnil všech plenárních zasedání spolu se zvláštním zástupcem prezidenta Ruské federace pro otázky klimatu Ruslanem Edelgerievem, náměstkem moskevského primátora pro bydlení a komunální služby Pjotrem Biryukovem a také zahraničními představiteli - starostou italské město Savona - Ilario Caprioglio. Účastníci prezentovali své projekty a diskutovali o strategiích k omezení rostoucích globálních teplot a navrhovaných praktických řešeních pro udržitelný rozvoj měst.
ANDREY PROKIP O ŠAŠLÍCÍCH, POSLATECH A ZELENÉ BUDOVA
Ruskou stranu zaujaly především projevy řečníků, mezi nimiž byli evropští architekti, vědci a starostové Savony. Tématem projevu byl TOP směr – „zelená výstavba“. Jak sám Andrey Prokip uvedl, „je důležité správně přerozdělit zdroje a také vzít v úvahu evropské stavební normy pro metropoli, jako je Moskva. Je nutné, aby Rusko na federální úrovni nabralo kurz k „zelenému financování“, zejména proto, že je ekonomicky proveditelné a jak ukazuje praxe, ziskové. Vyjádřil také obavy ze zhoršení zdraví Rusů v důsledku ekologických katastrof a nedodržování ekologických norem pro likvidaci odpadu velkými a malými průmyslovými podniky.“ Ve svých obavách se utvrdil i díky projevu Francesca Zambony, profesora Evropského úřadu WHO pro investice do zdraví.
S charakteristickým humorem oslovil Andrei známé lidi, kteří byli pozváni na fórum, ale nikdy se neobjevili, s výzvou „vzpomínat na přírodu, nejen když chtějí grilovat nebo jít na ryby. Koneckonců, zdraví všech lidí závisí na laskavosti přírody, která je bohužel zahrnuje.
Kromě vášnivých projevů o nové „milence-povaze“ Andreje Zinovieviče a důležitosti převzetí odpovědnosti za životní prostředí bylo významnou událostí fóra plenární zasedání na téma „Jak vychovat novou generaci“. Účastníci fóra se shodli v názoru, že je třeba vychovávat nejen děti, ale i dospělou generaci. Je velmi důležité vštípit odpovědnost k přírodě v každodenním chování, stejně jako v podnikání.
Pro Moskvu bude zahájen speciální projekt „naučit se žít civilizovaným způsobem“. Jedná se o vzdělávací projekt pro všechny vrstvy populace a věkové kategorie. Ale bez ohledu na to, jak úžasné jsou teorie a dobré úmysly, rčení „dokud pečený kohout nekluje, hlupák se nepokřižuje“ je pro Rusko stále aktuální.
Podle Timothyho Nettera, slavného divadelního režiséra, může umění všechno změnit. V jednom ze svých projevů hovořil o tom, jak by měla být myšlenka ochrany přírody prezentována v divadle a kině a jak je důležité prostřednictvím umění vychovávat lidi k odpovědnosti za to, co se s námi a přírodou zítra stane.
Studenti z ruských univerzit zaujali provozovatele Rentv a Andrey Prokirpu představením projektu ekologicky šetrné technologie výroby nádob odolných vůči vlhkosti a teplotě. Jde o velmi palčivý problém, protože po celém světě jsou přijímány zákony proti plastovým nádobám, které mimochodem trvají více než 30 let, než se rozloží, znečišťují půdu a způsobují smrt zvířat.
Je povzbudivé, že Moskva je jedním z 94 zúčastněných měst v organizaci C40 a toto fórum se koná již potřetí, které každým rokem přitahuje pozornost více a více známých osobností a občanů.

Definice trojúhelníku

Trojúhelník je geometrický obrazec, který je vytvořen jako výsledek průniku tří segmentů, jejichž konce neleží na stejné přímce. Každý trojúhelník má tři strany, tři vrcholy a tři úhly.

Online kalkulačka

Trojúhelníky přicházejí v různých typech. Existuje například rovnostranný trojúhelník (ve kterém jsou všechny strany stejné), rovnoramenný (v něm jsou dvě strany stejné) a pravoúhlý trojúhelník (ve kterém je jeden z úhlů rovný, tj. rovný 90 stupňům).

Oblast trojúhelníku lze nalézt různými způsoby v závislosti na tom, jaké prvky obrázku jsou známy z podmínek problému, ať už jde o úhly, délky nebo dokonce poloměry kruhů spojených s trojúhelníkem. Podívejme se na každou metodu zvlášť s příklady.

Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě jeho základny a výšky

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a A- základna trojúhelníku;
h h h- výška trojúhelníku nakresleného k dané základně a.

Najděte obsah trojúhelníku, pokud je známa délka jeho základny, rovná se 10 (cm) a výška k této základně je rovna 5 (cm).

Řešení

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Dosadíme to do vzorce pro oblast a dostaneme:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (viz náměstí)

Odpovědět: 25 (cm čtverečních)

Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě délek všech stran

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- délky stran trojúhelníku;
p p p- poloviční součet všech stran trojúhelníku (tj. polovina obvodu trojúhelníku):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (a +b+C)

Tento vzorec se nazývá Heronův vzorec.

Najděte obsah trojúhelníku, pokud jsou známy délky jeho tří stran, rovné 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Řešení

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Najdeme polovinu obvodu p p p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Pak podle Heronova vzorce je plocha trojúhelníku:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (viz náměstí)

Odpověď: 6 (viz čtvereček)

Vzorec pro oblast trojúhelníku s jednou stranou a dvěma úhly

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 A 2 ​ ⋅ hřích (β + γ)hřích β hřích γ ​ ,

A a A- délka strany trojúhelníku;
β , γ \beta, \gamma β , γ - úhly přiléhající ke straně a a A.

Je dána strana trojúhelníku rovna 10 (cm) a dva sousední úhly o velikosti 30 stupňů. Najděte oblast trojúhelníku.

Řešení

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Podle vzorce:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=^\dok(2)(10) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\cca 14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ hřích (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) hřích 3 0 ∘ hřích 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (viz náměstí)

Odpovědět: 14,4 (viz čtverec)

Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě tří stran a poloměru kružnice opsané

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- strany trojúhelníku;
R R R- poloměr kružnice opsané kolem trojúhelníku.

Vezmeme čísla z našeho druhého problému a přidáme k nim poloměr R R R kruhy. Nechť se rovná 10 (cm.).

Řešení

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (viz náměstí)

Odpovědět: 1,5 (cm2)

Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě tří stran a poloměru vepsané kružnice

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= p⋅ r,

p pp- polovina obvodu trojúhelníku:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)p= 2 A+ b+ C​ ,

a, b, c a, b, cA, b, C- strany trojúhelníku;
r rr- poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku.

Poloměr kružnice vepsané nechť je 2 (cm). Délky stran vezmeme z předchozí úlohy.

Řešení

$A=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4b=4c\; =\; 5\; c\; =\; 5C=5r\; =\; 2\; r\; =\; 2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S = 6\cdot 2 = 12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (viz náměstí)

Odpovědět: 12 (cm čtverečních)

Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě dvou stran a úhlu mezi nimi

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ C⋅ hřích(α ) ,

b, c b, cb, C- strany trojúhelníku;

a\alfaα - úhel mezi stranami b bb A c cC.

Strany trojúhelníku jsou 5 (cm) a 6 (cm), úhel mezi nimi je 30 stupňů. Najděte oblast trojúhelníku.

Řešení

$b=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6C=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ hřích(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (viz náměstí)

Odpovědět: 7,5 (cm čtvereční)

Trojúhelník je geometrické číslo sestávající ze tří segmentů, které spojují tři body, které neleží na stejné přímce. Body, které tvoří trojúhelník, se nazývají jeho body a segmenty jsou vedle sebe.

V závislosti na typu trojúhelníku (obdélníkový, jednobarevný atd.) můžete stranu trojúhelníku vypočítat různými způsoby, v závislosti na vstupních datech a podmínkách úlohy.

Rychlá navigace k článku

Pro výpočet stran pravoúhlého trojúhelníku se používá Pythagorova věta, která říká, že druhá mocnina přepony je rovna součtu čtverců nohou.

Označíme-li nohy jako "a" a "b" a přeponu jako "c", pak stránky najdete s následujícími vzorci:

Pokud jsou známé ostré úhly pravoúhlého trojúhelníku (a a b), jeho strany lze nalézt pomocí následujících vzorců:

Oříznutý trojúhelník

Trojúhelník se nazývá rovnostranný trojúhelník, ve kterém jsou obě strany stejné.

Jak najít přeponu ve dvou nohách

Pokud je písmeno "a" totožné se stejnou stránkou, "b" je základna, "b" je úhel protilehlý k základně, "a" je sousední úhel pro výpočet stránek lze použít následující vzorce:

Dva rohy a strana

Pokud známe jednu stránku (c) a dva úhly (aab) libovolného trojúhelníku, použije se pro výpočet zbývajících stránek sinusový vzorec:

Musíte najít třetí hodnotu y = 180 - (a + b), protože

součet všech úhlů trojúhelníku je 180°;

Dvě strany a úhel

Pokud jsou známy dvě strany trojúhelníku (a a b) a úhel mezi nimi (y), lze pro výpočet třetí strany použít kosinovou větu.

Jak určit obvod pravoúhlého trojúhelníku

Trojúhelníkový trojúhelník je trojúhelník, z nichž jeden má úhel 90 stupňů a další dva jsou ostré. výpočet obvod takový trojúhelník v závislosti na množství informací o něm známých.

Budeš to potřebovat

• V závislosti na případu, dovednosti 2 tři strany trojúhelníku, stejně jako jeden z jeho ostrých úhlů.

instrukce

První Metoda 1. Pokud jsou známy všechny tři stránky trojúhelník Potom, ať je kolmý nebo netrojúhelníkový, se obvod vypočítá jako: P = A + B + C, kde je to možné, c je přepona; a a b jsou nohy.

druhý Metoda 2.

Pokud má obdélník pouze dvě strany, pak pomocí Pythagorovy věty trojúhelník lze vypočítat pomocí vzorce: P = v (a2 + b2) + a + b nebo P = v (c2 - b2) + b + c.

Třetí Metoda 3. Nechť přepona je c a ostrý úhel? Vzhledem k pravoúhlému trojúhelníku bude možné obvod najít takto: P = (1 + sin?

Čtvrtý Metoda 4. Říkají, že v pravoúhlém trojúhelníku je délka jedné nohy rovna a a naopak má ostrý úhel. Pak spočítejte obvod Tento trojúhelník se bude provádět podle vzorce: P = a * (1 / tg?

1/syn? + 1)

pětiny Metoda 5.

Online výpočet trojúhelníku

Necháme-li naši nohu vést a budeme do ní zahrnuti, rozsah se vypočítá jako: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Související videa

Pythagorova věta je základem veškeré matematiky. Určuje vztah mezi stranami pravého trojúhelníku. Nyní existuje 367 důkazů této věty.

instrukce

První Klasická školní formulace Pythagorovy věty zní takto: druhá mocnina přepony se rovná součtu čtverců nohou.

Chcete-li najít přeponu v pravoúhlém trojúhelníku dvou Catet, musíte se uchýlit k odmocnění délek nohou, sebrat je a vzít druhou odmocninu ze součtu. V původní formulaci jeho tvrzení je trh založen na přeponě, která se rovná součtu druhých mocnin 2 čtverců produkovaných Catete. Moderní algebraická formulace však nevyžaduje zavedení reprezentace domény.

druhý Například pravoúhlý trojúhelník, jehož nohy jsou 7 cm a 8 cm.

Potom je podle Pythagorovy věty odvěsna rovna R + S = 49 + 64 = 113 cm. Přepona je rovna druhé odmocnině čísla 113.

Úhly pravoúhlého trojúhelníku

Výsledkem bylo nepodložené číslo.

Třetí Pokud jsou trojúhelníky nohy 3 a 4, pak přepona = 25 = 5. Když vezmete druhou odmocninu, dostanete přirozené číslo. Čísla 3, 4, 5 tvoří pygagorejský triplet, protože splňují vztah x? +Y? = Z, což je přirozené.

Další příklady pythagorejského tripletu jsou: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

Čtvrtý V tomto případě, pokud jsou nohy navzájem totožné, Pythagorova věta se změní na primitivnější rovnici. Předpokládejme například, že taková ruka je rovna číslu A a přepona je definována pro C, a pak c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. V tomto případě nepotřebujete A.

pětiny Pythagorova věta je speciální případ, větší než obecná kosinová věta, která stanoví vztah mezi třemi stranami trojúhelníku pro jakýkoli úhel mezi dvěma z nich.

Tip 2: Jak určit přeponu pro nohy a úhly

Přepona je strana v pravoúhlém trojúhelníku, která je opačná k úhlu 90 stupňů.

instrukce

První V případě známých katétrů, stejně jako ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku, může mít přepona velikost rovnou poměru nohy ke kosinu / sinusu tohoto úhlu, pokud byl úhel opačný / e zahrnují: H = C1 (nebo C2) / sin, H = C1 (nebo C22) / cos?. Příklad: Nechť ABC dostane nepravidelný trojúhelník s přeponou AB a pravým úhlem C.

Nechť B je 60 stupňů a A 30 stupňů. Délka stonku BC je 8 cm Měla by být nalezena délka přepony AB. K tomu můžete použít jednu z výše uvedených metod: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Přepona je nejdelší strana obdélníku trojúhelník. Je umístěn v pravém úhlu. Metoda hledání přepony obdélníku trojúhelník v závislosti na zdrojových datech.

instrukce

První Pokud jsou vaše nohy kolmé trojúhelník, pak délka přepony obdélníku trojúhelník lze objevit pythagorejskou analogií - druhá mocnina délky přepony se rovná součtu druhých mocnin délek nohou: c2 = a2 + b2, kde a a b jsou délky nohou pravé trojúhelník .

druhý Pokud je jedna z nohou známá a pod ostrým úhlem, vzorec pro nalezení přepony bude záviset na přítomnosti nebo nepřítomnosti v určitém úhlu ve vztahu ke známé noze - sousední (noha je umístěna blízko) nebo naopak ( opačný případ se nachází nego.V zadaného úhlu se rovná zlomku přepony nohy v kosinusovém úhlu: a = a/cos;E, naproti tomu přepona je stejná jako poměr sinusových úhlů: da = hřích.

Související videa

Užitečné tipy
Úhlový trojúhelník, jehož strany spolu souvisí jako 3:4:5, se nazýval egyptská delta kvůli skutečnosti, že tyto obrazce byly široce používány architekty starověkého Egypta.

Toto je také nejjednodušší příklad Jerových trojúhelníků, ve kterých jsou stránky a plocha reprezentovány celými čísly.

Trojúhelník se nazývá obdélník, jehož úhel je 90°. Strana naproti pravému rohu se nazývá přepona, druhá se nazývá nohy.

Pokud chcete zjistit, jak vzniká pravoúhlý trojúhelník některými vlastnostmi pravidelných trojúhelníků, a to tím, že součet ostrých úhlů je 90°, čehož se využívá, a tím, že délka protějšího ramene je polovina přepony je 30°.

Rychlá navigace k článku

Oříznutý trojúhelník

Jednou z vlastností shodného trojúhelníku je, že jeho dva úhly jsou stejné.

Chcete-li vypočítat úhel pravoúhlého shodného trojúhelníku, musíte vědět, že:

• To není horší než 90°.
• Hodnoty ostrých úhlů jsou určeny vzorcem: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, tzn.

  Úhly α a β se rovnají 45°.

Pokud je známa známá hodnota jednoho z ostrých úhlů, lze druhý zjistit pomocí vzorce: β = 180º-90º-α nebo α = 180º-90º-β.

Tento poměr se nejčastěji používá, pokud je jeden z úhlů 60° nebo 30°.

Klíčové koncepty

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°.

Protože je to jedna úroveň, dvě zůstávají ostré.

Vypočítejte trojúhelník online

Pokud je chcete najít, musíte vědět, že:

jiné metody

Hodnoty ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku lze vypočítat z průměru - s úsečkou z bodu na opačné straně trojúhelníku a výškou - čára je kolmice vedená z přepony v pravém úhlu .

Nechť medián sahá z pravého rohu do středu přepony a nechť h je výška. V tomto případě se ukazuje, že:

• sin a = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos a = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin a = h/b; sin β = h/a.

Dvě stránky

Pokud jsou délky přepony a jedné z nohou známé v pravoúhlém trojúhelníku nebo na obou stranách, pak se k určení hodnot ostrých úhlů použijí trigonometrické identity:

• α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• a = arctan (a / b), p = arctan (b / a).

Délka pravoúhlého trojúhelníku

Plocha a plocha trojúhelníku

obvod

Obvod libovolného trojúhelníku se rovná součtu délek tří stran. Obecný vzorec pro nalezení trojúhelníkového trojúhelníku je:

kde P je obvod trojúhelníku, a, b a c jeho stran.

Obvod shodného trojúhelníku lze nalézt postupným kombinováním délek jeho stran nebo vynásobením délky strany 2 a přidáním základní délky k produktu.

Obecný vzorec pro nalezení rovnovážného trojúhelníku bude vypadat takto:

kde P je obvod shodného trojúhelníku, ale buď b, b je základna.

Obvod rovnostranného trojúhelníku lze nalézt postupným kombinováním délek jejích stran nebo vynásobením délky libovolné stránky třemi.

Obecný vzorec pro nalezení okraje rovnostranných trojúhelníků bude vypadat takto:

kde P je obvod rovnostranného trojúhelníku, a je kterákoli z jeho stran.

kraj

Pokud chcete změřit plochu trojúhelníku, můžete jej porovnat s rovnoběžníkem. Zvažte trojúhelník ABC:

Pokud vezmeme stejný trojúhelník a zafixujeme jej tak, abychom dostali rovnoběžník, dostaneme rovnoběžník se stejnou výškou a základnou jako tento trojúhelník:

V tomto případě je společná strana trojúhelníků složena podél úhlopříčky lisovaného rovnoběžníku.

Z vlastností rovnoběžníku. Je známo, že úhlopříčky rovnoběžníku jsou vždy rozděleny na dva stejné trojúhelníky, pak se plocha každého trojúhelníku rovná polovině rozsahu rovnoběžníku.

Protože plocha rovnoběžníku je stejná jako součin jeho základní výšky, bude plocha trojúhelníku rovna polovině tohoto součinu. Pro ΔABC tedy bude plocha stejná

Nyní zvažte pravoúhlý trojúhelník:

Dva stejné pravoúhlé trojúhelníky lze ohnout do obdélníku, pokud se o ně opře, což je vzájemná přepona.

Protože povrch obdélníku se shoduje s povrchem sousedních stran, je plocha tohoto trojúhelníku stejná:

Z toho můžeme usoudit, že povrch jakéhokoli pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu nohou dělených 2.

Z těchto příkladů lze usoudit, že povrch každého trojúhelníku je stejný jako součin délky a výška je zmenšena na substrát děleno 2.

Obecný vzorec pro nalezení oblasti trojúhelníku by vypadal takto:

kde S je plocha trojúhelníku, ale jeho základna, ale výška klesá na dno a.

Online kalkulačka.
Řešení trojúhelníků.

Řešení trojúhelníku je nalezení všech jeho šesti prvků (tj. tří stran a tří úhlů) z libovolných tří daných prvků, které definují trojúhelník.

Tento matematický program najde stranu \(c\), úhly \(\alpha \) a \(\beta \) z uživatelem zadaných stran \(a, b\) a úhel mezi nimi \(\gamma \)

Program nejen dává odpověď na problém, ale také zobrazuje proces hledání řešení.

Tato online kalkulačka může být užitečná pro středoškoláky na středních školách při přípravě na testy a zkoušky, při testování znalostí před Jednotnou státní zkouškou a pro rodiče při ovládání řešení mnoha úloh z matematiky a algebry. Nebo je pro vás možná příliš drahé najmout si lektora nebo koupit nové učebnice? Nebo jen chcete mít domácí úkoly z matematiky či algebry hotové co nejrychleji? V tomto případě můžete využít i naše programy s detailními řešeními.

Tímto způsobem můžete provádět vlastní školení a/nebo školení vašich mladších bratrů nebo sester, přičemž se úroveň vzdělání v oblasti řešení problémů zvyšuje.

Pokud se nevyznáte v pravidlech pro zadávání čísel, doporučujeme se s nimi seznámit.

Pravidla pro zadávání čísel

Čísla lze zadávat nejen jako celá čísla, ale také jako zlomky.
Celé číslo a zlomkové části v desetinných zlomcích lze oddělit tečkou nebo čárkou.
Můžete například zadat desetinné zlomky jako 2,5 nebo jako 2,5

Bylo zjištěno, že některé skripty potřebné k vyřešení tohoto problému nebyly načteny a program nemusí fungovat.
Možná máte povolený AdBlock.
V takovém případě jej deaktivujte a obnovte stránku.

Protože Existuje mnoho lidí ochotných problém vyřešit, váš požadavek byl zařazen do fronty.
Za několik sekund se řešení objeví níže.
Prosím, čekejte sek...

jestli ty zaznamenal chybu v řešení, pak o tom můžete napsat do formuláře zpětné vazby.
Nezapomeň uveďte jaký úkol ty rozhodneš co zadejte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teorie.

Věta o sinech

Teorém

Strany trojúhelníku jsou úměrné sinusům opačných úhlů:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinová věta

Teorém
Nechť AB = c, BC = a, CA = b v trojúhelníku ABC. Pak
Druhá mocnina strany trojúhelníku se rovná součtu čtverců ostatních dvou stran mínus dvojnásobek součinu těchto stran násobeného kosinusem úhlu mezi nimi.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Řešení trojúhelníků

Řešení trojúhelníku znamená nalezení všech jeho šesti prvků (tj. tří stran a tří úhlů) z libovolných tří daných prvků, které definují trojúhelník.

Podívejme se na tři problémy týkající se řešení trojúhelníku. V tomto případě použijeme pro strany trojúhelníku ABC následující označení: AB = c, BC = a, CA = b.

Řešení trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu mezi nimi

Je dáno: \(a, b, \úhel C\). Najít \(c, \úhel A, \úhel B\)

Řešení
1. Pomocí kosinové věty najdeme \(c\):

3. \(\úhel B = 180^\kruh -\úhel A -\úhel C\)

Řešení trojúhelníku vedle sebe a sousedních úhlů

Dáno: \(a, \úhel B, \úhel C\). Najít \(\úhel A, b, c\)

Řešení
1. \(\úhel A = 180^\kruh -\úhel B -\úhel C\)

Řešení trojúhelníku pomocí tří stran

Dané: \(a, b, c\). Najít \(\úhel A, \úhel B, \úhel C\)

Řešení
1. Pomocí kosinové věty získáme:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. Podobně najdeme úhel B.
3. \(\úhel C = 180^\kruh -\úhel A -\úhel B\)

Řešení trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu protilehlého známé straně

Je dáno: \(a, b, \úhel A\). Najít \(c, \úhel B, \úhel C\)

Řešení
1. Pomocí věty o sinech najdeme \(\sin B\) a dostaneme:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Zaveďme zápis: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). V závislosti na čísle D jsou možné následující případy:
Pokud D > 1, takový trojúhelník neexistuje, protože \(\sin B\) nemůže být větší než 1
Pokud D = 1, existuje jedinečný \(\úhel B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Pokud D Pokud D 2. \(\úhel C = 180^\circ -\úhel A -\úhel B\)

3. Pomocí sinusové věty vypočítáme stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$