Действия над вероятностями. Формулы сложения вероятностей
Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей . Решение простейших задач на определение вероятности с использованием сложения вероятностей.
Методические указания по теме 3.1:
Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей:
Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.
Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным.
События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.
События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.
Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.
Вероятностью события называется отношение числа исходов m , благоприятствующих наступлению данного события , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность , а достоверному - вероятность
Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле, получим .
Пример 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через . Общее число случаев . Число случаев m , благоприятствующих появлению события , равно 3. По формуле получим .
Пример 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через . Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два:
Число случаев m , благоприятствующих событию , составляет
По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:
Теорема сложения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей:
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий:
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Пример 4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной.
Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B - одна деталь стандартная, две нестандартные; C - две детали стандартные, одна нестандартная и D - три детали стандартные.
Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A = B + C + D. По теореме сложения имеем P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Находим вероятность каждого из этих событий:
Сложив найденные величины, получим 
Пример 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Пусть A - событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B - в том, что оно кратно 5. Найдем Так как A и B совместные события, то воспользуемся формулой:
Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A ); 18 - кратными 5 (благоприятствуют наступлению события B ) и 6 - кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события AB ). Таким образом, т.е.
Теорема умножения вероятностей:
Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
Пример 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой - 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Пусть - появление белого шара из первой урны, а - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события и независимы. Найдем
По формуле получим:
Вопросы для самопроверки по теме 3.1:
1. Что такое событие?
2. Какие события называются достоверными?
3. Какие события называются невозможными?
4. Дать определение вероятности.
5. Сформулировать теорему сложения вероятностей.
6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.
Задания для самостоятельного решения по теме 3.1:
1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.
2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.
3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.
4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один и автоматов не потребует внимания рабочего.
5. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.
Изучение теории вероятности начинается с решения задач на сложение и умножение вероятностей. Стоит сразу упомянуть, что студент при освоении данной области знаний может столкнуться с проблемой: если физические или химические процессы можно представить визуально и понять эмпирически, то уровень математической абстракции очень высок, и понимание здесь приходит только с опытом.
Однако игра стоит свеч, ведь формулы - как рассматриваемые в данной статье, так и более сложные - используются сегодня повсеместно и вполне могут пригодиться в работе.
Происхождение
Как ни странно, толчком к развитию данного раздела математики стали… азартные игры. Действительно, игра в кости, бросание монетки, покер, рулетка - это типичные примеры, в которых используются сложение и умножение вероятностей. На примере задач в любом учебнике это можно увидеть наглядно. Людям было интересно узнать, как увеличить свои шансы на победу, и, надо сказать, некоторые в этом преуспели.
Например, уже в XXI веке один человек, чьего имени раскрывать мы не будем, использовал эти накопленные веками знания, чтобы буквально «обчистить» казино, выиграв в рулетку несколько десятков миллионов долларов.
Впрочем, несмотря на повышенный интерес к предмету, только к XX веку была разработана теоретическая база, делающая «теорвер» полноценной Сегодня же практически в любой науке можно встретить расчёты, использующие вероятностные методы.
Применимость
Важным моментом при использовании формул сложения и умножения вероятностей, условной вероятности является выполнимость центральной предельной теоремы. В противном случае хоть это и может и не осознаваться студентом, все вычисления, какими бы правдоподобными они ни казались, будут некорректны.
Да, у высокомотивированного учащегося возникает соблазн использовать новые знания при каждом удобном случае. Но в данном случае следует несколько притормозить и строго очертить рамки применимости.
Теория вероятности имеет дело со случайными событиями, которые в эмпирическом плане представляют собой результаты экспериментов: мы можем бросать кубик с шестью гранями, вытаскивать карту из колоды, предсказывать количество бракованных деталей в партии. Однако в некоторых вопросах использовать формулы из этого раздела математики категорически нельзя. Особенности рассмотрения вероятностей события, теорем сложения и умножения событий мы обсудим в конце статьи, а пока обратимся к примерам.
Основные понятия
Под случайным событием подразумевается некоторый процесс или результат, который может проявиться, а может и не проявиться в результате эксперимента. Например, мы подбрасываем бутерброд - он может упасть маслом вверх или маслом вниз. Любой из двух исходов будет являться случайным, и мы заранее не знаем, какой из них будет иметь место.
При изучении сложения и умножения вероятностей нам понадобятся ещё два понятия.
Совместными называются такие события, появление одного из которых не исключает появления другого. Скажем, два человека одновременно стреляют по мишени. Если один из них произведет успешный никак не отразится на возможности второго попасть в «яблочко» или промахнуться.
Несовместными будут такие события, появление которых одновременно является невозможным. Например, вытаскивая из коробки только один шарик, нельзя достать сразу и синий, и красный.
Обозначение
Понятие вероятности обозначается латинской заглавной буквой P. Далее в скобках следуют аргументы, обозначающие некоторые события.
В формулах теоремы сложения, условной вероятности, теоремы умножения вы увидите в скобках выражения, например: A+B, AB или A|B. Рассчитываться они будут различными способами, к ним мы сейчас и обратимся.
Сложение
Рассмотрим случаи, в которых используются формулы сложения и умножения вероятностей.
Для несовместных событий актуальна самая простая формула сложения: вероятность любого из случайных исходов будет равна сумме вероятностей каждого из этих исходов.
Предположим, что есть коробка с 2 синими, 3 красными и 5 жёлтыми шариками. Итого в коробке имеется 10 предметов. Какова доля истинности утверждения, что мы вытащим синий или красный шар? Она будет равна 2/10 + 3/10, т. е. пятьдесят процентов.
В случае же несовместных событий формула усложняется, поскольку добавляется дополнительное слагаемое. Вернемся к нему через один абзац, после рассмотрения ещё одной формулы.
Умножение
Сложение и умножение вероятностей независимых событий используются в разных случаях. Если по условию эксперимента нас устраивает любой из двух возможных исходов, мы посчитаем сумму; если же мы хотим получить два некоторых исхода друг за другом, мы прибегнем к использованию другой формулы.
Возвращаясь к примеру из предыдущего раздела, мы хотим вытащить сначала синий шарик, а затем - красный. Первое число нам известно - это 2/10. Что происходит дальше? Шаров остается 9, красных среди них всё столько же - три штуки. Согласно расчётам получится 3/9 или 1/3. Но что теперь делать с двумя числами? Правильный ответ - перемножать, чтобы получилось 2/30.
Совместные события
Теперь можно вновь обратиться к формуле суммы для совместных событий. Для чего мы отвлекались от темы? Чтобы узнать, как перемножаются вероятности. Сейчас нам это знание пригодится.
Мы уже знаем, какими будут первые два слагаемых (такие же, как и в рассмотренной ранее формуле сложения), теперь же потребуется вычесть произведение вероятностей, которое мы только что научились рассчитывать. Для наглядности напишем формулу: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Получается, что в одном выражении используется и сложение, и умножение вероятностей.
Допустим, мы должны решить любую из двух задач, чтобы получить зачёт. Первую мы можем решить с вероятностью 0,3, а вторую - 0,6. Решение: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Заметьте, просто просуммировать числа здесь будет недостаточно.
Условная вероятность
Наконец, существует понятие условной вероятности, аргументы которой обозначаются в скобках и разделяются вертикальной чертой. Запись P(A|B) читается следующим образом: «вероятность события A при условии события B».
Посмотрим пример: друг дает вам некоторый прибор, пусть это будет телефон. Он может быть сломан (20 %) или исправен (80 %). Любой попавший в руки прибор вы в состоянии починить с вероятностью 0,4 либо не в состоянии этого сделать (0,6). Наконец, если прибор находится в рабочем состоянии, вы можете дозвониться до нужного человека с вероятностью 0,7.
Легко заметить, как в данном случае проявляется условная вероятность: вы не сможете дозвониться до человека, если телефон сломан, а если он исправен, вам не требуется его чинить. Таким образом, чтобы получить какие-либо результаты на «втором уровне», нужно узнать, какое событие выполнилось на первом.
Расчёты
Рассмотрим примеры решения задач на сложение и умножение вероятностей, воспользовавшись данными из предыдущего абзаца.
Для начала найдем вероятность того, что вы почините отданный вам аппарат. Для этого, во-первых, он должен быть неисправен, а во-вторых, вы должны справиться с починкой. Это типичная задача с использованием умножения: получаем 0,2*0,4 = 0,08.
Какова вероятность, что вы сразу дозвонитесь до нужного человека? Проще простого: 0,8*0,7 = 0,56. В этом случае вы обнаружили, что телефон исправен и успешно совершили звонок.
Наконец, рассмотрим такой вариант: вы получили сломанный телефон, починили его, после чего набрали номер, и человек на противоположном конце взял трубку. Здесь уже требуется перемножение трёх составляющих: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.
А что делать, если у вас сразу два нерабочих телефона? С какой вероятностью вы почините хотя бы один из них? на сложение и умножение вероятностей, поскольку используются совместные события. Решение: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Таким образом, если вам в руки попадёт два сломанных аппарата, вы справитесь с починкой в 64% случаев.
Внимательное использование
Как говорилось в начале статьи, использование теории вероятности должно быть обдуманным и осознанным.
Чем больше серия экспериментов, тем ближе подходит теоретически предсказываемое значение к полученному на практике. Например, мы бросаем монетку. Теоретически, зная о существовании формул сложения и умножения вероятностей, мы можем предсказать, сколько раз выпадет «орёл» и «решка», если мы проведем эксперимент 10 раз. Мы провели эксперимент, и по стечению обстоятельств соотношение выпавших сторон составило 3 к 7. Но если провести серию из 100, 1000 и более попыток, окажется, что график распределения всё ближе подбирается к теоретическому: 44 к 56, 482 к 518 и так далее.
А теперь представьте, что данный эксперимент проводится не с монеткой, а с производством какого-нибудь новейшего химического вещества, вероятности получения которого мы не знаем. Мы провели бы 10 экспериментов и, не получив успешного результата, могли бы обобщить: «вещество получить невозможно». Но кто знает, проведи мы одиннадцатую попытку - достигли бы мы цели или нет?
Таким образом, если вы обращаетесь к неизведанному, к неисследованной области, теория вероятности может оказаться неприменима. Каждая последующая попытка в этом случае может оказаться успешной и обобщения типа «X не существует» или «X является невозможным» будут преждевременны.
Заключительное слово
Итак, мы рассмотрели два вида сложения, умножение и условные вероятности. При дальнейшем изучении данной области необходимо научиться различать ситуации, когда используется каждая конкретная формула. Кроме того, нужно представлять, применимы ли вообще вероятностные методы при решении вашей задачи.
Если вы будете практиковаться, то через некоторое время начнете осуществлять все требуемые операции исключительно в уме. Для тех, кто увлекается карточными играми, этот навык можно считать крайне ценным - вы значительно увеличите свои шансы на победу, всего лишь рассчитывая вероятность выпадения той или иной карты или масти. Впрочем, полученным знаниям вы без труда найдете применение и в других сферах деятельности.
Тема: 15. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
2. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
4. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
5. Формула полной вероятности, формула Бейеса.
6. Повторение испытаний.
1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.
Если события А и В – совместные, то их сумма А+В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В – несовместные события, то их сумма А+В означает наступление или события А, или события В.
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.
Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий
Р (А+В) = Р (А)+ Р(В).
Следствие: Сумма вероятностей несовместных событий А 1 ,...,А n , образующих полную группу, равна единице:
Р(А 1) + Р(А 2)+... +Р (А n) = 1
2. Теорема умножения вероятностей независимых
событий .
Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, появилось или не появилось другое событие.
Несколько событий называются взаимно независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них и любая комбинация, составленная из остальных (части или всех) событий, являются независимыми событиями.
Если события А 1 ,А 2 ,...,А n взаимно независимы, то и противоположные их события также взаимно независимы.
Теорема : Вероятность произведения нескольких взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А 1 А 2 ,...А n ) = Р(А 1 ) Р(А 2 ) ... Р(А n )
Для двух событий Р(АВ) = Р(А) Р(В)
Задача . Два товароведа работают независимо друг от друга. Вероятность пропустить бракованное изделие первым товароведом 0,1; вторым 0,2. Какова вероятность того, что при просмотре изделия оба товароведа не пропустят брак.
Решение : событие А - брак пропустил I товаровед, событие В - брак пропустил II товаровед.
Где событие А – брак не пропустит I товаровед,
событие В - брак не пропустит II товаровед.
Так как оба работают независимо друг от друга, то А и В независимые события.
3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Событие В называют зависимым от события А, если появление события А изменяет вероятность появления события В.
Вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р А (В).
Теорема : Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событиеуже наступило, т.е.
Р(АВ) = Р(А) Р А (В) или Р(АВ) = Р(В) Р В (А)
Теорема умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий А 1 А 2 ...А m .
Р(А 1 А 2 ..А m )=Р(А 1 )
причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.
Задача. В коробке 2 белых и 3 синих ручки. Из коробки вынимают подряд две ручки. Найти вероятность того, что обе ручки белые.
Решение: событие А - обе ручки белые, событие В - появление первой белой ручки, событие С - появление второй белой ручки.
Тогда А= В С.
Так как первая ручка не возвращается в коробку, т.е. состав коробки изменился, то события В и С зависимые.
Р (В) = 2/5; Вероятность события С находим в предположении, что В уже произошло, т.е. Р B (С) = ¼.
Искомая вероятность
В случаях, когда интересующее событие является суммой других событий, для нахождения его вероятности используется формула сложения.
Формула сложения имеет две основные разновидности – для совместных и для несовместных событий. Обосновать эти формулы можно, используя диаграммы Венна (рис. 21). Напомним, что на этих диаграммах вероятности событий численно равны площадям соответствующих этим событиям зон.
Для двух несовместных событий :
Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (8, а)
Для N несовместных событий , вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
= .(8б)
Из формулы сложения несовместных событий имеются два важных следствия.
Следствие 1. Для событий, образующих полную группу, сумма их вероятностей равна единице:
= 1.
Это объясняется следующим. Для событий, образующих полную группу, в левой части выражения (8б) находится вероятность того, что произойдёт одно из событий А i , но так как полная группа исчерпывает весь перечень возможных событий, то одно из таких событий произойдёт обязательно. Таким образом, в левой части записана вероятность события, которое обязательно произойдёт – достоверного события. Вероятность его равна единице.
Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице :
Р(А) + Р(Ā) = 1.
Это следствие вытекает из предыдущего, так как противоположные события всегда образуют полную группу.
Пример 15
В ероятность работоспособного состояния технического устройства равна 0,8. Найти вероятность отказа этого устройства за тот же период наблюдений.
Решение.
Важное замечание . В теории надёжности принято вероятность работоспособного состояния обозначать буквой р , а вероятность отказа - буквой q. В дальнейшем будем использовать эти обозначения. Как та, так и другая вероятности являются функциями времени. Так, для больших периодов времени вероятность работоспособного состояния любого объекта приближается к нулю. Вероятность отказа любого объекта близка к нулю для малых периодов времени. В тех случаях, когда период наблюдения в задачах не указан, подразумевается, что он одинаков для всех рассматриваемых объектов.
Нахождение устройства в состояниях работоспособности и отказа – противоположные события. Пользуясь следствием 2, получим вероятность отказа устройства:
q = 1 – р = 1 – 0,8 = 0,2.
Для двух совместных событий формула сложения вероятностей имеет вид:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ ), (9)
что иллюстрирует диаграмма Венна (рис. 22).
Действительно, чтобы найти всю заштрихованную площадь (она соответствует сумме событий А + В), нужно из суммы площадей фигур А и В вычесть площадь общей зоны (она соответствует произведению событий АВ), так как иначе она будет учтена дважды.
Для трех совместных событий формула сложения вероятностей усложняется:
Р(А+В+С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС). (10)
На диаграмме Венна (рис. 23) искомая вероятность численно равна общей площади зоны, образованной событиями А, В и С (для упрощения рисунка единичный квадрат на нем не показан).
После того, как из суммы площадей зон А, В и С вычтены площади зон АВ, АС и СВ получилось, что площадь зоны АВС была просуммирована трижды и трижды вычтена. Поэтому для учета этой площади она должна быть добавлена в окончательное выражение.
При увеличении числа слагаемых формула сложения становится всё более и более громоздкой, но принцип её построения остаётся прежним: сначала суммируются вероятности событий взятых по одиночке, затем вычитаются вероятности всех по парных комбинаций событий, прибавляются вероятности событий взятых тройками, вычитаются вероятности комбинаций событий взятых четверками и т.д.
В итоге следует подчеркнуть: формула сложения вероятностей совместных событий при количестве слагаемых от трех и более громоздка и неудобна к применению, использование ее при решении задач нецелесообразно .
Пример 16
Для ниже приведенной схемы электроснабжения (рис. 24) определить вероятность отказа системы в целом Q С по вероятностям отказа q i отдельных элементов (генератора, трансформаторов и линии).
Состояния отказа
отдельных элементов системы электроснабжения, так же как и состояния работоспособности, всегда являются попарно совместными событиями
, так как нет никаких принципиальных препятствий к тому, чтобы одновременно производился ремонт, например, линии и трансформатора. Отказ системы наступает при отказе любого её элемента: или генератора, или 1-го трансформатора, или линии, или 2-го трансформатора, или при отказе любой пары, любой тройки или всех четырёх элементов. Следовательно, искомое событие – отказ системы является суммой отказов отдельных элементов. Для решения задачи может быть использована формула сложения совместных событий:
Q с = q г + q т1 + q л + q т2 – q г q т1 – q г q л – q г q т2 – q т1 q л – q т1 q т2 – q л q т2 + q г q т1 q л + q г q л q т2 + q г q т1 q т2 + q т1 q т2 q л – q г q т1 q л q т2.
Это решение ещё раз убеждает в громоздкости формулы сложения для совместных событий. В дальнейшем будет рассмотрен другой более рациональный способ решения данной задачи.
Полученное выше решение может быть упрощено с учётом того, что вероятности отказов отдельных элементов системы электроснабжения для применяемого обычно в расчётах надежности периода в один год достаточно малы (порядка 10 -2). Поэтому все слагаемые кроме первых четырех можно отбросить, что практически не повлияет на численный результат. Тогда можно записать:
Q с ≈q г + q т1 + q л + q т2 .
Однако к подобным упрощениям надо относится осторожно, внимательно изучая их последствия, так как часто отбрасываемые слагаемые могут оказаться соизмеримыми с первыми.
Пример 17
Определить вероятность работоспособного состояния системы Р С , состоящей из трех резервирующих друг друга элементов.
Решение . Резервирующие друг друга элементы на логической схеме анализа надёжности изображаются соединенными параллельно (рис. 25):
Резервированная система работоспособна, когда работоспособен или 1-й, или 2-й, или 3-й элемент, или работоспособна любая пара, или все три элемента совместно. Следовательно, работоспособное состояние системы есть сумма работоспособных состояний отдельных элементов. По формуле сложения для совместных событий Р с = Р 1 + Р 2 + Р 3 – Р 1 Р 2 – Р 1 Р 3 – Р 2 Р 3 + Р 1 Р 2 Р 3 . , где Р 1 , Р 2 и Р 3 – вероятности работоспособного состояния элементов 1, 2 и 3 соответственно.
В данном случае упрощать решение, отбрасывая по парные произведения нельзя, поскольку такое приближение даст значительную погрешность (эти произведения обычно числено близки к первым трём слагаемым). Как и в примере 16, эта задача имеет другое более компактное решение.
Пример 18
Для двухцепной линии электропередачи (рис. 26) известна вероятность отказа каждой цепи: q 1 = q 2
= 0,001. Определить вероятности того, что линия будет иметь стопроцентную пропускную способность – Р(R 100), пятидесяти процентную пропускную способность - Р(R 50), и вероятность того, что система откажет – Q.
Линия имеет стопроцентную пропускную способность, когда работоспособна и 1-я и 2-я цепь:
Р(100%) = р 1 р 2 = (1 – q 1)(1 – q 2) =
= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.
Линия отказывает, когда отказывает и 1-я и 2-я цепь:
Р(0%) = q 1 q 2 =0,001∙0,001 = 10 -6 .
Линия имеет пятидесяти процентную пропускную способность, когда работоспособна 1-я цепь и отказала 2-я, или когда работоспособна 2-я цепь и отказала 1-я:
Р(50%)= р 1 q 2 + р 2 q 1 = 2∙0,999∙10 -3 = 0,001998.
В последнем выражении использована формула сложения для несовместных событий, каковыми они и являются.
События, рассмотренные в этой задаче, составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей составляет единицу.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей двух событий . Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления :
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий . Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих :
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Пример 2.16. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую - 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
Решение.
События А - «стрелок попал в первую область» и В - «стрелок попал во вторую область» - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность равна:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 0,45+ 0,35 = 0,8.
Теорема сложения вероятностей п несовместных событий . Вероятность суммы п несовместных событий равна сумме вероятностей этих :
Р(А 1 +А 2 +…+А п)=Р(А 1)+Р(А 2)+…+Р(А п).
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Вероятность события В при условии, что произошло событие А , называется условной вероятностью события В и обозначается так: Р(В/А), или Р А (В).
. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
Р(АВ)=Р(А)Р А (В).
Событие В не зависит от события А , если
Р А (В)=Р(В),
т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А .
Теорема умножения вероятностей двух независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Пример 2.17. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
Решение.
Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А – «попадание первого орудия» и В – «попадание второго орудия» независимы.
Вероятность события АВ – «оба орудия дали попадание»:
Искомая вероятность
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.
Теорема умножения вероятностей п событий. Вероятность произведения п событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
Пример 2.18 . В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).
Решение.
Вероятность появления белого шара в первом испытании:
Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность:
Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором - черный, т. е. условная вероятность:
Искомая вероятность равна:
Теорема умножения вероятностей п независимых событий. Вероятность произведения п независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(А 1 А 2 …А п)=Р(А 1)Р(А 2)…Р(А п).
Вероятность появления хотя бы одного из события. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 , А 2 , …, А п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :
.
Пример 2.19. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7; р 3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А ) при одном залпе из всех орудий.
Решение.
Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A 1 (попадание первого орудия), А 2 (попадание второго орудия) и А 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям А 1 , А 2 и А 3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:
, , 
.
Искомая вероятность равна:
Если независимые события А 1 , А 2 , …, А п имеют одинаковую вероятность, равную р , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой:
Р(А)= 1 – q n ,
где q=1- p
2.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Пусть событие А может произойти при условии появления одного из несовместных событий Н 1 , Н 2 , …, Н п , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами .
Вероятность появления события А вычисляется по формуле полной вероятности:
Р(А)=Р(Н 1)Р(А/Н 1)+ Р(Н 2)Р(А/Н 2)+…+ Р(Н п)Р(А/Н п).
Допусти, что произведен опыт, в результате которого событие А произошло. Условные вероятности событий Н 1 , Н 2 , …, Н п относительно события А определяются формулами Байеса :
,
Пример 2.20 . В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен, 6 подготовлены отлично, 8 – хорошо, 4 – удовлетворительно и 2 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 30 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 30 вопросов, хорошо подготовленный – на 24, удовлетворительно – на 15, плохо – на 7.
Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
Решение.
Гипотезы – «студент подготовлен отлично»;
– «студент подготовлен хорошо»;
– «студент подготовлен удовлетворительно»;
– «студент подготовлен плохо».
До опыта:
; ; ; ;
7. Что называют полной группой событий?
8. Какие события называют равновозможными? Приведите примеры таких событий.
9. Что называют элементарным исходом?
10. Какие исходы называю благоприятными данному событию?
11. Какие операции можно проводить над событиями? Дайте им определения. Как обозначаются? Приведите примеры.
12. Что называется вероятностью?
13. Чему равна вероятность достоверного события?
14. Чему равна вероятность невозможного события?
15. В каких пределах заключена вероятность?
16. Как определяется геометрическая вероятность на плоскости?
17. Как определяется вероятность в пространстве?
18. Как определяется вероятность на прямой?
19. Чему равна вероятность суммы двух событий?
20. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
21. Чему равна вероятность суммы n несовместных событий?
22. Какую вероятность называют условной? Приведите пример.
23. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.
24. Как найти вероятность появления хотя бы одного из событий?
25. Какие события называют гипотезами?
26. Когда применяются формула полной вероятности и формулы Байеса?
