Основы игрового баланса: случайность и вероятность наступления разных событий. Теория вероятностей

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

Равновозможными.
Совместимыми.
Несовместимыми.
Противоположными (взаимоисключающими).
Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

Бубновая.
Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

P(A i)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.

Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:

Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.

Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.

Быстрый переход

Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты

Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:

P Б =(1/K)*100%,

где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.

Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.

Расчёт вероятности события игроком

Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:

P И =(УМ/М)*100%,

где P И – вероятность события по мнению игрока;

УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;

М – общее количество матчей.

Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.

И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.

Определение ценности ставки

Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:

V= P И *K-100%,

где V – ценность;

P И – вероятность исхода по мнению беттера;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.

Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.

как онтологическая категория отражает меру возможности возникновения какого-либо сущего в каких-либо условиях. В отличие от математических и логической интерпретации этого понятия онтологическая В. не связывает себя с обязательностью количетвенного выражения. Значение В. раскрывается в контексте понимания детерминизма и характера развития в целом.

Отличное определение

Неполное определение ↓

ВЕРОЯТНОСТЬ

понятие, характеризующее количеств. меру возможности появления нек-рого события при определ. условиях. В науч. познании встречаются три интерпретации В. Классическая концепция В., возникшая из математич. анализа азартных игр и наиболее полно разработанная Б. Паскалем, Я. Бернулли и П. Лапласом, рассматривает В. как отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу всех равновозможных. Напр., ири бросании игральной кости, имеющей 6 граней, выпадение каждой из них можно ожидать с В., равной 1/6, т. к. ни одна грань не имеет преимуществ перед другой. Подобная симметричность исходов опыта специально учитывается при организации игр, но сравнительно редко встречается при исследовании объективных событий в науке и практике. Классич. интерпретация В. уступила место статистич. концепции В., в основе к-рой лежат действит. наблюдения появления нек-рого события в ходе длит. опыта при точно фиксированных условиях. Практика подтверждает, что чем чаще происходит событие, тем больше степень объективной возможности его появления, или В. Поэтому статистич. интерпретация В. опирается на понятие относит. частоты, к-рое может быть определено опытным путем. В. как теоретич. понятие никогда не совпадает с эмпирически определяемой частотой, однако во мн. случаях она практически мало отличается от относит. частоты, найденной в результате длит. наблюдений. Многие статистики рассматривают В. как «двойник» относит. частоты, к-рая определяется при статистич. исследовании результатов наблюдений

или экспериментов. Менее реалистичным оказалось определение В. как предела относит. частот массовых событий, или коллективов, предложенное Р. Мизесом. В качестве дальнейшего развития частотного подхода к В. выдвигается диспозиционная, или пропенситивная, интерпретация В. (К. Поппер, Я. Хэккинг, М. Бунге, Т. Сетл). Согласно этой интерпретации, В. характеризует свойство порождающих условий, напр. эксперимент. установки, для получения последовательности массовых случайных событий. Именно такая установка порождает физич. диспозиции, или предрасположенности, В. к-рых может быть проверена с помощью относит. частот.

Статистич. интерпретация В. доминирует в науч. познании, ибо она отражает специфич. характер закономерностей, присущих массовым явлениям случайного характера. Во многих физич., биологич., экономич., демографич. и др. социальных процессах приходится учитывать действие множества случайных факторов, к-рые характеризуются устойчивой частотой. Выявление этой устойчивой частоты и количеств. ее оценка с помощью В. дает возможность вскрыть необходимость, к-рая прокладывает себе путь через совокупное действие множества случайностей. В этом находит свое проявление диалектика превращения случайности в необходимость (см. Ф. Энгельс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 20, с. 535-36).

Логическая, или индуктивная, В. характеризует отношение между посылками и заключением недемонстративного и, в частности, индуктивного рассуждения. В отличие от дедукции, посылки индукции не гарантируют истинности заключения, а лишь делают его в той или иной степени правдоподобным. Это правдоподобие при точно сформулированных посылках иногда можно оценивать с помощью В. Значение этой В. чаще всего определяется посредством сравнит. понятий (больше, меньше или равно), а иногда и численным способом. Логич. интерпретацию часто используют для анализа индуктивных рассуждений и построения различных систем вероятностных логик (Р. Карнап, Р. Джефри). В семантич. концепции логич. В. часто определяется как степень подтверждения одного высказывания другими (напр., гипотезы ее эмпирич. данными) .

В связи с развитием теорий принятия решений и игр все большее распростраиение получает т. н. персоналистская интерпретация В. Хотя В. при этом выражает степень веры субъекта и появление нек-рого события, сами В. должны выбираться с таким расчетом, чтобы удовлетворялись аксиомы исчисления В. Поэтому В. при такой интерпретации выражает не столько степень субъективной, сколько разумной веры. Следовательно, решения, принимаемые на основе такой В., будут рациональными, ибо они не учитывают психологич. особенностей и склонностей субъекта.

С гносеологич. т. зр. различие между статистич., логич. и персоналистской интерпретациями В. состоит в том, что если первая дает характеристику объективным свойствам и отношениям массовых явлений случайного характера, то последние две анализируют особенности субъективной, познават. деятельности людей в условиях неопределенности.

ВЕРОЯТНОСТЬ

одно из важнейших понятий науки, характеризующее особое системное видение мира, его строения, эволюции и познания. Специфика вероятностного взгляда на мир раскрывается через включение в число базовых понятий бытия понятий случайности, независимости и иерархии (идеи уровней в структуре и детерминации систем).

Представления о вероятности зародились еще в древности и относились к характеристике нашего знания, при этом признавалось наличие вероятностного знания, отличающегося от достоверного знания и от ложного. Воздействие идеи вероятности на научное мышление, на развитие познания прямо связано с разработкой теории вероятностей как математической дисциплины. Зарождение математического учения о вероятности относится к 17 в., когда было положено начало разработке ядра понятий, допускающих. количественную (числовую) характеристику и выражающих вероятностную идею.

Интенсивные приложения вероятности к развитию познания приходятся на 2-ю пол. 19- 1-ю пол. 20 в. Вероятность вошла в структуры таких фундаментальных наук о природе, как классическая статистическая физика, генетика, квантовая теория, кибернетика (теория информации). Соответственно вероятность олицетворяет тот этап в развитии науки, который ныне определяется как неклассическая наука. Чтобы раскрыть новизну, особенности вероятностного образа мышления, необходимо исходить из анализа предмета теории вероятностей и оснований ее многочисленных приложений. Теорию вероятностей обычно определяют как математическую дисциплину, изучающую закономерности массовых случайных явлений при определенных условиях. Случайность означает, что в рамках массовости бытие каждого элементарного явления не зависит и не определяется бытием других явлений. В то же время сама массовость явлений обладает устойчивой структурой, содержит определенные регулярности. Массовое явление вполне строго делится на подсистемы, и относительное число элементарных явлений в каждой из подсистем (относительная частота) весьма устойчиво. Эта устойчивость сопоставляется с вероятностью. Массовое явление в целом характеризуется распределением вероятностей, т. е. заданием подсистем и соответствующих им вероятностей. Язык теории вероятностей есть язык вероятностных распределений. Соответственно теорию вероятностей и определяют как абстрактную науку об оперировании распределениями.

Вероятность породила в науке представления о статистических закономерностях и статистических системах. Последние суть системы, образованные из независимых или квазинезависимых сущностей, их структура характеризуется распределениями вероятностей. Но как возможно образование систем из независимых сущностей? Обычно предполагается, что для образования систем, имеющих целостные характеристики, необходимо, чтобы между их элементами существовали достаточно устойчивые связи, которые цементируют системы. Устойчивость статистическим системам придает наличие внешних условий, внешнего окружения, внешних, а не внутренних сил. Само определение вероятности всегда опирается на задание условий образования исходного массового явления. Еще одной важнейшей идеей, характеризующей вероятностную парадигму, является идея иерархии (субординации). Эта идея выражает взаимоотношения между характеристиками отдельных элементов и целостными характеристиками систем: последние как бы надстраиваются над первыми.

Значение вероятностных методов в познании заключается в том, что они позволяют исследовать и теоретически выражать закономерности строения и поведения объектов и систем, имеющих иерархическую, «двухуровневую» структуру.

Анализ природы вероятности опирается на частотную, статистическую ее трактовку. Вместе с тем весьма длительное время в науке господствовало такое понимание вероятности, которое получило название логической, или индуктивной, вероятности. Логическую вероятность интересуют вопросы обоснованности отдельного, индивидуального суждения в определенных условиях. Можно ли оценить степень подтверждения (достоверности, истинности) индуктивного заключения (гипотетического вывода) в количественной форме? В ходе становления теории вероятностей такие вопросы неоднократно обсуждались, и стали говорить о степенях подтверждения гипотетических заключений. Эта мера вероятности определяется имеющейся в распоряжении данного человека информацией, его опытом, воззрениями на мир и психологическим складом ума. Во всех подобных случаях величина вероятности не поддается строгим измерениям и практически лежит вне компетенции теории вероятностей как последовательной математической дисциплины.

Объективная, частотная трактовка вероятности утверждалась в науке со значительными трудностями. Первоначально на понимание природы вероятности оказали сильное воздействие те философско-методологические взгляды, которые были характерны для классической науки. Исторически становление вероятностных методов в физике происходило под определяющим воздействием идей механики: статистические системы трактовались просто как механические. Поскольку соответствующие задачи не решались строгими методами механики, то возникли утверждения, что обращение к вероятностным методам и статистическим закономерностям есть результат неполноты наших знаний. В истории развития классической статистической физики предпринимались многочисленные попытки обосновать ее на основе классической механики, однако все они потерпели неудачу. Основания вероятности состоят в том, что она выражает собою особенности структуры определенного класса систем, иного, чем системы механики: состояние элементов этих систем характеризуется неустойчивостью и особым (не сводящимся к механике) характером взаимодействий.

Вхождение вероятности в познание ведет к отрицанию концепции жесткого детерминизма, к отрицанию базовой модели бытия и познания, выработанных в процессе становления классической науки. Базовые модели, представленные статистическими теориями, носят иной, более общий характер: они включают в себя идеи случайности и независимости. Идея вероятности связана с раскрытием внутренней динамики объектов и систем, которая не может быть всецело определена внешними условиями и обстоятельствами.

Концепция вероятностного видения мира, опирающаяся на абсолютизацию представлений о независимости (как и прежде парадигма жесткой детерминации), в настоящее время выявила свою ограниченность, что наиболее сильно сказывается при переходе современной науки к аналитическим методам исследования сложноорганизованных систем и физико-математических основ явлений самоорганизации.

Отличное определение

Неполное определение ↓

Это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина - женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента .

Вероятность в математике

В современном математическом подходе классическая (то есть не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова . Вероятностью называется мера P , которая задаётся на множестве X , называемом вероятностным пространством . Эта мера должна обладать следующими свойствами:

Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности : если множества A 1 и A 2 не пересекаются, то . Для доказательства нужно положить все A 3 , A 4 , … равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X . Достаточно определить её на сигма-алгебре , состоящей из некоторых подмножеств множества X . При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X , то есть как элементы сигма-алгебры .

Вероятность смысле

Когда мы находим, что основания для того, чтобы какой-нибудь возможный факт произошел в действительности, перевешивают противоположные основания, мы считаем этот факт вероятным , в противном случае - невероятным . Этот перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может представлять неопределённое множество степеней, вследствие чего вероятность (и невероятность ) бывает большею или меньшею .

Сложные единичные факты не допускают точного вычисления степеней своей вероятности, но и здесь важно бывает установить некоторые крупные подразделения. Так, например, в области юридической , когда подлежащий суду личный факт устанавливается на основании свидетельских показаний, он всегда остаётся, строго говоря, лишь вероятным, и необходимо знать, насколько эта вероятность значительна; в римском праве здесь принималось четверное деление: probatio plena (где вероятность практически переходит в достоверность ), далее - probatio minus plena , затем - probatio semiplena major и, наконец, probatio semiplena minor .

Кроме вопроса о вероятности дела, может возникать, как в области права, так и в области нравственной (при известной этической точке зрения) вопрос о том, насколько вероятно, что данный частный факт составляет нарушение общего закона. Этот вопрос, служащий основным мотивом в религиозной юриспруденции Талмуда , вызвал и в римско-католическом нравственном богословии (особенно с конца XVI века) весьма сложные систематические построения и огромную литературу, догматическую и полемическую (см. Пробабилизм) .

Понятие вероятности допускает определенное численное выражение в применении лишь к таким фактам, которые входят в состав определенных однородных рядов. Так (в самом простом примере), когда кто-нибудь бросает сто раз кряду монету, мы находим здесь один общий или большой ряд (сумма всех падений монеты), слагающийся из двух частных или меньших, в данном случае численно равных, рядов (падения «орлом» и падения «решкой»); Вероятность, что в данный раз монета упадет решкой, то есть что этот новый член общего ряда будет принадлежать к этому из двух меньших рядов, равняется дроби, выражающей численное отношение между этим малым рядом и большим, именно 1/2, то есть одинаковая вероятность принадлежит к тому или другому из двух частных рядов. В менее простых примерах заключение не может быть выведено прямо из данных самой задачи, а требует предварительной индукции . Так, например, спрашивается: какая вероятность существует для данного новорожденного дожить до 80 лет? Здесь должно составить общий, или большой, ряд из известного числа людей, рожденных в подобных же условиях и умирающих в различном возрасте (это число должно быть достаточно велико, чтобы устранить случайные отклонения, и достаточно мало, чтобы сохранялась однородность ряда, ибо для человека, рождённого, например, в Санкт-Петербурге в обеспеченном культурном семействе, всё миллионное население города, значительная часть которого состоит из лиц разнообразных групп, могущих умереть раньше времени - солдат, журналистов, рабочих опасных профессий, - представляет группу слишком разнородную для настоящего определения вероятности); пусть этот общий ряд состоит из десяти тысяч человеческих жизней; в него входят меньшие ряды, представляющие число доживающих до того или другого возраста; один из этих меньших рядов представляет число доживающих до 80 лет. Но определить численность этого меньшего ряда (как и всех других) невозможно a priori ; это делается чисто индуктивным путем, посредством статистики . Положим, статистические исследования установили, что из 10000 петербуржцев среднего класса до 80 лет доживают только 45; таким образом, этот меньший ряд относится к большому, как 45 к 10000, и вероятность для данного лица принадлежать к этому меньшему ряду, то есть дожить до 80 лет, выражается дробью 0,0045. Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей .

См. также

Примечания

Литература

Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 2007. 42 с.
Купцов В. И. Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Антонимы :

Смотреть что такое "Вероятность" в других словарях:

Общенаучная и филос. категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. В логике семантическая степень… … Философская энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЬ, число в интервале от нуля до единицы включительно, представляющее возможность свершения данного события. Вероятность события определяется как отношение числа шансов того, что событие может произойти, к общему количеству возможных… … Научно-технический энциклопедический словарь

По всей вероятности.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. вероятность возможность, вероятие, шанс, объективная возможность, маза, допустимость, риск. Ant. невозможность… … Словарь синонимов

вероятность - Мера того, что событие может произойти. Примечание Математическое определение вероятности: «действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию». Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений… … Справочник технического переводчика

Вероятность - «математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого либо события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Если исходить из этого классического… … Экономико-математический словарь

- (probability) Возможность наступления какого либо события или определенного результата. Может быть представлена в виде шкалы с делениями от 0 до 1. При нулевой вероятности события его наступление невозможно. При вероятности, равной 1, наступление … Словарь бизнес-терминов

Вероятность противоположного события

Рассмотрим некоторое случайное событие A , и пусть его вероятность p(A) известна. Тогда вероятность противоположного события определяется по формуле

. (1.8)

Доказательство. Вспомним, что по аксиоме 3 для несовместных событий

p(A+B) = p(A) + p(B) .

В силу несовместности A и

Следствие. , то есть вероятность невозможного события равна нулю.

С помощью формулы (1.8) определяется, например, вероятность промахнуться, если известна вероятность попадания (или, наоборот, вероятность попадания, если известна вероятность промаха; например, если вероятность попадания для орудия 0,9, вероятность промаха для него (1 – 0,9 = 0,1).

Вероятность суммы двух событий

Здесь уместно будет напомнить, что для несовместных событий эта формула имеет вид:

Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?

Решение. P = 1 – (0,85 + 0,1) = 0,05.

Вероятность суммы двух любых случайных событий равна

Доказательство. Представим событие A + B в виде суммы несовместных событий

Учитывая несовместность A и , получим согласно аксиоме 3

Аналогично находим

Подставляя последнее в предыдущую формулу, получим искомую (1.10) (рис 2).

Пример. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причем, 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

Решение. P = 1 – (5/20 + 4/20 – 3/20) = 0,7 (70%).

Условная вероятность

В некоторых случаях необходимо определить вероятность случайного события B при условии, что произошло случайное событие A , имеющее ненулевую вероятность. То, что событие A произошло, сужает пространство элементарных событий до множества A , соответствующего этому событию. Дальнейшие рассуждения проведём на примере классической схемы. Пусть Wсостоит из n равновозможных элементарных событий (исходов) и событию A благоприятствует m(A) , а событию AB - m(AB) исходов. Обозначим условную вероятность события B при условии, что A произошло, - p(B|A). По определению,

= .

Если A произошло, то реализован один из m(A) исходов и событие B может произойти, только если произойдёт один из исходов, благоприятствующих AB ; таких исходов m(AB) . Поэтому естественно положить условную вероятность события B при условии, что A произошло, равной отношению

Обобщая, дадим общее определение: условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется

. (1.11)

Легко можно проверить, что введённое таким образом определение удовлетворяет всем аксиомам и, следовательно, справедливы все ранее доказанные теоремы.

Часто условную вероятность p(B|A) можно легко найти из условия задачи, в более сложных случаях приходится пользоваться определением (1.11).

Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых и N-n черных. Из нее достают шар и, не кладя его обратно (выборка без возвращения ), достают еще один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?

Решение. При решении этой задачи применим и классическое определение вероятности, и правило произведения: обозначим через A событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар (тогда – первым вынули черный шар), а через B – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

Легко видеть, что вероятность того, что три вынутые подряд (без возвращения) шара белые:

и т.д.

Пример. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

Решение. Пусть событие A заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента ²плохим², а B - второй - ²хорошим². Поскольку после наступления события A один из ²плохих² уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность, предполагая, что появление любого билета равновозможно и они обратно не возвращаются, равна .

Вероятность произведения

Соотношение (1.11), предполагая, что p(A) или p(B) не равны нулю, можно записать в виде

Это соотношение называют теоремой о вероятности произведения двух событий , которая может быть обобщена на любое число множителей, например, для трёх она имеет вид

Пример. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

Решение. Пусть события A и B заключаются в том, что, соответственно, первый и второй билеты ²хорошие². Тогда – появление ²плохого² билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие A или одновременно и B . То есть искомое событие С - успешная сдача экзамена – выражается следующим образом: C = A + .Отсюда

Здесь мы воспользовались несовместностью A и , а следовательно, несовместностью A и , теоремами о вероятности суммы и произведения и классическим определением вероятности при подсчёте p(A) и .

Эту задачу можно решить и проще, если воспользоваться теоремой о вероятности противоположного события:

Независимость событий

Случайные события A и B назовём независимыми , если

Для независимых событий из (1.11) следует, что ; справедливо и обратное утверждение.

Независимость событий означает, что наступление события A не изменяет вероятности появления события B, то есть условная вероятность равна безусловной.

Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладем его обратно и только затем вынимаем следующий (выборка с возвращением ).

A - событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, - событие, состоящее в том, что первым вынули черный шар, а B - событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

то есть в этом случае события A и В независимы.

Таким образом, при выборке с возвращением события при втором вынимании шара не зависят от событий первого вынимания, а при выборке без возвращения это не так. Однако при больших N и n эти вероятности очень близки к друг другу. Этим пользуются, так как иногда производят выборку без возвращения (например, при контроле качества, когда тестирование объекта приводит к его разрушению), а расчеты проводят по формулам для выборки с возвращением, которые проще.

На практике при расчете вероятностей часто пользуются правилом, согласно которому из физической независимости событий следует их независимость в теоретико-вероятностном смысле.

Пример. Вероятность того, что человек в возрасте 60 лет не умрет в ближайший год, равна 0,91. Страховая компания страхует на год жизнь двух людей 60-ти лет.

Вероятность того, что ни один из них не умрет: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Вероятность того, что они оба умрут:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Вероятность того, что умрет хотя бы один :

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Вероятность того, что умрет один :

0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.

Систему событий A 1 , A 2 ,..., A n назовём независимой в совокупности, если вероятность произведения равна произведению вероятностей для любой комбинации сомножителей из этой системы. В этом случае, в частности,

Пример. Шифр сейфа состоит из семи десятичных цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

В каждой из 7 позиций можно набрать любую из 10 цифр 0,1,2,...,9, всего 10 7 чисел, начиная с 0000000 и кончая 9999999.

Пример. Шифр сейфа состоит из русской буквы (их 33) и трех цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Пример. В более общем виде задача о страховке: вероятность того, что человек в возрасте … лет не умрет в ближайший год, равна p. Страховая компания страхует на год жизнь n людей этого возраста.

Вероятность того, что ни один из них не умрет: pn (не придется платить страховую премию никому).

Вероятность того, что умрет хотя бы один : 1 – p n (предстоят выплаты).

Вероятность того, что они все умрут: (1 – p) n (самые большие выплаты).

Вероятность того, что умрет один : n × (1 – p) × p n-1 (если людей пронумеровать, то тот, кто умрет, может иметь номер 1, 2,…,n – это n разных событий, каждое из которых имеет вероятность (1 – p) × p n-1).

Формула полной вероятности

Пусть события H 1 , H 2 , ... , H n удовлетворяют условиям

Если , и .

Такую совокупность называют полной группой событий .

Предположим, что известны вероятности p (H i ), p (A/H i ). В этом случае применима формула полной вероятности

. (1.14)

Доказательство. Воспользуемся тем, что H i (их обычно называют гипотезами ) попарно несовместны (следовательно несовместны и H i × A ), и их сумма есть достоверное событие

Эта схема имеет место всегда, когда можно говорить о разбиении всего пространства событий на несколько, вообще говоря, разнородных областей. В экономике это – разбиение страны или района на регионы разного размера и разных условий, когда известна доля каждого региона p(H i) и вероятность (доля) какого-то параметра в каждом регионе (например, процент безработных – в каждом регионе он свой) – p(A/H i) . На складе может лежать продукция с трех разных заводов, поставляющих разное количество продукции с разной долей брака и т.д.

Пример. Литье в болванках поступает из двух цехов в третий: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.

Решение: p(H 1) = 0,7; p(H 2) = 0,3; p(A/H 1) = 0,1; p(A/H 2) = 0,2;

P = 0,7 × 0.1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (в среднем 13% болванок в третьем цехе дефектны).

Математическая модель может быть, например, такой: имеется несколько урн разного состава; в первой урне n 1 шаров, из которых m 1 белых, и т.д. По формуле полной вероятности ищется вероятность, выбрав наугад урну, достать из нее белый шар.

По этой же схеме решаются задачи и в общем случае.

Пример. Вернемся к примеру с урной, содержащей N шаров, из которых n белых. Достаем из нее (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?

Решение. H 1 – первый шар белый; p(H 1)=n/N;

H 2 – первый шар черный; p(H 2)=(N-n)/N;

В - второй шар белый; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H 2)=n/(N-1);

Эта же модель может быть применена при решении такой задачи: из N билетов студент выучил только n. Что ему выгоднее – тянуть билет самым первым или вторым? Оказывается, в любом случае он с вероятностью n/N вытянет хороший билет и с вероятностью (N-n)/N – плохой.

Пример. Определить вероятность того, что путник, вышедший из пункта А, попадёт в пункт В, если на развилке дорог он наугад выбирает любую дорогу (кроме обратной). Схема дорог указана на рис. 1.3.

Решение. Пусть приход путника в пункты H 1 , H 2 , H 3 и H 4 будет соответствующими гипотезами. Очевидно, они образуют полную группу событий и по условию задачи

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Все направления из А для путника равновозможны). Согласно схеме дорог условные вероятности попадания в B при условии, что путник прошёл через H i , равны:

Применяя формулу полной вероятности, получим

Формула Байеса

Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие A произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза H k. По определению условной вероятности

. (1.15)

Полученное соотношение называют формулой Байеса . Она позволяет по известным
(до проведения опыта) априорным вероятностям гипотез p(H i) и условным вероятностям p(A|H i) определить условную вероятность p(H k |A) , которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие A уже произошло).

Пример. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы, соответственно, равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.