Придумать рисунок с центральной или осевой симметрией. Центральная симметрия

Гомотетия и подобие. Гомотетия - преобразование, при котором каждой точке М (плоскости или пространства) ставится в соответствие точка М", лежащая на ОМ (рис. 5.16), причем отношение ОМ":ОМ= λ одно и то же для всех точек, отличных от О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии. Отношение ОМ": ОМ считают положительным, если М" и М лежат по одну сторону от О, отрицательным - по разные стороны. Число X называют коэффициентом гомотетии. При Х< 0 гомотетию называют обратной. При λ = - 1 гомотетия превращается в преобразование симметрии относительно точки О. При гомотетии прямая переходит в прямую, сохраняется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные), каждая фигура переходит в ей подобную (рис. 5.17).

Верно и обратное утверждение. Гомотетия может быть определена как аффинное преобразование, при котором прямые, соединяющие соответствующие точки, проходят через одну точку - центр гомотетии. Гомотетию применяют для увеличения изображений (проекционный фонарь, кино).

Центральная и зеркальная симметрии. Симметрия (в широком смысле) - свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность ее формы, неизменность ее при действии движений и отражений. Фигура Ф обладает симметрией (симметрична), если существуют нетождественные ортогональные преобразования, переводящие эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой этой фигуры. Так, плоская фигура (рис. 5.18) с точкой М, преобразующая-

ся в себя при зеркальном отражении, симметрична относительно прямой - оси АВ. Здесь группа симметрии состоит из двух элементов - точка М преобразуется в М".

Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n, где n > 2 целое число, переводят ее в себя, то фигура Ф обладает симметрией n-го порядка относительно точки О - центра симметрии. Пример таких фигур - правильные многоугольники, например звездчатый (рис. 5.19), обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра. Группа симметрии здесь - так называемая циклическая группа n-го порядка. Окружность обладает симметрией бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Простейшими видами пространственной симметрии является центральная симметрия (инверсия). В этом случае относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, т. е. точка О - середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф. Так, для куба (рис. 5.20) точка О является центром симметрии. Точки М и М" куба

(означает «соразмерность») — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под «симметрией» понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Центральная симметрия — симметрия относительно точки.

относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.

На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром А представляет собой поворот на 180 градусов с центром А. Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.

Центральную симметрию в трёхмерном пространстве называют также сферической симметрией. Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через центр симметрии.

Осевая симметрия — симметрия относительно прямой.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Осевая симметрия имеет два определения:

- Отражательная симметрия.

В математике осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осимметрична и имеет 3 оси симметрии, если это не квадрат.

- Вращательная симметрия.

В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметриею, относительно поворотов вокруг прямой. При этом тела называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но конус будет.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

МБОУ «Тюхтетская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное объединение учащихся «Хотим активно учиться»

физико-математическое и техническое направление

Арвинти Татьяна,

Ложкина Мария,

МБОУ «ТСОШ № 1»

5 «А» класс

МБОУ «ТСОШ № 1»

учитель математики

Введение………………………………………………………………………………...3

I. 1. Симметрия. Виды симметрии..…………………………………………...............4

I. 2. Симметрия вокруг нас …………………………………………………………....6

I. 3. Осевые и центрально-симметричные орнаменты….…………………………… 7

II. Симметрия в рукоделии

II. 1. Симметрия в вязании …………………………………………………………...10

II. 2. Симметрия в оригами …..………………………………………………………11

II. 3. Симметрия в бисероплетении………………………………………………….12

II. 4. Симметрия в вышивании ………………………………………………………13

II. 5. Симметрия в поделках из спичек ……………………………………………...14

II. 6. Симметрия в плетении «Макраме»…………………………………………….15

Заключение…………………………………………………………………………….16

Библиографический список…………………………………………………………..17

Введение

Одним из фундаментальных понятий науки, которое наряду с понятием «гармонии» имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является «симметрия».

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке:

«Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Все мы восхищаемся красотой геометрических фигур, их сочетанием, рассматривая подушки, вязаные салфетки, одежду с вышивкой.

Многие века разными народами создавались замечательные виды декоративно - прикладных искусств. Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим показать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения, тесно связанный с бытом человека.

В данной работе рассматриваются предметы рукоделия на предмет их симметрии.

Рассматриваемые нами виды рукоделия тесно связаны с математикой, так как в работах используются различные геометрические фигуры, которые подчиняются математическим преобразованиям. В связи с этим были изучены такие математические понятия как симметрия, виды симметрии.

Цель исследования: изучение информации о симметрии, поиск симметричных предметов рукоделия.

Задачи исследования:

· Теоретические: изучить понятия симметрии, ее видов.

· Практические: найти симметричные поделки, определить вид симметрии.

Симметрия. Виды симметрии

Симметрия (означает «соразмерность») - свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки - это центральная симметрия, а симметрия относительно прямой - это осевая симметрия.

Симметрия относительно точки (центральная симметрия) предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры). Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.

Поворотом вокруг данной точки O называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии. Примером может служить лист тетради, который согнут пополам, если по линии сгиба провести прямую линию (ось симметрии). Каждая точка одной половины листа будет иметь симметричную точку на второй половине листа, если они расположены на одинаковом расстоянии от линии сгиба на перпендикуляре к оси. Ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой - перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка и равноудалена от концов этого отрезка.

Колл" href="/text/category/koll/" rel="bookmark">коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла.

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике - это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

Осевые и центрально-симметричные орнаменты

Композиции, построенные по принципу коврового орнамента могут иметь симметричное построение. Рисунок в них организуется по принципу симметрии относительно одной или двух осей симметрии. В ковровых орнаментах часто присутствует сочетание нескольких видов симметрии - осевой и центральной.

На рисунке 1 дана схема разметки плоскости под ковровый орнамент, композиция которого будет строиться по осям симметрии. На плоскости по периметру определяются место и размер каймы. Центральное поле займет основной орнамент.

Варианты различных композиционных решений плоскости приведены на рисунке 1 б-д. На рисунке 1 б композиция строится в центральной части поля. Очертания ее могут варьироваться в зависимости от формы самого поля. Если плоскость имеет форму вытянутого прямоугольника, композиции придают очертания вытянутого ромба или овала. Квадратную форму поля лучше поддержит композиция, очерченная окружностью или равносторонним ромбом.

Рисунок 1. Осевая симметрия.

На рисунке 1в приводится схема композиции, рассмотренная в предыдущем примере, которая дополнена небольшими угловыми элементами. На рисунке 1г схема композиции строится вдоль горизонтальной оси. Она включает в себя центральный элемент с двумя боковыми. Рассмотренные схемы могут служить основой для составления композиций, которые имеют две оси симметрии.

Такие композиции одинаково воспринимаются зрителями со всех сторон, они, как правило, не имеют ярко выраженного верха и низа.
Ковровые орнаменты могут содержать в своей центральной части композиции, имеющие одну ось симметрии (рисунок 1д). У таких композиций выраженная ориентация, у них существует верх и низ.

Центральная часть может быть не только выполнена в виде абстрактного орнамента, но и иметь тему.
Все рассматриваемые выше примеры разработки орнаментов и композиций, построенных на их основе, относились к плоскостям, имеющим прямоугольную форму. Прямоугольная форма поверхности - часто встречаемый, но не единственный вид поверхностей.

Шкатулки, подносы, тарелки могут иметь плоскости в форме круга или овала. Одним из вариантов их декора могут быть центрально-симметричные орнаменты. Основой создания такого орнамента является центр симметрии, через который может пройти бесконечное множество осей симметрии (рисунок 2а).

Рассмотрим пример разработки орнамента, ограниченного окружностью и имеющего центральную симметрию (рисунок 2). Структура орнамента лучевая. Его основные элементы располагаются вдоль линий радиусов окружности. Граница орнамента оформлена каймой.

Рисунок 2. Центрально-симметричные орнаменты .

II . Симметрия в рукоделии

II . 1. Симметрия в вязании

Нами были найдены вязаные поделки с центральной симметрией:

https://pandia.ru/text/78/640/images/image014_2.jpg" width="280" height="272">https://pandia.ru/text/78/640/images/image016_0.jpg" width="333" height="222">.gif" alt="C:\Users\Семья\Desktop\obemnaya_snezhinka_4.jpg" width="274" height="275">.gif" alt="P:\Моя информация\Мои документы\5 класс\Симетрия\SDC15972.JPG" width="338" height="275">.jpg" width="250" height="249">.jpg" width="186" height="246">.gif" alt="G:\Мариетта\_resize-of-i-9.jpg" width="325" height="306">.jpg" width="217" height="287">.jpg" width="265" height="199">.gif" alt="G:\Мариетта\cherepashkaArsik.jpg" width="323" height="222">

Осевая симметрия и понятие совершенства

Осевая симметрия присуща всем формам в природе и является одним из основополагающих принципов красоты. С древнейших времен человек пытался

постигнуть смысл совершенства. Впервые обосновали это понятие художники, философы и математики Древней Греции. Да и само слово "симметрия" было придумано ими. Обозначает оно пропорциональность, гармоничность и тождественность частей целого. Древнегреческий мыслитель Платон утверждал, что прекрасным может быть только тот объект, который симметричен и соразмерен. И действительно, «радуют глаз» те явления и формы, которые имеют пропорциональность и завершенность. Их мы называем правильными.

Осевая симметрия как понятие

Симметрия в мире живых существ проявляется в закономерном расположении одинаковых частей тела относительно центра или оси. Чаще в

природе встречается осевая симметрия. Она обуславливает не только общее строение организма, но и возможности его последующего развития. Геометрические формы и пропорции живых существ формирует «осевая симметрия». Определениеее формулируется следующим образом: это свойство объектов совмещаться при различных преобразованиях. Древние считали, что принципом симметричности в наиболее полном объеме обладает сфера. Эту форму они полагали гармоничной и совершенной.

Осевая симметрия в живой природе

Если взглянуть на любое живое существо, сразу бросается в глаза симметричность устройства организма. Человек: две руки, две ноги, два глаза, два уха и так далее. Каждому виду животных присущ характерный окрас. Если в расцветке фигурирует рисунок, то, как правило, он зеркально дублируется с обеих сторон. Это означает, что существует некая линия, по которой животные и люди могут быть визуально поделены на две идентичные половинки, то есть в основе их геометрического устройства лежит осевая симметрия. Любой живой организм природа создает не хаотично и бессмысленно, а согласно общим законам мироустройства, ведь во Вселенной ничто не имеет чисто эстетического, декоративного назначения. Наличие различных форм также обусловлено закономерной необходимостью.

Осевая симметрия в неживой природе

В мире нас повсюду окружают такие явления и предметы, как: тайфун, радуга, капля, листья, цветы и т.д. Их зеркальная, радиальная, центральная, осевая симметрия - очевидны. В значительной степени она обусловлена явлением гравитации. Часто под понятием симметрия понимается регулярность смены каких-либо явлений: день и ночь, зима, весна, лето и осень и так далее. Практически, это свойство существует везде, где наблюдается упорядоченность. Да и сами законы природы - биологические, химические, генетические, астрономические, подчинены общим для нас всех принципам симметрии, поскольку имеют завидную системность. Таким образом, сбалансированность, тождественность как принцип имеет всеобщий масштаб. Осевая симметрия в природе - это один из «краеугольных» законов, на котором базируется мироздание в целом.

Жизнь людей наполнена симметрией. Это удобно, красиво, не нужно выдумывать новых стандартов. Но что она есть на самом деле и так ли красива в природе, как принято считать?

Симметрия

С древних времен люди стремятся упорядочить мир вокруг себя. Поэтому что-то считается красивым, а что-то не очень. С эстетической точки зрения как привлекательные рассматриваются золотое и серебряное сечения, а также, разумеется, симметрия. Этот термин имеет греческое происхождение и дословно означает "соразмерность". Разумеется, речь идет не только о совпадении по этому признаку, но также и по некоторым другим. В общем смысле симметрия - это такое свойство объекта, когда в результате тех или иных образований результат равен исходным данным. Это встречается как в живой, так и в неживой природе, а также в предметах, сделанных человеком.

Прежде всего термин "симметрия" употребляется в геометрии, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается в общем и целом неизменным. Это явление достаточно часто встречается и считается интересным, поскольку различается несколько его видов, а также элементов. Использование симметрии также интересно, ведь она встречается не только в природе, но и в орнаментах на ткани, бордюрах зданий и многих других рукотворных предметах. Стоит рассмотреть это явление поподробнее, поскольку это крайне увлекательно.

Употребление термина в других научных областях

В дальнейшем симметрия будет рассматриваться с точки зрения геометрии, однако стоит упомянуть, что данное слово используется не только здесь. Биология, вирусология, химия, физика, кристаллография - все это неполный список областей, в которых данное явление изучается с различных сторон и в разных условиях. От того, к какой науке относится этот термин, зависит, например, классификация. Так, разделение на типы серьезно варьируется, хотя некоторые основные, пожалуй, остаются неизменными везде.

Классификация

Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:

Кроме того, в геометрии различают также следующие типы, они встречаются значительно реже, но не менее любопытны:

• скользящая;
• вращательная;
• точечная;
• поступательная;
• винтовая;
• фрактальная;
• и т. д.

В биологии все виды называются несколько иначе, хотя по сути могут быть такими же. Подразделение на те или иные группы происходит на основании наличия или отсутствия, а также количества некоторых элементов, таких как центры, плоскости и оси симметрии. Их следует рассмотреть отдельно и более подробно.

Базовые элементы

В явлении выделяют некоторые черты, одна из которых обязательно присутствует. Так называемые базовые элементы включают в себя плоскости, центры и оси симметрии. Именно в соответствии с их наличием, отсутствием и количеством определяется тип.

Центром симметрии называют точку внутри фигуры или кристалла, в которой сходятся линии, соединяющие попарно все параллельные друг другу стороны. Разумеется, он существует не всегда. Если есть стороны, к которым нет параллельной пары, то такую точку найти невозможно, поскольку ее нет. В соответствии с определением, очевидно, что центр симметрии - это то, через что фигура может быть отражена сама на себя. Примером может служить, например, окружность и точка в ее середине. Этот элемент обычно обозначается как C.

Плоскость симметрии, разумеется, воображаема, но именно она делит фигуру на две равные друг другу части. Она может проходить через одну или несколько сторон, быть параллельной ей, а может делить их. Для одной и той же фигуры может существовать сразу несколько плоскостей. Эти элементы обычно обозначаются как P.

Но, пожалуй, наиболее часто встречается то, что называют "оси симметрии". Это нередкое явление можно увидеть как в геометрии, так и в природе. И оно достойно отдельного рассмотрения.

Оси

Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной,

Примерами могут служить равнобедренные и В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.

Кстати, совокупность всех вышеназванных элементов в кристаллографии и стереометрии называется степенью симметрии. Этот показатель зависит от количества осей, плоскостей и центров.

Примеры в геометрии

Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.

Как и в случае, когда говорилось про ось симметрии треугольника, данный элемент для четырехугольника существует не всегда. Для квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма он есть, а для неправильной фигуры, соответственно, нет. Для окружности оси симметрии - это множество прямых, которые проходят через ее центр.

Кроме того, интересно рассмотреть и объемные фигуры с этой точки зрения. Хотя бы одной осью симметрии помимо всех правильных многоугольников и шара будут обладать некоторые конусы, а также пирамиды, параллелограммы и некоторые другие. Каждый случай необходимо рассматривать отдельно.

Примеры в природе

В жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.

Кроме того, радиальная симметрия наблюдается у многих цветков: ромашки, васильки, подсолнухи и т. д. Примеров огромное количество, они буквально везде вокруг.

Аритмия

Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет "асимметрия", то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.

Кроме того, очевидно, что лица и тела людей и животных тоже не полностью симметричны. Проводились даже исследования, согласно результатам которых "правильные" лица расценивались как неживые или просто непривлекательные. Все-таки восприятие симметрии и это явление само по себе удивительны и пока не до конца изучены, а потому крайне интересны.