Как да изчислим площта на успоредник. Как да намерите площта на успоредник? Формули за намиране на площта на успоредник

Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Прилагаме синусовата теорема към триъгълник AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОД = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е равен на φ.

1. Нека преброим две различни
начини неговата площ.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки връзката между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Нека създадем система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Нека умножим второто уравнение на системата по 2 и го добавим към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45 градуса. Намерете площта на успоредника.

Решение.

1. От триъгълник AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD.

Нека вземем предвид това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забележка:В тази и предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се очаква, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал.

Решение.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Следователно sin ВAD = 4/5.

2. Да намерим cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Според условията на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът ВD ще бъде по-малък, ако ъгълът ВАD е остър. Тогава cos VAD = 3/5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Отговор: 145.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

1. Формула за площта на триъгълник по страна и височина
   Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
   
2. Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
   
3. Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
   Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.
   
където S е площта на триъгълника,
- дължини на страните на триъгълника,
- височина на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,

Формули за квадратна площ

1. Формула за площта на квадрат по дължината на страната
   Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна.
2. Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
   Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
   

   S=	1	2
   	2

където S е площта на квадрата,
- дължина на страната на квадрата,
- дължина на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълникравно на произведението на дължините на двете му съседни страни

където S е площта на правоъгълника,
- дължини на страните на правоъгълника.

Формули за площ на успоредник

1. Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
   Площ на успоредник
2. Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
   Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножени по синуса на ъгъла между тях.
   

   a b sin α

където S е площта на успоредника,
- дължини на страните на успоредника,
- дължина на височината на паралелограма,
- ъгълът между страните на успоредника.

Формули за площта на ромба

1. Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
   Площ на ромбравно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
2. Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
   Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
3. Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
   Площ на ромбравен на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.
където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължина на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължини на диагонали.

Формули за площ на трапец

1. Формула на Херон за трапец

   Където S е площта на трапеца,
   - дължини на основите на трапеца,
   - дължини на страните на трапеца,
   

Площ на успоредник

Теорема 1

Площта на успоредника се определя като произведението на дължината на неговата страна и височината, начертана към нея.

където $a$ е страна на успоредника, $h$ е височината, начертана към тази страна.

Доказателство.

Нека ни е даден успоредник $ABCD$ с $AD=BC=a$. Нека начертаем височините $DF$ и $AE$ (фиг. 1).

Снимка 1.

Очевидно фигурата на $FDAE$ е правоъгълник.

\[\ъгъл BAE=(90)^0-\ъгъл A,\ \] \[\ъгъл CDF=\ъгъл D-(90)^0=(180)^0-\ъгъл A-(90)^0 =(90)^0-\ъгъл A=\ъгъл BAE\]

Следователно, тъй като $CD=AB,\ DF=AE=h$, по критерия $I$ за равенство на триъгълници $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогава

И така, според теоремата за площта на правоъгълник:

Теоремата е доказана.

Теорема 2

Площта на успоредник се определя като произведението на дължината на съседните му страни по синуса на ъгъла между тези страни.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a,\ b$ са страните на успоредника, $\alpha $ е ъгълът между тях.

Доказателство.

Нека ни е даден успоредник $ABCD$ с $BC=a,\ CD=b,\ \ъгъл C=\alpha $. Нека начертаем височината $DF=h$ (фиг. 2).

Фигура 2.

По дефиницията на синус получаваме

Следователно

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Площ на триъгълник

Теорема 3

Площта на триъгълник се определя като половината от произведението на дължината на неговата страна и надморската височина, начертана към нея.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a$ е страна на триъгълника, $h$ е височината, начертана към тази страна.

Доказателство.

Фигура 3.

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Теорема 4

Площта на триъгълник се определя като половината от произведението на дължината на съседните му страни и синуса на ъгъла между тези страни.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a,\b$ са страните на триъгълника, $\alpha$ е ъгълът между тях.

Доказателство.

Нека ни е даден триъгълник $ABC$ с $AB=a$. Нека намерим височината $CH=h$. Нека го построим до успоредник $ABCD$ (фиг. 3).

Очевидно, по $I$ критерия за равенство на триъгълниците, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогава

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Площ на трапец

Теорема 5

Площта на трапец се определя като половината от произведението на сумата от дължините на основите му и височината му.

Математически това може да се напише по следния начин

Доказателство.

Нека ни е даден трапец $ABCK$, където $AK=a,\ BC=b$. Нека начертаем в него височините $BM=h$ и $KP=h$, както и диагонала $BK$ (фиг. 4).

Фигура 4.

По теорема $3$ получаваме

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете лицето на равностранен триъгълник, ако дължината на страната му е $a.$

Решение.

Тъй като триъгълникът е равностранен, всичките му ъгли са равни на $(60)^0$.

Тогава, по теорема $4$, имаме

Отговор:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Имайте предвид, че резултатът от тази задача може да се използва за намиране на площта на всеки равностранен триъгълник с дадена страна.

Точно както в евклидовата геометрия точка и права линия са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е изобразен с четириъгълник ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD се наричат ​​диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на връзката

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
2. Ъглите един срещу друг са равни по двойки.

Доказателство: Да разгледаме ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD с правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли съответно за BC||AD и AB||CD). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигура

Основна характеристикана тези прави на успоредник: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека i.e е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според правите и секанса ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По втория критерий за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и в същото време са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

Съседните страни имат сбор от ъгли, равен на 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни прави и напречна. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

1. , спуснати на една страна, са перпендикулярни;
2. срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез начертаване на ъглополовяща, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник с помощта на теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в т.е. Тъй като ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия критерий за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните напречни ъгли на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура открити по няколко методаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен по размер на правоъгълника EBCF, тъй като те се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на тази геометрична фигура е същата като тази на правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на паралелограма, нека обозначим височината като hb, а отстрани - b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α е ъгълът между сегментите a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Трансформирайки отношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредника и ъгъла,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: AC и BD се пресичат и образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери чрез израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , изчисленията използват една синусова стойност. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за площ се редуцира до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториИНеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - конструиране на вектори и . След това конструираме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонали и страни
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на върха между тях
по страните и един от диагоналите	 Заключение Паралелограмът, като една от ключовите фигури на геометрията, се използва в живота, например в строителството при изчисляване на площта на обект или други измервания. Следователно знанията за отличителните характеристики и методите за изчисляване на различните му параметри могат да бъдат полезни по всяко време в живота.

Успореднике четириъгълник, чиито страни са успоредни по две.

На тази фигура противоположните страни и ъгли са равни един на друг. Диагоналите на успоредник се пресичат в една точка и го разполовяват. Формулите за площта на паралелограма ви позволяват да намерите стойността, като използвате страните, височината и диагоналите. В специални случаи може да се представи и успоредник. Те се считат за правоъгълник, квадрат и ромб.
Първо, нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник по височина и страната, на която е спуснат.

Този случай се счита за класически и не изисква допълнително разследване. По-добре е да разгледате формулата за изчисляване на площта през две страни и ъгъла между тях. Същият метод се използва при изчисленията. Ако са дадени страните и ъгълът между тях, тогава площта се изчислява, както следва:

Да предположим, че ни е даден успоредник със страни a = 4 см, b = 6 см. Ъгълът между тях е α = 30°. Да намерим областта:

Площ на успоредник през диагонали

Формулата за площта на паралелограма с помощта на диагонали ви позволява бързо да намерите стойността.
За изчисления ще ви е необходим размерът на ъгъла, разположен между диагоналите.

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник с помощта на диагонали. Нека е даден успоредник с диагонали D = 7 см, d = 5 см. Ъгълът между тях е α = 30°. Нека заместим данните във формулата:

Пример за изчисляване на площта на успоредник през диагонала ни даде отличен резултат - 8,75.

Познавайки формулата за площта на успоредник през диагонала, можете да решите много интересни задачи. Нека разгледаме един от тях.

Задача:Даден е успоредник с площ 92 квадратни метра. вижте Точка F се намира в средата на неговата страна BC. Нека намерим площта на трапеца ADFB, който ще лежи в нашия успоредник. Първо, нека нарисуваме всичко, което получихме според условията.
Да стигнем до решението:

Според нашите условия ah =92 и съответно площта на нашия трапец ще бъде равна на