Основата на бройните системи. Бройни системи - да отидем на урок по информатика Как да определим основата на числото в информатиката

Бройна система (англ. numeral system or system of numeration) - символичен метод за записване на числа, представящ числата с помощта на писмени знаци

Какво е основата и основата на бройна система?

определение: Основа на бройната система е броят на различните знаци или символи, които
се използват за представяне на числа в тази система.
Основата е всяко естествено число - 2, 3, 4, 16 и т.н. Тоест има безгранично
много позиционни системи. Например за десетичната система основата е 10.

Определянето на основата е много лесно, просто трябва да преизчислите броя на значимите цифри в системата. Казано по-просто, това е числото, от което започва втората цифра на числото. Например използваме числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Те са точно 10, така че основата на нашата бройна система също е 10, а бройната система е наречен „десетичен“. В горния пример са използвани числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (спомагателните 10, 100, 1000, 10000 и т.н. не се броят). Тук също има 10 основни числа, а бройната система е десетична.

Системна основа е поредица от числа, използвани за писане. В нито една система няма число, равно на основата на системата.

Както можете да се досетите, колкото числа има, толкова може да има и основи на бройната система. Но се използват само най-удобните бази на числови системи. Защо мислите, че основата на най-често използваната човешка бройна система е 10? Да, точно защото имаме 10 пръста на ръцете си. „Но на едната ръка има само пет пръста“, ще кажат някои и ще бъдат прави. Историята на човечеството познава примери за петкратни бройни системи. „А с краката има двадесет пръста“, ще кажат други и също ще бъдат напълно прави. Точно в това са вярвали маите. Това дори се вижда от броя им.

Десетична бройна система

Когато броим, всички сме свикнали да използваме фигури и числа, които са ни познати от детството. Едно, две, три, четири и т.н. В ежедневната ни бройна система има само десет цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), от които съставяме всякакви числа. След като достигнем десет, добавяме единица към цифрата отляво и отново започваме да броим от нула в най-дясната цифра. Тази бройна система се нарича десетична.

Не е трудно да се досетите, че нашите предци са го избрали, защото броят на пръстите на двете ръце е десет. Но какви други бройни системи има? Винаги ли сте използвали десетичната бройна система или е имало и други?

История на бройните системи

Преди изобретяването на нулата са използвани специални знаци за записване на числа. Всеки народ си имаше свои. В Древен Рим например преобладава непозиционна бройна система.

Бройната система се нарича непозиционна, ако стойността на цифрата не зависи от мястото, което заема. Най-напредналите бройни системи се считат за тези, използвани в Русия и Древна Гърция.

В тях големите числа се обозначават с букви, но с добавяне на допълнителни символи (1 – a, 100 –i и т.н.). Друга непозиционна бройна система е системата, използвана в Древен Вавилон. В своята система жителите на Вавилон използвали „двуетажна“ нотация и само три знака: единица във вавилонската бройна система за едно, десет във вавилонската бройна система за десет и нула във вавилонската бройна система за нула.

Позиционни бройни системи

Позиционните системи станаха крачка напред. Сега десетичната система спечели навсякъде, но има и други системи, които често се използват в приложните науки. Пример за такава бройна система е двоичната бройна система.
Двоична бройна система

Това е мястото, където компютрите и цялата електроника във вашия дом комуникират. Тази бройна система използва само две цифри: 0 и 1. Може да попитате защо не беше възможно компютърът да се научи да брои до десет, като човек? Отговорът е на повърхността.

Лесно е да научите машина да прави разлика между два символа: включен означава 1, изключен означава 0; има ток - 1, няма ток - 0. Има опити да се направят машини, които да разграничават по-голям брой цифри. Но всички се оказаха ненадеждни, компютрите продължиха да се объркват: или 1 им дойде, или 2.

Заобиколени сме от много различни бройни системи. Всеки от тях е полезен в своята област. А отговорът на въпроса кой да използваме и кога зависи от нас.

Можете да въвеждате както цели числа, например 34, така и дробни числа, например 637.333. За дробни числа се посочва точността на превод след десетичната запетая.

Следните също се използват с този калкулатор:

Начини за представяне на числа

Алгоритъм за преобразуване на числа от една бройна система в друга

Пример №1.



Преобразуване от 2 до 8 към 16 бройна система.
Тези системи са кратни на две, следователно преводът се извършва с помощта на таблица за съответствие (вижте по-долу).

За да преобразувате число от двоична бройна система в осмична (шестнадесетична) бройна система, е необходимо двоичното число да се раздели от десетичната запетая отдясно и отляво на групи от три (четири за шестнадесетични) цифри, допълвайки външните групи с нули, ако е необходимо. Всяка група се заменя със съответната осмична или шестнадесетична цифра.

Пример №2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
тук 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Когато преобразувате в шестнадесетичната система, трябва да разделите числото на части от четири цифри, като следвате същите правила.
Пример №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
тук 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Преобразуването на числа от 2, 8 и 16 в десетичната система се извършва чрез разделяне на числото на отделни и умножаването му по основата на системата (от която се превежда числото), повишена до степен, съответстваща на нейния пореден номер в числото, което се преобразува. В този случай числата се номерират отляво на десетичната запетая (първото число е номерирано с 0) с нарастване и отдясно с намаляване (т.е. с отрицателен знак). Получените резултати се сумират.

Пример №4.
Пример за преобразуване от двоична в десетична бройна система.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Пример за преобразуване от осмична в десетична бройна система. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Пример за преобразуване от шестнадесетична в десетична бройна система. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Още веднъж повтаряме алгоритъма за преобразуване на числа от една бройна система в друга PSS

1. От десетичната бройна система:
   • разделяне на числото на основата на числовата система, която се превежда;
   • намиране на остатъка при деление на цяла част от число;
   • запишете всички остатъци от делението в обратен ред;
2. От двоичната бройна система
   • За преобразуване в десетичната бройна система е необходимо да се намери сумата от произведенията на основа 2 по съответната степен на цифрата;
   • За да преобразувате число в осмично, трябва да разделите числото на триади.
     Например 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • За да преобразувате число от двоично в шестнадесетично, трябва да разделите числото на групи от 4 цифри.
     Например 1000110 = 100 0110 = 46 16

Таблица за преобразуване в осмична бройна система

Пример №2. Преобразувайте числото 100,12 от десетичната бройна система в осмичната бройна система и обратно. Обяснете причините за несъответствията.
Решение.
Етап 1. .

Записваме остатъка от делението в обратен ред. Получаваме числото в 8-ма бройна система: 144
100 = 144 8

За да преобразуваме дробната част на число, ние последователно умножаваме дробната част по основа 8. В резултат на това всеки път записваме цялата част от продукта.
0,12*8 = 0,96 (цяла част 0 )
0,96*8 = 7,68 (цяло число 7 )
0,68*8 = 5,44 (цяло число 5 )
0,44*8 = 3,52 (цяла част 3 )
Получаваме числото в 8-ма бройна система: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Етап 2. Преобразуване на число от десетична бройна система в осмична бройна система.
Обратно преобразуване от осмична бройна система в десетична.

За да преведете цяла част, трябва да умножите цифрата на числото по съответната степен на цифрата.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

За да преобразувате дробната част, трябва да разделите цифрата на числото на съответната степен на цифрата
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Разликата от 0,0001 (100,12 - 100,1199) се обяснява с грешка при закръгляване при преобразуване към осмичната бройна система. Тази грешка може да бъде намалена, ако вземете по-голям брой цифри (например не 4, а 8).

Преди да започнем да решаваме проблеми, трябва да разберем няколко прости точки.

Помислете за десетичното число 875. Последната цифра на числото (5) е остатъкът от деленето на числото 875 на 10. Последните две цифри образуват числото 75 - това е остатъкът от деленето на числото 875 на 100. Подобни твърдения са вярно за всяка бройна система:

Последната цифра на числото е остатъкът при разделянето на това число на основата на бройната система.

Последните две цифри на числото са остатъкът, когато числото се раздели на основата на квадрат.

Например, . Разделяме 23 на системната основа 3, получаваме 7 и 2 като остатък (2 е последната цифра на число в троичната система). Разделяме 23 на 9 (основа на квадрат), получаваме 18 и 5 като остатък (5 = ).

Нека се върнем отново към обичайната десетична система. Число = 100000. Т.е 10 на степен k е едно и k нули.

Подобно твърдение е вярно за всяка бройна система:

Основата на бройната система на степен k в тази бройна система се записва като единица и k нули.

Например, .

1. Намиране на основата на бройната система

Пример 1.

В бройна система с някаква основа десетичното число 27 се записва като 30. Посочете тази основа.

Решение:

Нека означим желаната основа x. Тогава .т.е. х = 9.

Пример 2.

В бройна система с някаква основа десетичното число 13 се записва като 111. Посочете тази основа.

Решение:

Нека означим желаната основа x. Тогава

Решаваме квадратното уравнение, получаваме корени 3 и -4. Тъй като основата на бройната система не може да бъде отрицателна, отговорът е 3.

Отговор: 3

Пример 3

Разделени със запетаи, във възходящ ред, се посочват всички основи на бройни системи, в които числото 29 завършва на 5.

Решение:

Ако в някоя система числото 29 завършва на 5, то числото, намалено с 5 (29-5 = 24), завършва на 0. По-рано казахме, че числото завършва на 0 в случай, че се дели на основата на системата без остатък. Тези. трябва да намерим всички такива числа, които са делители на числото 24. Тези числа са: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Имайте предвид, че в бройните системи с основа 2, 3, 4 няма число 5 (а във формулировъчната задача числото 29 завършва на 5), което означава, че остават системи с основи: 6, 8, 12,

Отговор: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Разделени със запетаи, във възходящ ред, се посочват всички основи на бройни системи, в които числото 71 завършва на 13.

Решение:

Ако в някоя система едно число завършва на 13, тогава основата на тази система е не по-малка от 4 (в противен случай там няма число 3).

Число, намалено с 3 (71-3=68), завършва на 10. Т.е. 68 е напълно разделено на желаната основа на системата и частното от това, когато се раздели на основата на системата, дава остатък от 0.

Нека запишем всички цели делители на числото 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не е подходящ, т.к основата е не по-малка от 4. Нека проверим останалите делители:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (почивка 1) – подходящо

68:17 = 4; 4:17 = 0 (почивка 4) – не е подходящо

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) – не е подходящо

68:68 = 1; 1:68 = 0 (почивка 1) – подходящо

Отговор: 4,68

2. Търсене на числа по условия

Пример 5

Посочете, разделени със запетаи във възходящ ред, всички десетични числа, непревишаващи 25, чийто запис в системата с четири основни числа завършва на 11?

Решение:

Първо, нека разберем как изглежда числото 25 в бройната система с основа 4.

Тези. трябва да намерим всички числа, не по-големи от , които завършват на 11. Според правилото за последователно броене в системата с основа 4,
получаваме числата и . Преобразуваме ги в десетичната бройна система:

Отговор: 5, 21

3. Решаване на уравнения

Пример 6

Решете уравнението:

Напишете отговора си в троичната система (няма нужда да записвате основата на бройната система в отговора си).

Решение:

Нека преобразуваме всички числа в десетичната бройна система:

Квадратното уравнение има корени -8 и 6 (тъй като основата на системата не може да бъде отрицателна). .

Отговор: 20

4. Преброяване на броя единици (нули) в двоичния запис на стойността на израз

За да решим този тип проблем, трябва да си спомним как работи колонното събиране и изваждане:

При събиране се получава побитово сумиране на цифрите, записани една под друга, като се започне от най-малко значимите цифри. Ако полученият сбор от две цифри е по-голям или равен на основата на бройната система, остатъкът от деленето на тази сума на основата на бройната система се записва под сумираните цифри, а цялата част от деленето на тази сума на базата на системата се добавя към сумата от следните цифри.

При изваждане цифрите, записани една под друга, се изваждат побитово, като се започне с най-малко значимите цифри. Ако първата цифра е по-малка от втората, ние „заемаме“ една от съседната (по-голяма) цифра. Единицата, заета в текущата цифра, е равна на основата на бройната система. В десетичен е 10, в двоичен е 2, в троичен е 3 и т.н.

Пример 7

Колко единици се съдържат в двоичния запис на стойността на израза: ?

Решение:

Нека си представим всички числа в израза като степени на две:

В двоичен запис 2 на степен n изглежда като 1, последвано от n нули. След това сумирайки и , получаваме число, съдържащо 2 единици:

Сега нека извадим от полученото число 10 000. Според правилата за изваждане вземаме назаем от следващата цифра.

Сега добавете 1 към полученото число:

Виждаме, че резултатът има 2013+1+1=2015 единици.

Упражнение 1.На кое число отговаря 24 16 в десетичната система?

Решение.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Отговор. 24 16 = 36 10

Задача 2.Известно е, че X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Каква е стойността на X в десетичната бройна система?

Решение.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Намерете числото: X = 6 + 4 + 5 = 15

Отговор. X = 15 10

Задача 3.Изчислете стойността на сбора 10 2 + 45 8 + 10 16 в десетичен запис.

Решение.

Нека преобразуваме всеки член в десетичната бройна система:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Сборът е: 2 + 37 + 16 = 55

Преобразуване в двоична бройна система

Упражнение 1.Какво е числото 37 в двоична система?

Решение.

Можете да преобразувате, като разделите на 2 и комбинирате остатъците в обратен ред.

Друг начин е числото да се разложи на сумата от степени на две, като се започне от най-високата, чийто изчислен резултат е по-малък от даденото число. При преобразуване липсващите степени на число трябва да се заменят с нули:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Отговор. 37 10 = 100101 2 .

Задача 2.Колко значими нули има в двоичния запис на десетичното число 73?

Решение.

Нека разложим числото 73 на сумата от степените на две, като започнем от най-високата и впоследствие умножим липсващите степени по нули и съществуващите степени по единица:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Отговор.Двоичното представяне на десетичното число 73 има четири значими нули.

Задача 3.Изчислете сумата от числата x и y за x = D2 16, y = 37 8. Представете резултата в двоичната бройна система.

Решение.

Спомнете си, че всяка цифра на шестнадесетично число се формира от четири двоични цифри, всяка цифра на осмично число от три:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Нека съберем получените числа:

11010010 11111 -------- 11110001

Отговор.Сумата от числата D2 16 и y = 37 8, представени в двоичната бройна система, е 11110001.

Задача 4.дадени: а= D7 16, b= 331 8 . Кой номер ° С, записана в двоичната бройна система, отговаря на условието а< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Решение.

Нека преобразуваме числата в двоичната бройна система:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Първите четири цифри на всички числа са еднакви (1101). Следователно сравнението е опростено до сравняване на долните четири цифри.

Първото число от списъка е равно на числото bследователно не е подходящо.

Второто число е по-голямо от b. Третото число е а.

Само четвъртото число е подходящо: 0111< 1000 < 1001.

Отговор.Четвъртата опция (11011000) отговаря на условието а< c < b .

Задачи за определяне на стойности в различни бройни системи и техните основи

Упражнение 1.За кодиране на знаците @, $, &, % се използват двуцифрени последователни двоични числа. Първият знак съответства на числото 00. С помощта на тези знаци е кодирана следната последователност: $%&&@$. Декодирайте тази последователност и преобразувайте резултата в шестнадесетична бройна система.

Решение.

1. Нека сравним двоичните числа със знаците, които кодират:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Преобразувайте двоичното число в шестнадесетичната бройна система:
0111 1010 0001 = 7A1

Отговор. 7A1 16.

Задача 2.В градината има 100 овошки, от които 33 х ябълки, 22 х круши, 16 х сливи, 17 х череши. Каква е основата на бройната система (x).

Решение.

1. Имайте предвид, че всички термини са двуцифрени числа. Във всяка бройна система те могат да бъдат представени по следния начин:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, където a и b са цифрите на съответните цифри на числото.
За трицифрено число би било така:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Условието на задачата е:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Нека заместим числата във формулите:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Решете квадратното уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Корен квадратен от D е 11.
Корени на квадратно уравнение:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицателно число не може да бъде основа на бройна система. Следователно x може да бъде равно само на 9.

Отговор.Необходимата основа на бройната система е 9.

Задача 3.В бройна система с някаква основа десетичното число 12 се записва като 110. Намерете тази основа.

Решение.

Първо ще запишем числото 110 чрез формулата за запис на числа в позиционни бройни системи, за да намерим стойността в десетичната бройна система, а след това ще намерим основата чрез груба сила.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Трябва да получим 12. Нека опитаме 2: 2 2 + 2 = 6. Опитайте 3: 3 2 + 3 = 12.

Това означава, че основата на бройната система е 3.

Отговор.Необходимата основа на бройната система е 3.

Задача 4.В коя бройна система десетичното число 173 би било представено като 445?

Решение.
Нека означим неизвестната основа като X. Записваме следното уравнение:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
Като вземем предвид факта, че всяко положително число на нулева степен е равно на 1, ще пренапишем уравнението (няма да посочваме основата 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Разбира се, такова квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант, но има по-просто решение. От дясната и лявата страна извадете 4. Получаваме
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 или 13 2 = (2*X+1) 2
От тук получаваме 2*X +1 = 13 (изхвърляме отрицателния корен). Или X = 6.
Отговор: 173 10 = 445 6

Задачи за намиране на няколко основи на бройни системи

Има група задачи, в които трябва да изброите (във възходящ или низходящ ред) всички основи на бройни системи, в които представянето на дадено число завършва с дадена цифра. Този проблем се решава съвсем просто. Първо трябва да извадите дадената цифра от оригиналното число.Полученото число ще бъде първата основа на числовата система. И всички други бази могат да бъдат само делители на това число. (Това твърдение е доказано въз основа на правилото за преобразуване на числата от една бройна система в друга - виж параграф 4). Просто запомни това основата на бройната система не може да бъде по-малка от дадена цифра!

Пример
Разделени със запетаи, във възходящ ред, се посочват всички основи на бройни системи, в които числото 24 завършва на 3.

Решение
24 – 3 =21 е първата основа (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 се дели на 3 и 7. Числото 3 не е подходящо, т.к Няма цифра 3 в бройната система с основа 3.
Отговор: 7, 21

В курсовете по компютърни науки, независимо от училището или университета, се отделя специално място на такава концепция като числови системи. По правило за него се отделят няколко урока или практически упражнения. Основната цел е не само да се усвоят основните понятия по темата, да се изучат видовете бройни системи, но и да се запознаят с двоичната, осмичната и шестнадесетичната аритметика.

Какво означава?

Нека започнем с дефиниране на основната концепция. Както се отбелязва в учебника "Информатика", числовата система е запис на числа, който използва специална азбука или определен набор от числа.

В зависимост от това дали стойността на цифрата се променя в зависимост от позицията й в числото, има две: позиционна и непозиционна бройни системи.

В позиционните системи значението на цифрата се променя с нейната позиция в числото. Така че, ако вземем числото 234, тогава числото 4 в него означава единици, но ако вземем предвид числото 243, то вече ще означава десетки, а не единици.

В непозиционните системи значението на цифрата е статично, независимо от нейната позиция в числото. Най-яркият пример е системата стик, където всяка единица е обозначена с тире. Няма значение къде поставяте пръчката, стойността на числото ще се промени само с единица.

Непозиционни системи

Непозиционните бройни системи включват:

1. Единична система, която се смята за една от първите. Използваше пръчици вместо числа. Колкото повече бяха, толкова по-голяма беше стойността на числото. Можете да намерите пример за числа, написани по този начин във филми, където говорим за хора, изгубени в морето, затворници, които отбелязват всеки ден с помощта на резки върху камък или дърво.
2. римски, в който вместо цифри са използвани латински букви. Използвайки ги, можете да напишете произволно число. Освен това стойността му се определя чрез сумата и разликата на цифрите, съставляващи числото. Ако имаше по-малко число отляво на цифрата, тогава лявата цифра беше извадена от дясната и ако цифрата отдясно беше по-малка или равна на цифрата отляво, тогава техните стойности бяха сумирани. Например числото 11 беше написано като XI, а 9 - IX.
3. Азбучен, в който числата са обозначени с помощта на азбуката на определен език. Една от тях се счита за славянската система, в която редица букви имат не само фонетично, но и числово значение.
4. в който са използвани само две нотации за писане - клинове и стрелки.
5. Египет също използва специални символи за представяне на числа. При писане на число всеки символ може да се използва не повече от девет пъти.

Позиционни системи

В компютърните науки се обръща голямо внимание на позиционните бройни системи. Те включват следното:

• двоичен;
• осмичен;
• десетичен;
• шестнадесетичен;
• шестдесетичен, използван при отчитане на времето (например има 60 секунди в минута, 60 минути в час).

Всеки от тях има своя азбука за писане, правила за превод и извършване на аритметични действия.

Десетична система

Тази система ни е най-позната. Той използва числата от 0 до 9 за писане на числа. Наричат ​​ги още арабски. В зависимост от позицията на цифрата в числото, тя може да представлява различни цифри - единици, десетици, стотици, хиляди или милиони. Използваме го навсякъде, знаем основните правила, по които се извършват аритметични операции с числа.

Двоична система

Една от основните бройни системи в компютърните науки е двоичната. Неговата простота позволява на компютъра да извършва тромави изчисления няколко пъти по-бързо, отколкото в десетичната система.

За записване на числа се използват само две цифри - 0 и 1. Освен това, в зависимост от позицията на 0 или 1 в числото, неговата стойност ще се променя.

Първоначално с помощта на компютри те получаваха цялата необходима информация. В този случай едно означава наличието на сигнал, предаван с помощта на напрежение, а нула означава неговото отсъствие.

Осмична система

Друга добре позната компютърна номерационна система, която използва числа от 0 до 7. Използва се главно в онези области на знанието, които са свързани с цифрови устройства. Но напоследък тя се използва много по-рядко, тъй като е заменена от шестнадесетичната бройна система.

Двоична десетична система

Представянето на големи числа в двоична система е доста сложен процес за хората. За да го опрости, той е разработен Обикновено се използва в електронни часовници и калкулатори. В тази система не цялото число се преобразува от десетичната система в двоична, но всяка цифра се преобразува в съответния набор от нули и единици в двоичната система. Преобразуването от двоичен в десетичен се извършва по подобен начин. Всяка цифра, представена като четирицифрен набор от нули и единици, се преобразува в цифра от десетичната бройна система. По принцип няма нищо сложно.

За работа с числа в този случай ще бъде полезна таблица с числови системи, която ще посочи съответствието между числата и техния двоичен код.

Шестнадесетична система

Напоследък шестнадесетичната бройна система става все по-популярна в програмирането и компютърните науки. Той използва не само цифри от 0 до 9, но и редица латински букви - A, B, C, D, E, F.

В същото време всяка от буквите има собствено значение, така че A=10, B=11, C=12 и т.н. Всяко число е представено като набор от четири знака: 001F.

Преобразуване на числа: от десетични към двоични

Преводът в числови системи се извършва по определени правила. Най-често срещаното преобразуване е от двоична в десетична система и обратно.

За да преобразувате число от десетичната система в двоичната система, е необходимо последователно да го разделите на основата на бройната система, тоест числото две. В този случай трябва да се запише остатъкът от всяко деление. Това ще се случи, докато остатъкът от делението стане по-малък или равен на едно. Най-добре е изчисленията да се извършват в колона. След това получените остатъци от деление се записват на реда в обратен ред.

Например, нека преобразуваме числото 9 в двоично:

Разделяме 9, тъй като числото не се дели на цяло, тогава вземаме числото 8, остатъкът ще бъде 9 - 1 = 1.

След като разделим 8 на 2, получаваме 4. Разделяме го отново, тъй като числото се дели на цяло число - получаваме остатък 4 - 4 = 0.

Извършваме същата операция с 2. Остатъкът е 0.

В резултат на разделянето получаваме 1.

Независимо от крайната бройна система, преобразуването на числата от десетична във всяка друга ще се извърши съгласно принципа на разделяне на числото на основата на позиционната система.

Преобразуване на числа: от двоични към десетични

Доста лесно е да преобразувате числа в десетична бройна система от двоична. За да направите това, достатъчно е да знаете правилата за повишаване на числата до правомощия. В този случай на степен две.

Алгоритъмът за превод е следният: всяка цифра от кода на двоично число трябва да се умножи по две, като първите две ще бъдат на степен m-1, втората - m-2 и така нататък, където m е брой цифри в кода. След това добавете резултатите от събирането, за да получите цяло число.

За ученици този алгоритъм може да се обясни по-просто:

Като начало вземаме и записваме всяка цифра, умножена по две, след което поставяме степента на две от края, започвайки от нула. След това сумираме полученото число.

Като пример ще анализираме полученото по-рано число 1001, като го преобразуваме в десетичната система и в същото време ще проверим правилността на нашите изчисления.

Ще изглежда така:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Когато изучавате тази тема, е удобно да използвате таблица със степен на две. Това значително ще намали времето, необходимо за извършване на изчисления.

Други опции за превод

В някои случаи преводът може да се извърши между двоични и осмични бройни системи, двоични и шестнадесетични. В този случай можете да използвате специални таблици или да стартирате приложение за калкулатор на вашия компютър, като изберете опцията „Програмист“ в раздела Изглед.

Аритметични операции

Независимо от формата, в която е представено числото, то може да се използва за извършване на изчисления, които са ни познати. Това може да бъде деление и умножение, изваждане и събиране в бройната система, която сте избрали. Разбира се, всеки от тях има свои собствени правила.

Така че за двоичната система са разработени собствени таблици за всяка от операциите. Същите таблици се използват и в други позиционни системи.

Няма нужда да ги запаметявате - просто ги разпечатайте и ги дръжте под ръка. Можете също да използвате калкулатор на вашия компютър.

Една от най-важните теми в компютърните науки е бройната система. Познаването на тази тема, разбирането на алгоритмите за преобразуване на числа от една система в друга е ключът към факта, че ще можете да разберете по-сложни теми, като алгоритмизация и програмиране, и ще можете сами да напишете първата си програма.