Площ на формула на успоредник от двете страни. Как да намерите площта на успоредник

Преди да научим как да намерим площта на успоредник, трябва да си спомним какво е успоредник и какво се нарича неговата височина. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни (лежат на успоредни прави). Перпендикуляр, прекаран от произволна точка на противоположната страна към права, съдържаща тази страна, се нарича височина на успоредник.

Квадрат, правоъгълник и ромб са специални случаи на успоредник.

Площта на успоредника се обозначава като (S).

Формули за намиране на площта на успоредник

S=a*h, където a е основата, h е височината, която е начертана към основата.

S=a*b*sinα, където a и b са основите, а α е ъгълът между основите a и b.

S =p*r, където p е полупериметърът, r е радиусът на окръжността, която е вписана в успоредника.

Площта на успоредника, образувана от векторите a и b, е равна на модула на произведението на дадените вектори, а именно:

Нека разгледаме пример № 1: Даден е успоредник, чиято страна е 7 см, а височината е 3 см. Как да намерим площта на успоредник, имаме нужда от формула за решението.

Така S= 7x3. S=21. Отговор: 21 см 2.

Разгледайте пример № 2: Дадени основи са 6 и 7 cm, както и даден ъгъл между основите от 60 градуса. Как да намерите площта на успоредник? Формула, използвана за решаване:

Така първо намираме синуса на ъгъла. Синус 60 = 0,5, съответно S = 6*7*0,5=21 Отговор: 21 cm 2.

Надявам се, че тези примери ще ви помогнат при решаването на проблеми. И не забравяйте, че основното е познаването на формулите и вниманието

Успореднике четириъгълник, чиито страни са успоредни по две.

На тази фигура противоположните страни и ъгли са равни един на друг. Диагоналите на успоредник се пресичат в една точка и го разполовяват. Формулите за площта на паралелограма ви позволяват да намерите стойността, като използвате страните, височината и диагоналите. В специални случаи може да се представи и успоредник. Те се считат за правоъгълник, квадрат и ромб.
Първо, нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник по височина и страната, на която е спуснат.

Този случай се счита за класически и не изисква допълнително разследване. По-добре е да разгледате формулата за изчисляване на площта през две страни и ъгъла между тях. Същият метод се използва при изчисленията. Ако са дадени страните и ъгълът между тях, тогава площта се изчислява, както следва:

Да предположим, че ни е даден успоредник със страни a = 4 см, b = 6 см. Ъгълът между тях е α = 30°. Да намерим областта:

Площ на успоредник през диагонали

Формулата за площта на паралелограма с помощта на диагонали ви позволява бързо да намерите стойността.
За изчисления ще ви е необходим размерът на ъгъла, разположен между диагоналите.

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник с помощта на диагонали. Нека е даден успоредник с диагонали D = 7 см, d = 5 см. Ъгълът между тях е α = 30°. Нека заместим данните във формулата:

Пример за изчисляване на площта на успоредник през диагонала ни даде отличен резултат - 8,75.

Познавайки формулата за площта на успоредник през диагонала, можете да решите много интересни задачи. Нека разгледаме един от тях.

Задача:Даден е успоредник с площ 92 квадратни метра. вижте Точка F се намира в средата на неговата страна BC. Нека намерим площта на трапеца ADFB, който ще лежи в нашия успоредник. Първо, нека нарисуваме всичко, което получихме според условията.
Да стигнем до решението:

Според нашите условия ah =92 и съответно площта на нашия трапец ще бъде равна на

Площ на успоредник

Теорема 1

Площта на успоредника се определя като произведението на дължината на неговата страна и височината, начертана към нея.

където $a$ е страна на успоредника, $h$ е височината, начертана към тази страна.

Доказателство.

Нека ни е даден успоредник $ABCD$ с $AD=BC=a$. Нека начертаем височините $DF$ и $AE$ (фиг. 1).

Снимка 1.

Очевидно фигурата на $FDAE$ е правоъгълник.

\[\ъгъл BAE=(90)^0-\ъгъл A,\ \] \[\ъгъл CDF=\ъгъл D-(90)^0=(180)^0-\ъгъл A-(90)^0 =(90)^0-\ъгъл A=\ъгъл BAE\]

Следователно, тъй като $CD=AB,\ DF=AE=h$, по критерия $I$ за равенство на триъгълници $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогава

И така, според теоремата за площта на правоъгълник:

Теоремата е доказана.

Теорема 2

Площта на успоредник се определя като произведението на дължината на съседните му страни по синуса на ъгъла между тези страни.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a,\ b$ са страните на успоредника, $\alpha $ е ъгълът между тях.

Доказателство.

Нека ни е даден успоредник $ABCD$ с $BC=a,\ CD=b,\ \ъгъл C=\alpha $. Нека начертаем височината $DF=h$ (фиг. 2).

Фигура 2.

По дефиницията на синус получаваме

Следователно

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Площ на триъгълник

Теорема 3

Площта на триъгълник се определя като половината от произведението на дължината на неговата страна и надморската височина, начертана към нея.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a$ е страна на триъгълника, $h$ е височината, начертана към тази страна.

Доказателство.

Фигура 3.

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Теорема 4

Площта на триъгълник се определя като половината от произведението на дължината на съседните му страни и синуса на ъгъла между тези страни.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a,\b$ са страните на триъгълника, $\alpha$ е ъгълът между тях.

Доказателство.

Нека ни е даден триъгълник $ABC$ с $AB=a$. Нека намерим височината $CH=h$. Нека го построим до успоредник $ABCD$ (фиг. 3).

Очевидно, по $I$ критерия за равенство на триъгълниците, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогава

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Площ на трапец

Теорема 5

Площта на трапец се определя като половината от произведението на сумата от дължините на основите му и височината му.

Математически това може да се напише по следния начин

Доказателство.

Нека ни е даден трапец $ABCK$, където $AK=a,\ BC=b$. Нека начертаем в него височините $BM=h$ и $KP=h$, както и диагонала $BK$ (фиг. 4).

Фигура 4.

По теорема $3$ получаваме

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете лицето на равностранен триъгълник, ако дължината на страната му е $a.$

Решение.

Тъй като триъгълникът е равностранен, всичките му ъгли са равни на $(60)^0$.

Тогава, по теорема $4$, имаме

Отговор:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Имайте предвид, че резултатът от тази задача може да се използва за намиране на площта на всеки равностранен триъгълник с дадена страна.

Точно както в евклидовата геометрия точка и права линия са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е изобразен с четириъгълник ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD се наричат ​​диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на връзката

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
2. Ъглите един срещу друг са равни по двойки.

Доказателство: Да разгледаме ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD с правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли съответно за BC||AD и AB||CD). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигура

Основна характеристикана тези прави на успоредник: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека i.e е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според прави и секущи, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По втория критерий за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и в същото време са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

Съседните страни имат сбор от ъгли, равен на 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни прави и напречна. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

1. , спуснати на една страна, са перпендикулярни;
2. срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез начертаване на ъглополовяща, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник с помощта на теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в т.е. Тъй като ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия критерий за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните напречни ъгли на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура открити по няколко методаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен по размер на правоъгълника EBCF, тъй като те се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на тази геометрична фигура е същата като тази на правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на паралелограма, нека обозначим височината като hb, а отстрани - b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α е ъгълът между сегментите a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Трансформирайки отношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредника и ъгъла,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: AC и BD се пресичат и образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери чрез израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , изчисленията използват една синусова стойност. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за площ се редуцира до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториИНеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - конструиране на вектори и . След това конструираме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонали и страни
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на върха между тях
по страните и един от диагоналите	 Заключение Паралелограмът, като една от ключовите фигури на геометрията, се използва в живота, например в строителството при изчисляване на площта на обект или други измервания. Следователно знанията за отличителните характеристики и методите за изчисляване на различните му параметри могат да бъдат полезни по всяко време в живота.

При решаване на задачи по тази тема, освен основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:

1. Симетралата на вътрешен ъгъл на успоредник отсича от него равнобедрен триъгълник
2. Симетрали на вътрешни ъгли, съседни на една от страните на успоредник, са взаимно перпендикулярни
3. Симетралите, идващи от противоположните вътрешни ъгли на успоредник, са успоредни една на друга или лежат на една и съща права линия
4. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
5. Площта на успоредник е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях

Нека разгледаме проблемите, в които се използват тези свойства.

Задача 1.

Симетралата на ъгъл C на успоредник ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.

Решение.

1. Триъгълник CMD е равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.

2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Периметър ABCD = 20 cm.

Отговор. 20 см.

Задача 2.

В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че този четириъгълник е успоредник.

Решение.

1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.

2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна спрямо правата AD. BE = CF. Следователно правата BC || от н.е. (*)

3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа CD, то височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.

4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна спрямо права CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)

5. От условия (*), (**) следва, че ABCD е успоредник.

Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.

Задача 3.

Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точки M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,