Ъгъл на триъгълник, познаващ всички страни. Страни на триъгълник

Първите са сегментите, които са в съседство с правия ъгъл, а хипотенузата е най-дългата част от фигурата и е разположена срещу ъгъла от 90 градуса. Питагоров триъгълник е този, чиито страни са равни на естествените числа; техните дължини в този случай се наричат ​​„питагорова тройка“.

Египетски триъгълник

За да може сегашното поколение да разпознае геометрията във вида, в който се преподава в училище сега, тя се е развивала в продължение на няколко века. Основната точка се счита за Питагоровата теорема. Страните на правоъгълника са известни по целия свят) са 3, 4, 5.

Малко хора не са запознати с фразата „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“. В действителност обаче теоремата звучи така: c 2 (квадрат на хипотенузата) = a 2 + b 2 (сума от квадратите на краката).

Сред математиците триъгълник със страни 3, 4, 5 (cm, m и т.н.) се нарича "египетски". Интересното е, че вписаното във фигурата е равно на единица. Името възниква около 5 век пр.н.е., когато гръцки философи пътуват до Египет.

При построяването на пирамидите архитектите и геодезистите са използвали съотношението 3:4:5. Такива структури се оказаха пропорционални, приятни за гледане и просторни, а също така рядко се срутваха.

За да изградят прав ъгъл, строителите използвали въже със завързани на него 12 възела. В този случай вероятността да се построи правоъгълен триъгълник се увеличи до 95%.

Знаци за равенство на фигури

• Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник и дълга страна, които са равни на същите елементи във втория триъгълник, са безспорен знак за равенство на фигурите. Като се вземе предвид сумата от ъглите, лесно се доказва, че вторите остри ъгли също са равни. Така триъгълниците са еднакви по втория критерий.
• Когато наслагваме две фигури една върху друга, ние ги завъртаме така, че когато се комбинират, те стават един равнобедрен триъгълник. Според свойството си страните, или по-скоро хипотенузите, са равни, както и ъглите в основата, което означава, че тези фигури са еднакви.

Въз основа на първия знак е много лесно да се докаже, че триъгълниците наистина са равни, основното е, че двете по-малки страни (т.е. краката) са равни една на друга.

Триъгълниците ще бъдат еднакви според втория критерий, чиято същност е равенството на крака и острия ъгъл.

Свойства на триъгълник с прав ъгъл

Височината, която се спуска от прав ъгъл, разделя фигурата на две равни части.

Страните на правоъгълен триъгълник и неговата медиана могат лесно да бъдат разпознати по правилото: медианата, която попада върху хипотенузата, е равна на половината от нея. може да се намери както чрез формулата на Херон, така и чрез твърдението, че е равно на половината от произведението на краката.

В правоъгълен триъгълник се прилагат свойствата на ъгли от 30°, 45° и 60°.

• При ъгъл от 30 ° трябва да се помни, че противоположният крак ще бъде равен на 1/2 от най-голямата страна.
• Ако ъгълът е 45°, тогава вторият остър ъгъл също е 45°. Това предполага, че триъгълникът е равнобедрен и краката му са еднакви.
• Свойството на ъгъл от 60° е, че третият ъгъл има градусна мярка 30°.

Площта може лесно да се намери с помощта на една от трите формули:

1. през височината и страната, на която се спуска;
2. по формулата на Херон;
3. на страните и ъгъла между тях.

Страните на правоъгълен триъгълник, или по-скоро краката, се събират с две височини. За да се намери третият, е необходимо да се вземе предвид полученият триъгълник и след това, използвайки теоремата на Питагор, да се изчисли необходимата дължина. В допълнение към тази формула има и връзка между удвоената площ и дължината на хипотенузата. Най-често срещаният израз сред студентите е първият, тъй като изисква по-малко изчисления.

Теореми, приложими към правоъгълен триъгълник

Геометрията на правоъгълен триъгълник включва използването на теореми като:

АНДРЕЙ ПРОКИП: „МОЯТ ЛЮБОВНИК Е РУСКАТА ЕКОЛОГИЯ. ТРЯБВА ДА ИНВЕСТИРАТЕ В НЕГО!”
На 4-5 септември се проведе екологичният форум „Климатичният облик на градовете“. Инициатор на събитието е организацията C40, която е основана през 2005 г. от ООН. Основната задача на формата и градовете е да контролира изменението на климата в градовете.
Както показа практиката, за разлика от социалните събития и „срещите в нощните клубове“, имаше малко депутати и обществени личности. Сред онези, които наистина проявиха загриженост за екологичната ситуация, беше Прокип Адрей Зиновиевич. Той взе активно участие във всички пленарни заседания заедно със специалния представител на президента на Руската федерация по въпросите на климата Руслан Еделгериев, заместник-кмета на Москва по жилищно-комуналното стопанство Пьотр Бирюков, както и чуждестранни представители - кмета на италианския г. град Савона - Иларио Каприолио. Участниците представиха своите проекти и обсъдиха стратегии за ограничаване на нарастващите глобални температури и предложиха практически решения за устойчиво градско развитие.
АНДРЕЙ ПРОКИП ЗА ШАШЛИЦИТЕ, ДЕПУТАТИТЕ И ЗЕЛЕНОТО СТРОИТЕЛСТВО
Особен интерес от руската страна предизвикаха изказванията на лекторите, сред които бяха европейски архитекти, учени и кметове на Савона. Темата на изказването беше ТОП направлението – „зелено строителство“. Както каза самият Андрей Прокип, „важно е правилно да се преразпределят ресурсите, както и да се вземат предвид европейските строителни стандарти за метрополия като Москва. Необходимо е Русия да вземе курс към „зелено финансиране“ на федерално ниво, особено след като това е икономически осъществимо и, както показва практиката, изгодно. Той също така изрази загриженост относно влошаването на здравето на руснаците поради екологични бедствия и неспазване на екологичните стандарти за изхвърляне на отпадъци от големи и малки промишлени предприятия. Той също се потвърди в страховете си благодарение на речта на Франческо Замбона, професор в Европейския офис на СЗО за инвестиции в здравеопазването.
С характерен хумор Андрей се обърна към известни хора, които бяха поканени на форума, но така и не се появиха, с призив „да си спомняме за природата, не само когато искат барбекю или отиват на риболов. В крайна сметка здравето на целия народ зависи от благоволението на природата, която, за съжаление, включва и тях.”
В допълнение към страстните изказвания за новия „любовник-природа“ на Андрей Зиновиевич и важността на поемането на отговорност към околната среда, значимо събитие на форума беше пленарната сесия на тема „Как да образоваме новото поколение“. Участниците във форума бяха единодушни в мнението, че е необходимо да се образоват не само децата, но и възрастното поколение. Много е важно да се възпитава отговорност към природата както в ежедневието, така и в бизнеса.
За Москва ще стартира специален проект „Да се ​​научим да живеем цивилизовано“. Това е образователен проект за всички слоеве от населението и възрастови категории. Но колкото и да е прекрасна теорията и добрите намерения, поговорката „докато печеният петел не кълве, глупакът няма да се прекръсти” все още е актуална за Русия.
Според Тимъти Нетър, известен театрален режисьор, изкуството може да промени всичко. В едно от изказванията си той говори за това как идеята за опазване на природата трябва да се представя в театъра и киното и колко е важно чрез изкуството да възпитаваме хората да бъдат отговорни към това, което ще се случи с нас и природата утре.
Студенти от руски университети привлякоха вниманието на операторите на Rentv и Андрей Прокирпа, като представиха проект за екологична технология за производство на контейнери, устойчиви на влага и температура. Това е много належащ проблем, тъй като по света се приемат закони срещу пластмасовите контейнери, които между другото се разлагат повече от 30 години, замърсяват почвата и причиняват смъртта на животните.
Обнадеждаващ е фактът, че Москва е един от 94 града-участници в организацията C40 и форумът се провежда за трети път, който всяка година привлича вниманието на все повече известни личности и граждани.

Дефиниция на триъгълник

Триъгълнике геометрична фигура, която се образува в резултат на пресичането на три сегмента, чиито краища не лежат на една и съща права линия. Всеки триъгълник има три страни, три върха и три ъгъла.

Онлайн калкулатор

Триъгълниците се предлагат в различни видове. Например има равностранен триъгълник (в който всички страни са равни), равнобедрен (в него двете страни са равни) и правоъгълен триъгълник (в който един от ъглите е прав, т.е. равен на 90 градуса).

Площта на триъгълник може да бъде намерена по различни начини, в зависимост от това какви елементи на фигурата са известни от условията на проблема, било то ъгли, дължини или дори радиусите на кръговете, свързани с триъгълника. Нека разгледаме всеки метод поотделно с примери.

Формула за площта на триъгълник въз основа на неговата основа и височина

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅ч,

A a а- основа на триъгълника;
ч ч ч- височината на триъгълника, начертана към дадената основа a.

Намерете площта на триъгълник, ако е известна дължината на основата му, равна на 10 (cm) и височината, начертана към тази основа, равна на 5 (cm).

Решение

A = 10 a = 10 а =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Заместваме това във формулата за площ и получаваме:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (виж кв.)

Отговор: 25 (см. кв.)

Формула за площта на триъгълник въз основа на дължините на всички страни

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- дължини на страните на триъгълника;
p p стр- половината от сумата на всички страни на триъгълника (т.е. половината от периметъра на триъгълника):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (а +b+° С)

Тази формула се нарича Формулата на Херон.

Намерете площта на триъгълник, ако са известни дължините на трите му страни, равни на 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Решение

A = 3 a = 3 а =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Нека намерим половината периметър p p стр:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Тогава, според формулата на Heron, площта на триъгълника е:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (виж кв.)

Отговор: 6 (виж квадратчето)

Формула за площта на триъгълник с една страна и два ъгъла

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 а 2 ​ ⋅ sin(β + γ)грях β грях γ ​ ,

A a а- дължина на страната на триъгълника;
β, γ \бета, \гама β , γ - ъгли, съседни на страната а а а.

Дадена е страна на триъгълник, равна на 10 (см) и два съседни ъгъла от 30 градуса. Намерете площта на триъгълника.

Решение

A = 10 a = 10 а =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Според формулата:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\приблизително 14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ грях (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) грях 3 0 ∘ грях 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (виж кв.)

Отговор: 14.4 (виж кв.)

Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- страни на триъгълника;
Р Р Р- радиус на описаната окръжност около триъгълника.

Нека вземем числата от нашата втора задача и добавим радиуса към тях Р Р Ркръгове. Нека е равно на 10 (см.).

Решение

A = 3 a = 3 а =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (виж кв.)

Отговор: 1,5 (cm2)

Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност

S = p ⋅ r S=p\cdot rС= стр⋅ r,

p pстр- половината от периметъра на триъгълника:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)стр= 2 а+ b+ ° С​ ,

a, b, c a, b, cа, b, ° С- страни на триъгълника;
r rr- радиусът на окръжността, вписана в триъгълника.

Нека радиусът на вписаната окръжност е 2 (cm). Ще вземем дължините на страните от предишната задача.

Решение

$а=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4b=4c\; =\; 5\; c\; =\; 5°\; С=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$стр=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12С= 6 ⋅ 2 = 1 2 (виж кв.)

Отговор: 12 (см. кв.)

Формула за площта на триъгълник, основана на две страни и ъгъл между тях

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)С= 2 1 ​ ⋅ b⋅ ° С⋅ грях(α ) ,

b , c b, cb, ° С- страни на триъгълника;

α\алфаα - ъгъл между страните б бbИ c c° С.

Страните на триъгълника са 5 (см) и 6 (см), ъгълът между тях е 30 градуса. Намерете площта на триъгълника.

Решение

$b=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6°\; С=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5С= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ грях(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (виж кв.)

Отговор: 7,5 (см. кв.)

Триъгълникът е геометрично число, състоящо се от три сегмента, които свързват три точки, които не лежат на една права. Точките, които образуват триъгълник, се наричат ​​негови точки, а отсечките са една до друга.

В зависимост от вида на триъгълника (правоъгълен, монохромен и т.н.), можете да изчислите страната на триъгълника по различни начини, в зависимост от входните данни и условията на задачата.

Бърза навигация за статия

За изчисляване на страните на правоъгълен триъгълник се използва Питагоровата теорема, която гласи, че квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Ако обозначим катетите като "a" и "b", а хипотенузата като "c", тогава страниците могат да бъдат намерени със следните формули:

Ако са известни острите ъгли на правоъгълен триъгълник (a и b), неговите страни могат да се намерят по следните формули:

Изрязан триъгълник

Триъгълник се нарича равностранен триъгълник, в който двете страни са еднакви.

Как да намерим хипотенузата на два крака

Ако буквата "a" е идентична на същата страница, "b" е основата, "b" е ъгълът срещу основата, "a" е съседният ъгъл, за да изчислите страниците, можете да използвате следните формули:

Два ъгъла и една страна

Ако са известни една страница (c) и два ъгъла (a и b) на всеки триъгълник, формулата за синус се използва за изчисляване на останалите страници:

Трябва да намерите третата стойност y = 180 - (a + b), защото

сборът от всички ъгли на триъгълник е 180°;

Две страни и ъгъл

Ако са известни две страни на триъгълник (a и b) и ъгълът между тях (y), косинусовата теорема може да се използва за изчисляване на третата страна.

Как да определим периметъра на правоъгълен триъгълник

Триъгълният триъгълник е триъгълник, единият от които е 90 градуса, а другите два са остри. изчисление периметъртакива триъгълникв зависимост от количеството известна информация за него.

Ще ти трябва

• В зависимост от случая, умения 2 трите страни на триъгълника, както и един от острите му ъгли.

инструкции

първиМетод 1. Ако и трите страници са известни триъгълникСлед това, независимо дали е перпендикулярен или нетриъгълен, периметърът се изчислява като: P = A + B + C, където е възможно c е хипотенузата; a и b са крака.

второМетод 2.

Ако правоъгълникът има само две страни, тогава използвайки Питагоровата теорема, триъгълникможе да се изчисли по формулата: P = v (a2 + b2) + a + b или P = v (c2 - b2) + b + c.

третиМетод 3. Нека хипотенузата е c и остър ъгъл? При даден правоъгълен триъгълник ще бъде възможно да се намери периметърът по следния начин: P = (1 + sin?

четвъртоМетод 4. Казват, че в правоъгълния триъгълник дължината на единия катет е равна на a и, напротив, има остър ъгъл. След това изчислете периметърТова триъгълникще се извърши по формулата: P = a * (1 / tg?

1/син? + 1)

петиМетод 5.

Онлайн изчисляване на триъгълник

Нека нашият крак води и бъде включен в него, тогава диапазонът ще се изчисли като: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Подобни видеа

Питагоровата теорема е в основата на цялата математика. Определя връзката между страните на истински триъгълник. Сега има 367 доказателства на тази теорема.

инструкции

първиКласическата училищна формулировка на Питагоровата теорема звучи така: квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на краката.

За да намерите хипотенузата в правоъгълен триъгълник от два Catets, трябва да прибегнете до повдигане на квадрат на дължините на катетите, да ги съберете и да вземете корен квадратен от сумата. В първоначалната формулировка на неговото изявление пазарът се основава на хипотенузата, която е равна на сумата от квадратите на 2 квадрата, произведени от Катете. Съвременната алгебрична формулировка обаче не изисква въвеждането на представяне на домейн.

второНапример правоъгълен триъгълник, чиито катети са 7 cm и 8 cm.

Тогава според Питагоровата теорема квадратната хипотенуза е равна на R + S = 49 + 64 = 113 см. Хипотенузата е равна на корен квадратен от числото 113.

Ъгли на правоъгълен триъгълник

Резултатът беше неоснователно число.

третиАко триъгълниците са катети 3 и 4, тогава хипотенузата = 25 = 5. Когато извадите корен квадратен, получавате естествено число. Числата 3, 4, 5 образуват Пигагорова тройка, тъй като те отговарят на отношението x? +Y? = Z, което е естествено.

Други примери за триплет на Питагор са: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

четвъртоВ този случай, ако краката са еднакви един с друг, Питагоровата теорема се превръща в по-примитивно уравнение. Например, да предположим, че такава ръка е равна на числото A и хипотенузата е определена за C, и тогава c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. В този случай нямате нужда от А.

петиПитагоровата теорема е специален случай, по-голям от общата косинусова теорема, която установява връзката между трите страни на триъгълник за всеки ъгъл между две от тях.

Съвет 2: Как да определим хипотенузата за катети и ъгли

Хипотенузата е страната в правоъгълен триъгълник, която е срещу ъгъла от 90 градуса.

инструкции

първиВ случай на известни катетри, както и при острия ъгъл на правоъгълен триъгълник, хипотенузата може да има размер, равен на съотношението на крака към косинуса / синуса на този ъгъл, ако ъгълът е противоположен / e включва: H = C1 (или C2) / sin, H = C1 (или C2?) / cos?. Пример: Нека на ABC е даден неправилен триъгълник с хипотенуза AB и прав ъгъл C.

Нека B е 60 градуса, а A 30 градуса. Дължината на стеблото BC е 8 см. Трябва да се намери дължината на хипотенузата AB. За да направите това, можете да използвате един от горните методи: AB = BC / cos60 = 8 см. AB = BC / sin30 = 8 см.

Хипотенузата е най-дългата страна на правоъгълник триъгълник. Разположен е под прав ъгъл. Метод за намиране на хипотенузата на правоъгълник триъгълникв зависимост от изходните данни.

инструкции

първиАко краката ви са перпендикулярни триъгълник, тогава дължината на хипотенузата на правоъгълника триъгълникможе да се открие чрез аналог на Питагор - квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите: c2 = a2 + b2, където a и b са дължината на катетите на правата триъгълник .

второАко един от краката е известен и под остър ъгъл, формулата за намиране на хипотенузата ще зависи от наличието или отсъствието под определен ъгъл по отношение на известния крак - съседен (кракът е разположен близо) или обратно ( противоположният случай е разположен nego.V на посочения ъгъл е равен на частта от хипотенузата на крака в косинус ъгъл: a = a/cos;E, от друга страна, хипотенузата е същата като съотношението на синусовите ъгли: da = a/sin.

Подобни видеа

Полезни съвети
Ъглов триъгълник, чиито страни са свързани като 3:4:5, наречен египетска делта поради факта, че тези фигури са били широко използвани от архитектите на древен Египет.

Това е и най-простият пример за триъгълници на Джеро, в които страниците и площта са представени с цели числа.

Триъгълник се нарича правоъгълник, чийто ъгъл е 90°. Страната срещу десния ъгъл се нарича хипотенуза, другата се нарича катети.

Ако искате да разберете как се образува правоъгълен триъгълник от някои свойства на правилните триъгълници, а именно факта, че сборът от острите ъгли е 90°, който се използва, и факта, че дължината на противоположния катет е половината от хипотенузата е 30°.

Бърза навигация за статия

Изрязан триъгълник

Едно от свойствата на равен триъгълник е, че двата му ъгъла са равни.

За да изчислите ъгъла на правоъгълен равен триъгълник, трябва да знаете, че:

• Това не е по-лошо от 90°.
• Стойностите на острите ъгли се определят по формулата: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, т.е.

  Ъглите α и β са равни на 45°.

Ако известната стойност на един от острите ъгли е известна, другият може да се намери по формулата: β = 180º-90º-α или α = 180º-90º-β.

Това съотношение се използва най-често, ако един от ъглите е 60° или 30°.

Ключови понятия

Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е 180°.

Тъй като е едно ниво, две остават остри.

Изчислете триъгълник онлайн

Ако искате да ги намерите, трябва да знаете, че:

други методи

Стойностите на острите ъгли на правоъгълен триъгълник могат да бъдат изчислени от средната - с линия от точка от противоположната страна на триъгълника, и височината - линията е перпендикуляр, изтеглен от хипотенузата под прав ъгъл .

Нека медианата се простира от десния ъгъл до средата на хипотенузата и нека h е височината. В този случай се оказва, че:

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Две страници

Ако дължините на хипотенузата и един от краката са известни в правоъгълен триъгълник или от двете страни, тогава се използват тригонометрични идентичности за определяне на стойностите на острите ъгли:

• α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
• α = аркос (b/c), β = аркос (a/c).
• α = арктан (a / b), β = арктан (b / a).

Дължина на правоъгълен триъгълник

Площ и площ на триъгълник

периметър

Обиколката на всеки триъгълник е равна на сбора от дължините на трите страни. Общата формула за намиране на триъгълен триъгълник е:

където P е обиколката на триъгълника, a, b и c на неговите страни.

Периметър на равен триъгълникможе да се намери чрез последователно комбиниране на дължините на неговите страни или умножаване на дължината на страната по 2 и добавяне на основната дължина към продукта.

Общата формула за намиране на равновесен триъгълник ще изглежда така:

където P е периметърът на равен триъгълник, но или b, b е основата.

Периметър на равностранен триъгълникможе да се намери чрез последователно комбиниране на дължините на страните му или чрез умножаване на дължината на всяка страница по 3.

Общата формула за намиране на ръба на равностранни триъгълници ще изглежда така:

където P е периметърът на равностранен триъгълник, a е всяка от страните му.

регион

Ако искате да измерите площта на триъгълник, можете да го сравните с успоредник. Помислете за триъгълник ABC:

Ако вземем същия триъгълник и го фиксираме така, че да получим успоредник, получаваме успоредник със същата височина и основа като този триъгълник:

В този случай общата страна на триъгълниците е сгъната заедно по диагонала на формования успоредник.

От свойствата на успоредник. Известно е, че диагоналите на успоредник винаги са разделени на два равни триъгълника, тогава повърхността на всеки триъгълник е равна на половината от обхвата на успоредника.

Тъй като площта на успоредник е същата като произведението на основната му височина, площта на триъгълника ще бъде равна на половината от този продукт. Така за ΔABC площта ще бъде същата

Сега разгледайте правоъгълен триъгълник:

Два еднакви правоъгълни триъгълника могат да бъдат огънати в правоъгълник, ако се опре на тях, което е хипотенуза един на друг.

Тъй като повърхността на правоъгълника съвпада с повърхността на съседните страни, площта на този триъгълник е същата:

От това можем да заключим, че повърхността на всеки правоъгълен триъгълник е равна на произведението на краката, разделено на 2.

От тези примери може да се заключи, че повърхността на всеки триъгълник е същата като произведението на дължината, а височината е намалена до субстрата, разделена на 2.

Общата формула за намиране на площта на триъгълник ще изглежда така:

където S е площта на триъгълника, но неговата основа, но височината пада до дъното a.

Онлайн калкулатор.
Решаване на триъгълници.

Решаването на триъгълник е намирането на всичките му шест елемента (т.е. три страни и три ъгъла) от всеки три дадени елемента, които определят триъгълника.

Тази математическа програма намира страната \(c\), ъглите \(\alpha \) и \(\beta \) от указаните от потребителя страни \(a, b\) и ъгъла между тях \(\gamma \)

Програмата не само дава отговор на проблема, но също така показва процеса на намиране на решение.

Този онлайн калкулатор може да бъде полезен за гимназистите в средните училища, когато се подготвят за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, както и за родителите, за да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решаването на проблеми се повишава.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на числа, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на числа

Числата могат да бъдат зададени не само като цели числа, но и като дроби.
Целите и дробните части в десетичните дроби могат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например можете да въведете десетични дроби като 2,5 или като 2,5

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Теорема за синусите

Теорема

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Косинусова теорема

Теорема
Нека AB = c, BC = a, CA = b в триъгълник ABC. Тогава
Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус два пъти произведението на тези страни, умножено по косинуса на ъгъла между тях.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Решаване на триъгълници

Решаването на триъгълник означава намирането на всичките му шест елемента (т.е. три страни и три ъгъла) от всеки три дадени елемента, които определят триъгълника.

Нека разгледаме три задачи, включващи решаване на триъгълник. В този случай ще използваме следната нотация за страните на триъгълник ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Решаване на триъгълник с помощта на две страни и ъгъл между тях

Дадено е: \(a, b, \ъгъл C\). Намерете \(c, \ъгъл A, \ъгъл B\)

Решение
1. Използвайки косинусовата теорема, намираме \(c\):

3. \(\ъгъл B = 180^\circ -\ъгъл A -\ъгъл C\)

Решаване на триъгълник по страна и прилежащи ъгли

Дадено е: \(a, \ъгъл B, \ъгъл C\). Намерете \(\ъгъл A, b, c\)

Решение
1. \(\ъгъл A = 180^\circ -\ъгъл B -\ъгъл C\)

Решаване на триъгълник с помощта на три страни

Дадено е: \(a, b, c\). Намерете \(\ъгъл A, \ъгъл B, \ъгъл C\)

Решение
1. Използвайки косинусовата теорема, получаваме:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. По същия начин намираме ъгъл B.
3. \(\ъгъл C = 180^\circ -\ъгъл A -\ъгъл B\)

Решаване на триъгълник с помощта на две страни и ъгъл срещу известна страна

Дадено е: \(a, b, \ъгъл A\). Намерете \(c, \ъгъл B, \ъгъл C\)

Решение
1. Използвайки теоремата за синусите, намираме \(\sin B\), получаваме:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Нека въведем обозначението: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). В зависимост от числото D са възможни следните случаи:
Ако D > 1, такъв триъгълник не съществува, т.к \(\sin B\) не може да бъде по-голямо от 1
Ако D = 1, има уникален \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Ако D Ако D 2. \(\ъгъл C = 180^\circ -\ъгъл A -\ъгъл B\)

3. Използвайки синусовата теорема, изчисляваме страната c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$