Oblast boční strany komolého jehlanu. Pyramida
V této lekci se podíváme na komolý jehlan, seznámíme se s běžným komolým jehlanem a prostudujeme jejich vlastnosti.
Připomeňme si koncept n-gonálního jehlanu na příkladu trojúhelníkového jehlanu. Je dán trojúhelník ABC. Mimo rovinu trojúhelníku je vzat bod P, spojený s vrcholy trojúhelníku. Výsledná polyedrická plocha se nazývá pyramida (obr. 1).
Rýže. 1. Trojúhelníkový jehlan
Jehlan rozřízneme rovinou rovnoběžnou s rovinou podstavy jehlanu. Útvar získaný mezi těmito rovinami se nazývá komolý jehlan (obr. 2).
Rýže. 2. Komolá pyramida
Základní prvky:
Horní základna;
ABC spodní základna;
Boční obličej;
Jestliže PH je výška původního jehlanu, pak je to výška komolého jehlanu.
Vlastnosti komolého jehlanu vyplývají ze způsobu jeho konstrukce, a to z rovnoběžnosti rovin podstav:
Všechny boční stěny komolého jehlanu jsou lichoběžníky. Vezměme si například okraj. Má vlastnost rovnoběžných rovin (protože jsou roviny rovnoběžné, řežou boční čelo původního jehlanu AVR podél rovnoběžných přímek), ale zároveň nejsou rovnoběžné. Je zřejmé, že čtyřúhelník je lichoběžník, stejně jako všechny boční stěny komolého jehlanu.
Poměr základen je stejný pro všechny lichoběžníky:
Máme několik dvojic podobných trojúhelníků se stejným koeficientem podobnosti. Například trojúhelníky a RAB jsou podobné kvůli rovnoběžnosti rovin a koeficientu podobnosti:
Zároveň jsou trojúhelníky a RVS podobné s koeficientem podobnosti:
Je zřejmé, že koeficienty podobnosti pro všechny tři páry podobných trojúhelníků jsou stejné, takže poměr základen je stejný pro všechny lichoběžníky.
Pravidelný komolý jehlan je komolý jehlan získaný řezáním pravidelného jehlanu s rovinou rovnoběžnou se základnou (obr. 3).
Rýže. 3. Pravidelný komolý jehlan
Definice.
Jehlan se nazývá pravidelný, jestliže jeho základna je pravidelný n-úhelník a jeho vrchol se promítá do středu tohoto n-úhelníku (středu kružnice vepsané a opsané).
V tomto případě je na základně pyramidy čtverec a vrchol se promítá do průsečíku jejích úhlopříček. Výsledný pravidelný čtyřboký komolý jehlan ABCD má spodní základnu a horní základnu. Výška původního jehlanu je RO, komolého jehlanu je (obr. 4).
Rýže. 4. Pravidelný čtyřboký komolý jehlan
Definice.
Výška komolého jehlanu je kolmice vedená z libovolného bodu jedné základny k rovině druhé základny.
Apotéma původního jehlanu je RM (M je střed AB), apotéma komolého jehlanu je (obr. 4).
Definice.
Apotém komolého jehlanu je výška jakékoli boční plochy.
Je zřejmé, že všechny boční hrany komolého jehlanu jsou si navzájem rovné, to znamená, že boční plochy jsou stejné rovnoramenné lichoběžníky.
Plocha boční plochy pravidelného komolého jehlanu se rovná součinu poloviny součtu obvodů základen a apotému.
Důkaz (pro pravidelný čtyřboký komolý jehlan - obr. 4):
Musíme tedy dokázat:
Plocha boční plochy se zde bude skládat ze součtu ploch bočních ploch - lichoběžníků. Protože jsou lichoběžníky stejné, máme:
Náměstí rovnoramenný lichoběžník je součin poloviny součtu základen a výšky, apotém je výška lichoběžníku. My máme:
Q.E.D.
Pro n-gonální pyramidu:
Kde n je počet bočních stěn jehlanu, aab jsou základny lichoběžníku a je apotém.
Boky základny jsou pravidelně seříznuté čtyřboká pyramida 
rovné 3 cm a 9 cm, výška - 4 cm. Najděte plochu bočního povrchu.
Rýže. 5. Ilustrace k problému 1
Řešení. Ukažme si stav:
Dotaz: , ,
Bodem O vedeme přímku MN rovnoběžnou se dvěma stranami spodní základny a obdobně bodem vedeme přímku (obr. 6). Protože čtverce a konstrukce na základnách komolého jehlanu jsou rovnoběžné, získáme lichoběžník rovný bočním plochám. Navíc jeho strana bude procházet středy horních a spodních okrajů bočních ploch a bude apothemem komolého jehlanu.
Rýže. 6. Doplňkové konstrukce
Uvažujme výsledný lichoběžník (obr. 6). V tomto lichoběžníku je známá horní základna, spodní základna a výška. Musíte najít stranu, která je apotémou dané komolé pyramidy. Kreslime kolmo na MN. Z bodu snížíme kolmici NQ. Zjistíme, že větší základna je rozdělena na segmenty po třech centimetrech (). Vezměme si pravoúhlý trojúhelník, nohy v něm jsou známé, toto egyptský trojúhelník, pomocí Pythagorovy věty určíme délku přepony: 5 cm.
Nyní existují všechny prvky k určení plochy bočního povrchu pyramidy:
Pyramidu protíná rovina rovnoběžná se základnou. Na příkladu trojúhelníkového jehlanu dokažte, že boční hrany a výška jehlanu jsou rozděleny touto rovinou na poměrné části.
Důkaz. Pojďme si ilustrovat:
Rýže. 7. Ilustrace k problému 2
Je dána pyramida RABC. PO - výška pyramidy. Jehlan je řezán rovinou, získá se komolý jehlan a. Bod - průsečík výšky RO s rovinou základny komolého jehlanu. Je nutné prokázat:
Klíčem k řešení je vlastnost rovnoběžných rovin. Dvě rovnoběžné roviny protínají libovolnou třetí rovinu, takže průsečíky jsou rovnoběžné. Odtud: . Rovnoběžnost odpovídajících čar znamená přítomnost čtyř párů podobných trojúhelníků:
Z podobnosti trojúhelníků vyplývá proporcionalita odpovídajících stran. Důležitá funkce je, že koeficienty podobnosti těchto trojúhelníků jsou stejné:
Q.E.D.
Pravidelný trojúhelníkový jehlan RABC s výškou a stranou podstavy je rozčleněn rovinou procházející středem výšky PH rovnoběžně se základnou ABC. Najděte oblast bočního povrchu výsledné komolé pyramidy.
Řešení. Pojďme si ilustrovat:
Rýže. 8. Ilustrace k problému 3
ACB je pravidelný trojúhelník, H je střed tohoto trojúhelníku (střed kružnice vepsané a opsané). RM je apotém dané pyramidy. - apotéma komolého jehlanu. Podle vlastnosti rovnoběžných rovin (dvě rovnoběžné roviny protínají libovolnou třetí rovinu tak, že průsečíky jsou rovnoběžné), máme několik dvojic podobných trojúhelníků se stejným koeficientem podobnosti. Zejména nás zajímá vztah:
Pojďme najít NM. Toto je poloměr kružnice vepsané do základny; známe odpovídající vzorec:
Nyní z pravoúhlého trojúhelníku PHM pomocí Pythagorovy věty najdeme RM - apotém původní pyramidy:
Z původního poměru:
Nyní známe všechny prvky pro nalezení oblasti bočního povrchu komolé pyramidy:
Seznámili jsme se tedy s koncepty komolého jehlanu a pravidelného komolého jehlanu, uvedli základní definice, zkoumali vlastnosti a dokázali větu o ploše bočního povrchu. Další lekce se zaměří na řešení problémů.
Bibliografie
- I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrie. Ročníky 10-11: učebnice pro studenty vzdělávací instituce(základní a profilové úrovně) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, rev. a doplňkové - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
- Sharygin I. F. Geometrie. 10-11 ročník: Učebnice pro všeobecné vzdělávání vzdělávací instituce/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: ill.
- E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrie. 10. ročník: Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce s prohlubujícím a specializovaným studiem matematiky /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: ill.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
Domácí práce
- 29.05.2016
Oscilační obvod - elektrický obvod, obsahující induktor, kondenzátor a zdroj elektrické energie. Když jsou prvky obvodu zapojeny do série, oscilační obvod se nazývá sériový, a když je zapojen paralelně, nazývá se paralelní. Oscilační obvod - nejjednodušší systém, ve kterém může docházet k volným elektromagnetickým oscilacím. Rezonanční frekvence obvodu je určena tzv. Thomsonovým vzorcem: ƒ = 1/(2π√(LC)) Pro ...
- 20.09.2014
Přijímač je určen pro příjem signálů v rozsahu DV (150 kHz…300 kHz). Hlavním znakem přijímače je anténa, která má vyšší indukčnost než klasická magnetická anténa. To umožňuje využít kapacitu ladícího kondenzátoru v rozsahu 4...20 pF a také má takový přijímač přijatelnou citlivost a mírné zesílení ve vf cestě. Přijímač funguje pro sluchátka (sluchátka), je napájen...
- 24.09.2014
Toto zařízení je navrženo tak, aby monitorovalo hladinu kapaliny v nádržích, jakmile kapalina stoupne zavedená úroveň Zařízení začne nepřetržitě pípat, jakmile hladina kapaliny dosáhne kritické úrovně. Zařízení začne pípat přerušovaně. Indikátor se skládá ze 2 generátorů, jsou řízeny senzorovým prvkem E. Je umístěn v nádrži na úrovni do ...
- 22.09.2014
KR1016VI1 je digitální víceprogramový časovač navržený pro práci s indikátorem ILC3-5\7. Poskytuje počítání a zobrazení aktuálního času v hodinách a minutách, dne v týdnu a čísla řídicího kanálu (9 alarmů). Obvod budíku je znázorněn na obrázku. Mikroobvod je taktovaný. rezonátor Q1 na 32768Hz. jídlo je negativní, celkové plus jde do...
Pyramida. Zkrácená pyramida
Pyramida je mnohostěn, jehož jedna plocha je mnohoúhelník ( základna ) a všechny ostatní plochy jsou trojúhelníky se společným vrcholem ( boční plochy ) (obr. 15). Pyramida se nazývá opravit , je-li jeho základna pravidelný mnohoúhelník a vrchol jehlanu se promítá do středu základny (obr. 16). Trojúhelníkový jehlan se všemi hranami stejnými se nazývá čtyřstěn .
Postranní žebro pyramidy je strana boční plochy, která nepatří k základně Výška pyramida je vzdálenost od jejího vrcholu k rovině základny. Všechny boční hrany pravidelného jehlanu jsou si navzájem rovné, všechny boční stěny jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky. Výška boční plochy pravidelného jehlanu vytaženého z vrcholu se nazývá apotéma . Diagonální řez se nazývá řez jehlanem rovinou procházející dvěma bočními hranami, které nepatří ke stejné ploše.
Boční plocha povrchu pyramida je součtem ploch všech bočních stěn. Celková plocha povrchu se nazývá součet ploch všech bočních ploch a základny.
Věty
1. Jsou-li v jehlanu všechny boční hrany stejně nakloněny k rovině podstavy, pak se vrchol jehlanu promítá do středu kružnice opsané poblíž podstavy.
2. Pokud v pyramidě mají všechny boční hrany stejné délky, pak se vrchol pyramidy promítne do středu kružnice opsané poblíž základny.
3. Jsou-li všechny plochy jehlanu stejně nakloněny k rovině podstavy, pak se vrchol jehlanu promítá do středu kružnice vepsané do podstavy.
Pro výpočet objemu libovolné pyramidy je správný vzorec:
Kde PROTI- hlasitost;
S základna– základní plocha;
H- výška pyramidy.
Pro běžnou pyramidu jsou správné následující vzorce:
Kde p– obvod základny;
h a– apotéma;
H- výška;
S plný
S strana
S základna– základní plocha;
PROTI– objem pravidelné pyramidy.
Zkrácená pyramida nazývá se část jehlanu uzavřená mezi základnou a řeznou rovinou rovnoběžnou se základnou jehlanu (obr. 17). Pravidelná komolá pyramida nazývaná část pravidelného jehlanu uzavřená mezi základnou a řeznou rovinou rovnoběžnou se základnou jehlanu.
Důvody komolý jehlan - podobné mnohoúhelníky. Boční plochy – lichoběžníky. Výška komolého jehlanu je vzdálenost mezi jeho základnami. Úhlopříčka komolý jehlan je segment spojující jeho vrcholy, které neleží na stejné ploše. Diagonální řez je řez komolého jehlanu rovinou procházející dvěma bočními hranami, které nepatří ke stejné ploše.
Pro komolou pyramidu platí následující vzorce:
(4)
Kde S 1 , S 2 – plochy horní a dolní základny;
S plný– celková plocha;
S strana– boční plocha;
H- výška;
PROTI– objem komolého jehlanu.
Pro pravidelnou komolou pyramidu je vzorec správný:
Kde p 1 , p 2 – obvody základen;
h a– apotéma pravidelného komolého jehlanu.
Příklad 1. Vpravo trojúhelníková pyramidaúhel vzepětí u základny je 60º. Najděte tečnu úhlu sklonu boční žebro do základní roviny.
Řešení. Udělejme nákres (obr. 18).
 |
Pyramida je pravidelná, což znamená, že na základně je rovnostranný trojúhelník a všechny boční stěny jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky. Dihedrální úhel u základny je úhel sklonu boční plochy jehlanu k rovině základny. Lineární úhel je úhel A mezi dvěma kolmicemi atd. Vrchol pyramidy se promítá do středu trojúhelníku (střed opsané kružnice a vepsané kružnice trojúhelníku ABC). Úhel sklonu boční hrany (např S.B.) je úhel mezi samotnou hranou a jejím průmětem do roviny základny. Pro žebro S.B. tento úhel bude úhel SBD. Abyste našli tečnu, musíte znát nohy TAK A O.B.. Nechte délku segmentu BD rovná se 3 A. Tečka Oúsečka BD se dělí na části: a Od nalézáme TAK: 
Od najdeme: 
Odpovědět:
Příklad 2 Najděte objem pravidelného komolého čtyřbokého jehlanu, jestliže úhlopříčky jeho podstav jsou rovné cm a cm a jeho výška je 4 cm.
Řešení. Pro zjištění objemu komolého jehlanu použijeme vzorec (4). Chcete-li najít plochu základen, musíte najít strany základních čtverců a znát jejich úhlopříčky. Strany podstav se rovnají 2 cm a 8 cm. To znamená plochy podstav a Dosazením všech dat do vzorce vypočítáme objem komolého jehlanu:
Odpovědět: 112 cm 3.
Příklad 3 Najděte plochu boční stěny pravidelného trojúhelníkového komolého jehlanu, jehož strany základny jsou 10 cm a 4 cm a výška jehlanu je 2 cm.
Řešení. Udělejme nákres (obr. 19).
Boční stěna této pyramidy je rovnoramenný lichoběžník. Chcete-li vypočítat plochu lichoběžníku, musíte znát základnu a výšku. Základy jsou dány podle stavu, neznámá zůstává jen výška. Odkud ji najdeme A 1 E kolmo od bodu A 1 v rovině spodní základny, A 1 D– kolmo od A 1 za AC. A 1 E= 2 cm, protože to je výška pyramidy. Najít DE Udělejme další nákres znázorňující pohled shora (obr. 20). Tečka O– projekce středů horní a dolní základny. od (viz obr. 20) a Na druhé straně OK– poloměr vepsaný do kruhu a 
OM– poloměr vepsaný do kruhu:
MK = DE.
Podle Pythagorovy věty z
Oblast bočního obličeje: 
Odpovědět:
Příklad 4. Na základně pyramidy leží rovnoramenný lichoběžník, jehož základny A A b (A> b). Každá boční plocha svírá úhel rovný rovině základny jehlanu j. Najděte celkovou plochu pyramidy.
Řešení. Udělejme nákres (obr. 21). Celková plocha pyramidy SABCD rovná se součtu ploch a plochy lichoběžníku abeceda.
Použijme tvrzení, že jsou-li všechny strany jehlanu stejně nakloněny k rovině podstavy, pak se vrchol promítá do středu kružnice vepsané do podstavy. Tečka O– vrcholová projekce S na základně pyramidy. Trojúhelník DRN je ortogonální průmět trojúhelníku CSD do roviny základny. Pomocí věty o oblasti ortogonální projekce rovinného obrazce získáme:
Stejně tak to znamená 
Problém byl tedy omezen na nalezení oblasti lichoběžníku abeceda. Nakreslíme lichoběžník abeceda samostatně (obr. 22). Tečka O– střed kruhu vepsaného do lichoběžníku.
Protože kruh může být vepsán do lichoběžníku, pak nebo Z Pythagorovy věty máme
