Тэгш өнцөгтийн хэмжээ эсвэл тойргийн диаметрийг хэрхэн олох вэ. Хэрхэн олох вэ, тойрог нь ямар байх вэ?

Зааварчилгаа

Архимед энэ хамаарлыг математикийн хувьд анхлан тооцоолсон гэдгийг санаарай. Энэ нь тойрог дотор болон эргэн тойронд 96 талтай ердийн гурвалжин юм. Бичсэн олон өнцөгтийн периметрийг боломжит хамгийн бага тойргоор, хязгаарласан дүрсийн периметрийг хамгийн их хэмжээгээр авсан. Архимедийн хэлснээр тойрог ба диаметрийн харьцаа 3.1419 байна. Хэсэг хугацааны дараа энэ тоог Хятадын математикч Зу Чонжи найман тэмдэгт болгон "өргөтгөсөн". Түүний тооцоо 900 жилийн турш хамгийн үнэн зөв байсан. Зөвхөн 18-р зуунд аравтын бутархай зуун орон тоологдсон. 1706 оноос хойш энэ эцэс төгсгөлгүй аравтын бутархай Уильям Жонсын ачаар нэрээ олж авсан. Тэрээр үүнийг периметр (захын) грек үгийн эхний үсгээр тэмдэглэв. Өнөөдөр компьютер Pi-ийн цифрүүдийг хялбархан тооцоолж байна: 3.141592653589793238462643...

Тооцооллын хувьд Pi-г 3.14 болгож бууруул. Аливаа тойргийн хувьд түүний уртыг диаметрээр хуваасан нь энэ тоотой тэнцүү байна: L: d = 3.14.

Энэ мэдэгдлээс диаметрийг олох томъёог илэрхийл. Тойргийн диаметрийг олохын тулд тойргийг Пи тоогоор хуваах шаардлагатай болж байна. Энэ нь дараах байдалтай байна: d = L: 3.14. Энэ бол тойргийн тойрог мэдэгдэж байгаа үед диаметрийг олох бүх нийтийн арга юм.

Тиймээс тойрог нь мэдэгдэж байна, 15.7 см, энэ тоог 3.14-т хуваа. Диаметр нь 5 см байх болно Үүнийг дараах байдлаар бичнэ үү: d = 15.7: 3.14 = 5 см.

Тойрог тооцоолох тусгай хүснэгтүүдийг ашиглан тойргийн диаметрийг олоорой. Эдгээр хүснэгтүүдийг янз бүрийн лавлах номонд оруулсан болно. Тухайлбал, тэд “Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд» V.M. Брэдис.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Шүлгийн тусламжтайгаар Пигийн эхний найман цифрийг санаарай.
Та зүгээр л хичээх хэрэгтэй
Мөн бүх зүйлийг байгаагаар нь санаарай:
Гурав, арван дөрөв, арван тав,
Ерэн хоёр, зургаа.

Эх сурвалжууд:

• "Pi" тоог рекорд нарийвчлалтайгаар тооцдог
• диаметр ба тойрог
• Тойргийн тойргийг хэрхэн олох вэ?

Тойрог нь сонгосон цэгээс бүх цэгүүд нь ижил бөгөөд тэгээс өөр зайд байрладаг хавтгай геометрийн дүрс бөгөөд үүнийг тойргийн төв гэж нэрлэдэг. Тойргийн дурын хоёр цэгийг холбосон, төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг гэнэ диаметр. Хоёр хэмжээст дүрсийн бүх хилийн нийт уртыг ихэвчлэн периметр гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн тойргийн "тойрог" гэж нэрлэдэг. Тойргийн тойргийг мэдэхийн тулд та түүний диаметрийг тооцоолж болно.

Зааварчилгаа

Диаметрийг олохын тулд тойргийн гол шинж чанаруудын нэгийг ашиглана уу, энэ нь түүний периметрийн уртыг диаметртэй харьцуулсан харьцаа нь туйлын бүх тойрогт ижил байна. Мэдээжийн хэрэг, тогтмол байдал математикчдад анзаарагдахгүй байсан бөгөөд энэ хувь хэмжээ нь удаан хугацааны туршид өөрийн гэсэн ойлголттой болсон - энэ бол Pi тоо (π гэдэг нь Грекийн анхны үг юм " тойрог" ба "периметр"). Үүний тоон утгыг диаметр нь нэгтэй тэнцүү тойргийн уртаар тодорхойлно.

Тойргийн диаметрийг тооцоолохын тулд мэдэгдэж буй тойргийг Пи-д хуваана. Энэ тоо нь “ ” тул энэ нь хязгаарлагдмал утгатай биш - энэ нь бутархай юм. Хүлээн авах шаардлагатай үр дүнгийн нарийвчлалын дагуу Pi дугуй.

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 4: Тойрог диаметртэй харьцуулсан харьцааг хэрхэн олох вэ

Гайхалтай өмч тойрогэртний Грекийн эрдэмтэн Архимед бидэнд нээсэн. Энэ нь үнэн хэрэгтээ оршдог хандлагатүүнийг уртдиаметртэй урт нь аль ч хувьд ижил байна тойрог. Тэрээр "Тойрог хэмжих тухай" бүтээлдээ үүнийг тооцоолж, "Pi" тоо гэж тодорхойлсон. Энэ нь үндэслэлгүй, өөрөөр хэлбэл түүний утгыг үнэн зөв илэрхийлэх боломжгүй юм. Энэ зорилгоор түүний утга 3.14-тэй тэнцүү байна. Архимедийн хэлсэн үгийг та энгийн тооцоолол хийснээр өөрөө шалгаж болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - луужин;
• - шугам;
• - харандаа;
• - утас.

Зааварчилгаа

Луужингаар цаасан дээр дурын диаметртэй тойрог зур. Захирагч ба харандаа ашиглан шугаман дээрх хоёр шугамыг холбосон хэсгийг төвөөр нь зур тойрог. Үүссэн сегментийн уртыг хэмжихийн тулд захирагч ашиглана уу. гэж хэлье тойрогЭнэ тохиолдолд 7 сантиметр байна.

Утсыг аваад уртын дагуу байрлуул тойрог. Үүссэн утасны уртыг хэмжинэ. Энэ нь 22 сантиметртэй тэнцүү байг. Хай хандлага урт тойрогтүүний диаметрийн уртад - 22 см: 7 см = 3.1428.... Үүссэн тоог дугуйлна (3.14). Үр дүн нь танил "Pi" тоо юм.

Энэ өмчийг нотлох тойрогТа аяга эсвэл шил хэрэглэж болно. Тэдний диаметрийг захирагчаар хэмжинэ. Хоолны дээд хэсэгт утас ороож, үүссэн уртыг хэмжинэ. Уртыг хуваах тойрогаяганы диаметрийн уртаар та мөн "Pi" тоог авах бөгөөд энэ шинж чанарыг баталгаажуулна тойрог, Архимед нээсэн.

Энэ шинж чанарыг ашиглан та ямар ч уртыг тооцоолж болно тойрогтүүний диаметрийн уртын дагуу эсвэл томъёоны дагуу: C = 2*p*R эсвэл C = D*p, энд C - тойрог, D нь диаметрийн урт, R нь радиусын урт.. олохын тулд (хавтгай, шугамаар хязгаарлагддаг тойрог) радиус нь мэдэгдэж байгаа бол S = π*R², диаметр нь мэдэгдэж байгаа бол S = π*D²/4 томъёог ашиглана.

тэмдэглэл

Пи өдрийг 3-р сарын 14-нд хорь гаруй жил тэмдэглэж ирснийг та мэдэх үү? Энэ бол олон томьёо, математик, физикийн аксиомуудтай холбоотой энэхүү сонирхолтой тоонд зориулагдсан математикчдын албан бус баяр юм. Энэ баярыг Америкийн Ларри Шоу зохион бүтээсэн бөгөөд энэ өдөр (АНУ-ын огнооны бичлэгийн системд 3.14) алдартай болохыг анзаарсан. эрдэмтэн Эйнштейн.

Эх сурвалжууд:

• Архимед

Заримдаа гүдгэр олон өнцөгтийн эргэн тойронд бүх булангийн оройнууд түүн дээр байхаар зурж болно. Олон өнцөгттэй холбоотой ийм тойргийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэх хэрэгтэй. Тэр төвбичээстэй зургийн периметрийн дотор байх албагүй, харин тайлбарласан шинж чанарыг ашиглана тойрог, энэ цэгийг олох нь ихэвчлэн тийм ч хэцүү биш юм.

Танд хэрэгтэй болно

• Захирагч, харандаа, протектор эсвэл дөрвөлжин, луужин.

Зааварчилгаа

Хэрэв та тойргийг дүрслэх шаардлагатай олон өнцөгтийг цаасан дээр зурсан бол олох төвба тойрог нь захирагч, харандаа, протектор эсвэл дөрвөлжин хангалттай. Зургийн аль ч талын уртыг хэмжиж, дунд хэсгийг нь тодорхойлж, зургийн энэ хэсэгт туслах цэгийг байрлуул. Квадрат эсвэл протектор ашиглан энэ тал руу перпендикуляр олон өнцөгт доторх хэрчимийг эсрэг талтай огтлолцох хүртэл зур.

Олон өнцөгтийн өөр аль ч талтай ижил үйлдлийг хий. Баригдсан хоёр сегментийн огтлолцол нь хүссэн цэг болно. Энэ нь тайлбарласан үндсэн шинж чанараас үүдэлтэй тойрог- тэр төвВ гүдгэр олон өнцөгталь ч тал нь тэдгээрт татсан перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр үргэлж байрладаг.

Ердийн олон өнцөгтүүдийн хувьд төвмөн бичээстэй тойрогхамаагүй энгийн байж болох юм. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь дөрвөлжин бол хоёр диагональ зур - тэдгээрийн огтлолцол болно төвом гэж бичсэн байна тойрог. Аль ч тэгш тооны талтай олон өнцөгтийн хувьд эсрэг талын хоёр хос өнцгийг туслах өнцөгтэй холбоход хангалттай. төвтодорхойлсон тойрогтэдгээрийн огтлолцох цэгтэй давхцах ёстой. Тэгш өнцөгт гурвалжинд асуудлыг шийдэхийн тулд зургийн хамгийн урт тал болох гипотенузын дунд цэгийг тодорхойлоход л хангалттай.

Хэрэв хүлээгдэж буй цэгийг тодорхойлсны дараа тухайн олон өнцөгтийг тойрсон тойрог хийх боломжтой эсэх нь нөхцөл байдлаас тодорхойгүй бол төвмөн тайлбарласан аргуудын аль нэгийг ашиглан та олж мэдэх боломжтой. Олдсон цэг болон луужин дээрх аль нэг цэгийн хоорондох зайг хойш тавьж, хүлээгдэж буй хэмжээнд нь тохируулна уу төв тойрогба тойрог зур - орой бүр үүн дээр хэвтэж байх ёстой тойрог. Хэрэв тийм биш бол шинж чанаруудын аль нэг нь өгөгдсөн олон өнцөгтийг тойрсон тойрог дүрслэхгүй.

Диаметрийг тодорхойлох нь зөвхөн геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай төдийгүй практикт тусалдаг. Жишээлбэл, савны хүзүүний диаметрийг мэддэг тул та таг сонгохдоо алдаа гаргахгүй байх нь гарцаагүй. Үүнтэй ижил мэдэгдэл нь том хүрээний хувьд үнэн юм.

Зааварчилгаа

Тиймээс хэмжигдэхүүнүүдийн тэмдэглэгээг оруулна уу. d худгийн диаметр, L тойрог, n Pi тоо, утга нь ойролцоогоор 3.14, R тойргийн радиус гэж үзье. Тойрог (L) нь мэдэгдэж байна. 628 сантиметр гэж бодъё.

Дараа нь (d) диаметрийг олохын тулд тойргийн томъёог ашиглана уу: L = 2пR, R нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн, L = 628 см, n = 3.14. Одоо үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олох дүрмийг ашигла: "Хүчин зүйл олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлд хуваах хэрэгтэй." Эндээс харахад: R = L / 2p. Томъёонд утгыг орлуулна уу: R=628/2x3.14. Үүнээс харахад: R=628/6.28, R=100 см.

Тойргийн радиусыг олсны дараа (R=100 см) дараах томъёог ашиглана: тойргийн диаметр (d) нь тойргийн хоёр радиустай (2R) тэнцүү байна. Үүнээс харахад: d = 2R.

Одоо диаметрийг олохын тулд томьёонд d=2R утгыг орлуулж үр дүнг тооцно. Радиус (R) нь мэдэгдэж байгаа тул d=2x100, d=200 см болно.

Эх сурвалжууд:

• Тойргийн тойргийг ашиглан диаметрийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Тойрог ба диаметр нь харилцан хамааралтай геометрийн хэмжигдэхүүнүүд юм. Энэ нь тэдгээрийн эхнийх нь нэмэлт өгөгдөлгүйгээр хоёр дахь руу орчуулагдах боломжтой гэсэн үг юм. Тэдгээр нь хоорондоо холбоотой байх математикийн тогтмол нь π тоо юм.

Зааварчилгаа

Хэрэв тойрог нь цаасан дээрх дүрс хэлбэрээр дүрслэгдсэн бөгөөд түүний диаметрийг ойролцоогоор тодорхойлох шаардлагатай бол шууд хэмжинэ. Хэрэв түүний төвийг зураг дээр харуулсан бол дундуур нь зур. Хэрэв төвийг харуулаагүй бол луужин ашиглан олоорой. Үүнийг хийхийн тулд 90 ба өнцөгтэй квадратыг ашиглана. Үүнийг тойрог руу 90 градусын өнцгөөр холбож, хоёр хөл нь хүрч, мөрийг нь зур. Дараа нь үр дүнд нь хэрэглэнэ зөв өнцөг 45 градусын квадрат өнцгийг зур. Энэ нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх болно. Дараа нь ижил аргаар хоёр дахь тэгш өнцөгт болон түүний биссектрисийг тойргийн өөр газар зур. Тэд төв хэсэгт огтлолцоно. Энэ нь диаметрийг хэмжих боломжийг танд олгоно.

Диаметрийг хэмжихийн тулд аль болох нимгэн шугамаар хийсэн захирагчийг ашиглах нь зүйтэй хуудас материал, эсвэл оёдлын тоолуур. Хэрэв танд зөвхөн зузаан захирагч байгаа бол тойргийн диаметрийг луужин ашиглан хэмжиж, дараа нь түүний шийдлийг өөрчлөхгүйгээр график цаас руу шилжүүлээрэй.

Мөн асуудлын нөхцөлд тоон өгөгдөл байхгүй, зөвхөн зураг байгаа бол та дугуй хэмжигч ашиглан тойргийг хэмжиж, диаметрийг тооцоолж болно. Курвиметрийг ашиглахын тулд эхлээд дугуйг эргүүлж сумыг яг тэг хуваах хэрэгтэй. Дараа нь тойрог дээрх цэгийг тэмдэглээд, дугуйн дээрх цус харвалт нь энэ цэг рүү чиглэхийн тулд дугуй хэмжигчийг хуудсан дээр дарна. Цус харвалт дахин тэр цэгээс дээш гарах хүртэл дугуйг тойргийн шугамын дагуу хөдөлгөнө. Гэрчлэлийг уншина уу. Тэд тасархай шугамаар хязгаарлагдах болно. Хэрэв бид b талтай ердийн n өнцөгтийг тойрогт бичвэл ийм P дүрсийн периметр нь b талын n талуудын үржвэртэй тэнцүү байна: P=b*n. b талыг томьёогоор тодорхойлж болно: b=2R*Sin (π/n), энд R нь n өнцөгт сийлсэн тойргийн радиус юм.

Талуудын тоо ихсэх тусам бичээстэй олон өнцөгтийн периметр L-д улам ойртох болно.Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). L тойрог ба түүний D диаметр хоорондын хамаарал тогтмол байна. Бичсэн олон өнцөгтийн талуудын тоо хязгааргүй рүү тэмүүлдэг L/D=n*Sin (π/n) харьцаа нь π тоо руу чиглэдэг бөгөөд энэ тогтмол утгыг “pi” гэж нэрлэдэг бөгөөд хязгааргүй аравтын бутархайгаар илэрхийлдэг. Компьютерийн технологи ашиглахгүйгээр тооцоо хийхдээ π=3.14 утгыг авна. Тойргийн тойрог ба түүний диаметрийг дараах томъёогоор холбоно: L= πD. Диаметрийг тооцоолохын тулд

Тойрог хэмжих

Хэрэв асуудалд тойргийн урт, түүний радиус эсвэл өгөгдсөн тойргоор хязгаарлагдсан тойргийн талбай зэрэг хэмжигдэхүүнүүд мэдэгдэж байгаа бол диаметрийг тооцоолоход хэцүү биш байх болно. Тойргийн диаметрийг тооцоолох хэд хэдэн арга байдаг. Эдгээр нь маш энгийн бөгөөд олон хүн анх харахад ямар ч бэрхшээл учруулдаггүй.

Тойргийн диаметрийг хэрхэн олох вэ - 1 арга

Тойргийн радиусын утгыг өгвөл радиус нь тойргийн аль ч хэсэгт байрлах цэгээс яг энэ тойргийн төв хүртэлх зай тул асуудлыг хагас шийдсэн гэж үзэж болно. Энэ тохиолдолд диаметрийг олохын тулд хийх ёстой зүйл бол үржүүлэх явдал юм энэ үнэ цэнэрадиусыг 2. Энэ тооцооны аргыг радиус нь хагас диаметртэй гэж тайлбарладаг. Тиймээс, хэрэв радиус гэж юу болохыг мэддэг бол хүссэн диаметрийн хагасын утгыг аль хэдийн олсон байна.

Тойргийн диаметрийг хэрхэн олох вэ - 2-р арга

Хэрэв асуудалд зөвхөн тойргийн тойргийг өгсөн бол диаметрийг олохын тулд та үүнийг ойролцоогоор 3.14 гэсэн утгатай π гэж нэрлэгддэг тоонд хуваах хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, уртын утга нь 31.4 бол 3.14-т хуваахад бид диаметрийн утгыг авна, энэ нь 10 болно.

Тойргийн диаметрийг хэрхэн олох вэ - 3-р арга

Хэрэв эх өгөгдөл нь тойргийн талбайг агуулж байвал диаметрийг олоход хялбар байдаг. Таны хийх ёстой зүйл бол хандлах явдал юм Квадрат язгуурөгөгдсөн утгаас үр дүнг π тоонд хуваана. Энэ нь талбайн утга нь 64 байвал язгуурыг задлахад 8-ын тоо үлдэнэ гэсэн үг.Үр дүнгийн 8-ыг 3.14-т хуваахад бид ойролцоогоор 2.5 диаметртэй утгыг авна.

Тойргийн диаметрийг хэрхэн олох вэ - 4-р арга

Тойрог дотор та захирагч эсвэл дөрвөлжин ашиглан нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэл шулуун хэвтээ шугам зурах хэрэгтэй. Энэ шулуун шугамын огтлолцолуудыг дугуй шугамаар, жишээлбэл, А ба В үсгээр тэмдэглэ. Энэ шулуун шугам нь тойргийн аль хэсэгт байрлах нь хамаагүй.

Үүний дараа та дахиад хоёр тойрог зурах хэрэгтэй. Гэхдээ ийм байдлаар А ба В цэгүүд нь тэдний төв болдог. Шинээр үүссэн дүрсүүд нь хоёр цэг дээр огтлолцоно. Та тэдгээрийн дундуур өөр шулуун шугам зурах хэрэгтэй. Үүний дараа түүний уртыг захирагч ашиглан хэмжинэ. Хэмжлийн утга нь диаметрийн урттай тэнцүү байх болно, учир нь хамгийн сүүлд зурсан шугам нь диаметр өөрөө юм.

Сонирхолтой нь сагс нэхэх нь маш хол өнгөрсөн хэвээр байна тодорхой хэмжээмөчрүүдийг ойролцоогоор 3 дахин урт авсан. Эрдэмтэд аливаа тойргийн уртыг диаметрээр нь хуваахад үр дүн нь бараг ижил тоо гарна гэдгийг тайлбарлаж, туршилтаар нотолсон.

төвөөс ижил зайд байгаа цэгүүдийн багцыг илэрхийлсэн хавтгай дүрс юм. Тэд бүгд ижил зайд байрладаг бөгөөд тойрог үүсгэдэг.

Тойргийн төвийг тойргийнхоо цэгүүдээр холбосон хэрчмийг нэрлэдэг радиус. Тойрог бүрт бүх радиусууд хоорондоо тэнцүү байна. Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон, төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг нэрлэдэг диаметр. Тойргийн талбайн томъёог математикийн тогтмол - π тоо ашиглан тооцоолно.

Энэ сонирхолтой байна : π тоо. нь тойргийн тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан харьцааг илэрхийлэх ба тогтмол утга юм. π = 3.1415926 утгыг 1737 онд Л.Эйлерийн ажлын дараа ашигласан.

Тойргийн талбайг тогтмол π ашиглан тооцоолж болно. ба тойргийн радиус. Радиусын хувьд тойргийн талбайн томъёо дараах байдалтай байна.

Радиусыг ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох жишээг харцгаая. R = 4 см радиустай тойрог өгье. Зургийн талбайг олъё.

Манай тойргийн талбай 50.24 хавтгай дөрвөлжин метр болно. см.

Томьёо байдаг диаметрээр дамжих тойргийн талбай. Мөн шаардлагатай параметрүүдийг тооцоолоход өргөн хэрэглэгддэг. Эдгээр томъёог олоход ашиглаж болно.

Тойргийн радиусыг мэдэж, диаметрээр нь тойргийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. R = 4 см радиустай тойрог өгье.Эхлээд бидний мэдэж байгаагаар радиусаас хоёр дахин их диаметрийг олъё.


Одоо бид дээрх томъёог ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох жишээнд өгөгдлийг ашиглаж байна.

Таны харж байгаагаар үр дүн нь эхний тооцоололтой ижил хариулт юм.

Тойргийн талбайг тооцоолох стандарт томъёоны талаархи мэдлэг нь ирээдүйд амархан тодорхойлоход тусална салбарын бүсмөн алга болсон утгыг амархан олох.

Тойргийн талбайн томьёог тогтмол утгыг π тойргийн радиусын квадратаар үржүүлснээр тооцдог гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Радиусыг тойргийн хэмжээгээр илэрхийлж, тойргийн талбайн томъёоны илэрхийлэлийг тойргийн хэмжээгээр орлуулж болно.
Одоо энэ тэгшитгэлийг тойргийн талбайг тооцоолох томъёонд орлуулж, тойргийн хэмжээг ашиглан тойргийн талбайг олох томъёог олцгооё.

Тойрог ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. l = 8 см урттай тойрог өгье. Гарсан томъёонд утгыг орлуул.

Тойргийн нийт талбай нь 5 хавтгай дөрвөлжин метр болно. см.

Квадратыг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн талбай

Дөрвөлжингийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн талбайг олоход маш хялбар байдаг.

Үүнийг хийхийн тулд танд зөвхөн дөрвөлжингийн тал, энгийн томъёоны мэдлэг хэрэгтэй. Дөрвөлжингийн диагональ нь хүрээлэгдсэн тойргийн диагональтай тэнцүү байх болно. А талыг мэдэж байгаа тул үүнийг Пифагорын теоремыг ашиглан олж болно: эндээс.
Бид диагональыг олсны дараа радиусыг тооцоолж болно: .
Дараа нь бид бүх зүйлийг дөрвөлжин тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн талбайн үндсэн томъёонд орлуулна.

Зөвхөн захирагч хангалттай биш, та тусгай томъёог мэдэх хэрэгтэй. Бидний хийх ёстой цорын ганц зүйл бол тойргийн диаметр эсвэл радиусыг тодорхойлох явдал юм. Зарим асуудалд эдгээр хэмжээг зааж өгсөн болно. Гэхдээ бидэнд зураг зурахаас өөр зүйл байхгүй бол яах вэ? Асуудалгүй. Диаметр ба радиусыг ердийн захирагч ашиглан тооцоолж болно. Одоо үндсэн зүйл рүүгээ орцгооё.

Хүн бүрийн мэдэх ёстой томьёо

Бараг 4000 жилийн өмнө эрдэмтэд гайхалтай харилцааг нээсэн: хэрвээ тойргийн тойргийг диаметрээр нь хуваах юм бол үр дүн нь ижил тоо буюу ойролцоогоор 3.14 байна. Энэ утгыг эртний Грек хэл дээрх үсгээр нэрлэсэн бөгөөд "периметр", "тойрог" гэсэн үгс эхэлсэн. Эртний эрдэмтдийн хийсэн нээлт дээр үндэслэн та ямар ч тойргийн уртыг тооцоолж болно.

Энд P нь тойргийн урт (периметр) гэсэн үг.

D - диаметр, P - "Pi" тоо.

Тойргийн тойргийг түүний радиусаар (r) тооцоолж болно, энэ нь диаметрийн хагастай тэнцүү байна. Энд та санаж байх ёстой хоёр дахь томъёо байна:

Тойргийн диаметрийг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь зургийн төв дундуур дамждаг хөвч юм. Үүний зэрэгцээ тойрог дахь хамгийн алслагдсан хоёр цэгийг холбодог. Үүний үндсэн дээр та диаметрийг (радиус) бие даан зурж, захирагч ашиглан уртыг хэмжиж болно.

Арга 1: оруулна уу зөв гурвалжинтойрог дотор

Хэрэв бид тойргийн диаметрийг олвол тойргийг тооцоолоход хялбар байх болно. Гипотенуз нь тойргийн диаметртэй тэнцүү байх тойрогт зурах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд гартаа захирагч, дөрвөлжин байх хэрэгтэй, эс тэгвээс юу ч ажиллахгүй.

Арга 2: дурын гурвалжинд таарна

Тойргийн хажуу талд бид дурын гурван цэгийг тэмдэглэж, тэдгээрийг холбоно - бид гурвалжин авдаг. Тойргийн төв нь гурвалжингийн талбайд байрлах нь чухал бөгөөд үүнийг нүдээр хийж болно. Бид гурвалжны тал бүр дээр медиануудыг зурж, тэдгээрийн огтлолцлын цэг нь тойргийн төвтэй давхцдаг. Мөн бид төвийг мэддэг бол бид диаметрийг захирагч ашиглан хялбархан зурж болно.

Энэ арга нь эхнийхтэй маш төстэй боловч дөрвөлжин байхгүй эсвэл зураг дээр, жишээлбэл, хавтан дээр зурах боломжгүй тохиолдолд хэрэглэж болно. Та зөв өнцгөөр цаас авах хэрэгтэй. Бид хуудсыг тойрог дээр түрхэж, булангийн нэг орой нь тойргийн ирмэг дээр хүрнэ. Дараа нь бид цаасны талууд тойрог шугамтай огтлолцох газруудыг цэгээр тэмдэглэнэ. Эдгээр цэгүүдийг харандаа ба захирагч ашиглан холбоно уу. Хэрэв таны гарт юу ч байхгүй бол цаасыг нугалахад л хангалттай. Энэ шугам нь диаметрийн урттай тэнцүү байх болно.

Жишээ даалгавар

1. Бид 1-р аргын дагуу дөрвөлжин, захирагч, харандаа ашиглан диаметрийг хайж олоорой. Энэ нь 5 см болсон гэж үзье.
2. Диаметрийг мэдсэнээр бид үүнийг томъёонд хялбархан оруулж болно: P = d P = 5 * 3.14 = 15.7 Манай тохиолдолд энэ нь ойролцоогоор 15.7 болж хувирав. Одоо чи байхгүй байна онцгой асуудлуудТа тойргийн тойргийг хэрхэн тооцоолохыг тайлбарлаж чадах уу?

Хүрээлэн буй ертөнцөд олон объект байдаг дугуй хэлбэртэй. Эдгээр нь дугуй, дугуй цонхны нүх, хоолой, төрөл бүрийн хоолболон бусад олон. Та тойргийн диаметр эсвэл радиусыг мэдэх замаар түүний уртыг тооцоолж болно.

Энэхүү геометрийн дүрсийн хэд хэдэн тодорхойлолт байдаг.

• Энэ нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд байрлах цэгүүдээс бүрдэх битүү муруй юм.
• Энэ нь сегментийн төгсгөлүүд болох А ба В цэгүүдээс бүрдэх муруй бөгөөд А ба В цэгүүд зөв өнцгөөр харагдах бүх цэгүүд юм. Энэ тохиолдолд AB сегмент нь диаметр юм.
• Ижил AB сегментийн хувьд энэ муруй нь AC/BC харьцаа тогтмол бөгөөд 1-тэй тэнцүү биш байхаар бүх С цэгүүдийг агуулна.
• Энэ нь дараах үнэн зөв цэгүүдээс бүрдэх муруй юм: хэрэв та өгөгдсөн бусад А ба В цэгүүдийн нэг цэгээс хоёр хүртэлх зайны квадратуудыг нэмбэл А ба хоёрыг холбосон сегментийн 1/2-оос их тогтмол тоо гарна. Б. Энэ тодорхойлолт нь Пифагорын теоремоос гаралтай.

Анхаар!Бусад тодорхойлолтууд байдаг. Тойрог бол тойрог доторх талбай юм. Тойргийн периметр нь түүний урт юм. Өөр өөр тодорхойлолтуудын дагуу тойрог нь түүний хил хязгаар болох муруйг өөртөө багтааж эсвэл оруулахгүй байж болно.

Тойргийн тодорхойлолт

Томъёо

Радиусыг ашиглан тойргийн тойргийг хэрхэн тооцоолох вэ? Үүнийг энгийн томъёогоор хийдэг:

Энд L нь хүссэн утга,

π нь pi тоо, ойролцоогоор 3.1413926-тай тэнцүү.

Ихэвчлэн шаардлагатай утгыг олохын тулд π-ийг хоёр дахь оронтой болгоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл 3.14, энэ нь шаардлагатай нарийвчлалыг өгөх болно. Тооцоологч, ялангуяа инженерийн машинууд дээр π тооны утгыг автоматаар оруулдаг товчлуур байж болно.

Тэмдэглэл

Диаметрийг олохын тулд дараахь томъёог ашиглана.

Хэрэв L аль хэдийн мэдэгдэж байгаа бол радиус эсвэл диаметрийг хялбархан олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд L-ийг 2π эсвэл π-д хуваах шаардлагатай.

Хэрэв тойрог аль хэдийн өгөгдсөн бол энэ өгөгдлөөс тойргийг хэрхэн олохыг ойлгох хэрэгтэй. Тойргийн талбай нь S = πR2. Эндээс бид радиусыг олно: R = √(S/π). Дараа нь

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Талбайг L-ээр тооцоолоход хялбар байдаг: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

Дүгнэж хэлэхэд бид гурван үндсэн томъёо байдаг гэж хэлж болно.

• радиусаар - L = 2πR;
• дамжин өнгөрөх диаметр – L = πD;
• Тойргийн талбайгаар - L = 2√(Sπ).

Пи

π тоо байхгүй бол хэлэлцэж буй асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй болно. Тойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаагаар π тоог анх олжээ. Үүнийг эртний Вавилончууд, Египетчүүд, Энэтхэгчүүд хийсэн. Тэд үүнийг маш нарийн олсон - тэдний үр дүн нь одоогийн мэдэгдэж байгаа π утгаас 1% -иас ихгүй ялгаатай байв. Тогтмолыг 25/8, 256/81, 339/108 гэх мэт бутархайгаар ойролцоолсон.

Цаашилбал, энэ тогтмолын утгыг зөвхөн геометрийн үүднээс төдийгүй математикийн анализын үүднээс цувралын нийлбэрээр тооцоолсон. Энэхүү тогтмолыг Грекийн π үсгээр тэмдэглэхийг Уильям Жонс 1706 онд анх хэрэглэж байсан бөгөөд Эйлерийн ажлын дараа энэ нь түгээмэл болсон.

Одоо энэ тогтмол нь хязгааргүй үе биш гэдгийг мэддэг болсон аравтын, энэ нь иррациональ, өөрөөр хэлбэл үүнийг хоёр бүхэл тооны харьцаагаар илэрхийлэх боломжгүй. Суперкомпьютерийн тооцооллыг ашиглан тогтмолын 10 их наяд дахь тэмдгийг 2011 онд нээсэн.

Энэ сонирхолтой байна!π тооны эхний хэдэн цифрийг санахын тулд янз бүрийн мнемоник дүрмийг зохион бүтээсэн. Зарим нь санах ойд хадгалах боломжийг олгодог том тоотоонууд, жишээлбэл, Францын нэг шүлэг нь 126-р цифр хүртэл пи-г санахад тусална.

Хэрэв танд тойрог хэрэгтэй бол онлайн тооцоолуур танд туслах болно. Ийм тооны машинууд олон байдаг тул та радиус эсвэл диаметрийг оруулахад л хангалттай. Тэдгээрийн зарим нь эдгээр хоёр сонголттой, бусад нь зөвхөн R-ээр дамжуулан үр дүнг тооцдог. Зарим тооны машинууд хүссэн утгыг өөр нарийвчлалтайгаар тооцоолж чаддаг тул та аравтын бутархайн тоог зааж өгөх хэрэгтэй. Та мөн онлайн тооны машин ашиглан тойргийн талбайг тооцоолж болно.

Ийм тооны машиныг ямар ч хайлтын системээр олоход хялбар байдаг. Мөн түүнчлэн гар утасны програмууд, энэ нь тойргийн тойргийг хэрхэн олох асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Ашигтай видео: тойрог

Практик хэрэглээ

Ийм асуудлыг шийдэх нь инженер, архитекторуудад ихэвчлэн шаардлагатай байдаг ч өдөр тутмын амьдралд шаардлагатай томъёоны талаархи мэдлэг нь бас тустай байж болно. Жишээлбэл, та 20 см-ийн диаметртэй хэвэнд жигнэсэн бялууг цаасан туузаар боох хэрэгтэй.Тэгвэл энэ туузны уртыг олоход хэцүү биш болно.

L = πD = 3.14 * 20 = 62.8 см.

Өөр нэг жишээ: та тодорхой зайд дугуй усан санг тойруулан хашаа барих хэрэгтэй. Хэрэв усан сангийн радиус нь 10 м, хашааг 3 м-ийн зайд байрлуулах шаардлагатай бол үүссэн тойргийн R нь 13 м байна. Дараа нь түүний урт нь:

L = 2πR = 2 * 3.14 * 13 = 81.68 м.

Ашигтай видео: тойрог - радиус, диаметр, тойрог

Доод шугам

Тойргийн периметрийг хялбархан тооцоолж болно энгийн томъёонууд, үүнд диаметр эсвэл радиус орно. Та мөн тойргийн талбайгаар хүссэн хэмжээгээ олох боломжтой. Та оруулах шаардлагатай онлайн тооцоолуур эсвэл гар утасны програмууд ганц бие- диаметр эсвэл радиус.