Квадрат язгуур. Квадрат язгууртай үйлдлүүд

Үл хөдлөх хөрөнгө квадрат үндэс

Одоогийн байдлаар бид тоон дээр нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, экспонентаци хийх ба тооцоололд эдгээр үйлдлүүдийн янз бүрийн шинж чанаруудыг идэвхтэй ашигласан, жишээлбэл a + b = b + a, an-bn = (ab)n гэх мэт.

Энэ бүлэгт шинэ үйл ажиллагаа - олборлолтыг танилцуулж байна квадрат язгуурсөрөг бус тооноос. Үүнийг амжилттай ашиглахын тулд та энэ үйлдлийн шинж чанаруудтай танилцах хэрэгтэй бөгөөд үүнийг бид энэ хэсэгт хийх болно.

Баталгаа. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Тэгш байдал" width="120" height="25 id=">!}.

Бид дараагийн теоремыг яг ингэж томъёолох болно.

(Практикт хэрэглэхэд илүү тохиромжтой товч томъёолол: бутархайн үндэс нь язгуурын бутархайтай тэнцүү, эсвэл хэсгийн үндэс нь язгуурын хэсэгтэй тэнцүү байна.)

Энэ удаад бид зөвхөн нотлох баримтын товч тоймыг өгөх бөгөөд та теорем 1-ийн нотлох баримтын мөн чанарыг бүрдүүлсэнтэй төстэй тайлбар хийхийг хичээ.

Тайлбар 3. Мэдээжийн хэрэг, энэ жишээг өөрөөр шийдэж болно, ялангуяа гарт бичил тооцоолуур байгаа бол: 36, 64, 9-ийн тоог үржүүлээд дараа нь үүссэн бүтээгдэхүүний квадрат язгуурыг авна. Гэсэн хэдий ч дээр санал болгож буй шийдэл нь илүү соёлтой харагддаг гэдэгтэй та санал нийлэх болно.

Тайлбар 4. Эхний аргын хувьд бид "толгойгоор" тооцоолсон. Хоёр дахь арга нь илүү гоёмсог юм:
бид өргөдөл гаргасан томъёо a2 - b2 = (a - b) (a + b) ба квадрат язгуурын шинж чанарыг ашигласан.

Тайлбар 5. Зарим "халуун толгой" заримдаа 3-р жишээнд ийм "шийдэл" санал болгодог:

Энэ нь мэдээжийн хэрэг үнэн биш юм: та харж байна - үр дүн нь жишээ 3-тай адилгүй. Баримт нь өмч байхгүй. https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!}Зөвхөн квадрат язгуурыг үржүүлэх, хуваахтай холбоотой шинж чанарууд байдаг. Болгоомжтой, болгоомжтой байгаарай, хүсэл мөрөөдлөө бүү ав.

Энэ догол мөрийг дуусгахад маш энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг өөр нэг зүйлийг тэмдэглэе чухал өмч:
хэрэв a > 0 ба n - натурал тоо, Тэр

Квадрат язгуур үйлдэл агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэх

Өнөөг хүртэл бид зөвхөн өөрчлөлтийг хийсэн оновчтой илэрхийллүүд, үүний тулд олон гишүүнт дээр үйлдлийн дүрмийг ашиглан ба алгебрийн бутархай, үржүүлэх товчилсон томъёо гэх мэт. Энэ бүлэгт бид шинэ үйлдлийг танилцуулсан - квадрат язгуурын үйл ажиллагаа; бид үүнийг тогтоосон

Энд, эргэн санах, a, b нь сөрөг бус тоо юм.

Эдгээрийг ашиглах томъёо, та квадрат язгуур үйлдэл агуулсан илэрхийллүүд дээр янз бүрийн хувиргалт хийж болно. Хэд хэдэн жишээг авч үзье, бүх жишээн дээр хувьсагч нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авна гэж үзэх болно.

Жишээ 3.Үржүүлэгчийг язгуур тэмдгийн доор оруулна уу:

Жишээ 6. Шийдэл илэрхийллийг хялбарчлах. Дараалсан хувиргалтыг хийцгээе:

Х тооны квадрат язгуур нь a тоо бөгөөд энэ нь өөрөө үржүүлбэл х тоо гарч ирнэ: a * a = a^2 = x, √x = a. Аливаа тоонуудын нэгэн адил та квадрат язгуураар нэмэх, хасах арифметик үйлдлүүдийг хийж болно.

Зааварчилгаа

Нэгдүгээрт, дөрвөлжин үндэс нэмэхдээ тэдгээр үндсийг гаргаж авахыг хичээ. Хэрэв язгуур тэмдгийн доорх тоонууд төгс квадрат байвал энэ нь боломжтой болно. Жишээлбэл, √4 + √9 илэрхийллийг өгье. Эхний тоо 4 нь 2-ын тооны квадрат юм. Хоёр дахь тоо 9 нь 3-ын квадрат юм. Тиймээс: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 байна.
Хэрэв язгуур тэмдгийн доор бүтэн квадрат байхгүй бол язгуур тэмдгийн доор байгаа тооны үржүүлэгчийг арилгахыг оролдоорой. Жишээлбэл, √24 + √54 илэрхийллийг өгье. Тоонуудыг үржүүлээрэй: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. 24 тоо нь 4-ийн хүчин зүйлтэй бөгөөд үүнийг квадрат язгуур тэмдгийн доор авч болно. 54 тоо нь 9-ийн хүчин зүйлтэй. Тиймээс: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . IN энэ жишээндҮндэс тэмдгийн доор хүчин зүйлийг хассаны үр дүнд өгөгдсөн илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой болсон.
Хоёр квадрат язгуурын нийлбэрийг бутархайн хуваагч гэж үзье, жишээлбэл, A / (√a + √b). Мөн таны даалгавар бол "хүлээн авагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах" байх ёстой. Дараа нь та дараах аргыг ашиглаж болно. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг √a - √b илэрхийллээр үржүүлнэ. Тиймээс хуваагч дээр бид товчилсон үржүүлэх томъёог авна: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Үүнтэй адилтгаж үзвэл хуваагч нь язгууруудын ялгааг агуулж байвал: √a - √b бол бутархайн хуваагч ба хуваагчийг √a + √b илэрхийллээр үржүүлэх шаардлагатай. Жишээлбэл, 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 -) бутархайг үзье. √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Илүү ихийг бодож үзээрэй нарийн төвөгтэй жишээхуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах. 12 / (√2 + √3 + √5) бутархайг өгье. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг √2 + √3 - √5 илэрхийллээр үржүүлэх шаардлагатай.
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
Эцэст нь хэлэхэд, хэрэв танд зөвхөн ойролцоогоор утга хэрэгтэй бол квадрат язгуурыг тооцоолохдоо тооны машин ашиглаж болно. Тоо тус бүрийн утгыг тус тусад нь тооцоолж, шаардлагатай нарийвчлалтайгаар (жишээлбэл, аравтын хоёр орон) бичнэ үү. Дараа нь энгийн тоонуудтай адил шаардлагатай арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ. Жишээлбэл, та √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89 илэрхийллийн ойролцоо утгыг мэдэх хэрэгтэй гэж үзье.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай гэж үзвэл - хуульд заасны дагуу шүүх ажиллагаа, шүүх ажиллагаа болон/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Үндэс нэмэх, хасах- ахлах сургуульд математикийн (алгебрийн) хичээлд сууж буй хүмүүсийн хамгийн түгээмэл "бүдрэх" нэг зүйл. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг зөв нэмэх, хасах сурах нь маш чухал бөгөөд учир нь "математик" хичээлийн улсын нэгдсэн шалгалтын хөтөлбөрт язгуурын нийлбэр эсвэл зөрүүний жишээг оруулсан болно.

Ийм жишээг шийдвэрлэхийн тулд танд хоёр зүйл хэрэгтэй - дүрмийг ойлгох, мөн дадлага хийх. Нэг юмуу хоёр арван ердийн жишээг шийдсэний дараа оюутан энэ ур чадварыг автоматжуулж, улмаар Улсын нэгдсэн шалгалтанд айх зүйлгүй болно. Арифметик үйлдлүүдийг нэмэх замаар эзэмшиж эхлэхийг зөвлөж байна, учир нь тэдгээрийг нэмэх нь хасахаас арай хялбар байдаг.

Үүнийг тайлбарлах хамгийн хялбар арга бол квадрат язгуурыг жишээ болгон ашиглах явдал юм. Математикт "квадрат" гэсэн сайн ойлголт байдаг. "Квадрат" гэдэг нь тодорхой тоог өөрөө нэг удаа үржүүлэхийг хэлнэ.. Жишээлбэл, 2-ын квадрат бол 4, 7-ын квадрат бол 49. 9-ийн квадрат нь 81. Тэгэхээр 4-ийн квадрат язгуур 2, 49-ийн квадрат язгуур нь 7, 81-ийн язгуур нь 9 болно.

Дүрмээр бол математикийн энэ сэдвийг заах нь квадрат язгуураас эхэлдэг. Үүнийг нэн даруй тодорхойлохын тулд оюутан ахлах сургуульүржүүлэх хүснэгтийг цээжээр мэддэг байх ёстой. Энэ хүснэгтийг сайн мэдэхгүй хүмүүс зөвлөмжийг ашиглах хэрэгтэй. Ихэвчлэн тооны язгуур квадратыг гаргаж авах үйл явцыг сургуулийн математикийн дэвтрийн хавтас дээр хүснэгт хэлбэрээр өгдөг.

Үндэс нь дараахь төрлүүдтэй.

дөрвөлжин;
куб (эсвэл гурав дахь зэрэг гэж нэрлэгддэг);
дөрөв дэх зэрэг;
тав дахь зэрэг.

Нэмэх дүрэм

Ердийн жишээг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд бүх язгуур тоо биш гэдгийг санах хэрэгтэй өөр хоорондоо давхарлаж болно. Тэдгээрийг нэгтгэхийн тулд тэдгээрийг нэг загварт оруулах ёстой. Хэрэв энэ боломжгүй бол асуудал шийдэгдэхгүй болно. Математикийн сурах бичигт оюутнуудын урхи хэлбэрээр ийм асуудлууд ихэвчлэн гардаг.

Радикал илэрхийлэл нь бие биенээсээ ялгаатай үед даалгаварт нэмэхийг хориглоно. Үүнийг жишээгээр дүрсэлж болно тод жишээ:

Оюутан даалгавартай тулгарна: 4 ба 9-ийн квадрат язгуурыг нэмэх;
туршлагагүй оюутан дүрмийн мэдлэгтэй, ихэвчлэн "4-ийн үндэс + 9-ийн үндэс = 13-ын үндэс" гэж бичдэг.
Энэ шийдэл буруу гэдгийг батлахад тун амархан. Үүнийг хийхийн тулд та 13-ын квадрат язгуурыг олж, жишээг зөв шийдсэн эсэхийг шалгах хэрэгтэй;
бичил тооцоолуур ашиглан энэ нь ойролцоогоор 3.6 гэдгийг тодорхойлж болно. Одоо зөвхөн шийдлийг шалгах л үлдлээ;
язгуур 4=2, язгуур 9=3;
"Хоёр" ба "гурав" гэсэн тоонуудын нийлбэр нь тавтай тэнцэнэ. Тиймээс энэ шийдлийн алгоритмыг буруу гэж үзэж болно.

Хэрэв үндэс нь ижил зэрэгтэй боловч ялгаатай тоон илэрхийллүүд, үүнийг хаалтнаас гаргаж аваад хаалтанд хийнэ хоёр радикал илэрхийллийн нийлбэр. Тиймээс энэ дүнгээс аль хэдийн олборлосон байна.

Нэмэх алгоритм

Хамгийн энгийн асуудлыг зөв шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Яг юу нэмэх шаардлагатайг тодорхойл.
Математикийн одоо байгаа дүрмийн дагуу бие биедээ үнэ цэнийг нэмэх боломжтой эсэхийг олж мэдээрэй.
Хэрэв тэдгээр нь эвхэгддэггүй бол тэдгээрийг эвхэхийн тулд өөрчлөх хэрэгтэй.
Шаардлагатай бүх өөрчлөлтийг хийсний дараа та нэмэлтийг хийж, дууссан хариултаа бичих хэрэгтэй. Та жишээний нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан толгой дээрээ эсвэл микро тооцоолуур ашиглан нэмэлтийг хийж болно.

Ижил төстэй үндэс гэж юу вэ

Нэмэлт жишээг зөв шийдэхийн тулд эхлээд үүнийг хэрхэн хялбарчлах талаар бодох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та ижил төстэй байдал гэж юу болох талаар анхан шатны мэдлэгтэй байх хэрэгтэй.

Ижил төстэй зүйлсийг тодорхойлох чадвар нь ижил төстэй нэмэлт жишээг хурдан шийдвэрлэхэд тусалдаг бөгөөд тэдгээрийг хялбаршуулсан хэлбэрт оруулдаг. Ердийн нэмэлт жишээг хялбарчлахын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Ижил төстэй хүмүүсийг олж, нэг бүлэгт (эсвэл хэд хэдэн бүлэгт) салга.
Одоо байгаа жишээг ижил үзүүлэлттэй язгуурууд бие биенээ тодорхой дагаж байхаар дахин бичнэ үү (үүнийг "бүлэглэх" гэж нэрлэдэг).
Дараа нь та ижил төстэй (ижил үзүүлэлттэй, ижил радикал дүрстэй) бие биенээ дагадаг байдлаар дахин илэрхийллийг дахин бичих хэрэгтэй.

Үүний дараа хялбаршуулсан жишээг ихэвчлэн шийдвэрлэхэд хялбар байдаг.

Аливаа нэмэх жишээг зөв шийдэхийн тулд та нэмэх үндсэн дүрмийг тодорхой ойлгохоос гадна үндэс гэж юу болох, энэ нь юу байж болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Заримдаа иймэрхүү асуудлууд эхлээд харахад маш хэцүү мэт санагддаг, гэхдээ ихэвчлэн ижил төстэй асуудлуудыг бүлэглэх замаар амархан шийдэгддэг. Хамгийн чухал зүйл бол дадлага, дараа нь оюутан "самар шиг асуудлыг хагарах" болно. Үндэс нэмэх нь математикийн хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг тул багш нар үүнийг судлахад хангалттай цаг зарцуулах хэрэгтэй.

Видео

Энэ видео нь квадрат язгууртай тэгшитгэлийг ойлгоход тусална.

Баримт 1.
\(\сум\) Зарим бусыг авч үзье сөрөг тоо\(a\) (өөрөөр хэлбэл, \(a\geqslant 0\) ). Дараа нь (арифметик) квадрат язгуур\(a\) тооноос ийм сөрөг бус тоо гэж нэрлэгддэг \(b\) , квадратын тоогоор бид \(a\) тоог авна: \[\sqrt a=b\quad \text(тай ижил)\quad a=b^2\]Тодорхойлолтоос харахад ийм байна \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Эдгээр хязгаарлалтууд нь чухал нөхцөлдөрвөлжин язгуур байдаг бөгөөд тэдгээрийг санаж байх ёстой!
Дурын тоог квадрат болгоход сөрөг үр дүн өгдөг гэдгийг санаарай. Энэ нь \(100^2=10000\geqslant 0\) ба \((-100)^2=10000\geqslant 0\) гэсэн үг юм.
\(\сум\) \(\sqrt(25)\) хэдтэй тэнцүү вэ? \(5^2=25\) ба \((-5)^2=25\) гэдгийг бид мэднэ. Тодорхойлолтоор бид сөрөг бус тоог олох ёстой тул \(-5\) тохиромжгүй тул \(\sqrt(25)=5\) (\(25=5^2\) учир).
\(\sqrt a\)-ийн утгыг олохыг \(a\) тооны язгуур, \(a\) тоог радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.
\(\сум\) Тодорхойлолт дээр үндэслэн \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) гэх мэт илэрхийлэл. утгагүй.

Баримт 2.
Шуурхай тооцоолохын тулд квадратуудын хүснэгтийг сурах нь ашигтай байх болно натурал тоонууд\(1\)-ээс \(20\) хүртэл: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(массив)\]

Баримт 3.
Та квадрат язгуураар ямар үйлдлүүдийг хийж болох вэ?
\(\сум\) Квадрат язгуурын нийлбэр эсвэл зөрүү нь нийлбэр эсвэл зөрүүний квадрат язгууртай ТЭНЦҮҮ БИШ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Тиймээс, хэрэв та жишээ нь \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) тооцоолох шаардлагатай бол эхлээд \(\sqrt(25)\) ба \(\) утгуудыг олох хэрэгтэй. sqrt(49)\ ) дараа нь нугалав. Тиймээс, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Хэрэв \(\sqrt a+\sqrt b\) нэмэх үед \(\sqrt a\) эсвэл \(\sqrt b\) утгууд олдохгүй байвал ийм илэрхийлэл цаашид өөрчлөгдөхгүй бөгөөд байгаагаараа л үлдэнэ. Жишээлбэл, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) нийлбэрээс бид \(\sqrt(49)\) нь \(7\)-г олох боловч \(\sqrt 2\)-г өөрчлөх боломжгүй. ямар ч байсан, ийм учраас л \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Харамсалтай нь энэ илэрхийллийг цаашид хялбарчлах боломжгүй юм\(\сум\) Квадрат язгуурын үржвэр/хэсэг нь үржвэр/хувийн квадрат язгууртай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (тэгш байдлын хоёр тал утга учиртай байх нөхцөлд)
Жишээ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\сум\) Эдгээр шинж чанаруудыг ашиглан квадрат язгуурыг олоход тохиромжтой их тоотэдгээрийг факторинг хийх замаар.
Нэг жишээ авч үзье. \(\sqrt(44100)\) -г олцгооё. \(44100:100=441\) тул \(44100=100\cdot 441\) . Хуваагдах шалгуурын дагуу \(441\) тоо нь \(9\)-д хуваагддаг (түүний цифрүүдийн нийлбэр нь 9 бөгөөд 9-д хуваагддаг тул) \(441:9=49\), өөрөөр хэлбэл, \(441=9\ cdot 49\) .
Тиймээс бид дараахь зүйлийг авсан. \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Өөр нэг жишээг харцгаая: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\сум\) \(5\sqrt2\) (\(5\cdot \sqrt2\) илэрхийллийн товч тэмдэглэгээ) илэрхийллийн жишээн дээр язгуур тэмдгийн доор тоо хэрхэн оруулахыг үзүүлье. \(5=\sqrt(25)\) тул \ Жишээлбэл,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Яагаад тэр вэ? Жишээ 1) ашиглан тайлбарлая. Таны ойлгосноор бид \(\sqrt2\) тоог ямар нэгэн байдлаар хувиргаж чадахгүй. \(\sqrt2\) нь \(a\) тоо гэж төсөөлье. Үүний дагуу \(\sqrt2+3\sqrt2\) илэрхийлэл нь \(a+3a\)-аас өөр юу ч биш (нэг тоо \(a\) дээр нэмэх нь ижил тооны өөр гурван \(a\)). Энэ нь ийм дөрвөн тоотой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ \(a\) , өөрөөр хэлбэл \(4\sqrt2\) .

Баримт 4.
\(\сум\) Тооны утгыг олоход язгуурын \(\sqrt () \ \) тэмдгийг арилгахгүй бол "үндэсийг гаргаж чадахгүй" гэж ихэвчлэн хэлдэг. . Жишээлбэл, та \(16\) тооны үндсийг авч болно, учир нь \(16=4^2\) , тиймээс \(\sqrt(16)=4\) . Гэхдээ \(3\) тооны үндсийг задлах, өөрөөр хэлбэл \(\sqrt3\) олох боломжгүй, учир нь квадрат нь \(3\) өгөх тоо байхгүй.
Ийм тоо (эсвэл ийм тоо бүхий илэрхийлэл) нь үндэслэлгүй юм. Жишээлбэл, тоонууд \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)гэх мэт. үндэслэлгүй юм.
Мөн \(\pi\) тоонууд ("пи", ойролцоогоор \(3.14\)-тэй тэнцүү), \(e\) тоонууд (энэ тоог Эйлерийн тоо гэж нэрлэдэг, энэ нь ойролцоогоор \(2.7)-тай тэнцүү байна. \)) гэх мэт.
\(\сум\) Аливаа тоо оновчтой эсвэл иррациональ байх болно гэдгийг анхаарна уу. Бүх рационал ба бүх иррационал тоонууд хамтдаа нэртэй олонлогийг бүрдүүлдэг бодит тоонуудын багц.Энэ олонлогийг \(\mathbb(R)\) үсгээр тэмдэглэнэ.
Энэ нь бүх тоонууд дээр байгаа гэсэн үг юм Энэ мөчбодит тоо гэж бид мэднэ.

Баримт 5.
\(\сум\) Бодит тооны \(a\) модуль нь \(a\) цэгээс \(0\) хүртэлх зайтай тэнцэх \(|a|\) сөрөг бус тоо юм. бодит шугам. Жишээлбэл, \(|3|\) ба \(|-3|\) нь 3-тай тэнцүү, учир нь \(3\) ба \(-3\) цэгээс \(0\) хүртэлх зай нь ижил ба тэнцүү \(3 \) .
\(\сум\) Хэрэв \(a\) нь сөрөг бус тоо бол \(|a|=a\) .
Жишээ: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\сум\) Хэрэв \(a\) сөрөг тоо бол \(|a|=-a\) .
Жишээ: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Тэд сөрөг тоонуудын хувьд модуль нь хасахыг "иддэг" гэж хэлдэг бол эерэг тоо, мөн \(0\) тоо нь модулиар өөрчлөгдөөгүй хэвээр үлддэг.
ГЭХДЭЭЭнэ дүрэм зөвхөн тоонд хамаарна. Хэрэв таны модулийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх \(x\) (эсвэл өөр ямар нэгэн үл мэдэгдэх) байвал эерэг, тэг эсвэл сөрөг аль нь болохыг бид мэдэхгүй \(|x|\) жишээлбэл, үүнийг арилга. модулийн хувьд бид чадахгүй. Энэ тохиолдолд энэ илэрхийлэл хэвээр байна: \(|x|\) . \(\сум\) Дараах томьёо агуулна: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\том((\sqrt(a))^2=a)), \text(өгөгдсөн ) a\geqslant 0\]Маш олон удаа дараах алдаа гардаг: тэд \(\sqrt(a^2)\) ба \((\sqrt a)^2\) нь нэг бөгөөд адилхан гэж хэлдэг. Энэ нь зөвхөн \(a\) - тохиолдолд л үнэн юм. эерэг тооэсвэл тэг. Гэхдээ хэрэв \(a\) сөрөг тоо бол энэ нь худал байна. Энэ жишээг авч үзэхэд хангалттай. \(a\)-ын оронд \(-1\) тоог авъя. Дараа нь \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , гэхдээ \((\sqrt (-1))^2\) илэрхийлэл огт байхгүй (эцсийн эцэст, Сөрөг тоог тавих үндэс тэмдгийг ашиглах боломжгүй!).
Тиймээс, \(\sqrt(a^2)\) нь \((\sqrt a)^2\) -тай тэнцүү биш гэдгийг бид анхаарлаа хандуулж байна!Жишээ: 1) \(\sqrt(\зүүн(-\sqrt2\баруун)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), учир нь \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\сум\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) тул \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) илэрхийлэл нь тэгш тоог илэрхийлдэг)
Өөрөөр хэлбэл, тодорхой хэмжээгээр байгаа тооны үндсийг авах үед энэ зэрэг нь хоёр дахин багасдаг.
Жишээ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (хэрэв модулийг өгөөгүй бол тооны үндэс нь \(-25\-тай тэнцүү болохыг анхаарна уу. ) ; гэхдээ бид язгуурын тодорхойлолтоор ийм зүйл болохгүй гэдгийг санаж байна: үндсийг задлахдаа бид үргэлж эерэг тоо эсвэл тэг авах ёстой)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ямар ч тэгш тоо сөрөг биш тул)

Баримт 6.
Хоёр квадрат язгуурыг хэрхэн харьцуулах вэ?
\(\сум\) Квадрат язгуурын хувьд энэ нь үнэн: хэрэв \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aЖишээ:
1) \(\sqrt(50)\) болон \(6\sqrt2\) . Эхлээд хоёр дахь илэрхийллийг хувиргацгаая \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Тиймээс \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) ямар бүхэл тоонуудын хооронд байрлах вэ?
Учир нь \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) болон \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) ба \(0.5\) -ийг харьцуулж үзье. \(\sqrt2-1>0.5\) гэж үзье: \[\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sqrt 2-1>0.5 \ \том| +1\quad \text((хоёр талд нэгийг нэмнэ))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \том| \ ^2 \дөрвөлжин\текст((хоёр талыг дөрвөлжин))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\]Бид буруу тэгш бус байдлыг олж авснаа харж байна. Тиймээс бидний таамаг буруу байсан бөгөөд \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Тэгш бус байдлын хоёр талд тодорхой тоог нэмэх нь түүний тэмдэгт нөлөөлөхгүй гэдгийг анхаарна уу. Тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг тоогоор үржүүлэх/хуваах нь мөн түүний тэмдэгт нөлөөлөхгүй, харин сөрөг тоогоор үржүүлэх/хуваах нь тэгш бус байдлын тэмдгийг урвуу болгоно!
Та тэгшитгэл/тэгш бус байдлын хоёр талыг ЗӨВХӨН хоёр тал нь сөрөг биш байвал квадрат болгож болно. Жишээлбэл, өмнөх жишээний тэгш бус байдалд та хоёр талыг квадрат болгож болно, тэгш бус байдалд \(-3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\сум\) Үүнийг санах хэрэгтэй \[\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sqrt 2\ойролцоогоор 1.4\\ &\sqrt 3\ойролцоогоор 1.7 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\]Эдгээр тоонуудын ойролцоо утгыг мэдэх нь тоонуудыг харьцуулахдаа танд тусална! \(\сум\) Дөрвөлжингийн хүснэгтэд байхгүй зарим нэг их тооноос үндсийг (хэрэв гаргаж авах боломжтой бол) гаргаж авахын тулд эхлээд аль “зуут”-ын хооронд, дараа нь аль “зууны хооронд байрлаж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй. хэдэн арван", дараа нь энэ тооны сүүлийн цифрийг тодорхойлно. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг жишээгээр харуулъя.
\(\sqrt(28224)\) -г авч үзье. \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) гэх мэтийг бид мэднэ. \(28224\) нь \(10\,000\) болон \(40\,000\) хооронд байгааг анхаарна уу. Тиймээс \(\sqrt(28224)\) нь \(100\) болон \(200\) хооронд байна.
Одоо бидний тоо аль "аравтын" хооронд байрлаж байгааг тодорхойлъё (жишээлбэл, \(120\) ба \(130\) хооронд). Мөн квадратуудын хүснэгтээс бид \(11^2=121\) , \(12^2=144\) гэх мэт, дараа нь \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Тиймээс бид \(28224\) нь \(160^2\) болон \(170^2\) хооронд байгааг харж байна. Тиймээс \(\sqrt(28224)\) тоо \(160\) болон \(170\) хооронд байна.
Сүүлийн цифрийг тодорхойлохыг хичээцгээе. Ямар нэг оронтой тоонуудын квадрат нь төгсгөлд нь \(4\) өгдөг гэдгийг санацгаая? Эдгээр нь \(2^2\) ба \(8^2\) юм. Тиймээс \(\sqrt(28224)\) нь 2 эсвэл 8-аар төгсөх болно. Үүнийг шалгая. \(162^2\) ба \(168^2\)-г олъё:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Тиймээс \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг зохих ёсоор шийдвэрлэхийн тулд та эхлээд олон тооны теорем, томъёо, алгоритм гэх мэт онолын материалыг судлах хэрэгтэй. Өнгөц харахад энэ нь маш энгийн мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын онолыг ямар ч түвшний сургалттай оюутнуудад хялбар, ойлгомжтой байдлаар харуулсан эх сурвалжийг олох нь үнэндээ нэлээд хэцүү ажил юм. Сургуулийн сурах бичгийг үргэлж гартаа байлгаж болохгүй. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын үндсэн томъёог олох нь интернетээс ч хэцүү байж болно.

Математикийн чиглэлээр онолыг судлах нь яагаад зөвхөн Улсын нэгдсэн шалгалт өгдөг хүмүүст тийм чухал байдаг вэ?

Учир нь энэ нь таны алсын харааг тэлж өгдөг. Математикийн онолын материалыг судлах нь хүрээлэн буй ертөнцийн талаарх мэдлэгтэй холбоотой өргөн хүрээний асуултын хариултыг авахыг хүссэн хэн бүхэнд хэрэгтэй. Байгаль дээрх бүх зүйл эмх цэгцтэй, тодорхой логиктой байдаг. Энэ нь шинжлэх ухаанд яг тодорхой тусгагдсан зүйл бөгөөд үүгээр дамжуулан ертөнцийг ойлгох боломжтой юм.
Учир нь энэ нь оюун ухааныг хөгжүүлдэг. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын лавлах материалыг судалж, янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх замаар хүн логикоор сэтгэж, сэтгэж, бодлоо чадварлаг, тодорхой боловсруулж сурдаг. Тэрээр дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлдэг.

Боловсролын материалыг системчлэх, танилцуулах арга барилын бүх давуу талыг биечлэн үнэлэхийг бид урьж байна.