Таслагдсан пирамидын хажуугийн талбай. Пирамид

Энэ хичээлээр бид таслагдсан пирамидтай танилцаж, ердийн таслагдсан пирамидтай танилцаж, тэдгээрийн шинж чанарыг судлах болно.

Гурвалжин пирамидын жишээн дээр n өнцөгт пирамидын тухай ойлголтыг эргэн санацгаая. ABC гурвалжин өгөгдсөн. Гурвалжны хавтгайн гадна талд гурвалжны оройтой холбогдсон P цэгийг авна. Үүссэн олон талт гадаргууг пирамид гэж нэрлэдэг (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Гурвалжин пирамид

Пирамидын суурийн хавтгайтай параллель хавтгайгаар пирамидыг огтолцгооё. Эдгээр хавтгайн хооронд олж авсан дүрсийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Таслагдсан пирамид

Чухал элементүүд:

Дээд суурь;

ABC доод суурь;

Хажуугийн нүүр;

Хэрэв PH нь анхны пирамидын өндөр бол энэ нь таслагдсан пирамидын өндөр юм.

Таслагдсан пирамидын шинж чанар нь түүнийг барих аргаас, тухайлбал суурийн хавтгайн параллелизмаас үүсдэг.

Таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байдаг. Жишээлбэл, ирмэгийг авч үзье. Энэ нь параллель хавтгайн шинж чанартай (онгоцууд параллель байдаг тул тэдгээр нь анхны AVR пирамидын хажуугийн нүүрийг параллель шулуун шугамын дагуу зүсдэг), гэхдээ зэрэгцээ биш юм. Мэдээжийн хэрэг, дөрвөн өнцөгт нь таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн нүүртэй адил трапец хэлбэртэй байдаг.

Бүх трапецын хувьд суурийн харьцаа ижил байна.

Бидэнд ижил төстэй байдлын коэффициент бүхий хэд хэдэн хос ижил төстэй гурвалжин бий. Жишээлбэл, гурвалжин ба RAB нь хавтгайн параллелизм ба ижил төстэй байдлын коэффициентээс шалтгаалан ижил төстэй байна.

Үүний зэрэгцээ гурвалжин ба RVS нь ижил төстэй байдлын коэффициенттэй төстэй байна.

Мэдээжийн хэрэг, ижил төстэй гурвалжны гурван хосын ижил төстэй байдлын коэффициентүүд тэнцүү тул суурийн харьцаа нь бүх трапецын хувьд ижил байна.

Энгийн тайрсан пирамид нь ердийн пирамидыг суурьтай параллель хавтгайтай огтолж авах замаар олж авсан таслагдсан пирамид юм (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Тогтмол таслагдсан пирамид

Тодорхойлолт.

Хэрэв суурь нь жирийн n өнцөгт байх ба орой нь энэ n өнцөгт (бичлэгдсэн ба хүрээлэгдсэн тойргийн төв) төв рүү чиглэсэн байвал пирамидыг тогтмол гэнэ.

Энэ тохиолдолд пирамидын ёроолд дөрвөлжин байх ба дээд хэсэг нь түүний диагональуудын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Үүссэн ердийн дөрвөлжин зүсэгдсэн ABCD пирамид нь доод суурь, дээд суурьтай. Анхны пирамидын өндөр нь RO, таслагдсан пирамид нь (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Тогтмол дөрвөлжин зүсэгдсэн пирамид

Тодорхойлолт.

Таслагдсан пирамидын өндөр нь нэг суурийн аль ч цэгээс хоёр дахь суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр юм.

Анхны пирамидын апотем нь RM (M нь AB-ийн дунд хэсэг), таслагдсан пирамидын апотем нь (Зураг 4).

Тодорхойлолт.

Таслагдсан пирамидын нэр нь аль ч талын нүүрний өндөр юм.

Таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү, өөрөөр хэлбэл хажуугийн нүүрнүүд нь ижил тэгш өнцөгт трапецууд байх нь тодорхой байна.

Ердийн тайрсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн болон апотемийн периметрийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.

Нотлох баримт (ердийн дөрвөлжин зүсэгдсэн пирамидын хувьд - Зураг 4):

Тиймээс бид нотлох хэрэгтэй:

Энд байгаа хажуугийн гадаргуугийн талбай нь хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ - трапец. Трапецууд ижил тул бидэнд дараахь зүйлс байна.

Дөрвөлжин тэгш өнцөгт трапецнь суурийн болон өндрийн нийлбэрийн хагасын үржвэр бөгөөд апотем нь трапецын өндөр юм. Бидэнд байгаа:

Q.E.D.

n өнцөгт пирамидын хувьд:

Энд n нь пирамидын хажуугийн нүүрний тоо, a ба b нь трапецын суурь ба апотем юм.

Суурийн хажуу талууд нь тогтмол таслагдсан байдаг дөрвөлжин пирамид 3 см ба 9 см, өндөр - 4 см, хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.

Цагаан будаа. 5. 1-р асуудлын зураглал

Шийдэл. Нөхцөл байдлыг тайлбарлая:

Асуусан: , ,

O цэгээр бид доод суурийн хоёр талтай параллель MN шулуун шугам татах ба мөн адил цэгээр шулуун шугам татна (Зураг 6). Таслагдсан пирамидын суурийн квадратууд ба барилга байгууламжууд нь зэрэгцээ байдаг тул бид хажуугийн нүүртэй тэнцүү трапецийг олж авдаг. Түүнээс гадна түүний тал нь хажуугийн нүүрний дээд ба доод ирмэгийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрч, таслагдсан пирамидын нэрийн тэмдэг болно.

Цагаан будаа. 6. Нэмэлт барилга байгууламж

Үүссэн трапецийг авч үзье (Зураг 6). Энэ трапецын хувьд дээд суурь, доод суурь, өндрийг мэддэг. Та өгөгдсөн тайрсан пирамидын үг болох талыг олох хэрэгтэй. MN-д перпендикуляр зуръя. Цэгээс бид перпендикуляр NQ-г бууруулдаг. Илүү том суурь нь гурван сантиметр () сегментүүдэд хуваагддаг болохыг бид олж мэдэв. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье, дотор нь хөл нь мэдэгдэж байна, энэ Египетийн гурвалжин, Пифагорын теоремыг ашиглан бид гипотенузын уртыг тодорхойлно: 5 см.

Одоо пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлох бүх элементүүд байна.

Пирамид нь суурьтай параллель хавтгайгаар огтлолцдог. Гурвалжин пирамидын жишээг ашиглан пирамидын хажуугийн ирмэг ба өндрийг энэ хавтгайгаар пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.

Баталгаа. Дүрслэн үзүүлье:

Цагаан будаа. 7. 2-р асуудлын зураглал

RABC пирамид өгөгдсөн. PO - пирамидын өндөр. Пирамидыг онгоцоор огтолж, таслагдсан пирамид олж авдаг, мөн. Цэг - RO-ийн өндрийг таслагдсан пирамидын суурийн хавтгайтай огтлолцох цэг. Үүнийг батлах шаардлагатай:

Шийдлийн түлхүүр нь параллель хавтгайн өмч юм. Хоёр зэрэгцээ хавтгай нь аль ч гуравдагч хавтгайтай огтлолцдог тул огтлолцлын шугамууд зэрэгцээ байна. Эндээс: . Харгалзах шугамуудын параллелизм нь дөрвөн хос ижил төстэй гурвалжин байгааг илтгэнэ.

Гурвалжны ижил төстэй байдлаас харгалзах талуудын пропорциональ байдал үүсдэг. Чухал онцлогЭдгээр гурвалжны ижил төстэй байдлын коэффициентүүд ижил байна:

Q.E.D.

Суурийн өндөр ба хажуу талтай ердийн гурвалжин хэлбэртэй RABC пирамидыг ABC суурьтай параллель PH өндрийн дундуур дайран өнгөрч буй хавтгайгаар задалдаг. Үүссэн таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Шийдэл. Дүрслэн үзүүлье:

Цагаан будаа. 8. 3-р асуудлын зураглал

ACB нь ердийн гурвалжин, H нь энэ гурвалжны төв (бичлэгдсэн ба хүрээлэгдсэн тойргийн төв) юм. RM бол өгөгдсөн пирамидын үг юм. - таслагдсан пирамидын үг. Зэрэгцээ хавтгайн шинж чанарын дагуу (хоёр зэрэгцээ хавтгай нь огтлолцлын шугамууд параллель байхаар ямар ч гуравдагч хавтгайг огтолдог) бид ижил төстэй байдлын коэффициент бүхий хэд хэдэн хос ижил төстэй гурвалжинтай болно. Ялангуяа бид харилцааг сонирхож байна:

NM-г олъё. Энэ бол сууринд дүрслэгдсэн тойргийн радиус бөгөөд бид тохирох томъёог мэддэг.

Одоо PHM гурвалжны зөв гурвалжнаас Пифагорын теоремыг ашиглан бид RM - анхны пирамидын үг хэллэгийг оллоо.

Анхны харьцаанаас:

Одоо бид таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох бүх элементүүдийг мэдэж байна.

Тиймээс бид таслагдсан пирамид ба ердийн таслагдсан пирамид гэсэн ойлголттой танилцаж, үндсэн тодорхойлолтуудыг өгч, шинж чанаруудыг судалж, хажуугийн гадаргуугийн талбайн теоремыг нотолсон. Дараагийн хичээл нь асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэнэ.

Ном зүй

1. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Геометр. 10-11-р анги: Сурагчдад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд(үндсэн ба профилын түвшин) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-р хэвлэл, Илч. болон нэмэлт - М.: Mnemosyne, 2008. - 288 х.: өвчтэй.
2. Шарыгин I.F. Геометр. 10-11 анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг боловсролын байгууллагууд/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 х.: өвчтэй.
3. Е.В.Потоскуев, Л.И.Звалич. Геометр. 10-р анги: Математикийг гүнзгийрүүлэн, төрөлжүүлэн судалдаг ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг /Э. В.Потоскуев, Л.И.Звалич. - 6-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М.: Bustard, 2008. - 233 х.: өвчтэй.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Гэрийн даалгавар

• 29.05.2016

  Тербеллийн хэлхээ - цахилгаан хэлхээ, ороомог, конденсатор, цахилгаан энергийн эх үүсвэр агуулсан. Хэлхээний элементүүдийг цуваа холбосон үед хэлбэлзлийн хэлхээг цуваа, зэрэгцээ холбосон тохиолдолд параллель гэж нэрлэдэг. Тербеллийн хэлхээ - хамгийн энгийн систем, үүнд чөлөөт цахилгаан соронзон хэлбэлзэл үүсч болно. Хэлхээний резонансын давтамжийг Томсоны томъёогоор тодорхойлно: ƒ = 1/(2π√(LC)) ...

• 20.09.2014

  Хүлээн авагч нь DV мужид (150 кГц… 300 кГц) дохио хүлээн авах зориулалттай. Хүлээн авагчийн гол онцлог нь ердийн соронзон антеннаас өндөр индукцтэй антен юм. Энэ нь тааруулах конденсаторын багтаамжийг 4...20 pF-ийн хүрээнд ашиглах боломжтой болгодог бөгөөд ийм хүлээн авагч нь хүлээн зөвшөөрөгдөх мэдрэмжтэй, RF-ийн замд бага зэрэг нэмэгддэг. Хүлээн авагч нь чихэвч (чихэвч) дээр ажилладаг, тэжээгддэг...

• 24.09.2014

  Энэ төхөөрөмж нь савны шингэний түвшинг шингэн дээшлэх үед хянах зориулалттай тогтоосон түвшинШингэний түвшин эгзэгтэй түвшинд хүрэхэд төхөөрөмж тасралтгүй дуугарч эхэлнэ.Төхөөрөмж нь үе үе дуугарч эхэлнэ. Заагч нь 2 генератороос бүрдэх бөгөөд тэдгээр нь мэдрэгч E элементээр хянагддаг. Энэ нь саванд ... хүртэл түвшинд байрладаг.

• 22.09.2014

  KR1016VI1 нь ILC3-5\7 үзүүлэлттэй ажиллах зориулалттай дижитал олон програмын таймер юм. Энэ нь цаг, минут, долоо хоногийн өдөр, хяналтын сувгийн дугаарыг (9 дохиолол) тоолох, харуулах боломжийг олгодог. Сэрүүлгийн цагны хэлхээг зурагт үзүүлэв. Микро схем нь цагтай. 32768 Гц давтамжтай Q1 резонатор. хоол хүнс сөрөг, нийт нэмэх нь ...

Пирамид. Таслагдсан пирамид

Пирамидолон өнцөгт, нэг нүүр нь олон өнцөгт ( суурь ), бусад бүх нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин ( хажуугийн нүүрнүүд ) (Зураг 15). Пирамид гэж нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байвал (Зураг 16). Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү гурвалжин пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр .

Хажуугийн хавиргаПирамидын хажуугийн нүүр нь сууринд хамаарахгүй тал юм Өндөр пирамид нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэлх зай юм. Ердийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү, хажуугийн бүх нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Оройноос зурсан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн өндрийг гэнэ апотем . Диагональ хэсэг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар пирамидын зүсэлт гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн гадаргуугийн талбайпирамид нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Нийт гадаргуугийн талбай бүх хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Теоремууд

1. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.

2. Хэрэв пирамид бүх хажуугийн ирмэгүүдтэй бол тэнцүү урттай, дараа нь пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ.

3. Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү тусна.

Дурын пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолохын тулд зөв томьёо нь:

Хаана В- эзлэхүүн;

S суурь- суурь талбай;

Х- пирамидын өндөр.

Энгийн пирамидын хувьд дараах томъёолол зөв байна.

Хаана х- суурийн периметр;

h a- үг хэллэг;

Х- өндөр;

S дүүрэн

S тал

S суурь- суурь талбай;

В- ердийн пирамидын эзэлхүүн.

Таслагдсан пирамидПирамидын суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгай хоёрын хооронд хаагдсан хэсгийг гэж нэрлэдэг (Зураг 17). Тогтмол таслагдсан пирамид энгийн пирамидын суурь ба пирамидын суурьтай параллель огтлох хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн хэсгийг гэнэ.

Шалтгаантаслагдсан пирамид - ижил төстэй олон өнцөгтүүд. Хажуугийн нүүр - трапецууд. Өндөр Таслагдсан пирамидын хэмжээ нь түүний суурийн хоорондох зай юм. Диагональ Таслагдсан пирамид нь нэг нүүрэн дээр байрладаггүй оройг нь холбосон сегмент юм. Диагональ хэсэг нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар таслагдсан пирамидын хэсэг юм.

Таслагдсан пирамидын хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

(4)

Хаана С 1 , С 2 - дээд ба доод суурийн хэсгүүд;

S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай;

S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай;

Х- өндөр;

В– таслагдсан пирамидын эзэлхүүн.

Энгийн тайрсан пирамидын хувьд томъёо зөв байна:

Хаана х 1 , х 2 - суурийн периметр;

h a– ердийн тайрсан пирамидын үг.

Жишээ 1.Баруун талд гурвалжин пирамидСуурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь 60º байна. Налуу өнцгийн тангенсыг ол хажуугийн хавиргасуурь хавтгайд.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 18).

Пирамид нь тогтмол бөгөөд энэ нь суурь дээр тэгш талт гурвалжин, бүх хажуугийн нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин байна гэсэн үг юм. Суурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн суурийн хавтгайд налуугийн өнцөг юм. Шугаман өнцөг нь өнцөг юм ахоёр перпендикулярын хооронд: гэх мэт. Пирамидын дээд хэсэг нь гурвалжны төвд (тойрог ба гурвалжны бичээстэй тойрог) төвлөрсөн байна. ABC). Хажуугийн ирмэгийн налуу өнцөг (жишээлбэл С.Б.) нь ирмэг ба түүний суурийн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм. Хавирганы хувьд С.Б.энэ өнцөг нь өнцөг болно SBD. Шүргэгчийг олохын тулд та хөлийг мэдэх хэрэгтэй SOТэгээд О.Б.. Сегментийн уртыг үзье Б.Д 3-тай тэнцүү А. Цэг ТУХАЙшугамын сегмент Б.Дгэсэн хэсгүүдэд хуваагдана: мөн From we find SO: Бидний олж мэдсэнээр:

Хариулт:

Жишээ 2.Суурийн диагональ нь см ба см-тэй тэнцүү, өндөр нь 4 см бол ердийн таслагдсан дөрвөлжин пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Шийдэл.Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг олохын тулд бид (4) томъёог ашиглана. Суурийн талбайг олохын тулд тэдгээрийн диагональуудыг мэдэхийн тулд суурийн квадратуудын талыг олох хэрэгтэй. Суурийн талууд нь 2 см ба 8 см-тэй тэнцүү байна. Энэ нь суурийн талбайг илэрхийлнэ гэсэн үг бөгөөд бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулж, бид таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолно.

Хариулт: 112 см 3.

Жишээ 3.Суурийн талууд нь 10 см ба 4 см, пирамидын өндөр нь 2 см хэмжээтэй энгийн гурвалжин зүсэгдсэн пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 19).

Энэ пирамидын хажуугийн нүүр нь хоёр талт трапец юм. Трапецын талбайг тооцоолохын тулд та суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Суурь нь нөхцөл байдлын дагуу өгөгдсөн бөгөөд зөвхөн өндөр нь тодорхойгүй хэвээр байна. Бид түүнийг хаанаас олох болно А 1 Эцэгээс перпендикуляр А 1 доод суурийн хавтгай дээр, А 1 Д-аас перпендикуляр А 1 тутамд АС. А 1 Э= 2 см, учир нь энэ нь пирамидын өндөр юм. Олох Д.ЭДээд талын үзэмжийг харуулсан нэмэлт зургийг хийцгээе (Зураг 20). Цэг ТУХАЙ– дээд ба доод суурийн төвүүдийн проекц. оноос хойш (20-р зургийг үз) болон Нөгөө талаас БОЛЖ БАЙНА УУ– тойрог дотор бичээстэй радиус ба ОМ- тойрог дотор бичсэн радиус:

MK = DE.

-аас Пифагорын теоремын дагуу

Хажуугийн нүүрний хэсэг:

Хариулт:

Жишээ 4.Пирамидын ёроолд суурь нь тэгш өнцөгт трапец байдаг АТэгээд б (а> б). Хажуугийн нүүр бүр нь пирамидын суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг j. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 21). Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай SABCDтрапецын талбай ба талбайн нийлбэртэй тэнцүү A B C D.

Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ гэсэн мэдэгдлийг ашиглая. Цэг ТУХАЙ– оройн проекц Спирамидын ёроолд. Гурвалжин SODгурвалжны ортогональ проекц юм CSDсуурийн хавтгайд. Хавтгай дүрсийн ортогональ проекцын талбайн теоремыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүнтэй адил гэсэн үг Тиймээс трапецын талбайг олоход асуудал багассан A B C D. Трапецийг зурцгаая A B C Dтусад нь (Зураг 22). Цэг ТУХАЙ– трапец хэлбэрээр бичсэн тойргийн төв.

Тойрог трапец хэлбэрээр бичиж болох тул Пифагорын теоремоос бид