2 изпъкнал многоъгълник. Изпъкнали многоъгълници

В този урок ще започнем нова темаи въведе нова концепция за нас: „многоъгълник“. Ще разгледаме основните понятия, свързани с многоъгълниците: страни, върхови ъгли, изпъкналост и неизпъкналост. Тогава ще докажем най-важните фактикато теоремата за сбора вътрешни ъглимногоъгълник, теорема за сумата външни ъглимногоъгълник. В резултат на това ще се доближим до изучаването на специални случаи на многоъгълници, които ще бъдат разгледани в следващите уроци.

Тема: Четириъгълници

Урок: Многоъгълници

В курса по геометрия изучаваме свойствата на геометричните фигури и вече разгледахме най-простите от тях: триъгълници и кръгове. В същото време обсъдихме и конкретни специални случаи на тези фигури, като правоъгълни, равнобедрени и правилни триъгълници. Сега е време да поговорим за по-общи и сложни фигури - полигони.

Със специален калъф полигонивече сме запознати - това е триъгълник (виж фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълник

Самото име вече подчертава, че това е фигура с три ъгъла. Следователно, в многоъгълникможе да има много от тях, т.е. повече от три. Например, нека начертаем петоъгълник (виж фиг. 2), т.е. фигура с пет ъгъла.

Ориз. 2. Петоъгълник. Изпъкнал многоъгълник

Определение.Многоъгълник- фигура, състояща се от няколко точки (повече от две) и съответен брой сегменти, които ги свързват последователно. Тези точки се наричат върховемногоъгълник, а отсечките са партии. В този случай две съседни страни не лежат на една права линия и две несъседни страни не се пресичат.

Определение.Правилен многоъгълник- Това изпъкнал многоъгълник, в който всички страни и ъгли са равни.

Всякакви многоъгълникразделя равнината на две зони: вътрешна и външна. Вътрешната зона също се нарича многоъгълник.

С други думи, например, когато говорят за петоъгълник, те имат предвид както цялата му вътрешна област, така и нейната граница. А вътрешната област включва всички точки, които лежат вътре в многоъгълника, т.е. точката също се отнася до петоъгълника (виж фиг. 2).

Многоъгълниците също понякога се наричат ​​n-ъгълници, за да се подчертае, че се разглежда общият случай на наличие на някакъв неизвестен брой ъгли (n части).

Определение. Периметър на многоъгълник- сумата от дължините на страните на многоъгълника.

Сега трябва да се запознаем с видовете многоъгълници. Те се делят на изпъкналИ неизпъкнал. Например многоъгълникът, показан на фиг. 2 е изпъкнал, а на фиг. 3 не изпъкнали.

Ориз. 3. Неизпъкнал многоъгълник

Определение 1. МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако при изчертаване на права линия през някоя от страните му цялата многоъгълниклежи само от едната страна на тази права линия. Неконвексенса всички останали полигони.

Лесно е да си представим, че при разширяване на която и да е страна на петоъгълника на фиг. 2 всичко ще бъде от едната страна на тази права линия, т.е. тя е изпъкнала. Но когато чертаете права линия през четириъгълник на фиг. 3 вече виждаме, че го разделя на две части, т.е. не е изпъкнал.

Но има и друга дефиниция на изпъкналостта на многоъгълник.

Определение 2. МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако при избора на произволни две от вътрешните му точки и свързването им с отсечка всички точки от отсечката са и вътрешни точки на многоъгълника.

Демонстрация на използването на това определение може да се види в примера за конструиране на сегменти на фиг. 2 и 3.

Определение. Диагонална многоъгълник е всеки сегмент, свързващ два несъседни върха.

За да се опишат свойствата на многоъгълниците, има две най-важни теореми за техните ъгли: теорема за сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълникИ теорема за сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник. Нека да ги разгледаме.

Теорема. Върху сумата от вътрешни ъгли на изпъкнал многоъгълник (н-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни).

Доказателство 1. Нека изобразим на фиг. 4 изпъкнал n-ъгълник.

Ориз. 4. Изпъкнал n-ъгълник

От върха изчертаваме всички възможни диагонали. Те разделят n-ъгълника на триъгълници, защото всяка от страните на многоъгълника образува триъгълник, с изключение на страните, съседни на върха. От фигурата е лесно да се види, че сборът от ъглите на всички тези триъгълници ще бъде точно равен на сбора от вътрешните ъгли на n-ъгълника. Тъй като сумата от ъглите на всеки триъгълник е , тогава сумата от вътрешните ъгли на n-gon е:

Q.E.D.

Доказателство 2. Възможно е друго доказателство на тази теорема. Нека начертаем подобен n-ъгълник на фиг. 5 и свържете която и да е от вътрешните му точки с всички върхове.

Ориз. 5.

Получихме разбиване на n-ъгълника на n триъгълника (колкото страни, толкова и триъгълника). Сборът от всичките им ъгли е равен на сбора от вътрешните ъгли на многоъгълника и сбора от ъглите във вътрешната точка и това е ъгълът. Ние имаме:

Q.E.D.

Доказано.

Според доказаната теорема е ясно, че сборът от ъглите на n-ъгълник зависи от броя на неговите страни (върху n). Например в триъгълник и сумата от ъглите е . В четириъгълник и сумата от ъглите е и т.н.

Теорема. Върху сумата от външни ъгли на изпъкнал многоъгълник (н-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни), а , …, са външните ъгли.

Доказателство. Нека изобразим изпъкнал n-ъгълник на фиг. 6 и означете неговите вътрешни и външни ъгли.

Ориз. 6. Изпъкнал n-ъгълник с обозначени външни ъгли

защото След това външният ъгъл се свързва с вътрешния като съседен и по същия начин за останалите външни ъгли. Тогава:

По време на трансформациите използвахме вече доказаната теорема за сумата от вътрешни ъгли на n-ъгълник.

Доказано.

От доказаната теорема следва интересен факт, че сборът от външните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на върху броя на неговите ъгли (страни). Между другото, за разлика от сумата от вътрешни ъгли.

Библиография

1. Александров А.Д. и др.Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 клас. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашна работа

Концепция за многоъгълник

Определение 1

Многоъгълнике геометрична фигура в равнина, която се състои от сегменти, свързани по двойки, като съседните не лежат на една права линия.

В този случай сегментите се наричат страни на многоъгълника, а краищата им - върховете на многоъгълника.

Определение 2

$n$-ъгълник е многоъгълник с $n$ върха.

Видове многоъгълници

Определение 3

Ако многоъгълник винаги лежи от една и съща страна на която и да е линия, минаваща през неговите страни, тогава многоъгълникът се извиква изпъкнал(Фиг. 1).

Фигура 1. Изпъкнал многоъгълник

Определение 4

Ако многоъгълникът лежи по различни странинай-малко една права линия, минаваща през страните му, тогава многоъгълникът се нарича неизпъкнал (фиг. 2).

Фигура 2. Неизпъкнал многоъгълник

Сума от ъгли на многоъгълник

Нека въведем теорема за сумата от ъглите на триъгълник.

Теорема 1

Сумата от ъглите на изпъкнал триъгълник се определя по следния начин

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доказателство.

Нека ни е даден изпъкнал многоъгълник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Нека свържем неговия връх $A_1$ с всички останали върхове на този многоъгълник (фиг. 3).

Фигура 3.

С тази връзка получаваме $n-2$ триъгълника. Като сумираме техните ъгли, получаваме сумата от ъглите на даден -ъгълник. Тъй като сборът от ъглите на триъгълник е равен на $(180)^0,$ получаваме, че сборът от ъглите на изпъкнал триъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теоремата е доказана.

Понятие за четириъгълник

Използвайки дефиницията на $2$, е лесно да се въведе дефиницията на четириъгълник.

Определение 5

Четириъгълник е многоъгълник с $4$ върха (фиг. 4).

Фигура 4. Четириъгълник

За четириъгълник понятията изпъкнал четириъгълник и неизпъкнал четириъгълник са определени по подобен начин. Класически примери за изпъкнали четириъгълници са квадрат, правоъгълник, трапец, ромб, успоредник (фиг. 5).

Фигура 5. Изпъкнали четириъгълници

Теорема 2

Сборът от ъглите на изпъкнал четириъгълник е $(360)^0$

Доказателство.

По теорема $1$ знаем, че сумата от ъглите на изпъкнал -ъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Следователно сумата от ъглите на изпъкнал четириъгълник е равна на

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теоремата е доказана.

Тези геометрични фигури ни заобикалят навсякъде. Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат естествени, като пчелна пита, или изкуствени (направени от човека). Тези цифри се използват в производството различни видовепокрития, в живописта, архитектурата, декорациите и др. Изпъкналите многоъгълници имат свойството, че всичките им точки са разположени от едната страна на права линия, която минава през двойка съседни върхове на тази геометрична фигура. Има и други определения. Изпъкнал многоъгълник е този, който е разположен в една полуравнина спрямо всяка права линия, съдържаща една от страните му.

В курса по елементарна геометрия винаги се разглеждат само прости многоъгълници. За да разберете всички свойства на такива, е необходимо да разберете тяхната природа. Първо, трябва да разберете, че всяка линия, чиито краища съвпадат, се нарича затворена. Освен това фигурата, образувана от него, може да има различни конфигурации. Многоъгълникът е проста затворена начупена линия, в която съседните връзки не са разположени на една и съща права линия. Неговите връзки и върхове са съответно страните и върховете на тази геометрична фигура. Една проста полилиния не трябва да има самопресичания.

Върховете на многоъгълник се наричат ​​съседни, ако представляват краищата на една от страните му. Геометрична фигура, която има n-то числовърхове, и следователно n-то количествострани се нарича n-ъгълник. Самата начупена линия се нарича граница или контур на тази геометрична фигура. Многоъгълна равнина или плосък многоъгълник е крайната част от всяка равнина, ограничена от нея. Съседните страни на тази геометрична фигура са сегменти от начупена линия, излизаща от един връх. Те няма да са съседни, ако идват от различни върхове на многоъгълника.

Други дефиниции на изпъкнали многоъгълници

В елементарната геометрия има още няколко определения, еквивалентни по смисъл, показващи кой многоъгълник се нарича изпъкнал. Освен това всички тези формулировки са еднакво правилни. Многоъгълник се счита за изпъкнал, ако:

Всеки сегмент, който свързва произволни две точки вътре в него, лежи изцяло в него;

Всичките му диагонали лежат в него;

Всеки вътрешен ъгъл не надвишава 180°.

Многоъгълникът винаги разделя равнината на 2 части. Единият от тях е ограничен (може да бъде ограден в кръг), а другият е неограничен. Първата се нарича вътрешна област, а втората е външната област на тази геометрична фигура. Този многоъгълник е пресечната точка (с други думи, общата компонента) на няколко полуравнини. Освен това всеки сегмент, който има краища в точки, които принадлежат на многоъгълника, изцяло му принадлежи.

Разновидности на изпъкнали многоъгълници

Дефиницията на изпъкнал многоъгълник не означава, че има много видове. Освен това всеки от тях има определени критерии. По този начин изпъкнали многоъгълници, които имат вътрешен ъгъл, равен на 180 °, се наричат ​​слабо изпъкнали. Изпъкнала геометрична фигура, която има три върха, се нарича триъгълник, четири - четириъгълник, пет - петоъгълник и т.н. Всеки от изпъкналите n-ъгълници отговаря на следното най-важно изискване: n трябва да бъде равно или по-голямо от 3. Всеки на триъгълниците е изпъкнал. Геометрична фигура от този тип, в която всички върхове са разположени на една и съща окръжност, се нарича вписана в окръжност. Изпъкнал многоъгълник се нарича описан, ако всичките му страни в близост до кръга го докосват. За два многоъгълника се казва, че са еднакви само ако могат да бъдат събрани чрез суперпозиция. Равнинният многоъгълник е многоъгълна равнина (част от равнина), която е ограничена от тази геометрична фигура.

Правилни изпъкнали многоъгълници

Правилните многоъгълници са геометрични фигури с равни ъглии страните. Вътре в тях има точка 0, която се намира на еднакво разстояние от всеки от върховете му. Нарича се център на тази геометрична фигура. Отсечките, свързващи центъра с върховете на тази геометрична фигура, се наричат ​​апотеми, а тези, които свързват точка 0 със страните, са радиуси.

Правилен четириъгълник е квадрат. Правилният триъгълник се нарича равностранен. За такива фигури има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на 180° * (n-2)/ n,

където n е броят на върховете на тази изпъкнала геометрична фигура.

Площта на всеки правилен многоъгълник се определя по формулата:

където p е равно на половината от сумата на всички страни на даден многоъгълник, а h е равно на дължината на апотемата.

Свойства на изпъкнали многоъгълници

Изпъкналите многоъгълници имат определени свойства. По този начин в него задължително се намира сегмент, който свързва произволни 2 точки от такава геометрична фигура. Доказателство:

Да приемем, че P е даден изпъкнал многоъгълник. Вземаме 2 произволни точки, например A, B, които принадлежат на P. Съгласно съществуващата дефиниция на изпъкнал многоъгълник, тези точки са разположени от едната страна на правата, която съдържа всяка страна на P. Следователно AB също има това свойство и се съдържа в P. Изпъкналият многоъгълник винаги е възможно да се раздели на няколко триъгълника, като се използват абсолютно всички диагонали, които са изтеглени от един от неговите върхове.

Ъгли на изпъкнали геометрични фигури

Ъглите на изпъкнал многоъгълник са ъглите, образувани от неговите страни. Вътрешните ъгли са разположени във вътрешната област на дадена геометрична фигура. Ъгълът, образуван от неговите страни, които се срещат в един връх, се нарича ъгъл на изпъкнал многоъгълник. с вътрешни ъгли на дадена геометрична фигура се наричат ​​външни. Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник, разположен вътре в него, е равен на:

където x е размерът на външния ъгъл. Това проста формулаважи за всякакви геометрични фигури от този тип.

По принцип за външни ъгли има следното правило: Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на разликата между 180° и размера на вътрешния ъгъл. Може да има стойности в диапазона от -180° до 180°. Следователно, когато вътрешният ъгъл е 120°, външният ъгъл ще бъде 60°.

Сума от ъгли на изпъкнали многоъгълници

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник се определя по формулата:

където n е броят на върховете на n-ъгълника.

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник се изчислява доста просто. Помислете за всяка такава геометрична фигура. За да определите сумата от ъгли вътре в изпъкнал многоъгълник, трябва да свържете един от неговите върхове с други върхове. В резултат на това действие се получават (n-2) триъгълника. Известно е, че сборът от ъглите на всеки триъгълник винаги е равен на 180°. Тъй като техният брой във всеки многоъгълник е (n-2), сумата от вътрешните ъгли на такава фигура е равна на 180° x (n-2).

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник, а именно всеки два вътрешни и съседни външни ъгъла, за дадена изпъкнала геометрична фигура винаги ще бъде равна на 180°. Въз основа на това можем да определим сумата от всички негови ъгли:

Сумата от вътрешните ъгли е 180° * (n-2). Въз основа на това сумата от всички външни ъгли на дадена фигура се определя по формулата:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумата от външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник винаги ще бъде 360° (независимо от броя на страните).

Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник обикновено се представя от разликата между 180° и стойността на вътрешния ъгъл.

Други свойства на изпъкнал многоъгълник

В допълнение към основните свойства на тези геометрични форми, те имат и други, които възникват при манипулирането им. Така всеки от многоъгълниците може да бъде разделен на няколко изпъкнали n-ъгълника. За да направите това, трябва да продължите всяка от страните му и да изрежете тази геометрична фигура по тези прави линии. Също така е възможно всеки многоъгълник да се раздели на няколко изпъкнали части по такъв начин, че върховете на всяко парче да съвпадат с всички негови върхове. От такава геометрична фигура можете много просто да направите триъгълници, като изчертаете всички диагонали от един връх. Така всеки многоъгълник може в крайна сметка да бъде разделен на определен брой триъгълници, което се оказва много полезно при решаването на различни проблеми, свързани с такива геометрични фигури.

Периметър на изпъкнал многоъгълник

Прекъснатите отсечки, наречени страни на многоъгълник, най-често се означават със следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Това са страните на геометрична фигура с върхове a, b, c, d, e. Сумата от дължините на всички страни на този изпъкнал многоъгълник се нарича негов периметър.

Окръжност на многоъгълник

Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат вписани или описани. Окръжност, докосваща всички страни на тази геометрична фигура, се нарича вписана в нея. Такъв многоъгълник се нарича описан. Центърът на окръжност, вписана в многоъгълник, е пресечната точка на ъглополовящите на всички ъгли в дадена геометрична фигура. Площта на такъв многоъгълник е равна на:

където r е радиусът на вписаната окръжност, а p е полупериметърът на дадения многоъгълник.

Окръжност, съдържаща върховете на многоъгълник, се нарича описана около него. В този случай тази изпъкнала геометрична фигура се нарича вписана. Центърът на окръжността, която е описана около такъв многоъгълник, е пресечната точка на така наречените ъглополовящи на всички страни.

Диагонали на изпъкнали геометрични фигури

Диагоналите на изпъкнал многоъгълник са сегменти, които свързват несъседни върхове. Всеки от тях се намира вътре в тази геометрична фигура. Броят на диагоналите на такъв n-gon се определя по формулата:

N = n (n - 3)/ 2.

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник играе важна роля в елементарната геометрия. Броят на триъгълниците (K), на които всеки изпъкнал многоъгълник може да бъде разделен, се изчислява по следната формула:

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник винаги зависи от броя на неговите върхове.

Разделяне на изпъкнал многоъгълник

В някои случаи за решаване на геометрични задачи е необходимо изпъкнал многоъгълник да се раздели на няколко триъгълника с непресичащи се диагонали. Този проблем може да бъде решен чрез извеждане на определена формула.

Определение на проблема: нека наречем правилно определено разделяне на изпъкнал n-ъгълник на няколко триъгълника с диагонали, пресичащи се само във върховете на тази геометрична фигура.

Решение: Да предположим, че P1, P2, P3..., Pn са върховете на този n-ъгълник. Числото Xn е броят на неговите дялове. Нека разгледаме внимателно получения диагонал на геометричната фигура Pi Pn. Във всеки от правилните дялове P1 Pn принадлежи на определен триъгълник P1 Pi Pn, който има 1

Нека i = 2 е една група правилни дялове, винаги съдържащи диагонала P2 Pn. Броят на дяловете, които се включват в него, съвпада с броя на дяловете на (n-1)-ъгълника P2 P3 P4... Pn. С други думи, то е равно на Xn-1.

Ако i = 3, тогава тази друга група дялове винаги ще съдържа диагоналите P3 P1 и P3 Pn. В този случай броят на правилните дялове, съдържащи се в тази група, ще съвпадне с броя на дяловете на (n-2)-гона P3 P4... Pn. С други думи, ще бъде равно на Xn-2.

Нека i = 4, тогава сред триъгълниците правилното разделение със сигурност ще съдържа триъгълника P1 P4 Pn, който ще бъде съседен на четириъгълника P1 P2 P3 P4, (n-3)-ъгълника P4 P5... Pn. Броят на правилните дялове на такъв четириъгълник е X4, а броят на дяловете на (n-3)-ъгълник е Xn-3. Въз основа на всичко по-горе, можем да кажем, че общият брой правилни дялове, съдържащи се в тази група, е равен на Xn-3 X4. Други групи, за които i = 4, 5, 6, 7... ще съдържат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... редовни дялове.

Нека i = n-2, тогава броят на правилните дялове в тази група ще съвпадне с броя на дяловете в групата, за която i=2 (с други думи, равен на Xn-1).

Тъй като X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., тогава броят на всички дялове на изпъкнал многоъгълник е равен на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Брой правилни дялове, пресичащи един диагонал вътре

При проверка на специални случаи може да се стигне до предположението, че броят на диагоналите на изпъкнали n-ъгълници е равен на произведението на всички дялове на тази фигура в (n-3).

Доказателство за това предположение: представете си, че P1n = Xn * (n-3), тогава всеки n-гон може да бъде разделен на (n-2)-триъгълници. Освен това от тях може да се образува (n-3)-четириъгълник. Заедно с това всеки четириъгълник ще има диагонал. Тъй като два диагонала могат да бъдат начертани в тази изпъкнала геометрична фигура, това означава, че допълнителни (n-3) диагонала могат да бъдат начертани във всеки (n-3)-четириъгълник. Въз основа на това можем да заключим, че във всеки правилен дял е възможно да се начертаят (n-3)-диагонали, които отговарят на условията на тази задача.

Площ на изпъкнали многоъгълници

Често при решаването на различни проблеми на елементарната геометрия става необходимо да се определи площта на изпъкнал многоъгълник. Да предположим, че (Xi. Yi), i = 1,2,3... n е последователност от координати на всички съседни върхове на многоъгълник, който няма самопресичания. В този случай неговата площ се изчислява по следната формула:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

където (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Определяне на изпъкналостта на многоъгълник.

Алгоритъмът Kirus–Back предполага наличието на изпъкнал многоъгълник, използван като прозорец.

На практика обаче много често възниква задачата за изрязване на многоъгълник и първоначално не се дава информация дали е изпъкнал или не. В този случай, преди да започнете процедурата за рязане, е необходимо да определите кой многоъгълник е даден - изпъкнал или не.

Нека дадем някои дефиниции на изпъкналостта на многоъгълник

Многоъгълникът се счита за изпъкнал, ако е изпълнено едно от следните условия:

1) в изпъкнал многоъгълник всички върхове са разположени от едната страна на линията, носеща всеки ръб (от вътрешната страна спрямо този ръб);

2) всички вътрешни ъгли на многоъгълника са по-малки от 180°;

3) всички диагонали, свързващи върховете на многоъгълник, лежат вътре в този многоъгълник;

4) всички ъгли на полигона се пресичат в една и съща посока (фиг. 3.3-1).

За да разработим аналитично представяне на последния критерий за изпъкналост, ние използваме векторния продукт.

Векторни произведения на изкуството У два вектора а И b (Фиг. 3.3-2 a) дефиниран като:

A x ,a y ,a z и b x ,b y ,b z са проекции съответно на координатните оси X ,Y ,Z на фактор векторите аИ b,

- аз, й, к– единични вектори по координатните оси X, Y, Z.

Ориз.3.3 ‑ 1

Ориз.3.3 ‑ 2

Ако разгледаме двумерно представяне на многоъгълник като негово представяне в координатната равнина XY на тримерната координатна система X,Y,Z (фиг. 3.3-2 b), тогава изразът за формиране на векторния продукт на векторите UИ V, където векторите UИ Vса съседни ръбове, образуващи ъгъл на многоъгълник, може да се запише като детерминанта:

Векторът на кръстосаното произведение е перпендикулярен на равнината, в която са разположени факторните вектори. Посоката на вектора на продукта се определя от правилото на гимлета или правилото на десния винт.

За случая, представен на фиг. 3.3-2 b ), вектор У, съответстваща на векторното произведение на векторите V, U, ще има същата насоченост като насочеността на Z координатната ос.

Като се има предвид, че проекциите на факторните вектори върху оста Z в този случай са равни на нула, векторният продукт може да бъде представен като:

(3.3-1)

Единичен вектор квинаги положителен, оттук и знакът на вектора wвекторно произведение ще се определя само от знака на детерминантата D в горния израз. Обърнете внимание, че въз основа на свойството на векторното произведение, при размяна на фактор векторите UИ Vвекторен знак wще се промени на обратното.

От това следва, че ако като вектори VИ Uразгледайте два съседни ръба на многоъгълник, тогава редът на изброяване на векторите във векторния продукт може да бъде поставен в съответствие с преминаването на ъгъла на разглеждания многоъгълник или ръбовете, образуващи този ъгъл. Това ви позволява да използвате следното правило като критерий за определяне на изпъкналостта на многоъгълник:

ако за всички двойки ръбове на многоъгълника е изпълнено следното условие:

Ако знаците на векторните произведения за отделните ъгли не съвпадат, то многоъгълникът не е изпъкнал.

Тъй като ръбовете на многоъгълника са зададени под формата на координати на техните крайни точки, по-удобно е да се използва детерминанта за определяне на знака на векторния продукт.

Определение 1.Прекъснатата линия е крайна последователност от сегменти, така че единият край на първия сегмент служи като край на втория, другият край на втория сегмент служи като край на третия и т.н.

Сегментите, които образуват прекъсната линия, се наричат ​​връзки. Съседните сегменти не лежат на една и съща права линия. Ако краищата на прекъсната линия съвпадат, тогава тя се нарича затворен. Полилинията може да пресича сама себе си, да се докосва и да лежи върху себе си. Ако прекъсната линия няма такива характеристики, тогава тя се нарича просто.

Определение 2.Проста затворена начупена линия заедно с частта от равнината, ограничена от нея, се нарича многоъгълник.

Самата начупена линия се нарича граница на многоъгълника, връзките на начупената линия се наричат партиимногоъгълник, краищата на връзките са върховете на многоъгълника. Две съседни страни на многоъгълник образуват ъгъл. Броят на ъглите в многоъгълник е равен на броя на страните. Всеки многоъгълник има ъгли по-малки от 180°. Страните и ъглите на многоъгълник се наричат елементимногоъгълник.

Отсечка, свързваща два несъседни върха на многоъгълник, се нарича диагонал. Всеки n-ъгълник може да има n-2 диагонала.

Определение 3.Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако лежи от едната страна на всеки ред, съдържащ неговата страна. Многоъгълници, които не отговарят на това условие, се наричат ​​неизпъкнали.

Свойства на изпъкнали многоъгълници.

Имот 1.Изпъкналият многоъгълник има всички ъгли, по-малки от 180°.

Доказателство: Вземете произволен ъгъл A на изпъкнал многоъгълник P и неговата страна a, идваща от върха A. Нека l е права линия, съдържаща страна a. Тъй като многоъгълникът P е изпъкнал, той лежи от едната страна на правата l. Следователно ъгъл A лежи от едната страна на правата l. Следователно ъгълът A е по-малък от разгънатия, т.е. ÐA< 180°.

Имот 2.Отсечка, свързваща произволни две точки от изпъкнал многоъгълник, се съдържа в този многоъгълник.

Доказателство: Вземете произволни две точки M и N от изпъкнал многоъгълник P. Многоъгълникът P е пресечната точка на няколко полуравнини. Отсечката MN лежи във всяка от тези полуравнини. Следователно той също се съдържа в многоъгълника R.

Имот 3.Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник е (n – 2)∙180°.

Доказателство: Вземете произволна точка O вътре в изпъкналия многоъгълник P и я свържете с всички върхове на многоъгълника. Образувани са N триъгълника, сборът от ъглите на всеки от които е 180°. Ъглите при върха O се събират до 360° = 2∙180°. Следователно сумата от ъглите на многоъгълник е n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

Концепцията за успоредник. Свойства на успоредник.

Определение 1.Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две, се нарича успоредник.

Всеки успоредник има четири върха, четири страни и четири ъгъла. Две страни, които имат общи краища, се наричат съседен. Всеки успоредник има два диагонала - сегменти, свързващи противоположни върхове на успоредника. Сборът от ъглите на успоредник е 360°.

Свойства на успоредник.

Имот 1.Паралелограмът има противоположни страни и равни ъгли по двойки.

Доказателство: Нека начертаем диагонала AC. АС – общ;

РВАС = РАСD (вътрешна напречно лежаща на AB II BC и секуща AC);

РВСА = РСAD (вътрешно напречно лежащо на AD II BC и секуща AC);

Þ DABC = DADC (на базата на 2 характеристики).

AB = CD; BC = AD; РВ = РD.

RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.

Имот 2.В успоредник ъглите, съседни на едната страна, се събират до 180°.

Доказателство:

РВ + РА =180° (вътрешен едностранен с BC II AD и секуща AB).

ÐB + ÐС =180° (вътрешен едностранен с AB II CD и секуща BC).

ÐD + ÐC =180° (вътрешно едностранно с BC II AD и секуща CD).

ÐA + ÐD =180° (вътрешно едностранно с AB II CD и секуща AD).

Имот 3.Диагоналите на успоредника са разделени наполовина от пресечната точка.

Доказателство: Нека начертаем диагонали AC и BD, пресичащи се в точка O.

AB = CD (според първия успоредник);

ÐABO = ÐODC (вътрешно напречно лежащо на AB II CD и секанс BD);

РБАО = РОСD (вътрешно напречно лежащо на AB II CD и секуща AC);

Þ DABO = DODC (на базата на 2 характеристики).

BO = OD; AO = OC.

Признаци на успоредник.

Знак 1.Ако две страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.

Дадено е: ABCD – четириъгълник; II пр.н.е.,