Многоъгълници изпъкнал многоъгълник четириъгълник. Изпъкнали многоъгълници

Концепция за многоъгълник

Определение 1

Многоъгълнике геометрична фигура в равнина, която се състои от сегменти, свързани по двойки, като съседните не лежат на една права линия.

В този случай сегментите се наричат страни на многоъгълника, а краищата им - върховете на многоъгълника.

Определение 2

$n$-ъгълник е многоъгълник с $n$ върха.

Видове многоъгълници

Определение 3

Ако многоъгълник винаги лежи от една и съща страна на която и да е линия, минаваща през неговите страни, тогава многоъгълникът се извиква изпъкнал(Фиг. 1).

Фигура 1. Изпъкнал многоъгълник

Определение 4

Ако многоъгълникът лежи по различни странинай-малко една права линия, минаваща през страните му, тогава многоъгълникът се нарича неизпъкнал (фиг. 2).

Фигура 2. Не изпъкнал многоъгълник

Сума от ъгли на многоъгълник

Нека въведем теорема за сумата от ъглите на триъгълник.

Теорема 1

Сумата от ъглите на изпъкнал триъгълник се определя по следния начин

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доказателство.

Нека ни е даден изпъкнал многоъгълник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Нека свържем неговия връх $A_1$ с всички останали върхове на този многоъгълник (фиг. 3).

Фигура 3.

С тази връзка получаваме $n-2$ триъгълника. Като сумираме техните ъгли, получаваме сумата от ъглите на даден -ъгълник. Тъй като сборът от ъглите на триъгълник е равен на $(180)^0,$ получаваме, че сборът от ъглите на изпъкнал триъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теоремата е доказана.

Понятие за четириъгълник

Използвайки дефиницията на $2$, е лесно да се въведе дефиницията на четириъгълник.

Определение 5

Четириъгълник е многоъгълник с $4$ върха (фиг. 4).

Фигура 4. Четириъгълник

За четириъгълник понятията изпъкнал четириъгълники неизпъкнал четириъгълник. Класически примери за изпъкнали четириъгълници са квадрат, правоъгълник, трапец, ромб, успоредник (фиг. 5).

Фигура 5. Изпъкнали четириъгълници

Теорема 2

Сборът от ъглите на изпъкнал четириъгълник е $(360)^0$

Доказателство.

По теорема $1$ знаем, че сумата от ъглите на изпъкнал -ъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Следователно сумата от ъглите на изпъкнал четириъгълник е равна на

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теоремата е доказана.

Изпъкнал набор от точки в равнина.

Набор от точки на равнина или в триизмерно пространство се нарича изпъкнал, ако всеки две точки от това множество могат да бъдат свързани с отсечка, която лежи изцяло в това множество.

Теорема 1. Пресечната точка на краен брой изпъкнали множества е изпъкнало множество.

Последица.Пресечната точка на краен брой изпъкнали множества е изпъкнало множество.

Ъглови точки.

Граничната точка на изпъкнало множество се нарича ъглова, ако през него може да се начертае отсечка, всички точки от която не принадлежат на даденото множество.

Набори от различни форми могат да имат краен или безкраен брой ъглови точки.

Изпъкнал многоъгълник.

МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако лежи от едната страна на всяка права, минаваща през два от нейните съседни върха.

Теорема: Сборът от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180˚ *(n-2)

6) Решение на системи m линейни неравенствас две променливи

Дадена е система от линейни неравенства с две променливи

Знаците на някои или всички неравенства могат да бъдат ≥.

Нека разгледаме първото неравенство в координатната система X1OX2. Нека изградим права линия

която е граничната линия.

Тази права разделя равнината на две полуравнини 1 и 2 (фиг. 19.4).

Полуравнина 1 съдържа началото, полуравнина 2 не съдържа началото.

За да определите от коя страна на граничната линия се намира дадена полуравнина, трябва да вземете произволна точка от равнината (за предпочитане началото) и да замените координатите на тази точка в неравенството. Ако неравенството е вярно, тогава полуравнината е обърната към тази точка; ако не е вярно, тогава в посока, обратна на точката.

Посоката на полуравнината е показана на фигурите със стрелка.

Определение 15. Решението на всяко неравенство от системата е полуравнина, съдържаща граничната линия и разположена от едната й страна.

Определение 16. Пресечната точка на полуравнини, всяка от които се определя от съответното неравенство на системата, се нарича област на решение на системата (SO).

Определение 17. Областта на решение на система, която отговаря на условията за неотрицателност (xj ≥ 0, j =), се нарича област на неотрицателни или допустими решения (ADS).

Ако системата от неравенства е последователна, тогава OR и ODR могат да бъдат полиедър, неограничен полиедърен регион или единична точка.

Ако системата от неравенства е противоречива, тогава OR и ODR са празно множество.

Пример 1. Намерете OR и ODE на системата от неравенства и определете координатите на ъгловите точки на ODE

Решение. Нека намерим ИЛИ на първото неравенство: x1 + 3x2 ≥ 3. Да построим граничната линия x1 + 3x2 – 3 = 0 (фиг. 19.5). Нека заместим координатите на точката (0,0) в неравенството: 1∙0 + 3∙0 > 3; тъй като координатите на точката (0,0) не я удовлетворяват, тогава решението на неравенството (19.1) е полуравнина, която не съдържа точката (0,0).

Нека по подобен начин да намерим решения на останалите неравенства на системата. Получаваме, че OR и ODE на системата от неравенства е изпъкнал многостен ABCD.

Нека намерим ъгловите точки на многостена. Определяме точка А като пресечна точка на прави

Решавайки системата, получаваме A(3/7, 6/7).

Намираме точка B като пресечна точка на прави

От системата получаваме B(5/3, 10/3). По същия начин намираме координатите на точките C и D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Намерете OR и ODE на системата от неравенства

Решение. Нека да построим прави и да определим решения на неравенства (19.5)-(19.7). OR и ODR са неограничени полиедрични области ACFM и ABDEKM, съответно (фиг. 19.6).

Пример 3. Намерете OR и ODE на системата от неравенства

Решение. Нека намерим решения на неравенствата (19.8)-(19.10) (фиг. 19.7). OR представлява неограничената полиедрична област ABC; ODR - точка Б.

Пример 4. Намерете OP и ODP на системата от неравенства

Решение. Построявайки прави, ще намерим решения на неравенствата на системата. OR и ODR са несъвместими (фиг. 19.8).

УПРАЖНЕНИЯ

Намерете OR и ODE на системи от неравенства

Теорема. Ако xn ® a, тогава .

Доказателство. От xn ® a следва, че . В същото време:

, т.е. , т.е. . Теоремата е доказана.

Теорема. Ако xn ® a, тогава последователността (xn) е ограничена.

Трябва да се отбележи, че обратното твърдение не е вярно, т.е. ограничеността на една последователност не предполага нейната конвергенция.

Например последователността все пак няма ограничение

Разгъване на функции в степенни редове.

Разширяването на степенните редове на функциите има голямо значениеза решаване на различни проблеми на функционално изследване, диференциране, интегриране, решение диференциални уравнения, изчисляване на граници, изчисляване на приблизителни стойности на функция.

Тези геометрични фигури ни заобикалят навсякъде. Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат естествени, като пчелна пита, или изкуствени (направени от човека). Тези цифри се използват в производството различни видовепокрития, в живописта, архитектурата, декорациите и др. Изпъкналите многоъгълници имат свойството, че всичките им точки са разположени от едната страна на права линия, която минава през двойка съседни върхове на тази геометрична фигура. Има и други определения. Изпъкнал многоъгълник е този, който е разположен в една полуравнина спрямо всяка права линия, съдържаща една от страните му.

В курса по елементарна геометрия винаги се разглеждат само прости многоъгълници. За да разберете всички свойства на такива, е необходимо да разберете тяхната природа. Първо, трябва да разберете, че всяка линия, чиито краища съвпадат, се нарича затворена. Освен това фигурата, образувана от него, може да има различни конфигурации. Многоъгълникът е проста затворена начупена линия, в която съседните връзки не са разположени на една и съща права линия. Неговите връзки и върхове са съответно страните и върховете на тази геометрична фигура. Една проста полилиния не трябва да има самопресичания.

Върховете на многоъгълник се наричат съседни, ако представляват краищата на една от страните му. Геометрична фигура, която има n-то числовърхове, и следователно n-то количествострани се нарича n-ъгълник. Самата начупена линия се нарича граница или контур на тази геометрична фигура. Многоъгълна равнина или плосък многоъгълник е крайната част от всяка равнина, ограничена от нея. Съседните страни на тази геометрична фигура са сегменти от начупена линия, излизаща от един връх. Те няма да са съседни, ако идват от различни върхове на многоъгълника.

Други дефиниции на изпъкнали многоъгълници

В елементарната геометрия има още няколко определения, еквивалентни по смисъл, показващи кой многоъгълник се нарича изпъкнал. Освен това всички тези формулировки са еднакво правилни. Многоъгълник се счита за изпъкнал, ако:

Всеки сегмент, който свързва произволни две точки вътре в него, лежи изцяло в него;

Всичките му диагонали лежат в него;

Всеки вътрешен ъгъл не надвишава 180°.

Многоъгълникът винаги разделя равнината на 2 части. Единият от тях е ограничен (може да бъде ограден в кръг), а другият е неограничен. Първата се нарича вътрешна област, а втората е външната област на тази геометрична фигура. Този многоъгълник е пресечната точка (с други думи, общата компонента) на няколко полуравнини. Освен това всеки сегмент, който има краища в точки, принадлежащи на многоъгълника, изцяло му принадлежи.

Разновидности на изпъкнали многоъгълници

Дефиницията на изпъкнал многоъгълник не означава, че има много видове. Освен това всеки от тях има определени критерии. По този начин изпъкнали многоъгълници, които имат вътрешен ъгъл, равен на 180 °, се наричат слабо изпъкнали. Изпъкнала геометрична фигура, която има три върха, се нарича триъгълник, четири - четириъгълник, пет - петоъгълник и т.н. Всеки от изпъкналите n-ъгълници отговаря на следното най-важно изискване: n трябва да бъде равно или по-голямо от 3. Всеки на триъгълниците е изпъкнал. Геометрична фигура от този тип, в която всички върхове са разположени на една и съща окръжност, се нарича вписана в окръжност. Изпъкнал многоъгълник се нарича описан, ако всичките му страни в близост до кръга го докосват. За два многоъгълника се казва, че са еднакви само ако могат да бъдат събрани чрез суперпозиция. Равнинният многоъгълник е многоъгълна равнина (част от равнина), която е ограничена от тази геометрична фигура.

Правилни изпъкнали многоъгълници

Правилните многоъгълници са геометрични фигури с равни ъглии страните. Вътре в тях има точка 0, която се намира на еднакво разстояние от всеки от върховете му. Нарича се център на тази геометрична фигура. Отсечките, свързващи центъра с върховете на тази геометрична фигура, се наричат апотеми, а тези, които свързват точка 0 със страните, са радиуси.

Правилен четириъгълник е квадрат. Правилният триъгълник се нарича равностранен. За такива фигури има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на 180° * (n-2)/ n,

където n е броят на върховете на тази изпъкнала геометрична фигура.

Площта на всеки правилен многоъгълник се определя по формулата:

където p е равно на половината от сумата на всички страни на даден многоъгълник, а h е равно на дължината на апотемата.

Свойства на изпъкнали многоъгълници

Изпъкналите многоъгълници имат определени свойства. По този начин в него задължително се намира сегмент, който свързва произволни 2 точки от такава геометрична фигура. Доказателство:

Да приемем, че P е даден изпъкнал многоъгълник. Вземаме 2 произволни точки, например A, B, които принадлежат на P. Съгласно съществуващата дефиниция на изпъкнал многоъгълник, тези точки са разположени от едната страна на правата, която съдържа всяка страна на P. Следователно AB също има това свойство и се съдържа в P. Изпъкналият многоъгълник винаги е възможно да се раздели на няколко триъгълника, като се използват абсолютно всички диагонали, които са изтеглени от един от неговите върхове.

Ъгли на изпъкнали геометрични фигури

Ъглите на изпъкнал многоъгълник са ъглите, образувани от неговите страни. Вътрешните ъгли са разположени във вътрешната област на дадена геометрична фигура. Ъгълът, образуван от неговите страни, които се срещат в един връх, се нарича ъгъл на изпъкнал многоъгълник. с вътрешни ъгли на дадена геометрична фигура се наричат външни. Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник, разположен вътре в него, е равен на:

където x е размерът на външния ъгъл. Това проста формулаважи за всякакви геометрични фигури от този тип.

Като цяло за външни ъглисъществува следното правило: Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на разликата между 180° и размера на вътрешния ъгъл. Може да има стойности в диапазона от -180° до 180°. Следователно, когато вътрешният ъгъл е 120°, външният ъгъл ще бъде 60°.

Сума от ъгли на изпъкнали многоъгълници

Сума вътрешни ъглиизпъкнал многоъгълник се определя по формулата:

където n е броят на върховете на n-ъгълника.

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник се изчислява доста просто. Помислете за всяка такава геометрична фигура. За да определите сумата от ъгли вътре в изпъкнал многоъгълник, трябва да свържете един от неговите върхове с други върхове. В резултат на това действие се получават (n-2) триъгълника. Известно е, че сборът от ъглите на всеки триъгълник винаги е равен на 180°. Тъй като техният брой във всеки многоъгълник е (n-2), сумата от вътрешните ъгли на такава фигура е равна на 180° x (n-2).

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник, а именно всеки два вътрешни и съседни външни ъгъла, за дадена изпъкнала геометрична фигура винаги ще бъде равна на 180°. Въз основа на това можем да определим сумата от всички негови ъгли:

Сумата от вътрешните ъгли е 180° * (n-2). Въз основа на това сумата от всички външни ъгли на дадена фигура се определя по формулата:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумата от външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник винаги ще бъде 360° (независимо от броя на страните).

Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник обикновено се представя от разликата между 180° и стойността на вътрешния ъгъл.

Други свойства на изпъкнал многоъгълник

В допълнение към основните свойства на тези геометрични форми, те имат и други, които възникват при манипулирането им. Така всеки от многоъгълниците може да бъде разделен на няколко изпъкнали n-ъгълника. За да направите това, трябва да продължите всяка от страните му и да изрежете тази геометрична фигура по тези прави линии. Също така е възможно всеки многоъгълник да се раздели на няколко изпъкнали части по такъв начин, че върховете на всяко парче да съвпадат с всички негови върхове. От такава геометрична фигура можете много просто да направите триъгълници, като изчертаете всички диагонали от един връх. Така всеки многоъгълник може в крайна сметка да бъде разделен на определен брой триъгълници, което се оказва много полезно при решаването на различни проблеми, свързани с такива геометрични фигури.

Периметър на изпъкнал многоъгълник

Прекъснатите отсечки, наречени страни на многоъгълник, най-често се означават със следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Това са страните на геометрична фигура с върхове a, b, c, d, e. Сумата от дължините на всички страни на този изпъкнал многоъгълник се нарича негов периметър.

Окръжност на многоъгълник

Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат вписани или описани. Окръжност, докосваща всички страни на тази геометрична фигура, се нарича вписана в нея. Такъв многоъгълник се нарича описан. Центърът на окръжност, вписана в многоъгълник, е пресечната точка на ъглополовящите на всички ъгли в дадена геометрична фигура. Площта на такъв многоъгълник е равна на:

където r е радиусът на вписаната окръжност, а p е полупериметърът на дадения многоъгълник.

Окръжност, съдържаща върховете на многоъгълник, се нарича описана около него. В този случай тази изпъкнала геометрична фигура се нарича вписана. Центърът на окръжността, която е описана около такъв многоъгълник, е пресечната точка на така наречените ъглополовящи на всички страни.

Диагонали на изпъкнали геометрични фигури

Диагоналите на изпъкнал многоъгълник са сегменти, които свързват несъседни върхове. Всеки от тях се намира вътре в тази геометрична фигура. Броят на диагоналите на такъв n-gon се определя по формулата:

N = n (n - 3)/ 2.

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник играе важна роля в елементарната геометрия. Броят на триъгълниците (K), на които всеки изпъкнал многоъгълник може да бъде разделен, се изчислява по следната формула:

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник винаги зависи от броя на неговите върхове.

Разделяне на изпъкнал многоъгълник

В някои случаи за решаване на геометрични задачи е необходимо изпъкнал многоъгълник да се раздели на няколко триъгълника с непресичащи се диагонали. Този проблем може да бъде решен чрез извеждане на определена формула.

Определение на проблема: нека наречем правилно определено разделяне на изпъкнал n-ъгълник на няколко триъгълника с диагонали, пресичащи се само във върховете на тази геометрична фигура.

Решение: Да предположим, че P1, P2, P3..., Pn са върховете на този n-ъгълник. Числото Xn е броят на неговите дялове. Нека разгледаме внимателно получения диагонал на геометричната фигура Pi Pn. Във всеки от правилните дялове P1 Pn принадлежи на определен триъгълник P1 Pi Pn, който има 1

Нека i = 2 е една група правилни дялове, винаги съдържащи диагонала P2 Pn. Броят на дяловете, които се включват в него, съвпада с броя на дяловете на (n-1)-ъгълника P2 P3 P4... Pn. С други думи, то е равно на Xn-1.

Ако i = 3, тогава тази друга група дялове винаги ще съдържа диагоналите P3 P1 и P3 Pn. В този случай броят на правилните дялове, съдържащи се в тази група, ще съвпадне с броя на дяловете на (n-2)-гона P3 P4... Pn. С други думи, ще бъде равно на Xn-2.

Нека i = 4, тогава сред триъгълниците правилното разделение със сигурност ще съдържа триъгълника P1 P4 Pn, който ще бъде съседен на четириъгълника P1 P2 P3 P4, (n-3)-ъгълника P4 P5... Pn. Броят на правилните дялове на такъв четириъгълник е X4, а броят на дяловете на (n-3)-ъгълник е Xn-3. Въз основа на всичко по-горе, можем да кажем, че общият брой правилни дялове, съдържащи се в тази група, е равен на Xn-3 X4. Други групи, за които i = 4, 5, 6, 7... ще съдържат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... редовни дялове.

Нека i = n-2, тогава броят на правилните дялове в тази група ще съвпадне с броя на дяловете в групата, за която i=2 (с други думи, равен на Xn-1).

Тъй като X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., тогава броят на всички дялове на изпъкнал многоъгълник е равен на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Брой правилни дялове, пресичащи един диагонал вътре

При проверка на специални случаи може да се стигне до предположението, че броят на диагоналите на изпъкнали n-ъгълници е равен на произведението на всички дялове на тази фигура в (n-3).

Доказателство за това предположение: представете си, че P1n = Xn * (n-3), тогава всеки n-гон може да бъде разделен на (n-2)-триъгълници. Освен това от тях може да се образува (n-3)-четириъгълник. Заедно с това всеки четириъгълник ще има диагонал. Тъй като два диагонала могат да бъдат начертани в тази изпъкнала геометрична фигура, това означава, че допълнителни (n-3) диагонала могат да бъдат начертани във всеки (n-3)-четириъгълник. Въз основа на това можем да заключим, че във всеки правилен дял е възможно да се начертаят (n-3)-диагонали, които отговарят на условията на тази задача.

Площ на изпъкнали многоъгълници

Често при решаването на различни проблеми на елементарната геометрия става необходимо да се определи площта на изпъкнал многоъгълник. Да предположим, че (Xi. Yi), i = 1,2,3... n е последователност от координати на всички съседни върхове на многоъгълник, който няма самопресичания. В този случай неговата площ се изчислява по следната формула:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

където (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

В този урок ще започнем нова тема и ще представим нова концепция за нас: „многоъгълник“. Ще разгледаме основните понятия, свързани с многоъгълниците: страни, върхови ъгли, изпъкналост и неизпъкналост. След това ще докажем най-важните факти, като теоремата за сумата от вътрешните ъгли на многоъгълник, теоремата за сумата от външните ъгли на многоъгълник. В резултат на това ще се доближим до изучаването на специални случаи на многоъгълници, които ще бъдат разгледани в следващите уроци.

Тема: Четириъгълници

Урок: Многоъгълници

В курса по геометрия изучаваме свойствата на геометричните фигури и вече разгледахме най-простите от тях: триъгълници и кръгове. В същото време обсъдихме и конкретни специални случаи на тези фигури, като правоъгълни, равнобедрени и правилни триъгълници. Сега е време да поговорим за по-общи и сложни фигури - полигони.

Със специален калъф полигонивече сме запознати - това е триъгълник (виж фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълник

Самото име вече подчертава, че това е фигура с три ъгъла. Следователно, в многоъгълникможе да има много от тях, т.е. повече от три. Например, нека начертаем петоъгълник (виж фиг. 2), т.е. фигура с пет ъгъла.

Ориз. 2. Петоъгълник. Изпъкнал многоъгълник

Определение.Многоъгълник- фигура, състояща се от няколко точки (повече от две) и съответен брой сегменти, които ги свързват последователно. Тези точки се наричат върховемногоъгълник, а отсечките са партии. В този случай две съседни страни не лежат на една права линия и две несъседни страни не се пресичат.

Определение.Правилен многоъгълнике изпъкнал многоъгълник, в който всички страни и ъгли са равни.

Всякакви многоъгълникразделя равнината на две зони: вътрешна и външна. Вътрешната зона също се нарича многоъгълник.

С други думи, например, когато говорят за петоъгълник, те имат предвид както цялата му вътрешна област, така и нейната граница. А вътрешната област включва всички точки, които лежат вътре в многоъгълника, т.е. точката също се отнася до петоъгълника (виж фиг. 2).

Многоъгълниците също понякога се наричат n-ъгълници, за да се подчертае, че се разглежда общият случай на наличие на някакъв неизвестен брой ъгли (n части).

Определение. Периметър на многоъгълник- сумата от дължините на страните на многоъгълника.

Сега трябва да се запознаем с видовете многоъгълници. Те се делят на изпъкналИ неизпъкнал. Например многоъгълникът, показан на фиг. 2 е изпъкнал, а на фиг. 3 не изпъкнали.

Ориз. 3. Неизпъкнал многоъгълник

Определение 1. МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако при изчертаване на права линия през някоя от страните му цялата многоъгълниклежи само от едната страна на тази права линия. Неконвексенса всички останали полигони.

Лесно е да си представим, че при разширяване на която и да е страна на петоъгълника на фиг. 2 всичко ще бъде от едната страна на тази права линия, т.е. тя е изпъкнала. Но когато чертаете права линия през четириъгълник на фиг. 3 вече виждаме, че го разделя на две части, т.е. не е изпъкнал.

Но има и друга дефиниция на изпъкналостта на многоъгълник.

Определение 2. МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако при избора на произволни две от вътрешните му точки и свързването им с отсечка всички точки от отсечката са и вътрешни точки на многоъгълника.

Демонстрация на използването на това определение може да се види в примера за конструиране на сегменти на фиг. 2 и 3.

Определение. Диагонална многоъгълник е всеки сегмент, свързващ два несъседни върха.

За да се опишат свойствата на многоъгълниците, има две най-важни теореми за техните ъгли: теорема за сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълникИ теорема за сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник. Нека да ги разгледаме.

Теорема. Върху сумата от вътрешни ъгли на изпъкнал многоъгълник (н-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни).

Доказателство 1. Нека изобразим на фиг. 4 изпъкнал n-ъгълник.

Ориз. 4. Изпъкнал n-ъгълник

От върха изчертаваме всички възможни диагонали. Те разделят n-ъгълника на триъгълници, защото всяка от страните на многоъгълника образува триъгълник, с изключение на страните, съседни на върха. От фигурата е лесно да се види, че сборът от ъглите на всички тези триъгълници ще бъде точно равен на сбора от вътрешните ъгли на n-ъгълника. Тъй като сумата от ъглите на всеки триъгълник е , тогава сумата от вътрешните ъгли на n-gon е:

Q.E.D.

Доказателство 2. Възможно е друго доказателство на тази теорема. Нека начертаем подобен n-ъгълник на фиг. 5 и свържете която и да е от вътрешните му точки с всички върхове.

Ориз. 5.

Получихме разбиване на n-ъгълника на n триъгълника (колкото страни, толкова и триъгълника). Сборът от всичките им ъгли е равен на сбора от вътрешните ъгли на многоъгълника и сбора от ъглите във вътрешната точка и това е ъгълът. Ние имаме:

Q.E.D.

Доказано.

Според доказаната теорема е ясно, че сборът от ъглите на n-ъгълник зависи от броя на неговите страни (върху n). Например в триъгълник и сумата от ъглите е . В четириъгълник и сумата от ъглите е и т.н.

Теорема. Върху сумата от външни ъгли на изпъкнал многоъгълник (н-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни), а , …, са външните ъгли.

Доказателство. Нека изобразим изпъкнал n-ъгълник на фиг. 6 и означете неговите вътрешни и външни ъгли.

Ориз. 6. Изпъкнал n-ъгълник с обозначени външни ъгли

защото След това външният ъгъл се свързва с вътрешния като съседен и по същия начин за останалите външни ъгли. Тогава:

По време на трансформациите използвахме вече доказаната теорема за сумата от вътрешни ъгли на n-ъгълник.

Доказано.

Интересен факт следва от доказаната теорема, че сборът от външните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на върху броя на неговите ъгли (страни). Между другото, за разлика от сумата от вътрешни ъгли.

Библиография

Александров А.Д. и др.Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 клас. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com ().

Домашна работа

Концепция за многоъгълник

Определение 1

В този случай сегментите се наричат страни на многоъгълника, а краищата им - върховете на многоъгълника.

Определение 2

$n$-ъгълник е многоъгълник с $n$ върха.

Видове многоъгълници

Определение 3

Фигура 1. Изпъкнал многоъгълник

Определение 4

Ако многоъгълник лежи на противоположните страни на поне една права линия, минаваща през неговите страни, тогава многоъгълникът се нарича неизпъкнал (фиг. 2).

Фигура 2. Неизпъкнал многоъгълник

Сума от ъгли на многоъгълник

Нека въведем теорема за сумата от ъглите на триъгълник.

Теорема 1

Сумата от ъглите на изпъкнал триъгълник се определя по следния начин

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доказателство.

Фигура 3.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теоремата е доказана.

Понятие за четириъгълник

Използвайки дефиницията на $2$, е лесно да се въведе дефиницията на четириъгълник.

Определение 5

Четириъгълник е многоъгълник с $4$ върха (фиг. 4).

Фигура 4. Четириъгълник

За четириъгълник понятията изпъкнал четириъгълник и неизпъкнал четириъгълник са определени по подобен начин. Класически примери за изпъкнали четириъгълници са квадрат, правоъгълник, трапец, ромб, успоредник (фиг. 5).

Фигура 5. Изпъкнали четириъгълници

Теорема 2

Сборът от ъглите на изпъкнал четириъгълник е $(360)^0$

Доказателство.

По теорема $1$ знаем, че сумата от ъглите на изпъкнал -ъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Следователно сумата от ъглите на изпъкнал четириъгълник е равна на

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теоремата е доказана.