Какво означава да се намери най-голямата стойност на функция. Най-голяма и най-малка стойност на функция

С тази услуга можете намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцияедна променлива f(x) с решението, форматирано в Word. Следователно, ако е дадена функцията f(x,y), е необходимо да се намери екстремумът на функцията на две променливи. Можете също така да намерите интервалите на нарастващи и намаляващи функции.

Правила за въвеждане на функции:

Необходимо условие за екстремума на функция на една променлива

Достатъчно условие за екстремум на функция на една променлива

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Тогава точка x * е локалната (глобална) минимална точка на функцията.

Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Тогава точка x * е локален (глобален) максимум.

Пример №1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: на сегмента.
Решение.

Критичната точка е 1 x 1 = 2 (f’(x)=0). Тази точка принадлежи на сегмента. (Точката x=0 не е критична, тъй като 0∉).
Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в критичната точка.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Отговор: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2. Използвайки производни от по-висок порядък, намерете екстремума на функцията y=x-2sin(x) .
Решение.
Намерете производната на функцията: y’=1-2cos(x) . Нека намерим критичните точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Намираме y’’=2sin(x), изчисляваме , което означава x= π / 3 +2πk, k∈Z са минималните точки на функцията; , което означава x=- π / 3 +2πk, k∈Z са максималните точки на функцията.

Пример №3. Изследвайте функцията екстремум в околността на точката x=0.
Решение. Тук е необходимо да се намерят екстремумите на функцията. Ако екстремумът x=0, тогава разберете неговия тип (минимум или максимум). Ако сред намерените точки няма x = 0, тогава се изчислява стойността на функцията f(x=0).
Трябва да се отбележи, че когато производната от всяка страна на дадена точка не променя знака си, възможните ситуации не са изчерпани дори за диференцируеми функции: може да се случи, че за произволно малък квартал от едната страна на точката x 0 или от двете страни производната променя знака. В тези точки е необходимо да се използват други методи за изследване на екстремни функции.

Най-голяма и най-малка стойност на функция

Най-голямата стойност на функцията е най-голямата, най-малката стойност е най-малката от всички нейни стойности.

Една функция може да има само една най-голяма и само една най-малка стойност или може да няма никаква. Намирането на най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции се основава на следните свойства на тези функции:

1) Ако в даден интервал (краен или безкраен) функцията y=f(x) е непрекъсната и има само един екстремум и ако това е максимум (минимум), то това ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията в този интервал.

2) Ако функцията f(x) е непрекъсната на определен сегмент, тогава тя задължително има най-големите и най-малките стойности на този сегмент. Тези стойности се достигат или в екстремни точки, разположени вътре в сегмента, или в границите на този сегмент.

За да намерите най-големите и най-малките стойности на сегмент, се препоръчва да използвате следната схема:

1. Намерете производната.

2. Намерете критични точки на функцията, при които =0 или не съществува.

3. Намерете стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента и изберете от тях най-големия f max и най-малкия f max.

При решаването на приложни проблеми, по-специално оптимизационни, са важни проблемите за намиране на най-големите и най-малките стойности (глобален максимум и глобален минимум) на функция в интервала X. За решаването на такива проблеми трябва, въз основа на условието , изберете независима променлива и изразете изследваната стойност чрез тази променлива. След това намерете желаната най-голяма или най-малка стойност на получената функция. В този случай интервалът на промяна на независимата променлива, който може да бъде краен или безкраен, също се определя от условията на задачата.

Пример.Резервоарът, който има формата на отворен отгоре правоъгълен паралелепипед с квадратно дъно, трябва да бъде калайдисан отвътре с калай. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара, ако капацитетът му е 108 литра? вода, така че разходите за калайдисването й да са минимални?

Решение.Цената за покриване на резервоар с калай ще бъде минимална, ако за даден капацитет повърхността му е минимална. Нека означим с a dm страната на основата, b dm височината на резервоара. Тогава площта S на неговата повърхност е равна на

И

Получената връзка установява връзката между повърхността на резервоара S (функция) и страната на основата a (аргумент). Нека разгледаме функцията S за екстремум. Нека намерим първата производна, приравним я към нула и решим полученото уравнение:

Следователно a = 6. (a) > 0 за a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Пример. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция на интервала.

Решение: Определена функциянепрекъсната на цялата числова ос. Производна на функция

Производна за и за . Нека изчислим стойностите на функцията в тези точки:

.

Стойностите на функцията в краищата на дадения интервал са равни. следователно най-висока стойностфункция е равна на at , най-малката стойност на функцията е равна на at .

Въпроси за самопроверка

1. Формулирайте правилото на L'Hopital за разкриване на несигурности на формата. списък Различни видовенесигурности, за които може да се използва правилото на L'Hopital.

2. Формулирайте признаците на нарастващи и намаляващи функции.

3. Дефинирайте максимума и минимума на функция.

4. Формулирайте необходимо условие за съществуването на екстремум.

5. Какви стойности на аргумента (кои точки) се наричат ​​критични? Как да намерите тези точки?

6. Кои са достатъчни признаци за съществуването на екстремум на функция? Очертайте схема за изследване на функция при екстремум, използвайки първата производна.

7. Очертайте схема за изследване на функция при екстремум с помощта на втората производна.

8. Дефиниране на изпъкналост и вдлъбнатост на крива.

9. Какво се нарича инфлексна точка на графиката на функция? Посочете метод за намиране на тези точки.

10. Формулирайте необходимите и достатъчни признаци за изпъкналост и вдлъбнатост на крива върху даден сегмент.

11. Дефинирайте асимптотата на крива. Как да намерим вертикалната, хоризонталната и наклонената асимптота на графиката на функция?

12. Контур обща схемаизследване на функция и построяване на нейната графика.

13. Формулирайте правило за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция на даден интервал.

В тази статия ще говоря за алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойностфункции, минимални и максимални точки.

От теория определено ще ни бъде полезно производна таблицаИ правила за диференциране. Всичко е на тази чиния:

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност.

По-удобно ми е да обясня конкретен пример. Обмисли:

Пример:Намерете най-голямата стойност на функцията y=x^5+20x^3–65x на отсечката [–4;0].

Етап 1.Вземаме производната.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Стъпка 2.Намиране на екстремни точки.

Екстремна точканаричаме онези точки, в които функцията достига своята най-голяма или минимална стойност.

За да намерите точките на екстремума, трябва да приравните производната на функцията на нула (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Сега нека решим това bi квадратно уравнениеи намерените корени са нашите екстремни точки.

Решавам такива уравнения, като замествам t = x^2, след това 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Нека намалим уравнението с 5, получаваме: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Правим обратната промяна x^2 = t:

X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (изключваме, не може да има отрицателни числа, освен ако разбира се не говорим за комплексни числа)

Общо: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - това са нашите точки на екстремум.

Стъпка 3.Определете най-голямата и най-малката стойност.

Метод на заместване.

В условието ни беше даден сегмент [b][–4;0]. Точката x=1 не е включена в тази отсечка. Така че не го обмисляме. Но в допълнение към точката x=-1, ние също трябва да разгледаме лявата и дясната граница на нашия сегмент, тоест точките -4 и 0. За да направим това, заместваме всички тези три точки в оригиналната функция. Обърнете внимание, че оригиналният е този, даден в условието (y=x^5+20x^3–65x), някои хора започват да го заместват в производното...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Това означава, че най-голямата стойност на функцията е [b]44 и се постига в точка [b]-1, която се нарича максимална точка на функцията върху отсечката [-4; 0].

Решихме и получихме отговор, страхотни сме, спокойно. Но спри! Не мислите ли, че изчисляването на y(-4) е някак твърде трудно? В условия на ограничено време е по-добре да използвате друг метод, аз го наричам така:

Чрез интервали на знакопостоянство.

Тези интервали се намират за производната на функцията, тоест за нашето биквадратно уравнение.

Аз го правя така. Чертая насочена отсечка. Поставям точките: -4, -1, 0, 1. Въпреки факта, че 1 не е включено в дадения сегмент, все пак трябва да се отбележи, за да се определят правилно интервалите на постоянство на знака. Нека вземем някакво число много пъти по-голямо от 1, да речем 100, и мислено го заместваме в нашето биквадратно уравнение 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Дори без да броим нищо, става очевидно, че в точка 100 функцията има знак плюс. Това означава, че за интервали от 1 до 100 има знак плюс. При преминаване през 1 (вървим отдясно наляво), функцията ще промени знака на минус. При преминаване през точка 0 функцията ще запази знака си, тъй като това е само границата на сегмента, а не корена на уравнението. При преминаване през -1, функцията отново ще промени знака на плюс.

От теорията знаем, че къде е производната на функцията (и го начертахме точно за нея) променя знака от плюс на минус (точка -1 в нашия случай)функция достига нейния локален максимум (y(-1)=44, както е изчислено по-рано)на този сегмент (това е логически много разбираемо, функцията спря да нараства, защото достигна своя максимум и започна да намалява).

Съответно, където производната на функцията променя знака от минус на плюс, е постигнат локален минимум на функция. Да, да, открихме също, че локалната минимална точка е 1, а y(1) е минималната стойност на функцията върху сегмента, да речем от -1 до +∞. Моля, платете голямо внимание, че това е само ЛОКАЛЕН МИНИМУМ, тоест минимум на определен сегмент. Тъй като реалният (глобален) минимум на функцията ще достигне някъде там, при -∞.

Според мен първият метод е по-прост теоретично, а вторият е по-прост от гледна точка на аритметичните операции, но много по-сложен от гледна точка на теорията. В края на краищата, понякога има случаи, когато функцията не променя знака при преминаване през корена на уравнението и като цяло можете да се объркате с тези локални, глобални максимуми и минимуми, въпреки че ще трябва да овладеете това така или иначе, ако планирайте да влезете в технически университет (и защо иначе вземете профилния Единен държавен изпит и решете тази задача). Но практиката и само практиката ще ви научи да решавате подобни проблеми веднъж завинаги. И можете да тренирате на нашия уебсайт. Тук .

Ако имате въпроси или нещо не е ясно, непременно питайте. Ще се радвам да ви отговоря и да направя промени и допълнения в статията. Не забравяйте, че правим този сайт заедно!

И за да го решите, ще ви трябват минимални познания по темата. Следващият свършва академична година, всеки иска да отиде на почивка и за да доближа този момент, ще премина направо към въпроса:

Да започнем с района. Посочената в условието площ е ограничен затворен набор от точки на равнина. Например множеството точки, ограничени от триъгълник, включително ЦЕЛИЯ триъгълник (ако от граници„извадете“ поне една точка, тогава регионът вече няма да бъде затворен). На практика има и области, които са правоъгълни, кръгли и малко по-големи. сложни форми. Трябва да се отбележи, че в теорията на математическия анализ са дадени строги определения ограничения, изолация, граници и др., но мисля, че всеки е наясно с тези понятия на интуитивно ниво и сега не е необходимо нищо повече.

Плоската област стандартно се обозначава с буквата и като правило се определя аналитично - чрез няколко уравнения (не непременно линеен); по-рядко неравенства. Типично многословие: „затворена зона, ограничени с линии ».

Неразделна част от разглежданата задача е изграждането на площ в чертежа. Как да го направим? Трябва да начертаете всички изброени линии (в този случай 3 прав) и анализирайте случилото се. Търсената област обикновено е леко засенчена, а границата й е маркирана с дебела линия:


Същата област също може да бъде зададена линейни неравенства: , които по някаква причина често се записват като изброен списък, а не като система.
Тъй като границата принадлежи на региона, тогава всички неравенства, разбира се, отпуснат.

А сега същността на задачата. Представете си, че оста излиза право към вас от началото. Помислете за функция, която непрекъснато във всекиобластна точка. Графиката на тази функция представлява някои повърхност, а малкото щастие е, че за да решим днешния проблем, не е нужно да знаем как изглежда тази повърхност. Тя може да бъде разположена по-високо, по-ниско, да пресича равнината - всичко това няма значение. А важно е следното: съгл Теореми на Вайерщрас, непрекъснато V ограничено затворенплощ функцията достига най-голямата си стойност (най-високата")и най-малкото („най-ниската“)стойности, които трябва да бъдат намерени. Такива стойности се постигат или V стационарни точки, принадлежащи към регионад , илив точки, които лежат на границата на тази област. Това води до прост и прозрачен алгоритъм за решение:

Пример 1

В ограничени затворена зона

Решение: Първо, трябва да изобразите областта на чертежа. За съжаление, за мен е технически трудно да направя интерактивен модел на проблема и затова веднага ще представя окончателната илюстрация, която показва всички „подозрителни“ точки, открити по време на изследването. Те обикновено са изброени един след друг, когато бъдат открити:

Въз основа на преамбюла решението може удобно да се раздели на две точки:

I) Намерете стационарни точки. Това е стандартно действие, което изпълнявахме многократно в клас. за екстремуми на няколко променливи:

Намерена неподвижна точка принадлежиобласти: (маркирайте го на чертежа), което означава, че трябва да изчислим стойността на функцията в дадена точка:

- както е в статията Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент, ще подчертая важни резултати с удебелен шрифт. Удобно е да ги очертаете в тетрадка с молив.

Обърнете внимание на второто ни щастие - няма смисъл да проверявате достатъчно условие за екстремум. Защо? Дори ако в даден момент функцията достигне, напр. местен минимум, то това НЕ ОЗНАЧАВА, че получената стойност ще бъде минималенв целия регион (вижте началото на урока за безусловните крайности) .

Какво да направите, ако стационарната точка НЕ ​​принадлежи към областта? Почти нищо! Трябва да се отбележи това и да преминете към следващата точка.

II) Изследваме границата на региона.

Тъй като границата се състои от страни на триъгълник, е удобно изследването да се раздели на 3 подраздела. Но е по-добре да не го правите така или иначе. От моя гледна точка първо е по-изгодно да се разглеждат сегментите, успоредни на координатните оси, и преди всичко тези, които лежат на самите оси. За да разберете цялата последователност и логика на действията, опитайте се да изучите края „на един дъх“:

1) Нека се заемем с долната страна на триъгълника. За да направите това, заменете директно във функцията:

Като алтернатива можете да го направите по следния начин:

Геометрично това означава, че координатната равнина (което също е дадено от уравнението)"издълбава" от повърхности"пространствена" парабола, чийто връх веднага попада под съмнение. Нека разберем къде се намира тя:

– получената стойност „падна“ в зоната и може да се окаже, че в точката (отбелязано на чертежа)функцията достига най-голямата или най-малката стойност в целия регион. По един или друг начин, нека направим изчисленията:

Другите „кандидати” са, разбира се, края на сегмента. Нека изчислим стойностите на функцията в точки (отбелязано на чертежа):

Тук, между другото, можете да извършите устна мини-проверка, като използвате „съкратена“ версия:

2) За изследване правилната страназаместваме триъгълника във функцията и „подреждаме нещата“:

Тук веднага ще извършим груба проверка, „звънейки“ на вече обработения край на сегмента:
, Страхотен.

Геометричната ситуация е свързана с предходната точка:

– получената стойност също „попадна в сферата на нашите интереси“, което означава, че трябва да изчислим на какво е равна функцията в появилата се точка:

Нека разгледаме втория край на сегмента:

Използване на функцията , нека направим контролна проверка:

3) Вероятно всеки може да се досети как да изследва останалата страна. Ние го заместваме във функцията и извършваме опростявания:

Краища на сегмента вече са проучени, но в черновата все още проверяваме дали сме намерили функцията правилно :
– съвпадна с резултата от алинея 1;
– съвпадна с резултата от 2-ра алинея.

Остава да разберем дали има нещо интересно вътре в сегмента:

- Има! Замествайки правата линия в уравнението, получаваме ординатата на тази „интересност“:

Маркираме точка на чертежа и намираме съответната стойност на функцията:

Нека проверим изчисленията с помощта на „бюджетната“ версия :
, поръчка.

И последната стъпка: Ние ВНИМАТЕЛНО преглеждаме всички „удебелени“ числа, препоръчвам на начинаещите дори да направят един списък:

от които избираме най-голямата и най-малката стойност. ОтговорНека запишем в стила на задачата за намиране най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент:

За всеки случай ще коментирам още веднъж геометричния смисъл на резултата:
– тук е най-високата точка на повърхността в района;
– тук е най-ниската точка на повърхността в района.

В анализираната задача идентифицирахме 7 „съмнителни“ точки, но техният брой варира от задача до задача. За триъгълен регион минималният „изследователски набор“ се състои от три точки. Това се случва, когато функцията например указва самолет– напълно ясно е, че стационарни точки няма и функцията може да достигне своите максимални/най-малки стойности само във върховете на триъгълника. Но има само един или два подобни примера - обикновено трябва да се справите с някои повърхност от 2-ри ред.

Ако решите малко такива задачи, тогава триъгълниците могат да ви замаят главата и затова съм ви подготвил необичайни примери, за да го направите квадрат :))

Пример 2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена зона, ограничена с линии

Пример 3

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в ограничена затворена област.

Специално вниманиеОбърнете внимание на рационалния ред и техника на изучаване на границата на региона, както и на веригата от междинни проверки, които почти напълно ще избегнат изчислителните грешки. Най-общо казано, можете да го решите както искате, но в някои задачи, например в Пример 2, има всички шансове да направите живота си много по-труден. Приблизителна извадка на финалните задачи в края на урока.

Нека систематизираме алгоритъма за решение, иначе с моето старание като паяк някак си се изгуби в дългата нишка от коментари на 1-вия пример:

– На първата стъпка изграждаме зона, препоръчително е да я засенчваме и да подчертаем границата с удебелена линия. По време на решението ще се появят точки, които трябва да бъдат маркирани на чертежа.

– Намерете стационарни точки и изчислете стойностите на функцията само в тези от тяхкоито принадлежат към региона. Маркираме получените стойности в текста (например, кръгирайте ги с молив). Ако стационарна точка НЕ ​​принадлежи към региона, тогава отбелязваме този факт с икона или устно. Ако изобщо няма неподвижни точки, тогава правим писмено заключение, че те липсват. Във всеки случай тази точка не може да бъде пропусната!

– Проучваме границата на региона. Първо, полезно е да разберете правите линии, които са успоредни на координатните оси (ако изобщо ги има). Ние също така подчертаваме стойностите на функцията, изчислени в „подозрителни“ точки. По-горе беше казано много за техниката на решение и още нещо ще бъде казано по-долу - четете, препрочитайте, задълбавайте в нея!

– От избраните числа изберете най-голямата и най-малката стойност и дайте отговора. Понякога се случва функцията да достигне такива стойности в няколко точки наведнъж - в този случай всички тези точки трябва да бъдат отразени в отговора. нека например и се оказа, че това е най-малката стойност. След това записваме това

Последните примери са посветени на др полезни идеикоито ще бъдат полезни на практика:

Пример 4

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област .

Запазих формулировката на автора, в която площта е дадена под формата на двойно неравенство. Това условие може да бъде написано чрез еквивалентна система или в по-традиционна форма за този проблем:

Напомням ви, че с нелинейнисрещнахме неравенства и ако не разбирате геометричния смисъл на нотацията, моля, не отлагайте и изяснете ситуацията точно сега;-)

Решение, както винаги, започва с изграждането на област, която представлява един вид „подметка“:

Хм, понякога трябва да дъвчете не само гранита на науката...

I) Намерете стационарни точки:

Системата е мечта на идиот :)

Стационарна точка принадлежи на региона, а именно лежи на неговата граница.

И така, всичко е наред... урокът мина добре - ето какво означава да пиете правилния чай =)

II) Изследваме границата на региона. Без повече шум, нека започнем с оста x:

1) Ако , тогава

Нека намерим къде е върхът на параболата:
– ценете такива моменти – „уцелили“ сте точно до точката, от която вече всичко е ясно. Но все пак не забравяме проверката:

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента:

2) Нека се справим с долната част на „подметката“ „на едно заседание“ - без никакви комплекси я заместваме във функцията и ще се интересуваме само от сегмента:

Контрол:

Това вече носи известно вълнение в монотонното шофиране по назъбената писта. Нека намерим критичните точки:

Нека решим квадратно уравнение, помниш ли още нещо по въпроса? ...Въпреки това, не забравяйте, разбира се, иначе нямаше да четете тези редове =) Ако в двата предишни примера изчисленията в десетични знаци(което, между другото, е рядкост), тогава тук ни очакват обичайните обикновени дроби. Намираме корените „X“ и използваме уравнението, за да определим съответните координати на „играта“ на точките „кандидат“:


Нека изчислим стойностите на функцията в намерените точки:

Проверете сами функцията.

Сега внимателно проучваме спечелените трофеи и ги записваме отговор:

Това са „кандидати“, това са „кандидати“!

За да го решите сами:

Пример 5

Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция в затворена зона

Запис с фигурни скоби гласи така: „набор от точки, такива, че.“

Понякога в такива примери те използват Метод на умножителя на Лагранж, но едва ли ще има реална нужда от използването му. Така например, ако е дадена функция със същата област „de“, то след заместване в нея – с производна от без затруднения; Освен това всичко е съставено в „един ред“ (със знаци), без да е необходимо да се разглеждат отделно горните и долните полукръгове. Но, разбира се, има и още сложни случаи, къде без функцията на Лагранж (където например е същото уравнение на кръг)Трудно е да минеш - както е трудно да минеш без добра почивка!

Приятно прекарване на всички и до скоро следващия сезон!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: Нека изобразим областта на чертежа:

Най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на ординатата на разглеждания интервал.

За да намерите най-голямата или най-малката стойност на функция, трябва да:

1. Проверете кои неподвижни точки са включени в даден сегмент.
2. Изчислете стойността на функцията в краищата на отсечката и при стационарни точкиот точка 3
3. Изберете най-голямата или най-малката стойност от получените резултати.

За да намерите максималните или минималните точки, трябва да:

1. Намерете производната на функцията $f"(x)$
2. Намерете стационарни точки, като решите уравнението $f"(x)=0$
3. Разлагане на производната на функция.
4. Начертайте координатна линия, поставете неподвижни точки върху нея и определете знаците на производната в получените интервали, като използвате нотацията в стъпка 3.
5. Намерете максималните или минималните точки според правилото: ако в дадена точка производната промени знака от плюс на минус, тогава това ще бъде максималната точка (ако от минус на плюс, тогава това ще бъде минималната точка). На практика е удобно да се използва изображението на стрелки на интервали: на интервала, където производната е положителна, стрелката се изтегля нагоре и обратно.

Таблица с производни на някои елементарни функции:

Основни правила за диференциране

1. Производната на сбора и разликата е равна на производната на всеки член

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Намерете производната на функцията $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Производната на сбора и разликата е равна на производната на всеки член

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Производна на продукта.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Намерете производната $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производна на частното

$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Намерете производната $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Производна сложна функцияравно на произведението на производната външна функциякъм производната на вътрешната функция

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Намерете минималната точка на функцията $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Намерете ODZ на функцията: $x+11>0; x>-11$

2. Намерете производната на функцията $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Намерете стационарни точки чрез приравняване на производната на нула

$(2x+21)/(x+11)=0$

Една дроб е равна на нула, ако числителят е нула, а знаменателят не е нула.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Нека да начертаем координатна линия, да поставим неподвижни точки върху нея и да определим знаците на производната в получените интервали. За да направите това, заменете произволно число от най-десния регион в производната, например нула.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. В минималната точка производната променя знака от минус на плюс, следователно точката $-10,5$ е минималната точка.

Отговор: $-10,5$

Намерете най-голямата стойност на функцията $y=6x^5-90x^3-5$ на отсечката $[-5;1]$

1. Намерете производната на функцията $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравнете производната на нула и намерете стационарни точки

$30x^4-270x^2=0$

Нека извадим общия фактор $30x^2$ извън скобите

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Нека приравним всеки фактор към нула

$x^2=0 ; х-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Изберете стационарни точки, които принадлежат на дадения сегмент $[-5;1]$

Устройват ни стационарните точки $x=0$ и $x=-3$

4. Изчислете стойността на функцията в краищата на отсечката и в стационарни точки от стъпка 3