Парабола намира най-голямата най-малка стойност на функция. Как да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция в ограничена затворена област

Квадрат тричленсе нарича трином от вида a*x 2 +b*x+c, където a,b,c са някои произволни реални числа, а x е променлива. Освен това числото a не трябва да е равно на нула.

Числата a,b,c се наричат ​​коефициенти. Числото a се нарича водещ коефициент, числото b е коефициент на x, а числото c се нарича свободен член.

корен квадратен тричлен a*x 2 +b*x+c е всяка стойност на променливата x, така че квадратният трином a*x 2 +b*x+c изчезва.

За да се намерят корените на квадратен тричлен е необходимо да се реши квадратно уравнениеот формата a*x 2 +b*x+c=0.

Как да намерим корените на квадратен тричлен

За да разрешите това, можете да използвате един от известните методи.

• 1 начин.

Намиране на корените на квадратен тричлен по формулата.

1. Намерете стойността на дискриминанта по формулата D =b 2 -4*a*c.

2. В зависимост от стойността на дискриминанта, изчислете корените по формулите:

Ако D > 0,тогава квадратният трином има два корена.

x = -b±√D / 2*a

Ако Д< 0, тогава квадратният трином има един корен.

Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратният тричлен няма корени.

• Метод 2.

Намиране на корените на квадратен трином чрез изолиране на идеалния квадрат. Нека да разгледаме примера на дадения квадратен трином. Редуцирано квадратно уравнение, чийто водещ коефициент е равен на единица.

Нека намерим корените на квадратния тричлен x 2 +2*x-3. За да направим това, решаваме следното квадратно уравнение: x 2 +2*x-3=0;

Нека трансформираме това уравнение:

От лявата страна на уравнението има полином x 2 +2*x, за да го представим като квадрат на сумата, трябва да има друг коефициент, равен на 1. Събираме и изваждаме 1 от този израз, получаваме :

(x 2 +2*x+1) -1=3

Какво може да бъде представено в скоби като квадрат на бином

Това уравнение се разделя на два случая: или x+1=2, или x+1=-2.

В първия случай получаваме отговора x=1, а във втория x=-3.

Отговор: x=1, x=-3.

В резултат на трансформациите трябва да получим квадрата на бинома от лявата страна и определено число от дясната страна. Дясната страна не трябва да съдържа променлива.

От практическа гледна точка най-голям интерес представлява използването на производната за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция. С какво е свързано това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота ни се налага да решаваме проблеми с оптимизирането на някои параметри. И това са задачите за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големият и най-малка стойностфункции обикновено се търсят в някакъв интервал X, който е или целият домейн на функцията, или част от домейна. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малките стойности изрично дадена функцияедна променлива y=f(x) .

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека разгледаме накратко основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на разглеждания интервал на абсцисата.

Стационарни точки– това са стойностите на аргумента, при които производната на функцията става нула.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в дадена точка, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята най-голяма (най-малка) стойност на интервала X в един от стационарни точкиот тази празнина.

Също така, една функция често може да приеме своите най-големи и най-малки стойности в точки, в които първата производна на тази функция не съществува и самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. И някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много неща ще ви станат по-ясни.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, изобразен на втората фигура. Нека променим сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига в стационарна точка, а най-голямата в точката с абсцисата, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На отворен интервал

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, показан на седмата фигура, функцията приема най-висока стойност(max y) в стационарна точка с абциса x=1, а най-малката стойност (min y) се постига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3.

През интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Когато x=2 се приближава отдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (линията x=2 е вертикална асимптота), а когато абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3. Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

1. Намираме домейна на дефиниция на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в отсечката (обикновено такива точки се намират във функции с аргумент под знака на модула и в степенни функции с дробно-рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
3. Определяме всички неподвижни точки, попадащи в сегмента. За да направите това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящи корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата точка.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избрани стационарни точки (ако има такива), в точки, в които първата производна не съществува (ако има такава), както и при x=a и x=b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно необходимите най-големи и най-малки стойности на функцията.

Нека анализираме алгоритъма за решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на отсечката [-4;-1] .

Решение.

Областта на дефиниране на функция е цялото множество от реални числа, с изключение на нулата, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1].

Определяме стационарни точки от уравнението. Единственият истински корен е x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка, т.е. за x=1, x=2 и x=4:

Следователно най-голямата стойност на функцията се постига при x=1 и най-малката стойност – при х=2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):

Изследването на такъв обект на математически анализ като функция е от голямо значение значениеи в други области на науката. Например в икономически анализпостоянно се изисква да се оценява поведението функциипечалба, а именно да се определи нейната най-голяма значениеи разработете стратегия за постигането му.

Инструкции

Изследването на всяко поведение винаги трябва да започва с търсене на домейна на дефиницията. Обикновено, според условията на конкретен проблем, е необходимо да се определи най-големият значение функцииили върху цялата тази област, или върху определен интервал от нея с отворени или затворени граници.

Въз основа на най-големият е значение функции y(x0), в която за всяка точка от областта на дефиниция е в сила неравенството y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Графично тази точка ще бъде най-висока, ако стойностите на аргументите са поставени по абсцисната ос, а самата функция по ординатната ос.

За определяне на най-великите значение функции, следвайте алгоритъма от три стъпки. Моля, обърнете внимание, че трябва да можете да работите с едностранни и , както и да изчислявате производната. И така, нека е дадена някаква функция y(x) и трябва да намерите най-голямата й значениена определен интервал с гранични стойности A и B.

Разберете дали този интервал е в обхвата на определението функции. За да направите това, трябва да го намерите, като вземете предвид всички възможни ограничения: наличието на дроб в израза, корен квадратени т.н. Домейнът на дефиницията е набор от стойности на аргументи, за които функцията има смисъл. Определете дали дадения интервал е подмножество от него. Ако да, тогава преминете към следващата стъпка.

Намерете производната функциии решете полученото уравнение, като приравните производната на нула. По този начин ще получите стойностите на така наречените стационарни точки. Преценете дали поне един от тях принадлежи към интервала A, B.

На третия етап разгледайте тези точки и заменете техните стойности във функцията. В зависимост от типа интервал, изпълнете следните допълнителни стъпки. Ако има сегмент от формата [A, B], граничните точки са включени в интервала; това е обозначено със скоби. Изчисляване на стойности функцииза x = A и x = B. Ако интервалът е отворен (A, B), граничните стойности се пробиват, т.е. не са включени в него. Решаване на едностранни граници за x→A и x→B. Комбиниран интервал от формата [A, B) или (A, B), една от чиито граници му принадлежи, а другата не. Намерете едностранната граница, когато x клони към пунктираната стойност, и заместете другата в функцията Безкраен двустранен интервал (-∞, +∞) или едностранни безкрайни интервали от вида: , (-∞, B).За реални граници A и B процедирайте съгласно вече описаните принципи, а за безкрайни, потърсете граници съответно за x→-∞ и x→+∞.

Задачата на този етап