Корен квадратен. Действия с квадратни корени

Имоти квадратни корени

Досега сме извършили пет аритметични операции с числа: събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване, като при изчисленията активно се използват различни свойства на тези операции, например a + b = b + a, an-bn = (ab)n и др.

Тази глава въвежда нова операция - извличане корен квадратенот неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателство. Нека въведем следната нотация: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Равенство" width="120" height="25 id=">!}.

Точно така ще формулираме следващата теорема.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на дроб е равен на частта на корените или коренът на частното е равен на частното на корените.)

Този път ще дадем само кратко резюме на доказателството, а вие се опитайте да направите подходящи коментари, подобни на тези, които формират същността на доказателството на теорема 1.

Забележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате под ръка микрокалкулатор: умножете числата 36, 64, 9 и след това вземете корен квадратен от получения продукт. Съгласете се обаче, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Бележка 4. При първия метод направихме изчисления „челно“. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a2 - b2 = (a - b) (a + b) и използва свойството квадратни корени.

Бележка 5. Някои „горещи глави“ понякога предлагат това „решение“ на пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: виждате - резултатът не е същият като в пример 3. Факт е, че няма свойство https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Задача" width="148" height="26 id=">!}Има само свойства, свързани с умножение и деление на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимателни, не приемайте пожелателни мисли.

Завършвайки този параграф, нека отбележим още едно нещо, което е доста просто и в същото време важна собственост:
ако a > 0 и n - естествено число, Че

Преобразуване на изрази, съдържащи операция за квадратен корен

Досега сме извършвали само трансформации рационални изрази, използвайки за това правилата за действия върху полиноми и алгебрични дроби, формули за съкратено умножение и т.н. В тази глава въведохме нова операция - операцията за извличане на корен квадратен; установихме това

където, припомнете си, a, b са неотрицателни числа.

Използвайки тези формули, можете да извършвате различни трансформации на изрази, които съдържат операция за квадратен корен. Нека разгледаме няколко примера и във всички примери ще приемем, че променливите приемат само неотрицателни стойности.

Пример 3.Въведете множителя под знака за квадратен корен:

Пример 6. Опростете израза Решение. Нека извършим последователни трансформации:

Корен квадратен от число x е число a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a^2 = x, √x = a. Както при всички числа, можете да извършвате аритметичните операции събиране и изваждане с квадратни корени.

Инструкции

Първо, когато добавяте квадратни корени, опитайте се да извлечете тези корени. Това ще бъде възможно, ако числата под знака за корен са перфектни квадрати. Например, нека е даден изразът √4 + √9. Първото число 4 е квадрат на числото 2. Второто число 9 е квадрат на числото 3. Така се оказва, че: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Ако няма пълни квадратчета под знака за корен, опитайте се да премахнете множителя на числото под знака за корен. Например нека бъде даден изразът √24 + √54. Разложете числата на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Числото 24 има фактор 4, който може да бъде изваден под знака за квадратен корен. Числото 54 има коефициент 9. Така се оказва, че: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . IN в този примерВ резултат на премахването на фактора под знака на корена беше възможно да се опрости дадения израз.
Нека сумата от два квадратни корена е знаменателят на дроб, например A / (√a + √b). И нека вашата задача е „да се отървете от ирационалността в знаменателя“. След това можете да използвате следния метод. Умножете числителя и знаменателя на дробта по израза √a - √b. Така в знаменателя получаваме съкратената формула за умножение: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. По аналогия, ако знаменателят съдържа разликата между корените: √a - √b, тогава числителят и знаменателят на дробта трябва да се умножат по израза √a + √b. Например нека дробта 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Помислете повече сложен примеросвобождаване от ирационалността в знаменателя. Нека е дадена дробта 12 / (√2 + √3 + √5). Необходимо е да умножите числителя и знаменателя на дробта по израза √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
И накрая, ако имате нужда само от приблизителна стойност, можете да използвате калкулатор, за да изчислите квадратния корен. Изчислете стойностите поотделно за всяко число и ги запишете с необходимата точност (например два знака след десетичната запетая). И след това извършете необходимите аритметични операции, както с обикновените числа. Например, да кажем, че трябва да знаете приблизителната стойност на израза √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Събиране и изваждане на корени- един от най-честите „препъникамъци“ за тези, които посещават курсове по математика (алгебра) в гимназията. Но да се научите правилно да ги добавяте и изваждате е много важно, тъй като примерите за сумата или разликата на корените са включени в програмата на основния Единен държавен изпит по дисциплината „математика“.

За да овладеете решаването на такива примери, трябват две неща - да разберете правилата, а също и да натрупате практика. След като реши една или две дузини типични примери, ученикът ще доведе това умение до автоматизма и тогава вече няма да има от какво да се страхува на Единния държавен изпит. Препоръчително е да започнете да овладявате аритметичните операции със събиране, защото добавянето им е малко по-лесно от изваждането.

Най-лесният начин да обясните това е да използвате квадратния корен като пример. В математиката има утвърден термин „вдигане на квадрат“. „Въвеждане на квадрат“ означава еднократно умножаване на конкретно число само по себе си.. Например, ако повдигнете на квадрат 2, получавате 4. Ако повдигнете на квадрат 7, ще получите 49. На квадрат от 9 е 81. Така че квадратният корен от 4 е 2, от 49 е 7 и от 81 е 9.

По правило преподаването на тази тема по математика започва с квадратни корени. За да го определи веднага ученикът гимназиятрябва да знае таблицата за умножение наизуст. Тези, които не знаят твърдо тази таблица, трябва да използват съвети. Обикновено процесът на извличане на корен квадрат от число е даден под формата на таблица на кориците на много ученически тетрадки по математика.

Корените са от следните видове:

квадрат;
кубичен (или т.нар. трета степен);
четвърта степен;
пета степен.

Правила за добавяне

За да се реши успешно типичен пример, е необходимо да се има предвид, че не всички коренни числа могат да се подреждат един с друг. За да бъдат сглобени, те трябва да бъдат приведени в един модел. Ако това е невъзможно, значи проблемът няма решение. Такива задачи също често се срещат в учебниците по математика като своеобразен капан за учениците.

Не се допуска добавяне в задачи, когато коренните изрази се различават един от друг. Това може да се илюстрира с ясен пример:

Ученикът е изправен пред задачата: да събере корен квадратен от 4 и 9;
неопитен ученик запознати с правилата, обикновено пише: „корен от 4 + корен от 9 = корен от 13.“
Много е лесно да се докаже, че това решение е неправилно. За да направите това, трябва да намерите корен квадратен от 13 и да проверите дали примерът е решен правилно;
с помощта на микрокалкулатор можете да определите, че е приблизително 3,6. Сега остава само да проверим решението;
корен от 4=2 и корен от 9=3;
Сумата от числата "две" и "три" е равна на пет. Следователно този алгоритъм за решение може да се счита за неправилен.

Ако корените имат еднаква степен, но различни числови изрази, изважда се от скоби и се поставя в скоби сбор от два радикални израза. Така вече се извлича от това количество.

Алгоритъм за добавяне

За да разрешите правилно най-простия проблем, трябва:

Определете какво точно изисква добавяне.
Разберете дали е възможно да добавяте стойности една към друга, ръководейки се от съществуващите правила в математиката.
Ако не са сгъваеми, трябва да ги трансформирате, за да могат да се сгъват.
След като извършите всички необходими трансформации, трябва да извършите добавянето и да запишете готовия отговор. Можете да извършите добавяне наум или с помощта на микрокалкулатор, в зависимост от сложността на примера.

Какви са подобните корени

За да разрешите правилно пример за добавяне, първо трябва да помислите как можете да го опростите. За да направите това, трябва да имате основни познания за това какво е сходство.

Способността да се идентифицират подобни помага за бързо решаване на подобни примери за добавяне, привеждайки ги в опростена форма. За да опростите типичен пример за добавяне, трябва да:

Намерете подобни и ги разделете в една група (или няколко групи).
Пренапишете съществуващия пример по такъв начин, че корените, които имат същия индикатор, следват ясно един след друг (това се нарича „групиране“).
След това трябва отново да напишете израза, този път по такъв начин, че подобни (които имат същия индикатор и същата радикална фигура) също следват един след друг.

След това опростеният пример обикновено е лесен за решаване.

За да решите правилно всеки пример за добавяне, трябва ясно да разберете основните правила за добавяне, както и да знаете какво е корен и какво може да бъде.

Понякога такива проблеми изглеждат много трудни на пръв поглед, но обикновено се решават лесно чрез групиране на подобни. Най-важното нещо е практиката и тогава ученикът ще започне да „разбива проблемите като ядки“. Добавянето на корени е една от най-важните части на математиката, така че учителите трябва да отделят достатъчно време за изучаването му.

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете уравненията с квадратни корени.

Факт 1.
\(\bullet\) Да вземем малко не отрицателно число\(a\) (т.е. \(a\geqslant 0\) ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \(a\) се нарича такова неотрицателно число \(b\), когато на квадрат получаваме числото \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От определението следва, че \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Тези ограничения са важно условиесъществуването на квадратен корен и те трябва да се запомнят!
Не забравяйте, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На какво е равно \(\sqrt(25)\)? Знаем, че \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, тогава \(-5\) не е подходящо, следователно \(\sqrt(25)=5\) (тъй като \(25=5^2\) ).
Намирането на стойността на \(\sqrt a\) се нарича извличане на корен квадратен от числото \(a\) , а числото \(a\) се нарича радикален израз.
\(\bullet\) Въз основа на дефиницията, израз \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) и т.н. нямат смисъл.

Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите естествени числаот \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]

Факт 3.
Какви операции можете да правите с квадратни корени?
\(\bullet\) Сборът или разликата от корени квадратни НЕ Е РАВЕН на корен квадратен от сбора или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогава първоначално трябва да намерите стойностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и след това ги сгънете. следователно \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не могат да бъдат намерени при добавяне на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогава такъв израз не се трансформира допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можем да намерим \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира в както и да е, Ето защо \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За съжаление, този израз не може да бъде допълнително опростен\(\bullet\) Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете страни на равенствата имат смисъл)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Използвайки тези свойства, е удобно да намерите квадратния корен на големи числакато ги факторизираме.
Нека разгледаме един пример. Нека намерим \(\sqrt(44100)\) . Тъй като \(44100:100=441\) , тогава \(44100=100\cdot 441\) . Според критерия за делимост числото \(441\) се дели на \(9\) (тъй като сборът от цифрите му е 9 и се дели на 9), следователно \(441:9=49\), т.е. \(441=9\ cdot 49\) .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Нека покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза \(5\sqrt2\) (кратка нотация за израза \(5\cdot \sqrt2\)). Тъй като \(5=\sqrt(25)\) , тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбирате, не можем по някакъв начин да трансформираме числото \(\sqrt2\). Нека си представим, че \(\sqrt2\) е някакво число \(a\) . Съответно, изразът \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е нищо повече от \(a+3a\) (едно число \(a\) плюс още три от същите числа \(a\)). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа \(a\) , тоест \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Те често казват „не можете да извлечете корена“, когато не можете да се отървете от знака \(\sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на число . Например, можете да вземете корена на числото \(16\), защото \(16=4^2\) , следователно \(\sqrt(16)=4\) . Но е невъзможно да се извлече коренът на числото \(3\), тоест да се намери \(\sqrt3\), защото няма число, което на квадрат да даде \(3\) .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така нататък. са ирационални.
Също ирационални са числата \(\pi\) (числото "pi", приблизително равно на \(3.14\)), \(e\) (това число се нарича число на Ойлер, то е приблизително равно на \(2.7 \)) и т.н.
\(\bullet\) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални числа.Този набор се обозначава с буквата \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че всички номера, които са на този моментзнаем, че се наричат реални числа.

Факт 5.
\(\bullet\) Модулът на реално число \(a\) е неотрицателно число \(|a|\), равно на разстоянието от точката \(a\) до \(0\) на истинска линия. Например \(|3|\) и \(|-3|\) са равни на 3, тъй като разстоянията от точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) са същото и равно на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е неотрицателно число, тогава \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е отрицателно число, тогава \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Казват, че за отрицателните числа модулът „изяжда“ минуса, докато положителните числа, както и числото \(0\), остават непроменени от модула.
НОТова правило важи само за числа. Ако под вашия знак за модул има неизвестно \(x\) (или друго неизвестно), например \(|x|\) , за което не знаем дали е положително, нула или отрицателно, тогава се отървете на модула не можем. В този случай този израз остава същият: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Много често се допуска следната грешка: казват, че \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) са едно и също. Това е вярно само ако \(a\) – положително числоили нула. Но ако \(a\) е отрицателно число, тогава това е невярно. Достатъчно е да разгледаме този пример. Нека вземем вместо \(a\) числото \(-1\) . Тогава \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразът \((\sqrt (-1))^2\) изобщо не съществува (в края на краищата, невъзможно е да се използва знакът за корен с отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че \(\sqrt(a^2)\) не е равно на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), защото \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Тъй като \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът \(2n\) означава четно число)
Тоест, когато вземем корена на число, което е на някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (имайте предвид, че ако модулът не е доставен, се оказва, че коренът на числото е равен на \(-25\ ) ; но помним, че по дефиниция на корен това не може да се случи: когато извличаме корен, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
\(\bullet\) За квадратни корени е вярно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) сравнете \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Първо, нека трансформираме втория израз в \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, тъй като \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какви цели числа се намира \(\sqrt(50)\)?
Тъй като \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Нека сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да приемем, че \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадратиране на двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше неправилно и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножаването/делението на двете страни на неравенство с положително число също не влияе на неговия знак, но умножението/делението на отрицателно число обръща знака на неравенството!
Можете да поставите на квадрат двете страни на уравнение/неравенство САМО АКО двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример можете да поставите на квадрат двете страни, в неравенството \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Трябва да се помни, че \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! \(\bullet\) За да извлечете корена (ако може да се извлече) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ се намира, след това – между кои „ десетки” и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи това с пример.
Нека вземем \(\sqrt(28224)\) . Знаем, че \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) и т.н. Обърнете внимание, че \(28224\) е между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) е между \(100\) и \(200\) .
Сега нека определим между кои „десетки“ се намира нашето число (това е например между \(120\) и \(130\)). Също така от таблицата с квадрати знаем, че \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.н., след това \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224\) е между \(160^2\) и \(170^2\) . Следователно числото \(\sqrt(28224)\) е между \(160\) и \(170\) .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа, когато се повдигнат на квадрат, дават \(4\) в края? Това са \(2^2\) и \(8^2\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Нека намерим \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следователно \(\sqrt(28224)=168\) . Ето!

За да решите адекватно Единния държавен изпит по математика, първо трябва да изучите теоретичен материал, който ви запознава с множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Въпреки това намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена по лесен и разбираем начин за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. И намирането на основни формули за Единния държавен изпит по математика може да бъде трудно дори в Интернет.

Защо е толкова важно да се изучава теория по математика не само за тези, които полагат Единния държавен изпит?

Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света около тях. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за Единния държавен изпит по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли компетентно и ясно. Развива способността да анализира, обобщава и прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход за систематизиране и представяне на учебни материали.