Дефиниция на изпъкнал многоъгълник и неговите елементи. Изпъкнали многоъгълници

Концепция за многоъгълник

Определение 1

Многоъгълнике геометрична фигура в равнина, която се състои от сегменти, свързани по двойки, като съседните не лежат на една права линия.

В този случай сегментите се наричат страни на многоъгълника, а краищата им - върховете на многоъгълника.

Определение 2

$n$-ъгълник е многоъгълник с $n$ върха.

Видове многоъгълници

Определение 3

Ако многоъгълник винаги лежи от една и съща страна на която и да е линия, минаваща през неговите страни, тогава многоъгълникът се извиква изпъкнал(Фиг. 1).

Фигура 1. Изпъкнал многоъгълник

Определение 4

Ако многоъгълникът лежи по различни странинай-малко една права линия, минаваща през страните му, тогава многоъгълникът се нарича неизпъкнал (фиг. 2).

Фигура 2. Неизпъкнал многоъгълник

Сума от ъгли на многоъгълник

Нека въведем теорема за сумата от ъглите на триъгълник.

Теорема 1

Сумата от ъглите на изпъкнал триъгълник се определя по следния начин

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доказателство.

Нека ни е даден изпъкнал многоъгълник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Нека свържем неговия връх $A_1$ с всички останали върхове на този многоъгълник (фиг. 3).

Фигура 3.

С тази връзка получаваме $n-2$ триъгълника. Като сумираме техните ъгли, получаваме сумата от ъглите на даден -ъгълник. Тъй като сборът от ъглите на триъгълник е равен на $(180)^0,$ получаваме, че сборът от ъглите на изпъкнал триъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теоремата е доказана.

Понятие за четириъгълник

Използвайки дефиницията на $2$, е лесно да се въведе дефиницията на четириъгълник.

Определение 5

Четириъгълник е многоъгълник с $4$ върха (фиг. 4).

Фигура 4. Четириъгълник

За четириъгълник понятията изпъкнал четириъгълники неизпъкнал четириъгълник. Класически примери за изпъкнали четириъгълници са квадрат, правоъгълник, трапец, ромб, успоредник (фиг. 5).

Фигура 5. Изпъкнали четириъгълници

Теорема 2

Сборът от ъглите на изпъкнал четириъгълник е $(360)^0$

Доказателство.

По теорема $1$ знаем, че сумата от ъглите на изпъкнал -ъгълник се определя от формулата

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Следователно сумата от ъглите на изпъкнал четириъгълник е равна на

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теоремата е доказана.

Определяне на изпъкналостта на многоъгълник.

Алгоритъмът Kirus–Back предполага наличието на изпъкнал многоъгълник, използван като прозорец.

На практика обаче много често възниква задачата за изрязване на многоъгълник и първоначално не се дава информация дали е изпъкнал или не. В този случай, преди да започнете процедурата за рязане, е необходимо да определите кой многоъгълник е даден - изпъкнал или не.

Нека дадем някои дефиниции на изпъкналостта на многоъгълник

Многоъгълникът се счита за изпъкнал, ако е изпълнено едно от следните условия:

1) в изпъкнал многоъгълник всички върхове са разположени от едната страна на линията, носеща всеки ръб (по вътрешна странаспрямо даден ръб);

2) всички вътрешни ъгли на многоъгълника са по-малки от 180°;

3) всички диагонали, свързващи върховете на многоъгълник, лежат вътре в този многоъгълник;

4) всички ъгли на полигона се пресичат в една и съща посока (фиг. 3.3-1).

За да разработим аналитично представяне на последния критерий за изпъкналост, ние използваме векторния продукт.

Векторни произведения на изкуството У два вектора а И b (Фиг. 3.3-2 a) дефиниран като:

A x ,a y ,a z и b x ,b y ,b z са проекции съответно на координатните оси X ,Y ,Z на фактор векторите аИ b,

- аз, й, к– единични вектори по координатните оси X, Y, Z.

Ориз.3.3 ‑ 1

Ориз.3.3 ‑ 2

Ако разгледаме двумерно представяне на многоъгълник като негово представяне в координатната равнина XY на тримерната координатна система X,Y,Z (фиг. 3.3-2 b), тогава изразът за формиране на векторния продукт на векторите UИ V, където векторите UИ Vса съседни ръбове, образуващи ъгъл на многоъгълник, може да се запише като детерминанта:

Векторът на кръстосаното произведение е перпендикулярен на равнината, в която са разположени факторните вектори. Посоката на вектора на продукта се определя от правилото на гимлета или правилото на десния винт.

За случая, представен на фиг. 3.3-2 b ), вектор У, съответстваща на векторното произведение на векторите V, U, ще има същата насоченост като насочеността на Z координатната ос.

Като се има предвид, че проекциите на факторните вектори върху оста Z в този случай са равни на нула, векторният продукт може да бъде представен като:

(3.3-1)

Единичен вектор квинаги положителен, оттук и знакът на вектора wвекторно произведение ще се определя само от знака на детерминантата D в горния израз. Обърнете внимание, че въз основа на свойството на векторното произведение, при размяна на фактор векторите UИ Vвекторен знак wще се промени на обратното.

От това следва, че ако като вектори VИ Uразгледайте два съседни ръба на многоъгълник, тогава редът на изброяване на векторите във векторния продукт може да бъде поставен в съответствие с преминаването на ъгъла на разглеждания многоъгълник или ръбовете, образуващи този ъгъл. Това ви позволява да използвате следното правило като критерий за определяне на изпъкналостта на многоъгълник:

ако за всички двойки ръбове на многоъгълника е изпълнено следното условие:

Ако знаците на векторните произведения за отделните ъгли не съвпадат, то многоъгълникът не е изпъкнал.

Тъй като ръбовете на многоъгълника са зададени под формата на координати на техните крайни точки, по-удобно е да се използва детерминанта за определяне на знака на векторния продукт.

В този урок ще започнем нова темаи въведе нова концепция за нас: „многоъгълник“. Ще разгледаме основните понятия, свързани с многоъгълниците: страни, върхови ъгли, изпъкналост и неизпъкналост. Тогава ще докажем най-важните фактикато теоремата за сбора вътрешни ъглимногоъгълник, теорема за сумата външни ъглимногоъгълник. В резултат на това ще се доближим до изучаването на специални случаи на многоъгълници, които ще бъдат разгледани в следващите уроци.

Тема: Четириъгълници

Урок: Многоъгълници

В курса по геометрия изучаваме свойствата на геометричните фигури и вече разгледахме най-простите от тях: триъгълници и кръгове. В същото време обсъдихме и конкретни специални случаи на тези фигури, като правоъгълни, равнобедрени и правилни триъгълници. Сега е време да поговорим за по-общи и сложни фигури - полигони.

Със специален калъф полигонивече сме запознати - това е триъгълник (виж фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълник

Самото име вече подчертава, че това е фигура с три ъгъла. Следователно, в многоъгълникможе да има много от тях, т.е. повече от три. Например, нека начертаем петоъгълник (виж фиг. 2), т.е. фигура с пет ъгъла.

Ориз. 2. Петоъгълник. Изпъкнал многоъгълник

Определение.Многоъгълник- фигура, състояща се от няколко точки (повече от две) и съответен брой сегменти, които ги свързват последователно. Тези точки се наричат върховемногоъгълник, а отсечките са партии. В този случай две съседни страни не лежат на една права линия и две несъседни страни не се пресичат.

Определение.Правилен многоъгълнике изпъкнал многоъгълник, в който всички страни и ъгли са равни.

Всякакви многоъгълникразделя равнината на две зони: вътрешна и външна. Вътрешната зона също се нарича многоъгълник.

С други думи, например, когато говорят за петоъгълник, те имат предвид както цялата му вътрешна област, така и нейната граница. А вътрешната област включва всички точки, които лежат вътре в многоъгълника, т.е. точката също се отнася до петоъгълника (виж фиг. 2).

Многоъгълниците също понякога се наричат ​​n-ъгълници, за да се подчертае, че се разглежда общият случай на наличие на някакъв неизвестен брой ъгли (n части).

Определение. Периметър на многоъгълник- сумата от дължините на страните на многоъгълника.

Сега трябва да се запознаем с видовете многоъгълници. Те се делят на изпъкналИ неизпъкнал. Например многоъгълникът, показан на фиг. 2 е изпъкнал, а на фиг. 3 не изпъкнали.

Ориз. 3. Неизпъкнал многоъгълник

Определение 1. МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако при изчертаване на права линия през някоя от страните му цялата многоъгълниклежи само от едната страна на тази права линия. Неконвексенса всички останали полигони.

Лесно е да си представим, че при разширяване на която и да е страна на петоъгълника на фиг. 2 всичко ще бъде от едната страна на тази права линия, т.е. тя е изпъкнала. Но когато чертаете права линия през четириъгълник на фиг. 3 вече виждаме, че го разделя на две части, т.е. не е изпъкнал.

Но има и друга дефиниция на изпъкналостта на многоъгълник.

Определение 2. МногоъгълникНаречен изпъкнал, ако при избора на произволни две от вътрешните му точки и свързването им с отсечка всички точки от отсечката са и вътрешни точки на многоъгълника.

Демонстрация на използването на това определение може да се види в примера за конструиране на сегменти на фиг. 2 и 3.

Определение. Диагонална многоъгълник е всеки сегмент, свързващ два несъседни върха.

За да се опишат свойствата на многоъгълниците, има две най-важни теореми за техните ъгли: теорема за сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълникИ теорема за сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник. Нека да ги разгледаме.

Теорема. Върху сумата от вътрешни ъгли на изпъкнал многоъгълник (н-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни).

Доказателство 1. Нека изобразим на фиг. 4 изпъкнал n-ъгълник.

Ориз. 4. Изпъкнал n-ъгълник

От върха изчертаваме всички възможни диагонали. Те разделят n-ъгълника на триъгълници, защото всяка от страните на многоъгълника образува триъгълник, с изключение на страните, съседни на върха. От фигурата е лесно да се види, че сборът от ъглите на всички тези триъгълници ще бъде точно равен на сбора от вътрешните ъгли на n-ъгълника. Тъй като сумата от ъглите на всеки триъгълник е , тогава сумата от вътрешните ъгли на n-gon е:

Q.E.D.

Доказателство 2. Възможно е друго доказателство на тази теорема. Нека начертаем подобен n-ъгълник на фиг. 5 и свържете която и да е от вътрешните му точки с всички върхове.

Ориз. 5.

Получихме разбиване на n-ъгълника на n триъгълника (колкото страни, толкова и триъгълника). Сборът от всичките им ъгли е равен на сбора от вътрешните ъгли на многоъгълника и сбора от ъглите във вътрешната точка и това е ъгълът. Ние имаме:

Q.E.D.

Доказано.

Според доказаната теорема е ясно, че сборът от ъглите на n-ъгълник зависи от броя на неговите страни (върху n). Например в триъгълник и сумата от ъглите е . В четириъгълник и сумата от ъглите е и т.н.

Теорема. Върху сумата от външни ъгли на изпъкнал многоъгълник (н-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни), а , …, са външните ъгли.

Доказателство. Нека изобразим изпъкнал n-ъгълник на фиг. 6 и означете неговите вътрешни и външни ъгли.

Ориз. 6. Изпъкнал n-ъгълник с обозначени външни ъгли

защото След това външният ъгъл се свързва с вътрешния като съседен и по същия начин за останалите външни ъгли. Тогава:

По време на трансформациите използвахме вече доказаната теорема за сумата от вътрешни ъгли на n-ъгълник.

Доказано.

От доказаната теорема следва интересен факт, че сборът от външните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на върху броя на неговите ъгли (страни). Между другото, за разлика от сумата от вътрешни ъгли.

Библиография

1. Александров А.Д. и др.Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8 клас. - М.: Образование, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 клас. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашна работа