Каква формула се използва за намиране на обиколката на радиус? Как да намерите обиколката на кръг

Кръгът е затворена крива, всички точки на която са на еднакво разстояние от центъра. Тази фигура е плоска. Следователно решението на проблема, чийто въпрос е как да се намери обиколката, е доста просто. Ще разгледаме всички налични методи в днешната статия.

Описания на фигури

В допълнение към доста проста описателна дефиниция, има още три математически характеристики на кръг, които сами по себе си съдържат отговора на въпроса как да се намери обиколката:

Състои се от точки A и B и всички останали, от които AB може да се види под прав ъгъл. Диаметър на тази фигура равен на дължинатаразглеждания сегмент.
Включва само онези точки X, така че съотношението AX/BX е постоянно и не е равно на единица. Ако това условие не е изпълнено, то това не е кръг.
Състои се от точки, за всяка от които е в сила следното равенство: сумата от квадратите на разстоянията до другите две е дадена стойност, която винаги е повече от половината от дължината на отсечката между тях.

Терминология

Не всеки в училище имаше добър учител по математика. Следователно отговорът на въпроса как да се намери обиколката се усложнява допълнително от факта, че не всеки знае осн. геометрични понятия. Радиусът е сегмент, който свързва центъра на фигура с точка на крива. Специален случайв тригонометрията е единичната окръжност. Хордата е сегмент, който свързва две точки на крива. Под това определение попада например вече обсъденият АВ. Диаметърът е хордата, минаваща през центъра. Числото π е равно на дължината на единичен полукръг.

Основни формули

От дефинициите следва пряко геометрични формули, които ви позволяват да изчислите основните характеристики на кръг:

Дължината е равна на произведението на числото π и диаметъра. Формулата обикновено се записва по следния начин: C = π*D.
Радиусът е равен на половината от диаметъра. Може също да се изчисли чрез изчисляване на частното от разделянето на обиколката на удвоеното число π. Формулата изглежда така: R = C/(2* π) = D/2.
Диаметърът е равен на частното от обиколката, разделено на π или два пъти радиуса. Формулата е доста проста и изглежда така: D = C/π = 2*R.
Площта на кръга е равна на произведението на π и квадрата на радиуса. По подобен начин в тази формула може да се използва диаметър. В този случай площта ще бъде равна на частното от произведението на π и квадрата на диаметъра, делено на четири. Формулата може да бъде записана по следния начин: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Как да намерите обиколката на кръг по диаметър

За простота на обяснението, нека обозначим с букви характеристиките на фигурата, необходими за изчислението. Нека C е желаната дължина, D нейният диаметър и π приблизително равно на 3,14. Ако имаме само едно известно количество, тогава проблемът може да се счита за решен. Защо това е необходимо в живота? Да предположим, че решим да оградим кръгъл басейн с ограда. Как да изчислим необходимия брой колони? И тук на помощ идва способността за изчисляване на обиколката. Формулата е следната: C = π D. В нашия пример диаметърът се определя въз основа на радиуса на басейна и необходимото разстояние от оградата. Да предположим например, че нашето домашно изкуствено езерце е широко 20 метра и ние ще поставим стълбовете на десет метра разстояние от него. Диаметърът на получения кръг е 20 + 10*2 = 40 м. Дължината е 3,14*40 = 125,6 метра. Ще ни трябват 25 стълба, ако разстоянието между тях е около 5 m.

Дължина през радиуса

Както винаги, нека започнем, като зададем букви на характеристиките на кръга. Всъщност те са универсални, така че математиците от различни страниИзобщо не е необходимо да знаете езика на другия. Да приемем, че C е обиколката на окръжността, r е нейният радиус и π е приблизително равно на 3,14. Формулата в този случай изглежда така: C = 2*π*r. Очевидно това е абсолютно правилно уравнение. Както вече разбрахме, диаметърът на кръг е равен на удвоения радиус, така че тази формула изглежда така. В живота този метод също често може да бъде полезен. Например, печем торта в специална плъзгаща се форма. За да не се замърсява, се нуждаем от декоративна обвивка. Но как да изрежете кръг правилния размер. Тук на помощ идва математиката. Тези, които знаят как да намерят обиколката на кръг, веднага ще кажат, че трябва да умножите числото π по два пъти радиуса на формата. Ако радиусът му е 25 см, тогава дължината ще бъде 157 сантиметра.

Примерни проблеми

Вече разгледахме няколко практически случая на придобитите знания за това как да намерим обиколката на кръг. Но често не сме загрижени за тях, а за истинските математически задачи, съдържащи се в учебника. Все пак учителят дава точки за тях! Така че нека разгледаме един по-сложен проблем. Да приемем, че обиколката на кръга е 26 см. Как да намерим радиуса на такава фигура?

Примерно решение

Първо, нека запишем какво ни е дадено: C = 26 cm, π = 3,14. Също така запомнете формулата: C = 2* π*R. От него можете да извлечете радиуса на окръжността. Така R= C/2/π. Сега нека да преминем към действителното изчисление. Първо, разделете дължината на две. Получаваме 13. Сега трябва да разделим на стойността на числото π: 13/3,14 = 4,14 см. Важно е да не забравите да напишете отговора правилно, тоест с мерни единици, в противен случай целият практически смисъл на такива проблеми се губят. Освен това за такова невнимание можете да получите оценка с една точка по-ниска. И колкото и досадно да е, ще трябва да се примирите с това състояние на нещата.

Звярът не е толкова страшен, колкото го описват

Така че се справихме с толкова трудна на пръв поглед задача. Както се оказва, просто трябва да разберете значението на термините и да запомните няколко прости формули. Математиката не е толкова страшна, просто трябва да положите малко усилия. Така че геометрията ви очаква!

Инструкции

Първо се нуждаете от първоначалните данни за задачата. Факт е, че неговото състояние не може изрично да каже какъв е радиусът кръг. Вместо това проблемът може да даде дължината на диаметъра кръг. Диаметър кръг- сегмент, който свързва две противоположни точки кръг, минавайки през центъра му. След като анализирахме дефинициите кръг, можем да кажем, че дължината на диаметъра е два пъти по-голяма от дължината на радиуса.

Сега можем да приемем радиуса кръгравно на R. Тогава за дължината кръгтрябва да използвате формулата:
L = 2πR = πD, където L е дължината кръг, D - диаметър кръг, което винаги е 2 пъти радиуса.

Забележка

Окръжност може да бъде вписана в многоъгълник или описана около него. Освен това, ако кръгът е вписан, тогава в точките на контакт със страните на многоъгълника той ще ги раздели наполовина. За да разберете радиуса на вписания кръг, трябва да разделите площта на многоъгълника на половината от неговия периметър:
R = S/p.
Ако окръжност е описана около триъгълник, тогава нейният радиус се намира по следната формула:
R = a*b*c/4S, където a, b, c са страните на даден триъгълник, S е площта на триъгълника, около която е описан кръгът.
Ако искате да опишете кръг около четириъгълник, това може да стане, ако са изпълнени две условия:
Четириъгълникът трябва да е изпъкнал.
Сборът от противоположните ъгли на четириъгълника трябва да бъде 180°

Полезен съвет

В допълнение към традиционния шублер, шаблоните могат да се използват и за начертаване на кръг. Съвременните шаблони включват кръгове с различни диаметри. Тези шаблони могат да бъдат закупени във всеки магазин за офис консумативи.

източници:

Как да намерите обиколката на кръг?

Кръгът е затворена крива линия, всички точки на която са на еднакво разстояние от една точка. Тази точка е центърът на окръжността, а сегментът между точката на кривата и нейния център се нарича радиус на окръжността.

Инструкции

Ако през центъра на окръжност се прекара права линия, тогава нейният сегмент между две точки на пресичане на тази линия с окръжността се нарича диаметър на дадения кръг. Половината от диаметъра, от центъра до точката, където диаметърът пресича кръга, е радиусът
кръгове. Ако кръгът се изреже в произволна точка, изправи се и се измери, тогава получената стойност е дължината на дадения кръг.

Начертайте няколко кръга с различни компаси. Визуалното сравнение предполага, че по-големият диаметър очертава по-голям кръг, ограничен от кръг с по-голяма дължина. Следователно има правопропорционална връзка между диаметъра на кръга и неговата дължина.

Във физическото си значение параметърът „дължина на обиколката“ съответства на ограничена с прекъсната линия. Ако впишем правилен n-ъгълник със страна b в кръг, тогава периметърът на такава фигура P е равен на произведението на страна b по броя на страните n: P=b*n. Страна b може да се определи по формулата: b=2R*Sin (π/n), където R е радиусът на окръжността, в която е вписан n-ъгълникът.

С увеличаването на броя на страните периметърът на вписания многоъгълник все повече ще се доближава до L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Връзката между обиколката L и нейния диаметър D е постоянна. Съотношението L/D=n*Sin (π/n), тъй като броят на страните на вписан многоъгълник клони към безкрайност, клони към числото π, постоянна стойност, наречена „pi“ и изразена като безкрайна десетична дроб. За изчисления без използването на компютърни технологии се приема стойността π=3,14. Обиколката на кръга и неговия диаметър са свързани по формулата: L= πD. За кръг, разделете дължината му на π=3,14.

Концепция за кръг

Определение 1

кръг-- геометрична фигура, състояща се от всички точки, разположени на еднакво разстояние от дадена точка.

Определение 2

За целите на Определение 1 дадената точка се нарича център на окръжността.

Определение 3

Отсечката, свързваща центъра на окръжността с някоя от нейните точки, се нарича радиус на окръжността $(r)$ (фиг. 1).

Фигура 1. Окръжност с център в точка $O$ и радиус $r$

Уравнение на окръжност

Нека изведем уравнението на окръжност в декартовата координатна система $xOy$. Нека центърът на окръжността $C$ има координати $(x_0,y_0)$, а радиусът на окръжността е равен на $r$. Нека точка $M$ с координати $(x,y)$ е произволна точка от тази окръжност (фиг. 2).

Фигура 2. Окръжност в декартова координатна система

Разстоянието от центъра на окръжността до точката $M$ се изчислява по следния начин

Но тъй като $M$ лежи върху окръжността, тогава по дефиниция 3, получаваме $CM=r$. Тогава получаваме следното

Уравнение (1) е уравнението на окръжност с център в точка $(x_0,y_0)$ и радиус $r$.

По-специално, ако центърът на окръжността съвпада с началото. Това уравнение на кръг има формата

Обиколка

Нека изведем формулата за обиколката на окръжност $C$ по отношение на нейния радиус. За да направите това, разгледайте две окръжности с дължини $C$ и $C"$ и радиуси $R$ и $R"$. Нека впишем в него правилни $n-ъгълници$ с периметри $P$ и $P"$ и дължини на страните съответно $a$ и $a"$. Както знаем, страната на вписан триъгълник е равна на

Тогава получаваме

Следователно

Неограничено увеличавайки броя на страните на правилните многоъгълници $n$, получаваме това

От тук получаваме

Открихме, че съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър е постоянно число за всеки кръг. Тази константа обикновено се означава с числото $\pi \приблизително 3,14$. Така получаваме

Формула (2) е формулата за изчисляване на обиколката.

Площ на кръг

Определение 4

кръг-- част от равнина, ограничена от окръжност.

Нека изведем формула за изчисляване на площта на кръг.

Помислете за следната ситуация. Нека ни е дадена окръжност с радиус $R$. Нека означим неговата площ с $S$. В него е вписан правилен -ъгълник с площ $S_n$, в който от своя страна е вписан кръг с площ $(S")_n$ (фиг. 3).

Фигура 3.

От фигурата е очевидно, че

Използваме следната добре позната формула за правилен многоъгълник:

Сега ще увеличим броя на страните на правилен многоъгълник без ограничение. Тогава, за $n\to \infty $, получаваме

Според формулата площта на правилен многоъгълник е равна на $S_n=\frac(1)(2)P_nr$, $P_n\to 2\pi R$, следователно

Формула (3) е формулата за изчисляване на площта на кръг.

Примерна задача върху понятието окръжност

Пример 1

Намерете уравнението на окръжност с център в точка $(1,\ 1)$. минавайки през началото, намерете дължината на дадения кръг и площта на кръга, ограничен от дадения кръг.

Решение.

Нека първо намерим уравнението на тази окръжност. За целта ще използваме формула (1). Тъй като центърът на окръжността лежи в точката $(1,\ 1)$, получаваме

\[((x-1))^2+((y-1))^2=r^2\]

Нека намерим радиуса на окръжността като разстоянието от точката $(1,\ 1)$ до точката $(0,0)$

Откриваме, че уравнението на окръжност има формата:

\[((x-1))^2+((y-1))^2=2\]

Нека намерим обиколката по формула (2). Получаваме

Нека намерим площта с формула (3)

Отговор:$((x-1))^2+((y-1))^2=2$, $C=2\sqrt(2)\pi $, $S=2\pi $

Много често, когато решавате училищни задачи по физика или наука, възниква въпросът - как да намерите обиколката на кръг, знаейки диаметъра? Всъщност няма трудности при решаването на този проблем, просто трябва ясно да си представите какво формулиза това са необходими понятия и определения.

Във връзка с

Основни понятия и определения

Радиусът е свързващата линия центъра на окръжността и нейната произволна точка. Означава се с латинската буква r.
Хорда е линия, свързваща две произволни точки, лежащи върху окръжност.
Диаметърът е свързващата линия две точки от окръжност и минаваща през нейния център. Означава се с латинската буква d.
е линия, състояща се от всички точки, разположени на равни разстояния от една избрана точка, наречена неин център. Дължината му ще обозначим с латинската буква l.

Площта на кръга е цялата територия затворени в кръг. Измерва се в квадратни единиции се обозначава с латинската буква s.

Използвайки нашите определения, стигаме до извода, че диаметърът на окръжност е равен на най-голямата й хорда.

внимание!От определението какво е радиусът на окръжност можете да разберете какъв е диаметърът на окръжност. Това са два радиуса, разположени в противоположни посоки!

Диаметър на кръг.

Намиране на обиколка и площ на кръг

Ако ни е даден радиус на окръжност, тогава диаметърът на окръжността се описва с формулата d = 2*r. По този начин, за да се отговори на въпроса как да се намери диаметърът на кръг, знаейки неговия радиус, последното е достатъчно умножете по две.

Формулата за обиколката на окръжност, изразена чрез нейния радиус, има формата l = 2*P*r.

внимание!Латинската буква P (Pi) обозначава съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър и това е непериодично десетичен знак. В училищната математика се счита за предварително известна таблична стойност, равна на 3,14!

Сега нека пренапишем предишната формула, за да намерим обиколката на окръжност през нейния диаметър, като си спомним каква е нейната разлика спрямо радиуса. Ще се окаже: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

От курса по математика знаем, че формулата, описваща площта на кръг, има формата: s = П*r^2.

Сега нека пренапишем предишната формула, за да намерим площта на кръг през неговия диаметър. Получаваме,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Една от най-трудните задачи в тази тема е определянето на площта на окръжност през обиколката и обратно. Нека се възползваме от факта, че s = П*r^2 и l = 2*П*r. От тук получаваме r = l/(2*П). Нека заместим получения израз за радиуса във формулата за площта, получаваме: s = l^2/(4P). По напълно подобен начин обиколката се определя чрез площта на кръга.

Определяне на дължината и диаметъра на радиуса

важно!Първо, нека научим как да измерваме диаметъра. Много е просто - начертайте произволен радиус, удължете го в обратна посока, докато се пресече с дъгата. Измерваме полученото разстояние с компас и използваме всеки метричен инструмент, за да разберем какво търсим!

Нека отговорим на въпроса как да разберем диаметъра на кръг, знаейки неговата дължина. За да направите това, ние го изразяваме от формулата l = П*d. Получаваме d = l/P.

Вече знаем как да намерим диаметъра му от обиколката на окръжност и можем също да намерим радиуса му по същия начин.

l = 2*P*r, следователно r = l/2*P. Като цяло, за да разберете радиуса, той трябва да бъде изразен чрез диаметъра и обратно.

Да предположим, че сега трябва да определите диаметъра, като знаете площта на кръга. Използваме факта, че s = П*d^2/4. Нека изразим d от тук. Ще се получи d^2 = 4*s/P. За да определите самия диаметър, ще трябва да извлечете корен квадратен от дясната страна. Оказва се, че d = 2*sqrt(s/P).

Решаване на типови задачи

Нека да разберем как да намерим диаметъра, ако е дадена обиколката. Нека е равно на 778,72 километра. Изисква се да се намери d. d = 778,72/3,14 = 248 километра. Нека си спомним какво е диаметър и веднага да определим радиуса; за да направим това, разделяме стойността d, определена по-горе, наполовина. Ще се получи r = 248/2 = 124километър
Нека да разгледаме как да намерим дължината на дадена окръжност, знаейки нейния радиус. Нека r има стойност 8 dm 7 см. Нека преобразуваме всичко това в сантиметри, тогава r ще бъде равно на 87 сантиметра. Нека използваме формулата, за да намерим неизвестната дължина на окръжност. Тогава нашата желана стойност ще бъде равна на l = 2*3,14*87 = 546,36 см. Нека преобразуваме получената стойност в цели числа на метрични величини l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
Нека трябва да определим площта на даден кръг, използвайки формулата чрез известния му диаметър. Нека d = 815 метра. Нека си спомним формулата за намиране на площта на кръг. Нека заместим стойностите, дадени ни тук, получаваме s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 кв. м.
Сега ще научим как да намерим площта на кръг, знаейки дължината на неговия радиус. Нека радиусът е 38 см. Използваме известната ни формула. Нека заместим тук стойността, дадена ни от условието. Получавате следното: s = 3,14*38^2 = 4534,16 кв. см.
Последната задача е да се определи площта на кръг въз основа на известната обиколка. Нека l = 47 метра. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 кв. м.

Обиколка

е плоска фигура, която представлява набор от точки, еднакво отдалечени от центъра. Всички те са на еднакво разстояние и образуват кръг.

Нарича се отсечка, която свързва центъра на окръжност с точки от нейната обиколка радиус. Във всеки кръг всички радиуси са равни един на друг. Нарича се права линия, свързваща две точки от окръжност и минаваща през центъра диаметър. Формулата за площта на кръг се изчислява с помощта на математическа константа - числото π..

Това е интересно : Число π. представлява отношението на обиколката на окръжност към дължината на нейния диаметър и е постоянна стойност. Стойността π = 3,1415926 е използвана след работата на Л. Ойлер през 1737 г.

Площта на кръг може да се изчисли с помощта на константата π. и радиуса на окръжността. Формулата за площта на кръг по отношение на радиуса изглежда така:

Нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг с помощта на радиуса. Нека ни е даден кръг с радиус R = 4 см. Нека намерим площта на фигурата.

Площта на нашия кръг ще бъде 50,24 квадратни метра. см.

Има формула площ на окръжност през диаметър. Също така се използва широко за изчисляване на необходимите параметри. Тези формули могат да се използват за намиране.

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг чрез неговия диаметър, знаейки неговия радиус. Нека ни е даден кръг с радиус R = 4 см. Първо, нека намерим диаметъра, който, както знаем, е два пъти радиуса.

Сега използваме данните за пример за изчисляване на площта на кръг, използвайки горната формула:

Както можете да видите, резултатът е същият отговор като при първите изчисления.

Познаването на стандартните формули за изчисляване на площта на кръг ще ви помогне лесно да определите в бъдеще секторна площи лесно намиране на липсващи количества.

Вече знаем, че формулата за площта на кръга се изчислява чрез умножаване на постоянната стойност π по квадрата на радиуса на кръга. Радиусът може да бъде изразен по отношение на обиколката и да замени израза във формулата за площта на кръг по отношение на обиколката:
Сега нека заместим това равенство във формулата за изчисляване на площта на кръг и да получим формула за намиране на площта на кръг с помощта на обиколката

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг с помощта на обиколката. Нека е даден кръг с дължина l = 8 см. Заместете стойността в получената формула:

Общата площ на кръга ще бъде 5 квадратни метра. см.

Площ на окръжност, описана около квадрат

Много е лесно да се намери площта на окръжност, описана около квадрат.

За да направите това, имате нужда само от страната на квадрата и знания прости формули. Диагоналът на квадрата ще бъде равен на диагонала на описаната окръжност. Познавайки страната a, тя може да бъде намерена с помощта на Питагоровата теорема: оттук.
След като намерим диагонала, можем да изчислим радиуса: .
И тогава ще заместим всичко в основната формула за площта на кръг, описан около квадрат: