Измислете дизайн с централна или аксиална симетрия. Централна симетрия

Хомотетия и подобие.Хомотетията е трансформация, при която всяка точкаМ (равнина или пространство) се присвоява на точка M", лежащ на OM (Фиг. 5.16), и отношението OM":OM= λ същото за всички точки, различни отОТНОСНО. Фиксирана точкаОТНОСНО наречен център на хомотетията. ПоведениеОМ": ОМ се счита за положителен, акоМ" и М легнете на едната страна наОТНОСНО, отрицателен - от различни страни. Номерх наречен коефициент на хомотетия. Прих< 0 хомотетията се нарича обратна. Приλ = - 1 хомотетия се превръща в трансформация на симетрия спрямо точкаОТНОСНО. При хомотетия права линия преминава в права линия, запазва се успоредността на прави линии и равнини, запазват се ъгли (линейни и двустенни), всяка фигура влиза в неяподобни (фиг. 5.17).

Обратното също е вярно. Хомотетията може да се дефинира като афинна трансформация, при която линиите, свързващи съответните точки, минават през една точка – центъра на хомотетията. Хомотетията се използва за уголемяване на изображения (прожекционна лампа, кино).

Централни и огледални симетрии.Симетрията (в широк смисъл) е свойство на геометрична фигура F, характеризиращо определена правилност на нейната форма, нейната неизменност под действието на движения и отражения. Една фигура Φ има симетрия (симетрична), ако има неидентични ортогонални трансформации, които приемат тази фигура в себе си. Множеството от всички ортогонални трансформации, които комбинират фигурата Φ със себе си, е групата на тази фигура. И така, плоска фигура (фиг. 5.18) с точкаМ, трансформиране-

гледайки се в огледалото отражение, симетрично спрямо правата ос AB. Тук групата на симетрия се състои от два елемента – точкаМ преобразуван вМ".

Ако фигурата Φ на равнината е такава, че се върти спрямо всяка точкаОТНОСНО до ъгъл 360°/n, където n > 2 е цяло число, преведете го в себе си, тогава фигурата Ф има симетрия от n-ти ред спрямо точкатаОТНОСНО - център на симетрия. Пример за такива фигури са правилните многоъгълници, например звездообразни (фиг. 5.19), които имат симетрия от осми ред спрямо центъра си. Групата на симетрия тук е така наречената циклична група от n-ти ред. Кръгът има симетрия от безкраен ред (тъй като е съвместим със себе си чрез въртене през произволен ъгъл).

Най-простите видове пространствена симетрия са централната симетрия (инверсия). В случая спрямо точкатаОТНОСНО фигурата Ф се комбинира със себе си след последователни отражения от три взаимно перпендикулярни равнини, т.е.ОТНОСНО - средата на сегмента, свързващ симетричните точки F. И така, за куб (фиг. 5.20) точкатаОТНОСНО е център на симетрия. ТочкиМ и М" куб

(означава „пропорционалност“) - свойството на геометричните обекти да се комбинират със себе си при определени трансформации. Под „симетрия“ имаме предвид всяка закономерност в вътрешна структуратела или фигури.

Централна симетрия— симетрия спрямо точка.

спрямо точката O, ако за всяка точка от фигура точка, симетрична на нея спрямо точка O, също принадлежи на тази фигура. Точка O се нарича център на симетрия на фигурата.

IN едноизмеренпространство (на права линия) централната симетрия е огледална симетрия.

В самолет (в 2-измеренпространство) симетрия с център А е завъртане на 180 градуса с център А. Централна симетрияв равнина, подобно на въртенето, поддържа ориентация.

Централна симетрия в триизмеренпространството се нарича още сферична симетрия. Може да се представи като композиция на отражение спрямо равнина, минаваща през центъра на симетрия, със завъртане на 180° спрямо права линия, минаваща през центъра на симетрия и перпендикулярна на гореспоменатата равнина на отражение.

IN 4-измеренпространство, централната симетрия може да бъде представена като композиция от две завъртания на 180° около две взаимно перпендикулярни равнини, минаващи през центъра на симетрия.

Аксиална симетрия- симетрия спрямо права линия.

Фигурата се нарича симетрична относително прав a, ако за всяка точка от фигура точка, симетрична на нея спрямо правата a, също принадлежи на тази фигура. Правата а се нарича ос на симетрия на фигурата.

Аксиална симетрия има две определения:

- Отражателна симетрия.

В математиката аксиалната симетрия е вид движение (огледално отражение), при което множеството от фиксирани точки е права линия, наречена ос на симетрия. Например плосък правоъгълник е асиметричен в пространството и има 3 оси на симетрия, ако не е квадрат.

- Ротационна симетрия.

В природните науки под аксиална симетрияразбират ротационната симетрия спрямо въртенията около права линия. В този случай телата се наричат ​​осесиметрични, ако се превръщат в себе си при всяко въртене около тази права линия. В този случай правоъгълникът няма да е осесиметрично тяло, а конусът.

Изображенията в равнина на много обекти в света около нас имат ос на симетрия или център на симетрия. Много дървесни листа и цветни венчелистчета са симетрични спрямо средното стъбло.

Често срещаме симетрия в изкуството, архитектурата, технологиите и ежедневието. Фасадите на много сгради имат аксиална симетрия. В повечето случаи шарките върху килими, тъкани и вътрешни тапети са симетрични спрямо оста или центъра. Много части на механизмите, като зъбни колела, са симетрични.

МБОУ "Тюхтетско средно училище № 1"

Научно сдружение на студентите „Искаме да учим активно“

физико-математическо и техническо направление

Арвинти Татяна,

Ложкина Мария,

МБОУ "ЦОШ № 1"

5 "А" клас

МБОУ "ЦОШ № 1"

учител по математика

Въведение…………………………………………………………………………………...3

I. 1. Симетрия. Видове симетрия..…………………………………………......4

I. 2. Симетрия около нас…………………………………………………………..6

I. 3. Осево и централно симетрични орнаменти ….…………………………… 7

II. Симетрия в ръкоделието

II. 1. Симетрия в плетенето…………………………………………………………...10

II. 2. Симетрия в оригами…………………………………………………………11

II. 3. Симетрия в мънистата……………………………………………………………….12

II. 4. Симетрия в бродерията…………………………………………………………13

II. 5. Симетрия в занаятите, изработени от кибрит…………………………………………………………...14

II. 6. Симетрия в тъкането на макраме………………………………………………………….15

Заключение………………………………………………………………………………….16

Библиография…………………………………………………………..17

Въведение

Едно от основните понятия на науката, което заедно с понятието „хармония“ се отнася до почти всички структури на природата, науката и изкуството, е „симетрията“.

Изключителният математик Херман Вайл високо оцени ролята на симетрията в съвременната наука:

„Симетрията, независимо колко широко или тясно разбираме думата, е идея, с помощта на която човек се е опитал да обясни и създаде ред, красота и съвършенство.“

Всички се възхищаваме на красотата на геометричните фигури и тяхната комбинация, гледайки възглавници, плетени салфетки и бродирани дрехи.

В продължение на много векове различни народи са създали прекрасни видове декоративно-приложни изкуства. Много хора смятат, че математиката не е интересна и се състои само от формули, задачи, решения и уравнения. Искаме да покажем с нашата работа, че математиката е разнообразна наука и основната цел– показват, че математиката е много невероятна и необичаен предметза изучаване, тясно свързано с човешкия живот.

Тази работа разглежда занаятчийски предмети за тяхната симетрия.

Видовете ръкоделие, които разглеждаме, са тясно свързани с математиката, тъй като произведенията използват различни геометрични фигури, които подлежат на математически трансформации. В тази връзка бяха проучени следните математически понятиякато симетрия, видове симетрия.

Цел на изследването:изучаване на информация за симетрията, търсене на симетрични предмети за занаяти.

Цели на изследването:

· Теоретичен:изучават концепциите за симетрия и нейните видове.

· Практичен:намерете симетрични занаяти, определете вида на симетрията.

Симетрия. Видове симетрия

Симетрия(означава "пропорционалност") - свойството на геометричните обекти да се комбинират със себе си при определени трансформации. Под симетрия се разбира всяка закономерност във вътрешната структура на тялото или фигурата.

Симетрията спрямо точка е централна симетрия, а симетрията спрямо права е аксиална симетрия.

Симетрията спрямо точка (централна симетрия) предполага, че има нещо от двете страни на точка на равни разстояния, например други точки или геометричното място на точките (прави линии, криви линии, геометрични фигури). Ако свържете симетрични точки (точки на геометрична фигура) с права линия през точка на симетрия, тогава симетричните точки ще лежат в краищата на правата линия, а точката на симетрия ще бъде нейната среда. Ако фиксирате точката на симетрия и завъртите правата линия, тогава симетричните точки ще описват криви, всяка точка от които също ще бъде симетрична на точката на другата крива линия.

Въртене около дадена точка О е движение, при което всеки лъч, излизащ от тази точка, се завърта под същия ъгъл в една и съща посока.

Симетрията спрямо права линия (ос на симетрия) предполага, че по протежение на перпендикуляр, прекаран през всяка точка от оста на симетрия, две симетрични точки са разположени на едно и също разстояние от нея. Същите геометрични фигури могат да бъдат разположени спрямо оста на симетрия (правата линия), както спрямо точката на симетрия. Пример може да бъде лист от тетрадка, който е сгънат наполовина, ако се начертае права линия по линията на сгъване (ос на симетрия). Всяка точка от едната половина на листа ще има симетрична точка от втората половина на листа, ако са разположени на същото разстояние от линията на сгъване и перпендикулярно на оста. Оста на симетрия служи като перпендикуляр към средните точки на хоризонталните линии, ограничаващи листа. Симетричните точки са разположени на същото разстояние от аксиалната линия - перпендикулярно на правите линии, свързващи тези точки. Следователно всички точки на перпендикуляра (ос на симетрия), начертан през средата на сегмента, са на еднакво разстояние от неговите краища; или всяка точка, перпендикулярна (ос на симетрия) към средата на сегмент и на еднакво разстояние от краищата на този сегмент.

Koll" href="/text/category/koll/" rel="bookmark">Колекции на Ермитажа специално вниманиеизползвани златни бижута на древните скити. Изключително тънък произведение на изкуствотозлатни венци, тиари, дърво и украсени със скъпоценни червено-виолетови гранати.

Едно от най-очевидните приложения на законите на симетрията в живота е в архитектурните структури. Това е, което виждаме най-често. В архитектурата осите на симетрия се използват като средство за изразяване на архитектурен дизайн.

Друг пример за човек, използващ симетрия в своята практика, е технологията. В инженерството осите на симетрия са най-ясно обозначени, когато е необходимо да се оцени отклонението от нулевата позиция, например на волана на камион или на волана на кораб. Или едно от най-важните изобретения на човечеството, което има център на симетрия, е колелото, перката и други технически средства също имат център на симетрия.

Осево и централно симетрични орнаменти

Композициите, изградени на принципа на килимен орнамент, могат да имат симетрична структура. Чертежът в тях е организиран на принципа на симетрия спрямо една или две оси на симетрия. Моделите на килимите често съдържат комбинация от няколко вида симетрия - аксиална и централна.

Фигура 1 показва диаграма за маркиране на равнината за орнамент на килим, чиято композиция ще бъде изградена по осите на симетрия. На равнината по периметъра се определя местоположението и размерът на границата. Централното поле ще бъде заето от основния орнамент.

Вариантите за различни композиционни решения на равнината са показани на фигура 1 b-d. На фигура 1 б композицията е изградена в централната част на полето. Очертанието му може да варира в зависимост от формата на самото поле. Ако равнината има формата на удължен правоъгълник, композицията се очертава като удължен ромб или овал. Квадратна формаполетата биха били по-добре поддържани от композиция, очертана от кръг или равностранен ромб.

Фигура 1. Аксиална симетрия.

Фигура 1c показва композиционната диаграма, обсъдена в предишния пример, която е допълнена с малки ъглови елементи. На фигура 1d диаграмата на състава е построена по хоризонталната ос. Включва централен елементс две странични. Разгледаните схеми могат да служат като основа за композиране на композиции, които имат две оси на симетрия.

Такива композиции се възприемат еднакво от зрителите от всички страни, те, като правило, нямат ясно изразени горна и долна част.
Килимните орнаменти могат да съдържат в централната си част композиции, които имат една ос на симетрия (Фигура 1д). Такива композиции имат подчертана ориентация, имат горна и долна част.

Централната част може не само да бъде направена под формата на абстрактен орнамент, но и да има тема.
Всички примери за развитие на орнаменти и композиции, базирани на тях, разгледани по-горе, бяха свързани с правоъгълни равнини. Правоъгълната форма на повърхността е често срещан, но не единственият тип повърхност.

Кутии, тави, чинии могат да имат повърхности във формата на кръг или овал. Един от вариантите за техния декор могат да бъдат централно симетрични орнаменти. Основата за създаване на такъв орнамент е центърът на симетрия, през който могат да преминат безкраен брой оси на симетрия (Фигура 2а).

Нека разгледаме пример за разработване на орнамент, ограничен от кръг и имащ централна симетрия (Фигура 2). Структурата на орнамента е радиална. Основните му елементи са разположени по радиусните линии на окръжността. Границата на орнамента е украсена с бордюр.

Фигура 2. Централно симетрични орнаменти.

II. Симетрия в ръкоделието

II. 1. Симетрия в плетенето

Намерихме плетени занаяти с централна симетрия:

https://pandia.ru/text/78/640/images/image014_2.jpg" width="280" height="272"> https://pandia.ru/text/78/640/images/image016_0.jpg" width="333" height="222"> .gif" alt="C:\Users\Family\Desktop\obemnaya_snezhinka_4.jpg" width="274" height="275">.gif" alt="P:\Моята информация\Моите документи\5 клас\Симетрия\SDC15972.JPG" width="338" height="275">.jpg" width="250" height="249">!} .jpg" width="186" height="246"> .gif" alt="G:\Marietta\_resize-of-i-9.jpg" width="325" height="306">!} .jpg" width="217" height="287"> .jpg" width="265" height="199"> .gif" alt="G:\Marietta\cherepashkaArsik.jpg" width="323" height="222">!}

Осева симетрия и понятието съвършенство

Аксиалната симетрия е присъща на всички форми в природата и е един от основните принципи на красотата. От древни времена човекът е опитвал

да разбере смисъла на съвършенството. Тази концепция за първи път е обоснована от художници, философи и математици Древна Гърция. И самата дума „симетрия“ е измислена от тях. Означава пропорционалност, хармония и идентичност на частите на цялото. Древногръцкият мислител Платон твърди, че само обект, който е симетричен и пропорционален, може да бъде красив. Наистина тези явления и форми, които са пропорционални и завършени, „радват окото“. Ние ги наричаме правилни.

Осева симетрия като понятие

Симетрията в света на живите същества се проявява в правилното разположение на еднакви части на тялото спрямо центъра или оста. По-често в

Аксиалната симетрия се среща в природата. То не само определя обща структураорганизъм, но и възможностите за неговото последващо развитие. Геометрични фигуриа пропорциите на живите същества се формират от „осева симетрия“. Определението му се формулира по следния начин: това е свойството на обектите да се комбинират при различни трансформации. Древните вярвали, че сферата притежава в най-голяма степен принципа на симетрия. Те смятаха тази форма за хармонична и съвършена.

Осева симетрия в живата природа

Ако погледнете някое живо същество, симетрията на структурата на тялото веднага хваща окото ви. Човек: две ръце, два крака, две очи, две уши и така нататък. Всеки животински вид има характерен цвят. Ако в оцветяването се появи модел, тогава, като правило, той е огледален от двете страни. Това означава, че има определена линия, по която животните и хората могат да бъдат визуално разделени на две еднакви половини, тоест тяхната геометрична структура се основава на аксиалната симетрия. Природата създава всеки жив организъм не хаотично и безсмислено, а според общи законисветовен ред, защото нищо във Вселената няма чисто естетическа, декоративна цел. Наличност различни формисъщо поради естествена необходимост.

Осева симетрия в неживата природа

В света навсякъде сме заобиколени от такива явления и обекти като: тайфун, дъга, капка, листа, цветя и др. Очевидна е тяхната огледална, радиална, централна, аксиална симетрия. До голяма степен се дължи на явлението гравитация. Често понятието симетрия се отнася до закономерността на промените в определени явления: ден и нощ, зима, пролет, лято и есен и т.н. На практика това свойство съществува навсякъде, където се спазва редът. А самите закони на природата – биологични, химични, генетични, астрономически – са подчинени на общите за всички ни принципи на симетрия, тъй като притежават завидна систематичност. Така балансът, идентичността като принцип има универсален обхват. Аксиалната симетрия в природата е един от "крайъгълните" закони, на които се основава Вселената като цяло.

Животът на хората е изпълнен със симетрия. Това е удобно, красиво и няма нужда да измисляте нови стандарти. Но какво всъщност представлява и дали е толкова красиво в природата, колкото се смята?

Симетрия

От древни времена хората се стремят да организират света около себе си. Затова някои неща се смятат за красиви, а други не толкова. От естетическа гледна точка златното и сребърното съотношение се считат за привлекателни, както и, разбира се, симетрията. Този термин има гръцки произходи буквално означава „пропорционалност“. Разбира се ние говорим зане само за съвпадение на тази основа, но и на някои други. В общ смисъл симетрията е свойство на обект, когато в резултат на определени образувания резултатът е равен на първоначалните данни. Среща се както в живата, така и в неживата природа, както и в предмети, изработени от човека.

На първо място, терминът "симетрия" се използва в геометрията, но намира приложение в много научни области и значението му като цяло остава непроменено. Това явление се среща доста често и се счита за интересно, тъй като няколко от неговите видове, както и елементи, се различават. Използването на симетрия също е интересно, защото се среща не само в природата, но и в шарки върху тъкани, граници на сгради и много други предмети, създадени от човека. Струва си да разгледаме този феномен по-подробно, защото е изключително завладяващ.

Използване на термина в други научни области

По-нататък симетрията ще бъде разгледана от гледна точка на геометрията, но си струва да споменем, че тази дума се използва не само тук. Биология, вирусология, химия, физика, кристалография - всичко това е непълен списък от области, в които това явлениеизследвани от различни ъгли и различни условия. Например, класификацията зависи от това към коя наука се отнася този термин. По този начин разделението на типове варира значително, въпреки че някои основни може би остават непроменени навсякъде.

Класификация

Има няколко основни типа симетрия, от които три са най-често срещаните:

Освен това в геометрията се разграничават следните видове, които са много по-рядко срещани, но не по-малко интересни:

• плъзгане;
• ротационен;
• точка;
• прогресивен;
• винт;
• фрактал;
• и т.н.

В биологията всички видове се наричат ​​малко по-различно, въпреки че по същество те могат да бъдат еднакви. Разделянето на определени групи става въз основа на наличието или отсъствието, както и количеството на определени елементи, като центрове, равнини и оси на симетрия. Те трябва да бъдат разгледани поотделно и по-подробно.

Основни елементи

Феноменът има определени характеристики, една от които задължително е налице. Така наречените основни елементи включват равнини, центрове и оси на симетрия. В съответствие с тяхното наличие, липса и количество се определя видът.

Центърът на симетрия е точката вътре във фигура или кристал, в която линиите, свързващи по двойки всички страни, успоредни една на друга, се събират. Разбира се, тя не винаги съществува. Ако има страни, на които няма успоредна двойка, тогава такава точка не може да бъде намерена, тъй като тя не съществува. Според дефиницията е очевидно, че центърът на симетрия е този, през който една фигура може да се отрази върху себе си. Пример може да бъде например кръг и точка в средата му. Този елемент обикновено се обозначава като C.

Равнината на симетрия, разбира се, е въображаема, но именно тя разделя фигурата на две равни една на друга части. Тя може да минава през една или повече страни, да е успоредна на нея или да ги разделя. За една и съща фигура могат да съществуват няколко равнини наведнъж. Тези елементи обикновено се обозначават като P.

Но може би най-често срещаното е това, което се нарича „ос на симетрия“. Това е често срещано явление, което може да се види както в геометрията, така и в природата. И си заслужава отделно разглеждане.

Оси

Често елементът, по отношение на който една фигура може да се нарече симетрична, е

Примерите включват равнобедрени и В първия случай ще има вертикална ос на симетрия, от двете страни на която има равни лица, а във втория линиите ще пресичат всеки ъгъл и ще съвпадат с всички ъглополовящи, медиани и височини. Обикновените триъгълници нямат това.

Между другото, съвкупността от всички горепосочени елементи в кристалографията и стереометрията се нарича степен на симетрия. Този индикатор зависи от броя на осите, равнините и центровете.

Примери в геометрията

Условно можем да разделим целия набор от обекти на изследване от математиците на фигури, които имат ос на симетрия, и такива, които нямат. Всички кръгове, овали, както и някои специални случаи автоматично попадат в първата категория, докато останалите попадат във втората група.

Както в случая, когато говорихме за оста на симетрия на триъгълник, този елемент не винаги съществува за четириъгълник. За квадрат, правоъгълник, ромб или успоредник е така, но за неправилна фигура съответно не е така. За кръг оста на симетрия е набор от прави линии, които минават през неговия център.

Освен това е интересно да се разгледа обемни фигуриот тази гледна точка. В допълнение към всички правилни многоъгълници и топката, някои конуси, както и пирамиди, паралелограми и някои други, ще имат поне една ос на симетрия. Всеки случай трябва да се разглежда отделно.

Примери в природата

В живота се нарича двустранно, среща се най-често
често. Всеки човек и много животни са пример за това. Аксиалният се нарича радиален и се среща много по-рядко, като правило, в растителния свят. И все пак те съществуват. Например, струва си да помислим колко оси на симетрия има една звезда и има ли изобщо? Разбира се, говорим за морския живот, а не за предмета на изследване от астрономите. И правилният отговор би бил: зависи от броя на лъчите на звездата, например пет, ако е петлъчева.

В допълнение, радиалната симетрия се наблюдава в много цветя: маргаритки, метличина, слънчогледи и др. Има огромен брой примери, те са буквално навсякъде.

аритмия

Този термин, на първо място, напомня най-много на медицината и кардиологията, но първоначално има малко по-различно значение. В този случай синонимът ще бъде „асиметрия“, тоест липса или нарушение на редовността под една или друга форма. Може да се намери случайно, а понякога може да се превърне в чудесна техника, например в облеклото или архитектурата. В крайна сметка има много симетрични сгради, но известната е леко наклонена и въпреки че не е единствената, тя е най- известен пример. Известно е, че това се случи случайно, но в това има своя чар.

Освен това е очевидно, че лицата и телата на хората и животните също не са напълно симетрични. Има дори проучвания, които показват, че „правилните“ лица се оценяват като безжизнени или просто непривлекателни. Все пак възприемането на симетрията и това явление само по себе си са удивителни и все още не са напълно проучени, поради което са изключително интересни.