Свойства на топката и сферата. Сфера, топка, сегмент и сектор

Сферата е едно от първите тела с висока симетрия, чиито свойства се изучават в училищен курсгеометрия. Тази статия обсъжда формулата за сфера, нейната разлика от топка и също така предоставя изчисление на повърхността на нашата планета.

Сфера: понятие в геометрията

За да разберете по-добре формулата за повърхността, дадена по-долу, трябва да се запознаете с концепцията за сфера. В геометрията това е триизмерно тяло, което съдържа определен обем пространство. Математическата дефиниция на сфера е следната: това е колекция от точки, които лежат на определено равно разстояние от една фиксирана точка, наречена център. Маркираното разстояние е радиусът на сферата, който се означава с r или R и се измерва в метри (километри, сантиметри и други единици за дължина).

Фигурата по-долу показва описаната фигура. Линиите показват контурите на повърхността му. Черната точка е центърът на сферата.

Можете да получите тази фигура, ако вземете кръг и започнете да го въртите около която и да е от осите, минаващи през диаметъра.

Сфера и топка: каква е разликата и каква е приликата?

Често учениците объркват тези две фигури, които са подобни на външен вид, но имат напълно различни физични свойства. Сферата и топката се отличават предимно с тяхната маса: сферата е безкрайно тънък слой, докато топката е обемно тяло с крайна плътност, което е еднакво във всичките му точки, ограничени от сферичната повърхност. Тоест топката има крайна маса и е напълно реален обект. Сферата е идеална фигура, без маса, която реално не съществува, но е успешна идеализация в геометрията при изучаване на нейните свойства.

Примери за реални обекти, чиято форма на практика съответства на сфера са Новогодишна играчкапод формата на топка за украса на коледно дърво или сапунен мехур.

Що се отнася до приликите между разглежданите фигури, можем да посочим следните характеристики:

• и двете имат еднаква симетрия;
• И за двете формулата за площ е една и съща, освен това имат равна площповърхности, ако радиусите им са равни;
• и двете фигури с равни радиуси заемат еднакъв обем в пространството, само топката го запълва изцяло, а сферата само го ограничава с повърхността си.

На фигурата по-долу са показани сфера и топка с еднакъв радиус.

Имайте предвид, че топката, подобно на сферата, е тяло на въртене, така че може да се получи чрез въртене на кръг (не кръг!) около диаметъра си.

Сферични елементи

Това са имената на геометрични величини, познаването на които ни позволява да опишем или цялата фигура, или нейните отделни части. Основните му елементи са следните:

• Радиус r, който вече беше споменат по-рано. Това е разстоянието от центъра на фигурата до сферичната повърхност. Всъщност това е единственото количество, което описва всички свойства на една сфера.
• Диаметър d или D. Това е сегмент, чиито краища лежат върху сферична повърхност, а средата минава през централната точка на фигурата. Диаметърът на една сфера може да бъде начертан по безкраен брой начини, но всички получени сегменти ще имат еднаква дължина, която е равна на два пъти радиуса, тоест D = 2*R.
• Повърхностната площ S е двумерна характеристика, формулата за която ще бъде дадена по-долу.
• Триизмерните ъгли, свързани със сфера, се измерват в стерадиани. Един стерадиан е ъгъл, чийто връх е в центъра на сферата и който лежи върху част от сферичната повърхност с площ R2.

Геометрични свойства на сфера

От даденото описание на тази фигура можете самостоятелно да се досетите за тези свойства. Те са както следва:

• Всяка права линия, която пресича сферата и минава през нейния център, е оста на симетрия на фигурата. Завъртането на сферата около тази ос под произволен ъгъл я превръща в себе си.
• Равнината, която пресича въпросната фигура през нейния център, разделя сферата на две равни части, тоест тя е равнина на отражение.

Повърхностна площ на фигура

Тази стойност се обозначава с латинската буква S. Формулата за изчисляване на площта на сфера е следната:

S = 4*pi*R 2, където pi ≈ 3,1416.

Формулата показва, че площта S може да бъде изчислена, ако е известен радиусът на фигурата. Ако е известен нейният диаметър D, тогава формулата на сферата може да се напише, както следва:

Ирационалното число pi, за което са дадени четири знака след десетичната запетая, може да се използва в редица математически изчисления с точност до стотни, тоест 3,14.

Интересен е и въпросът на колко стерадиана отговаря цялата повърхност на въпросната фигура. Въз основа на определението на тази стойност получаваме:

Ω = S/R 2 = 4*pi*R 2 /R 2 = 4*pi стерадиан.

За да изчислите произволен обемен ъгъл, трябва да замените съответната стойност на площта S в израза по-горе.

Повърхността на планетата Земя

Формулата на сферата може да се използва, за да се определи върху какво живеем. Преди да започнете изчисленията, има няколко предупреждения:

• Първо, Земята няма идеална сферична повърхност. Екваториалният и полярният му радиус са съответно 6378 km и 6357 km. Разликата между тези цифри не надвишава 0,3%, така че за изчислението можем да вземем средния радиус от 6371 km.
• Второ, релефът е триизмерен, тоест върху него има депресии и планини. Тези характеристикипланетите водят до увеличаване на повърхността му, но ние няма да ги вземем предвид при изчислението, тъй като дори най-голямата планина, Еверест, е 0,1% от радиуса на земята (8,848/6371).

Използвайки формулата на сферата, получаваме:

S = 4*pi*R 2 = 4*3,1416*6371 2 ≈ 510,066 милиона km 2.

Русия, според официални данни, заема площ от 17,125 милиона km 2, което е 3,36% от повърхността на планетата. Ако вземем предвид, че само 150,387 милиона km 2 са земя, тогава площта на страната ни ще бъде 11,4% от цялата територия, която не е покрита с вода.

Топката е тяло, състоящо се от всички точки в пространството, които се намират на разстояние не по-голямо от дадено от дадена точка. Тази точка се нарича център на топката и дадено разстояние– радиус на топката. Границата на топката се нарича сферична повърхност или сфера. Точките на сферата са всички точки на топката, които са отдалечени от центъра на разстояние, равно на радиуса. Всеки сегмент, който свързва центъра на топка с точка от сферичната повърхност, също се нарича радиус. Отсечката, минаваща през центъра на топката и свързваща две точки от сферичната повърхност, се нарича диаметър. Краищата на всеки диаметър се наричат ​​диаметрално противоположни точки на топката.

Топката е въртеливо тяло, също като конуса и цилиндъра. Топка се получава чрез въртене на полукръг около диаметъра си като ос.

Повърхността на топката може да се намери с помощта на формулите:

където r е радиусът на топката, d е диаметърът на топката.

Обемът на топката се намира по формулата:

V = 4 / 3 πr 3,

където r е радиусът на топката.

Теорема. Всяко сечение на топка от равнина е кръг. Центърът на този кръг е основата на перпендикуляра, изтеглен от центъра на топката върху режещата равнина.

Въз основа на тази теорема, ако топка с център O и радиус R е пресечена от равнината α, тогава напречното сечение води до окръжност с радиус r с център K. Радиусът на сечението на топката от равнината може да бъде намира се по формулата

От формулата става ясно, че равнините, разположени на еднакво разстояние от центъра, пресичат топката по дължината равни кръгове. Радиусът на сечението е толкова по-голям, колкото по-близо е режещата равнина до центъра на топката, т.е. толкова по-малко е разстоянието OK. Най-големият радиус има сечение от равнина, минаваща през центъра на топката. Радиусът на тази окръжност е равен на радиуса на топката.

Равнината, минаваща през центъра на топката, се нарича централна равнина. Сечението на топка от диаметралната равнина се нарича голям кръг, а сечението на сфера се нарича голям кръг, а сечението на сфера се нарича голям кръг.

Теорема. Всяка диаметрална равнина на топка е нейната равнина на симетрия. Центърът на топката е нейният център на симетрия.

Равнината, която минава през точка А на сферичната повърхност и е перпендикулярна на радиуса, прекаран в точка А, се нарича допирателна равнина. Точка А се нарича допирателна точка.

Теорема. Допирателната равнина има само една обща точка с топката - точката на контакт.

Правата линия, която минава през точка А на сферичната повърхност, перпендикулярна на радиуса, прекаран до тази точка, се нарича допирателна.

Теорема. Безкраен брой допирателни минават през всяка точка на сферичната повърхност и всички те лежат в допирателната равнина на топката.

Сферичният сегмент е част от топка, отрязана от нея от равнина. Окръжност ABC е основата на сферичния сегмент. Перпендикулярът MN, прекаран от центъра N на окръжност ABC до пресечната точка със сферичната повърхност, е височината на сферичния сегмент. Точка M е върхът на сферичния сегмент.

Повърхността на сферичен сегмент може да се изчисли по формулата:

Обемът на сферичен сегмент може да се намери по формулата:

V = πh 2 (R – 1/3h),

където R е радиусът на големия кръг, h е височината на сферичния сегмент.

Сферичен сектор се получава от сферичен сегмент и конус по следния начин. Ако сферичен сегмент е по-малък от полукълбо, тогава сферичният сегмент се допълва от конус, чийто връх е в центъра на топката, а основата е основата на сегмента. Ако сегментът е по-голям от полукълбо, тогава посоченият конус се премахва от него.

Сферичният сектор е част от топка, ограничена от извита повърхност на сферичен сегмент (на нашата фигура това е AMCB) и конична повърхност (на нашата фигура това е OABC), основата на която е основата на сегмент (ABC), а върхът е центърът на топката O.

Обемът на сферичния сектор се намира по формулата:

V = 2/3 πR 2 H.

Сферичният слой е част от топка, затворена между две успоредни равнини (равнини ABC и DEF на фигурата), пресичащи сферичната повърхност. Извитата повърхност на сферичния слой се нарича сферичен пояс (зона). Окръжности ABC и DEF са основите на сферичния пояс. Разстоянието NK между основите на сферичния пояс е неговата височина.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

- (гръцка sphaira топка). 1) твърдо, при което всички точки от повърхността са еднакво отдалечени от вътрешната точка, наречена център на топката; изображение на земята под формата на глобус. 2) част от пространството, в което планетата прави своя път. 3) преносно... Речник на чуждите думи на руския език

Жена, грък топка, сферично тяло или празнина или нейно изображение върху хартия; в приложение към небесните тела: топка, обърната около оста си, представляваща нашата земя или небесния свод, със значението на всички въображаеми кръгове. Армиларна сфера, ... ... Обяснителен речник на Дал

сфера- y, w. сфера f. гр. sphaira. 1. геом. Затворена повърхност, всички точки на която са еднакво отдалечени от една точка (център /. БАН 1. | пренос. Десет въздушни сфери прелетяха, видях в далечината пиене. И. Наумов Ясон. // Героична комична поема 560 2.…… Исторически речникГалицизми на руския език

Сфери, жени [Гръцки sphaira ball]. 1. Същото като топка (мат.). 2. пренасям Област, място, граници, в които съществува, действа, развива се, прилага се. (Книга). „В зависимост от природата на поетичния талант и степента на неговото развитие, сферата ... Обяснителен речник на Ушаков

СФЕРА, s, жена. 1. Област, граници на разпространение на нещо. В. дейности. В. влияние. 2. Среда, социална среда. Във вашето поле. Висши сфери (за управляващи, аристократични кръгове). 3. Затворена повърхност, всички точки към рояка са еднакво отдалечени... ... Обяснителен речник на Ожегов

Вижте района... Речник на синонимите

Сфера- (Хабаровск, Русия) Категория на хотела: 3 звезден хотел Адрес: Dezhneva Lane 15, Khabarovsk ... Хотелски каталог

Сферичен компонент трудни думи, което означава: 1) една от обвивките на планети и звезди: астеносфера атмосфера барисфера биосфера геосфера хетеросфера хидросфера хомосфера йоносфера литосфера магнитосфера мезосфера стратосфера субстратосфера... ... Wikipedia

- (от гръцката топка sphaira), 1) зона на действие, границите на разпространение на нещо (например сфера на влияние). 2) Социална среда, среда, обстановка... Съвременна енциклопедия

- (от гръцката sphaira топка) 1) зона на действие, границите на разпространение на нещо (например сфера на влияние). 2) Социална среда, среда, ситуация ...

Затворена повърхност, всички точки на която са еднакво отдалечени от една точка (центъра на сферата). Отсечката, свързваща центъра на сферата с която и да е точка от нея (както и нейната дължина), се нарича радиус на сферата. Повърхност на сферата S=4?R2, където R е радиусът на сферата... Голям енциклопедичен речник

Книги

• Сфера, Егърс, Дейв. Роман от лидера на новата вълна на американската литература, жестока сатира на модерен свят социални мрежии плътен бял шум. SPHERE е добра корпорация: тя подобрява света, като го прави...
• Сфера, Дейв Егърс. Мей Холанд имаше голям късмет. Тя работи в идеалната компания "Сфера" - обединение на брилянтни умове на едно поколение, където всеки слуша всеки и всеки е вдъхновен да подобри света. Май е тук...

Топката и сферата са преди всичко геометрични фигури и ако топката е геометрично тяло, тогава сферата е повърхността на топката. Тези цифри са представлявали интерес преди много хиляди години пр.н.е.

Впоследствие, когато се открива, че Земята е топка, а небето е небесна сфера, се развива ново увлекателно направление в геометрията - геометрия върху сфера или сферична геометрия. За да говорим за размера и обема на една топка, първо трябва да я дефинирате.

Топка

Топка с радиус R с център в точка O в геометрията е тяло, което е създадено от всички точки в пространството, имащи обща собственост. Тези точки са разположени на разстояние, което не надвишава радиуса на топката, т.е. те запълват цялото пространство, по-малко от радиуса на топката във всички посоки от нейния център. Ако разгледаме само тези точки, които са на еднакво разстояние от центъра на топката, ще разгледаме нейната повърхност или обвивката на топката.

Как мога да взема топката? Можем да изрежем кръг от хартия и да започнем да го въртим около собствения му диаметър. Тоест диаметърът на кръга ще бъде оста на въртене. Оформената фигура ще бъде топка. Следователно топката се нарича също тяло на въртене. Тъй като може да се образува чрез завъртане на плоска фигура - кръг.

Нека вземем някакъв самолет и да разрежем нашата топка с него. Точно както режем портокал с нож. Парчето, което отрязваме от топката, се нарича сферичен сегмент.

IN Древна Гърцияте знаеха как не само да работят с топка и сфера, както с геометрични фигури, например, да ги използват в строителството, но също така знаеха как да изчислят повърхността на топката и обема на топката.

Сфера е другото име за повърхността на топката. Сферата не е тяло - тя е повърхност на ротационно тяло. Но тъй като както Земята, така и много тела имат сферична форма, например капка вода, изучаването на геометричните отношения вътре в сферата стана широко разпространено.

Например, ако свържем две точки на сфера една с друга с права линия, тогава тази права линия се нарича хорда и ако тази хорда минава през центъра на сферата, който съвпада с центъра на топката, тогава хордата се нарича диаметър на сферата.

Ако начертаем права линия, която докосва сферата само в една точка, тогава тази линия ще се нарича допирателна. В допълнение, тази допирателна към сферата в тази точка ще бъде перпендикулярна на радиуса на сферата, начертан до точката на контакт.

Ако разширим хордата до права линия в едната или другата посока от сферата, тогава тази хорда ще се нарича секанс. Или можем да го кажем по друг начин - секансът към сферата съдържа нейната хорда.

Обем на топката

Формулата за изчисляване на обема на една топка е:

където R е радиусът на топката.

Ако трябва да намерите обема на сферичен сегмент, използвайте формулата:

V seg =πh 2 (R-h/3), h е височината на сферичния сегмент.

Площ на повърхността на топка или сфера

За да изчислите площта на сфера или повърхността на топка (те са едно и също нещо):

където R е радиусът на сферата.

Архимед много обичаше топката и сферата, той дори поиска да остави рисунка на гробницата му, в която топка беше вписана в цилиндър. Архимед вярва, че обемът на топката и нейната повърхност са равни на две трети от обема и повърхността на цилиндъра, в който е вписана топката.

В глава 2 ще продължим „структурната геометрия" и ще говорим за структурата и свойствата на най-важните пространствени фигури - топка и сфера, цилиндри и конуси, призми и пирамиди. Повечето обекти, създадени от човешки ръце - сгради, автомобили, мебели, съдове , и т.н., и т.н., се състои от части, оформени като тези фигури.

§ 4. СФЕРА И ТОПКА

След прави линии и равнини, сферата и топката са най-простите, но много важни пространствени фигури, богати на различни свойства. ОТНОСНО геометрични свойстватопката и нейната повърхност - сферата - написани са цели книги. Някои от тези свойства са били известни на древногръцките геометри, а някои са открити наскоро, в последните години. Тези свойства (заедно със законите на естествената наука) обясняват защо например небесните тела и рибните яйца са сферични, защо батискафите и футболни топки, защо сачмените лагери са толкова разпространени в техниката и т.н. Можем да докажем само най-много прости свойстватопка. Доказателства от други, макар и много важни свойства, често изискват използването на напълно неелементарни методи, въпреки че формулирането на такива свойства може да бъде много просто: например сред всички тела с дадена повърхност топката има най-голям обем.

4.1. Определения за сфера и топка.

Сфера и топка са дефинирани в пространството по абсолютно същия начин като кръг и кръг в равнина. Сферата е фигура, състояща се от всички точки в пространството, отдалечени от дадена.

различни точки на едно и също (положително) разстояние.

Тази точка се нарича център на сферата, а разстоянието е нейният радиус (фиг. 4.1).

И така, сфера с център O и радиус R е фигура, образувана от всички точки X на пространството, за които

Топката е фигура, образувана от всички точки в пространството, разположени на разстояние не по-голямо от дадено (положително) разстояние от дадена точка. Тази точка се нарича център на топката, а това разстояние е нейният радиус.

И така, топка с център O и радиус R е фигура, образувана от всички точки X на пространството, за които

Тези точки X на топка с център O и радиус R, за които те образуват сфера. Казват, че тази сфера обхваща дадена топка или че е нейната повърхност.