Площта на страничната страна на пресечена пирамида. Пирамида
В този урок ще разгледаме пресечена пирамида, ще се запознаем с правилна пресечена пирамида и ще изучим техните свойства.
Нека си припомним концепцията за n-ъгълна пирамида, използвайки примера на триъгълна пирамида. Даден е триъгълник ABC. Извън равнината на триъгълника е взета точка P, свързана с върховете на триъгълника. Получената многостенна повърхност се нарича пирамида (фиг. 1).
Ориз. 1. Триъгълна пирамида
Нека разрежем пирамидата с равнина, успоредна на равнината на основата на пирамидата. Фигурата, получена между тези равнини, се нарича пресечена пирамида (фиг. 2).
Ориз. 2. Пресечена пирамида
Основни елементи:
Горна основа;
ABC долна основа;
Странично лице;
Ако PH е височината на оригиналната пирамида, тогава това е височината на пресечената пирамида.
Свойствата на пресечена пирамида произтичат от метода на нейното изграждане, а именно от успоредността на равнините на основите:
Всички странични стени на пресечена пирамида са трапецовидни. Помислете например за ръба. Той има свойството на успоредни равнини (тъй като равнините са успоредни, те пресичат страничната повърхност на оригиналната AVR пирамида по успоредни прави линии), но в същото време не са успоредни. Очевидно четириъгълникът е трапец, както всички странични стени на пресечената пирамида.
Съотношението на основите е еднакво за всички трапеци:
Имаме няколко двойки подобни триъгълници с еднакъв коефициент на подобие. Например триъгълниците и RAB са подобни поради успоредността на равнините и , коефициент на сходство:
В същото време триъгълниците и RVS са сходни с коефициента на сходство:
Очевидно коефициентите на подобие за трите двойки подобни триъгълници са равни, така че съотношението на основите е еднакво за всички трапеци.
Правилна пресечена пирамида е пресечена пирамида, получена чрез разрязване на правилна пирамида с равнина, успоредна на основата (фиг. 3).
Ориз. 3. Правилна пресечена пирамида
Определение.
Пирамидата се нарича правилна, ако нейната основа е правилен n-ъгълник, а върхът й е проектиран в центъра на този n-ъгъл (центъра на вписаната и описаната окръжност).
В този случай в основата на пирамидата има квадрат, а върхът се проектира в пресечната точка на нейните диагонали. Получената правилна четириъгълна пресечена пирамида ABCD има долна основа и горна основа. Височината на оригиналната пирамида е RO, пресечената пирамида е (фиг. 4).
Ориз. 4. Правилна четириъгълна пресечена пирамида
Определение.
Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, прекаран от която и да е точка на едната основа към равнината на втората основа.
Апотемата на оригиналната пирамида е RM (M е средата на AB), апотемата на пресечената пирамида е (фиг. 4).
Определение.
Апотемата на пресечена пирамида е височината на всяка странична повърхност.
Ясно е, че всички странични ръбове на пресечената пирамида са равни един на друг, т.е. страничните лица са равни равнобедрени трапеци.
Площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида е равна на произведението на половината от сбора от периметрите на основите и апотемата.
Доказателство (за правилна четириъгълна пресечена пирамида - фиг. 4):
И така, трябва да докажем:
Площта на страничната повърхност тук ще се състои от сумата от площите на страничните повърхности - трапецовидни. Тъй като трапецовете са еднакви, имаме:
Квадрат равнобедрен трапеце произведение на половината от сбора на основите и височината, апотемата е височината на трапеца. Ние имаме:
Q.E.D.
За n-ъгълна пирамида:
Където n е броят на страничните стени на пирамидата, a и b са основите на трапеца и е апотема.
Страните на основата са правилно пресечени четириъгълна пирамида 
равна на 3 см и 9 см, височина - 4 см. Намерете площта на страничната повърхност.
Ориз. 5. Илюстрация към задача 1
Решение. Нека илюстрираме условието:
Попитан от: , ,
През точка O прекарваме права линия MN, успоредна на двете страни на долната основа, и по същия начин през точката прекарваме права (фиг. 6). Тъй като квадратите и конструкциите в основите на пресечената пирамида са успоредни, получаваме трапец, равен на страничните лица. Освен това неговата страна ще минава през средните точки на горния и долния ръб на страничните стени и ще бъде апотемата на пресечената пирамида.
Ориз. 6. Допълнителни конструкции
Нека разгледаме получения трапец (фиг. 6). В този трапец са известни горната основа, долната основа и височината. Трябва да намерите страната, която е апотема на дадена пресечена пирамида. Нека начертаем перпендикуляр на MN. От точката спускаме перпендикуляра NQ. Откриваме, че по-голямата основа е разделена на сегменти от три сантиметра (). Помислете за правоъгълен триъгълник, краката в него са известни, това Египетски триъгълник, използвайки Питагоровата теорема определяме дължината на хипотенузата: 5 cm.
Сега има всички елементи за определяне на площта на страничната повърхност на пирамидата:
Пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата. Докажете, използвайки примера на триъгълна пирамида, че страничните ръбове и височината на пирамидата са разделени от тази равнина на пропорционални части.
Доказателство. Нека да илюстрираме:
Ориз. 7. Илюстрация към задача 2
Дадена е пирамидата RABC. PO - височина на пирамидата. Пирамидата се нарязва на равнина, получава се пресечена пирамида и. Точка - пресечната точка на височината на РО с равнината на основата на пресечената пирамида. Необходимо е да се докаже:
Ключът към решението е свойството на успоредни равнини. Две успоредни равнини пресичат всяка трета равнина, така че пресечните линии са успоредни. Оттук: . Паралелността на съответните линии предполага наличието на четири двойки подобни триъгълници:
От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на съответните страни. Важна характеристикае, че коефициентите на подобие на тези триъгълници са еднакви:
Q.E.D.
Правилна триъгълна пирамида RABC с височина и страна на основата е разчленена от равнина, минаваща през средата на височината PH, успоредна на основата ABC. Намерете площта на страничната повърхност на получената пресечена пирамида.
Решение. Нека да илюстрираме:
Ориз. 8. Илюстрация към задача 3
ACB е правилен триъгълник, H е центърът на този триъгълник (центърът на вписаната и описаната окръжност). RM е апотема на дадена пирамида. - апотема на пресечена пирамида. Съгласно свойството на успоредните равнини (две успоредни равнини пресичат всяка трета равнина, така че пресечните линии да са успоредни), имаме няколко двойки подобни триъгълници с еднакъв коефициент на подобие. По-специално, ние се интересуваме от връзката:
Да намерим NM. Това е радиусът на окръжност, вписана в основата; знаем съответната формула:
Сега от правоъгълния триъгълник PHM, използвайки Питагоровата теорема, намираме RM - апотемата на оригиналната пирамида:
От първоначалното съотношение:
Сега знаем всички елементи за намиране на площта на страничната повърхност на пресечена пирамида:
И така, ние се запознахме с концепциите за пресечена пирамида и правилна пресечена пирамида, дадохме основни определения, разгледахме свойствата и доказахме теоремата за площта на страничната повърхност. Следващият урок ще се фокусира върху решаването на проблеми.
Библиография
- И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 клас: учебник за студенти образователни институции(основни и профилни нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то изд., рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Шаригин И. Ф. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователна подготовка образователни институции/ Шаригин И. Ф. - М.: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
- Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 2008. - 233 с.: ил.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
Домашна работа
- 29.05.2016
Осцилаторна верига - електрическа верига, съдържащ индуктор, кондензатор и източник на електрическа енергия. Когато елементите на веригата са свързани последователно, колебателната верига се нарича последователна, а когато е свързана паралелно, се нарича паралелна. Осцилаторна верига - най-простата система, при които могат да възникнат свободни електромагнитни трептения. Резонансната честота на веригата се определя от така наречената формула на Томсън: ƒ = 1/(2π√(LC)) За ...
- 20.09.2014
Приемникът е проектиран да приема сигнали в DV диапазон (150 kHz…300 kHz). Основната характеристика на приемника е антената, която има по-висока индуктивност от конвенционалната магнитна антена. Това дава възможност да се използва капацитетът на настройващия кондензатор в диапазона от 4...20 pF, а също така такъв приемник има приемлива чувствителност и леко усилване в RF пътя. Приемника работи за слушалки (слушалки), захранва се...
- 24.09.2014
Това устройство е предназначено да следи нивото на течността в резервоарите веднага щом течността се издигне до установено нивоУстройството ще започне да издава непрекъснати звукови сигнали, когато нивото на течността достигне критично ниво.Уредът ще започне да издава звукови сигнали на прекъсвания. Индикаторът се състои от 2 генератора, те се управляват от сензорен елемент Е. Той се поставя в резервоара на ниво до ...
- 22.09.2014
KR1016VI1 е цифров многопрограмен таймер, предназначен за работа с индикатора ILC3-5\7. Осигурява броене и показване на текущото време в часове и минути, ден от седмицата и номер на контролен канал (9 аларми). Схемата на будилника е показана на фигурата. Микросхемата е с часовник. резонатор Q1 на 32768Hz. храната е отрицателна, общият плюс отива към ...
Пирамида. Пресечена пирамида
Пирамидае полиедър, едно от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Триъгълна пирамида с равни ръбове се нарича тетраедър .
Странично реброна пирамида е страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонално сечение се нарича сечение на пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.
Площ на страничната повърхностпирамида е сумата от площите на всички странични лица. Обща площ се нарича сумата от площите на всички странични лица и основата.
Теореми
1. Ако в една пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.
2. Ако в една пирамида всички странични ръбове имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.
3. Ако всички лица в една пирамида са еднакво наклонени спрямо равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, вписана в основата.
За да изчислите обема на произволна пирамида, правилната формула е:
Където V- сила на звука;
S база– базова площ;
з– височина на пирамидата.
За правилна пирамида следните формули са правилни:
Където стр– основен периметър;
з а– апотема;
з- височина;
S пълен
S страна
S база– базова площ;
V– обем на правилна пирамида.
Пресечена пирамиданарича частта от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режеща равнина, успоредна на основата на пирамидата.
Причинипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица – трапецовидни. Височина на пресечена пирамида е разстоянието между нейните основи. Диагонал пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. Диагонално сечение е сечение на пресечена пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.
За пресечена пирамида са валидни следните формули:
(4)
Където С 1 , С 2 – зони на горна и долна основа;
S пълен– обща повърхност;
S страна– площ на страничната повърхност;
з- височина;
V– обем на пресечена пирамида.
За правилна пресечена пирамида формулата е правилна:
Където стр 1 , стр 2 – периметри на основите;
з а– апотема на правилна пресечена пирамида.
Пример 1.В дясно триъгълна пирамидадвустенният ъгъл при основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклон странично реброкъм базовата равнина.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).
 |
Пирамидата е правилна, което означава, че в основата има равностранен триъгълник и всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл е ъгълът амежду два перпендикуляра: и т.н. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност на триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничния ръб (напр С.Б.) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху равнината на основата. За реброто С.Б.този ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ O.B.. Нека дължината на сегмента BDе равно на 3 А. Точка ОТНОСНОлинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: 
От намираме: 
Отговор:
Пример 2.Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са равни на cm и cm, а височината й е 4 cm.
Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площта на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са равни съответно на 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:
Отговор: 112 см 3.
Пример 3.Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, страните на основите на която са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).
Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основата и височината. Основите са дадени според състоянието, само височината остава неизвестна. Ще я намерим откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 д– перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д= 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. Да намеря DEНека направим допълнителен чертеж, показващ изглед отгоре (фиг. 20). Точка ОТНОСНО– проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добре– радиус, вписан в окръжността и 
ОМ– радиус, вписан в окръжност:
MK = DE.
Според Питагоровата теорема от
Странична лицева зона: 
Отговор:
Пример 4.В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи АИ b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDравна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.
Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ОТНОСНО– проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм равнината на основата. Използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на равнинна фигура, получаваме:
По същия начин означава 
По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Нека начертаем трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ОТНОСНО– център на окръжност, вписана в трапец.
Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или От Питагоровата теорема имаме
