Формули за намиране на обиколка и площ на кръг. Как да намерите обиколката на кръг

По този начин обиколката ( ° С) може да се изчисли чрез умножаване на константата π на диаметър ( д), или умножаване π с два пъти радиуса, тъй като диаметърът е равен на два радиуса. следователно формула за обиколкаще изглежда така:

° С = πD = 2πR

Където ° С - обиколка, π - постоянен, д- диаметър на кръга, Р- радиус на окръжността.

Тъй като окръжността е границата на окръжност, обиколката на окръжност може също да се нарече дължина на окръжност или периметър на окръжност.

Проблеми с обиколката

Задача 1.Намерете обиколката на кръг, ако диаметърът му е 5 cm.

Тъй като обиколката е равна на π умножена по диаметъра, тогава дължината на кръг с диаметър 5 cm ще бъде равна на:

° С≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)

Задача 2.Намерете дължината на окръжност, чийто радиус е 3,5 m.

Първо, намерете диаметъра на кръга, като умножите дължината на радиуса по 2:

д= 3,5 2 = 7 (m)

Сега нека намерим обиколката чрез умножение π на диаметър:

° С≈ 3,14 7 = 21,98 (m)

Задача 3.Намерете радиуса на окръжност с дължина 7,85 m.

За да намерите радиуса на кръг въз основа на неговата дължина, трябва да разделите обиколката на 2 π

Площ на кръг

Площта на кръга е равна на произведението на числото π на квадратен радиус. Формула за намиране на площта на кръг:

С = πr 2

Където Се площта на кръга и r- радиус на окръжността.

Тъй като диаметърът на кръг е равен на два пъти радиуса, радиусът е равен на диаметъра, разделен на 2:

Проблеми, свързани с площта на кръг

Задача 1.Намерете площта на кръг, ако радиусът му е 2 cm.

Тъй като площта на кръга е π умножена по радиуса на квадрат, тогава площта на кръг с радиус 2 cm ще бъде равна на:

С≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (cm 2)

Задача 2.Намерете площта на кръг, ако диаметърът му е 7 cm.

Първо намерете радиуса на кръга, като разделите диаметъра му на 2:

7:2=3,5(cm)

Сега нека изчислим площта на кръга по формулата:

С = πr 2 ≈ 3,14 3,5 2 = 3,14 12,25 = 38,465 (cm 2)

Този проблем може да се реши по друг начин. Вместо първо да намерите радиуса, можете да използвате формулата за намиране на площта на кръг, като използвате диаметъра:

Задача 3.Намерете радиуса на окръжността, ако нейната площ е 12,56 m2.

За да намерите радиуса на кръг от неговата площ, трябва да разделите площта на кръга π , и след това извлечете от получения резултат Корен квадратен:

r = √С : π

следователно радиусът ще бъде равен на:

r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)

Номер π

Обиколката на обектите около нас може да се измери с помощта на ролеткаили въже (нишка), чиято дължина след това може да бъде измерена отделно. Но в някои случаи измерването на обиколката е трудно или практически невъзможно, например вътрешната обиколка на бутилка или просто обиколката на кръг, начертан на хартия. В такива случаи можете да изчислите обиколката на кръг, ако знаете дължината на неговия диаметър или радиус.

За да разберем как може да стане това, нека вземем няколко кръгли предмета, чиято обиколка и диаметър могат да бъдат измерени. Нека изчислим съотношението на дължината към диаметъра и в резултат получаваме следната серия от числа:

От това можем да заключим, че съотношението на дължината на кръг към неговия диаметър е постоянна стойност за всеки отделен кръг и за всички кръгове като цяло. Тази връзка се обозначава с буквата π .

Използвайки това знание, можете да използвате радиуса или диаметъра на кръг, за да намерите неговата дължина. Например, за да изчислите дължината на кръг с радиус 3 cm, трябва да умножите радиуса по 2 (така получаваме диаметъра) и получения диаметър да умножим по π . В резултат на това с помощта на броя π Научихме, че дължината на окръжност с радиус 3 cm е 18,84 cm.

Кръгът е крива линия, която обхваща кръг. В геометрията формите са плоски, така че определението се отнася до двуизмерно изображение. Приема се, че всички точки на тази крива са разположени на еднакво разстояние от центъра на окръжността.

Кръгът има няколко характеристики, въз основа на които се правят изчисления, свързани с тази геометрична фигура. Те включват: диаметър, радиус, площ и обиколка. Тези характеристики са взаимосвързани, тоест за изчисляването им е достатъчна информация за поне един от компонентите. Например, като знаете само радиуса на геометрична фигура, можете да използвате формулата, за да намерите обиколката, диаметъра и площта.

• Радиусът на кръга е сегментът вътре в кръга, свързан с неговия център.
• Диаметърът е сегмент вътре в кръг, свързващ неговите точки и минаващ през центъра. По същество диаметърът е два радиуса. Точно така изглежда формулата за изчисляването му: D=2r.
• Има още един компонент на кръг - акорд. Това е права линия, която свързва две точки на окръжност, но не винаги минава през центъра. Така че хордата, която минава през него, също се нарича диаметър.

Как да разберете обиколката? Нека разберем сега.

Обиколка: формула

За обозначаване на тази характеристика е избрана латинската буква p. Архимед също доказа, че съотношението на обиколката на кръга към неговия диаметър е едно и също число за всички кръгове: това е числото π, което е приблизително равно на 3,14159. Формулата за изчисляване на π е: π = p/d. Според тази формула стойността на p е равна на πd, тоест обиколката: p= πd. Тъй като d (диаметър) е равен на два радиуса, същата формула за обиколката може да бъде записана като p=2πr.Нека разгледаме приложението на формулата, използвайки прости задачи като пример:

Проблем 1

В основата на Цар камбаната диаметърът е 6,6 метра. Каква е обиколката на основата на камбаната?

1. И така, формулата за изчисляване на окръжността е p= πd
2. Заместете съществуващата стойност във формулата: p=3,14*6,6= 20,724

Отговор: Обиколката на основата на камбаната е 20,7 метра.

Проблем 2

Изкуственият спътник на Земята се върти на разстояние 320 км от планетата. Радиусът на Земята е 6370 км. Каква е дължината на кръговата орбита на сателита?

1. 1. Изчислете радиуса на кръговата орбита на спътника на Земята: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Изчислете дължината на кръговата орбита на сателита по формулата: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Отговор: дължината на кръговата орбита на спътника на Земята е 42013,2 км.

Методи за измерване на обиколка

Изчисляването на обиколката на кръг не се използва често на практика. Причината за това е приблизителната стойност на числото π. В ежедневието, за да се намери дължината на окръжност, се използва специално устройство - кривомер. На кръга се маркира произволна начална точка и от нея уредът се води строго по линията, докато отново достигне тази точка.

Как да намерите обиколката на кръг? Просто трябва да запазите прости формули за изчисление в главата си.

Много предмети в околния свят имат кръгла форма. Това са колела, кръгли отвори за прозорци, тръби, различни ястияи още много. Можете да изчислите дължината на кръг, като знаете неговия диаметър или радиус.

Има няколко дефиниции на тази геометрична фигура.

• Това е затворена крива, състояща се от точки, които се намират на еднакво разстояние от дадена точка.
• Това е крива, състояща се от точки A и B, които са краищата на сегмента, и всички точки, от които A и B се виждат под прав ъгъл. В този случай сегментът AB е диаметърът.
• За същия сегмент AB тази крива включва всички точки C, така че отношението AC/BC е постоянно и не е равно на 1.
• Това е крива, състояща се от точки, за които е вярно следното: ако добавите квадратите на разстоянията от една точка до две дадени други точки A и B, получавате постоянно число, по-голямо от 1/2 от сегмента, свързващ A и б. Това определение е извлечено от Питагоровата теорема.

Забележка!Има и други определения. Кръгът е област в кръг. Периметърът на кръг е неговата дължина. Според различни дефиниции окръжността може или не може да включва самата крива, която е нейната граница.

Определение за кръг

Формули

Как да изчислим обиколката на кръг с помощта на радиуса? Това се прави с помощта на проста формула:

където L е желаната стойност,

π е числото pi, приблизително равно на 3,1413926.

Обикновено, за да намерите необходимата стойност, е достатъчно да използвате π до втората цифра, т.е. 3,14, това ще осигури необходимата точност. На калкулаторите, по-специално на инженерните, може да има бутон, който автоматично въвежда стойността на числото π.

Наименования

За да намерите диаметъра, има следната формула:

Ако L вече е известно, радиусът или диаметърът могат лесно да бъдат открити. За да направите това, L трябва да бъде разделено съответно на 2π или π.

Ако вече е даден кръг, трябва да разберете как да намерите обиколката от тези данни. Площта на кръга е S = πR2. От тук намираме радиуса: R = √(S/π). Тогава

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Изчисляването на площта по отношение на L също е лесно: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

За да обобщим, можем да кажем, че има три основни формули:

• през радиуса – L = 2πR;
• проходен диаметър – L = πD;
• през площта на окръжността – L = 2√(Sπ).

Пи

Без числото π няма да е възможно да се реши разглежданата задача. Числото π за първи път е намерено като отношение на обиколката на кръг към неговия диаметър. Това са правили древните вавилонци, египтяни и индийци. Те го установиха доста точно - резултатите им се различаваха от известната в момента стойност на π с не повече от 1%. Константата е апроксимирана с фракции като 25/8, 256/81, 339/108.

Освен това стойността на тази константа беше изчислена не само от гледна точка на геометрията, но и от гледна точка на математическия анализ чрез суми от серии. Означението на тази константа с гръцката буква π е използвано за първи път от Уилям Джоунс през 1706 г. и става популярно след работата на Ойлер.

Сега е известно, че тази константа е безкрайна непериодична десетичен знак, то е ирационално, тоест не може да бъде представено като отношение на две цели числа. С помощта на суперкомпютърни изчисления през 2011 г. беше открит 10-трилионният знак на константата.

Това е интересно!Измислени са различни мнемонични правила за запомняне на първите няколко цифри от числото π. Някои ви позволяват да съхранявате в паметта голямо числочисла, например, едно френско стихотворение ще ви помогне да запомните пи до 126-та цифра.

Ако имате нужда от обиколката, онлайн калкулатор ще ви помогне с това. Има много такива калкулатори, просто трябва да въведете радиуса или диаметъра. Някои от тях имат и двете опции, други изчисляват резултата само чрез R. Някои калкулатори могат да изчислят желаната стойност с различна точност, трябва да посочите броя на десетичните знаци. Можете също да изчислите площта на кръг с помощта на онлайн калкулатори.

Такива калкулатори се намират лесно с всяка търсачка. Също така има мобилни приложения, което ще помогне за решаването на проблема как да се намери обиколката на кръг.

Полезно видео: обиколка

Практическа употреба

Решаването на такъв проблем най-често е необходимо за инженери и архитекти, но в ежедневието познаването на необходимите формули също може да бъде полезно. Например, трябва да увиете хартиена лента около торта, изпечена във форма с диаметър 20 см. Тогава няма да е трудно да намерите дължината на тази лента:

L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 cm.

Друг пример: трябва да изградите ограда около кръгъл басейн на определено разстояние. Ако радиусът на басейна е 10 м, а оградата трябва да бъде поставена на разстояние 3 м, тогава R за получения кръг ще бъде 13 м. Тогава дължината му е:

L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 m.

Полезно видео: кръг - радиус, диаметър, обиколка

Долен ред

Периметърът на кръг може лесно да се изчисли с помощта на прости формули, включващи диаметър или радиус. Можете също да намерите желаното количество чрез площта на кръг. Онлайн калкулатори или мобилни приложения, в които трябва да влезете единствено число– диаметър или радиус.

е плоска фигура, която представлява набор от точки, еднакво отдалечени от центъра. Всички те са на еднакво разстояние и образуват кръг.

Нарича се отсечка, която свързва центъра на окръжност с точки от нейната обиколка радиус. Във всеки кръг всички радиуси са равни един на друг. Нарича се права линия, свързваща две точки от окръжност и минаваща през центъра диаметър. Формулата за площта на кръг се изчислява с помощта на математическа константа - числото π..

Това е интересно : Число π. представлява отношението на обиколката на окръжност към дължината на нейния диаметър и е постоянна стойност. Стойността π = 3,1415926 е използвана след работата на Л. Ойлер през 1737 г.

Площта на кръг може да се изчисли с помощта на константата π. и радиуса на окръжността. Формулата за площта на кръг по отношение на радиуса изглежда така:

Нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг с помощта на радиуса. Нека ни е даден кръг с радиус R = 4 см. Нека намерим площта на фигурата.

Площта на нашия кръг ще бъде 50,24 квадратни метра. см.

Има формула площ на окръжност през диаметър. Също така се използва широко за изчисляване на необходимите параметри. Тези формули могат да се използват за намиране.

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг чрез неговия диаметър, знаейки неговия радиус. Нека ни е даден кръг с радиус R = 4 см. Първо, нека намерим диаметъра, който, както знаем, е два пъти радиуса.


Сега използваме данните за пример за изчисляване на площта на кръг, използвайки горната формула:

Както можете да видите, резултатът е същият отговор като при първите изчисления.

Познаването на стандартните формули за изчисляване на площта на кръг ще ви помогне лесно да определите в бъдеще секторна площи лесно намиране на липсващи количества.

Вече знаем, че формулата за площта на кръга се изчислява чрез умножаване на постоянната стойност π по квадрата на радиуса на кръга. Радиусът може да бъде изразен по отношение на обиколката и да замени израза във формулата за площта на кръг по отношение на обиколката:
Сега нека заместим това равенство във формулата за изчисляване на площта на кръг и да получим формула за намиране на площта на кръг с помощта на обиколката

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг с помощта на обиколката. Нека е даден кръг с дължина l = 8 см. Заместете стойността в получената формула:

Общата площ на кръга ще бъде 5 квадратни метра. см.

Площ на окръжност, описана около квадрат

Много е лесно да се намери площта на окръжност, описана около квадрат.

За да направите това, имате нужда само от страната на квадрата и знания прости формули. Диагоналът на квадрата ще бъде равен на диагонала на описаната окръжност. Познавайки страната a, тя може да бъде намерена с помощта на Питагоровата теорема: оттук.
След като намерим диагонала, можем да изчислим радиуса: .
И тогава ще заместим всичко в основната формула за площта на кръг, описан около квадрат:

Окръжността е поредица от точки, еднакво отдалечени от една точка, която от своя страна е центърът на тази окръжност. Окръжността също има свой радиус, равен на разстоянието на тези точки от центъра.

Съотношението на дължината на кръг към неговия диаметър е еднакво за всички кръгове. Това отношение е число, което е математическа константа и се обозначава с гръцката буква π .

Определяне на обиколката

Можете да изчислите кръга, като използвате следната формула:

L= π D=2 π r

r- радиус на кръга

д- диаметър на кръга

Л- обиколка

π - 3.14

Задача:

Изчислете обиколка, с радиус 10 сантиметра.

Формула за изчисляване на обиколка на кръгима формата:

L= π D=2 π r

където L е обиколката, π е 3,14, r е радиусът на окръжността, D е диаметърът на окръжността.

Така дължината на окръжност с радиус 10 сантиметра е:

L = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 сантиметра

кръге геометрична фигура, която е съвкупност от всички точки на равнина, отдалечени от дадена точка, която се нарича неин център, на определено разстояние, което не е равно на нула и се нарича радиус. Учените са успели да определят дължината му с различна степен на точност още в древни времена: историците на науката смятат, че първата формула за изчисляване на обиколката е съставена около 1900 г. пр. н. е. в древен Вавилон.

Срещаме геометрични фигури като кръгове всеки ден и навсякъде. Това е неговата форма, която има външната повърхност на колелата, които са оборудвани с различни превозни средства. Този детайл, въпреки привидната си простота и непретенциозност, се смята за едно от най-великите изобретения на човечеството и е интересно, че австралийските аборигени и американските индианци до пристигането на европейците нямаха абсолютно никаква представа какво представлява.

По всяка вероятност първите колела са били парчета трупи, които са били монтирани на ос. Постепенно дизайнът на колелото се подобрява, дизайнът им става все по-сложен и за производството им е необходимо да се използват много различни инструменти. Първо се появиха колела, състоящи се от дървена джанта и спици, а след това, за да се намали износването на външната им повърхност, те започнаха да я покриват с метални ленти. За да се определят дължините на тези елементи, е необходимо да се използва формула за изчисляване на обиколката (въпреки че на практика, най-вероятно, майсторите са направили това „на око“ или просто като са обградили колелото с лента и отрязали задължителен раздел).

трябва да бъде отбелязано че колелоИзползва се не само в превозни средства. Например, формата му е оформена като грънчарско колело, както и елементи от зъбни колела предавки, широко използвани в технологиите. Колела отдавна се използват при изграждането на водни мелници (най-старите конструкции от този вид, известни на учените, са построени в Месопотамия), както и въртящи се колела, които се използват за направата на нишки от животинска вълна и растителни влакна.

Кръговечесто може да се намери в строителството. Тяхната форма е оформена от доста широко разпространени кръгли прозорци, много характерни за романския архитектурен стил. Производството на тези конструкции е много трудна задача и изисква високо умение, както и наличието на специални инструменти. Една от разновидностите на кръгли прозорци са илюминатори, монтирани в кораби и самолети.

По този начин инженерите-конструктори, които разработват различни машини, механизми и агрегати, както и архитекти и дизайнери, често трябва да решават проблема с определянето на обиколката на кръг. Тъй като броят π , необходим за това, е безкраен, не е възможно да се определи този параметър с абсолютна точност и следователно изчисленията отчитат степента му, която в конкретен случай е необходима и достатъчна.